概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答
习题一
3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：
（1）A 发生,B 与C 不发生;
（2）A 与B 都发生,而C 不发生;
（3）A ,B ,C 都发生;
（4）A ,B ,C 都不发生;
（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;
（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;
（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;
（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ；
（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ；
（8）BC AC AB 或C B C A B A ．
5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．
（1）求最小的号码为5的概率;
（2）求最大的号码为5的概率.
解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得
（1）12
1)(31025==C C A P ； （2）20
1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：
（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;
（2）任取3件产品没有废品的概率;
（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.
解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200
2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200
31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200
3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：
A 表示“这三个数字中不含0和5”
； B 表示“这三个数字中包含0或5”
； C 表示“这三个数字中含0但不含5”
． 解：由概率的古典定义得
157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30
7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．
解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P
)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==
3.0)
4.06.0
5.0(1=-+-=
10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()()
()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?
解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为
3
19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;
（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?
解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为
（1）10
3819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）5
3314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率． 解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =
20
1768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取 一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．
解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且
2.010
2)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P 由全概率公式得
83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(3
1=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P
15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.
（1）求飞机坠毁的概率;
（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.
解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，
事件B 表示“飞机坠毁”，
显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得
008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P
（1）由全概率公式得
0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(3
1=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P
（2）由贝叶斯公式得
407.00944
.01.0384.0)|()()
|()()|(31111≈⨯==∑=i i
i A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29
254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(2
02925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且
5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P
由贝叶斯公式得
9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)
|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.
解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且
%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P
由贝叶斯公式得
984.0%
30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,4
1,问能将密码译出的概率是多少?
解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件
C B A ,,相互独立，且4
1)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 5
3)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.
解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为
)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=
124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=
21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.
（1）求至少有一个蓝球的概率;
（2）求有一个蓝球一个白球的概率;
（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.
解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表
示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立
)2,1;2,1(==j i ，且9
4)(,92)(,72)(,73)(2121====
B P B P A P A P ，则所求的概率为 （1）9
5)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ； （2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ； （3）)
()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 35169
56316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<<p ).求系统能正常工作的概率.
图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=
24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：
（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;
（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.
解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有
（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P
（2）942.0%)80(%)20()(2
055205==∑∑=-=k k k k k C k P。