函数的基本性质 知识总结
大学函数重要知识点总结
大学函数重要知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，通常表示为f: X -> Y，其中X为定义域，Y为值域。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有定义在函数上的自变量的集合，值域是所有函数值的集合。
（2）单值性：每个自变量对应唯一的函数值。
（3）奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
（4）周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
（5）上下界：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值都在一个范围内，则称函数有上下界。
（6）单调性：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值随着自变量x的增大而增大（或减小），则称函数具有单调性。
二、基本初等函数1. 常数函数常数函数的表达式为f(x)=C，C为常数。
2. 一次函数一次函数的表达式为f(x)=kx+b，k为斜率，b为截距。
3. 幂函数幂函数的表达式为f(x)=x^a，a为实数。
4. 指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，a为正实数且不等于1。
5. 对数函数对数函数的表达式为f(x)=log_a(x)，a为正实数且不等于1。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
三、函数的运算1. 基本初等函数的四则运算（1）加法和减法：f(x)=g(x)±h(x)（2）乘法：f(x)=g(x)·h(x)（3）除法： f(x)=g(x)/h(x)，其中h(x)≠02. 复合函数如果存在函数u(x)和v(x)，则复合函数为：f(x)=u(v(x))。
3. 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么f和g互为反函数，且g=f^-1。
4. 函数的求导对函数进行求导可以得到函数的导数，导数表示函数在某一点的变化速度。
5. 函数的积分对函数进行积分可以得到函数的不定积分和定积分，不定积分是函数的原函数，定积分表示函数在一定范围内的面积或体积。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。
以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。
函数的定义域和值域可以用图像来表示。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。
可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。
4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。
5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为极值。
6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。
7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。
8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。
10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。
复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结1.函数的定义：函数是一种数学对象，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常以符号表示，例如f(x)。
2.定义域：函数的定义域是指函数能够接受的自变量的值的集合。
它是函数能够有效进行计算的自变量的范围。
通常用符号表示为D(f)。
3.值域：函数的值域是指函数在定义域上所有可能的函数值的集合。
它是因变量的取值范围。
通常用符号表示为R(f)。
4.图像：函数的图像是指由函数的所有有序对（x，f(x)）组成的点的集合。
可以通过将自变量的取值代入函数的表达式来确定函数的图像。
5.奇偶性：函数的奇偶性指函数在坐标系中的对称性。
一个函数被称为奇函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的相反数。
一个函数被称为偶函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的函数值。
6.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的增减趋势。
一个函数被称为严格递增函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)<f(x2)。
一个函数被称为严格递减函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)>f(x2)。
7.周期性：函数的周期性指函数在定义域上以一定的周期重复。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正整数T，对于定义域上的任意x值，有f(x+T)=f(x)。
8.连续性：函数的连续性指函数在定义域上的无间断性。
一个函数在点x=c处连续，如果当x趋近于c时，f(x)趋近于f(c)。
一个函数在整个定义域上连续，如果它在每个点都连续。
9.可导性：函数的可导性指函数在一些点上的导数是否存在。
函数f(x)在点x=c处可导，如果当x趋近于c时，f(x)的斜率存在，并且等于c处的导数。
10.极值：函数的极值指函数在定义域上的最大值和最小值。
一个局部最大值是指函数在一些区间上的最大值，而不一定是整个定义域上的最大值。
一个局部最小值是指函数在一些区间上的最小值，而不一定是整个定义域上的最小值。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。
函数性质知识点总结优秀4篇
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函数的定义与基本性质总结
函数的定义与基本性质总结在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义和基本性质是数学学习的重要基础知识之一。
本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的常见类型。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。
函数的定义通常包括定义域、值域和映射规则三个方面。
1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。
它决定了函数的输入范围。
2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。
它决定了函数的输出范围。
3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。
二、函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调增加的。
当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调减少的。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
3. 周期性：函数可以具有周期性，即在一定范围内具有相同的函数值。
对于函数f(x)，如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数的周期为T。
4. 有界性：函数可以是有界的，即在定义域内存在上界和下界。
如果存在常数M，使得对于定义域内的任意x，有|f(x)|≤M，则函数为有界函数。
三、函数的常见类型在数学中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次幂相加或相乘而得到的函数。
函数知识点与公式总结
函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。
其中，X称为定义域，Y称为值域。
函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。
二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。
6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。
7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。
8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。
免费初高中函数知识点总结
免费初高中函数知识点总结一、函数的定义和基本性质1. 函数的定义函数是一种特殊的对应关系，即对于每一个自变量的取值，对应且仅对应一个因变量的取值。
符号表示为：y = f(x)，其中y称为因变量，x称为自变量，f(x)为函数符号。
函数通常用一种对图表或几何图形的表示方法来表达。
2. 函数的基本性质（1）定义域：函数中自变量的取值范围。
（2）值域：函数中因变量的取值范围。
（3）奇偶性：若函数满足f(x) = f(-x)，称为偶函数；若函数满足f(x) = -f(-x)，称为奇函数；若既不是偶函数也不是奇函数，称为非奇非偶函数。
（4）单调性：函数在定义域内的值随自变量的增大而增大(或减小)的性质。
（5）周期性：若存在正数T，使得对于函数f(x)，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
二、常见函数类型及图像特征1. 一次函数形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
特征：图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
2. 二次函数形式为y = ax² + bx + c，其中a≠0。
特征：图像为开口朝上或者开口朝下的抛物线，抛物线的开口方向取决于a的正负值，抛物线在y轴上的交点为c。
3. 幂函数形式为y = x^n，其中n为常数。
特征：n为偶数时，函数图像在第一和第四象限均为非负值，n为奇数时，函数图像在整个坐标系都有定义。
4. 指数函数形式为y = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1。
特征：函数图像在经过点(0,1)，当a>1时函数图像递增，当0<a<1时函数图像递减。
5. 对数函数形式为y = logₐx，其中a为常数且a>0，a≠1。
特征：函数图像在x轴的正半轴上有定义，对数函数的导数在x>0时为正值。
6. 三角函数包括正弦函数y = sinx，余弦函数y = cosx，正切函数y = tanx等。
函数性质的知识点总结
函数性质的知识点总结1. 定义域和值域函数的定义域是指函数所能接受的自变量（输入）的取值范围。
通俗来说，就是定义域是指能够适用于此函数的所有x的取值范围。
在定义域内函数有确定的值，而在定义域外，函数是没有定义的。
值域是指函数在给定的定义域内所能取得的所有可能的函数值。
也就是说，值域是函数的所有可能的取值范围。
对于函数y=f(x)，定义域是x的取值范围，而值域是函数值y的取值范围。
2. 单调性函数的单调性是指函数在某一段区间上的增减性质。
如果对于区间I上任意的x1<x2，都有f(x1)<=f(x2)，那么称函数在区间I上是单调递增的。
反之，如果对于区间I上任意的x1<x2，都有f(x1)>=f(x2)，那么称函数在区间I上是单调递减的。
3. 奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的一些对称性质。
如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么称函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数是奇函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为既非奇函数又非偶函数。
4. 周期性如果存在一个常数T>0，使得对于定义域内的任意x都有f(x+T)=f(x)，那么称函数f(x)具有周期性，T称为函数的周期。
周期函数具有重复性，在每个周期内函数值都是重复的。
5. 连续性函数在某一点或某一区间上的变化程度以及函数的无缝性称为函数的连续性。
如果函数在定义域上每一点都是连续的，则称这个函数是连续的。
连续函数包括一次、二次、三次...n 次连续函数。
6. 极限与连续当x在某一点a的邻域内取值时，函数值f(x)随着x值的增大而无限接近于一个确定值L，这时称函数f(x)在x=a处的极限为L。
在某一点a处，如果函数f(x)在x=a处的极限存在且等于f(a)，那么称函数f(x)在x=a处是连续的。
3. 导数与微分对于函数y=f(x)，如果极限\[ \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}}{{\Delta x}} \]存在，那么称此极限为函数在点x0处的导数。
高一数学函数的基本性质知识总结
函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性 B简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明②抽象函数的奇偶性周期性 B简单函数周期性的判断和证明①复合函数的周期性判断与证明②抽象函数的周期性一知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ,当12x x <时都有()()12f x f x <,则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >,则()f x 在D 内时减函数．知识框架高考要求例题精讲函数的基本性质板块一：函数的单调性②设函数()y f x =在某区间D 内可导,若()0f x '>,则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<,则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈,那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增递减且1212()()f x f x x x <⇔<1x 2,x D ∈； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．1x 2,x D ∈． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等二主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ,2x 是该区间内的任意两个值,且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -或21()()f x f x -的符号,若符号不确定,可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增减函数,那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增减函数；⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数,记作()y f u =,u 是x 的函数,记为()u g x =,且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空,则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =,这时y 叫做x 的复合函数,其中u 叫做中间变量,()u f u =叫做外层函数,()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内,增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数⑽函数(0,0)by ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②三典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数【例2】【例3】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例4】根据函数单调性的定义,证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例5】证明函数()f x =【例6】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例7】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+0x >．【例8】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例9】作出函数2||y x x =-的图象,并结合图象写出它的单调区间．【例10】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例11】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数,在[1,)+∞上是增函数,则(1)f =______【例12】讨论函数y =【例13】求函数212y x x =++的单调区间．【例14】设1n >,()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数,且对任何,x y A ∈,有()()()()f x f x f y f y =．那么, A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例15】若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，,则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为 ．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例16】函数21x y x =-x ∈R ,1x ≠的递增区间是A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤或x【例17】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--0a >且1a ≠是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是 ． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例18】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且当*n ∈N 时,*()f n ∈N ,[()]3f f n n =,则(1)(2)f f += ．【例19】求函数1()f x x x=+,0x >的最小值．点评 由对函数1(),0f x x x x=+>的分析,可以很快得到函数2(),0a f x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数,在0a x -<<上 为减函数,在0x a <<上为减函数,在x a >上为 增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ,在0x <上有最大值为2a -．【例20】求函数y =【例21】求函数y =【例22】已知()f x 是定义在+R 上的增函数,且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =,()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =,解不等式1()()23f x f x -≤-．【例23】已知函数()f x 对任意实数x ,y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时,()0f x >,试判断()f x 的单调性,并说明理由．【例24】已知给定函数()f x 对于任意正数x ,y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ,且()f x ≠0,当1x >时,()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由．【例25】设a 是实数,2()()21xf x a x =-∈+R , ⑴试证明对于任意a ,()f x 为增函数；⑵试确定a 值,使()f x 为奇函数．一 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数；板块二：函数的奇偶性()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数． 4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =．二主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称,则为非奇非偶函数；若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇⨯奇=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±-．三典例分析：【例26】判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【例27】判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．⑴ ()(f x x =- ⑵ 11()()()12x f x F x a =+-,其中0a >且1a ≠,()F x 为奇函数．【例29】判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x =；⑶ 2()5||f x x x =+．【例30】已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++,当,m n 为何值时,()f x 是奇函数 【例31】【例32】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数,(3)2f =,且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=,则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+,则函数()y f x =是___________指明函数的奇偶性【例33】设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,那么当(,0)x ∈-∞时,()f x =_________．【例34】已知函数()f x 为R 上的奇函数,且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例35】()y f x =图象关于1x =对称,当1x ≤时,2()1f x x =+,求当1x >时()f x 的表达式．【例36】设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根,那么这两根之和等于_____．【例37】已知函数()f x 是偶函数,而且在(0,)+∞上是减函数,判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【例38】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+,求()f x 、()g x ．【例39】设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M 与m 满足 ．A ．2M m +=B ．4M m +=C ．2M m -=D ．4M m -=【例40】已知()ln(4f x ax c x =+++a 、b 、c 为实数,且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是 ． A ．5-B ．3-C ．3D ．随a 、b 、c 而变【例41】已知()f x =)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为 ．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【例42】函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域,对定义域中任何x ,有()()0f x f x +-=,()()1g x g x -=,则2()()()()1f x F x f xg x =+-是A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【例43】已知函数()f x ,当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=,试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <,且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性,并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．【例44】已知(),()f x g x 都是奇函数,()0f x >的解集是2(,)a b ,()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22ba >,那么求()()0f x g x >的解集．【例45】已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-x ≠0是偶函数,且()f x 不恒为0,判断()f x 的奇偶性．【例46】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+,则求()f x 与()g x 的表达式．【例47】函数()f x =为奇函数,则a 的取值范围是 ．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【例48】已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>,230x x +>,310x x +>．则123()()()f x f x f x ++ ．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【例49】函数()f x 在R 上有定义,且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．【例50】已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数,且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =,解不等式41(log )0f x -<≤,【例51】设函数()y f x =x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ,恒有1212()()()f x x f x f x =+,⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0,)+∞上的增函数,求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．一 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT ,0k Z k ∈≠也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x 其中a 为常数, ①()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；板块三：函数的周期性③()()1f x a f x +=±,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-0a >,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =,若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；二主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集． 2．解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．三典例分析：【例52】已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形,且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,(1)1f -=,(0)2f =-．那么,(1)(2)(2006)f f f +++的值是A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例53】定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=,且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称；③函数()f x 的图象关于y 轴对称,其中,真命题的个数是 ． A ．3B ．2C ．1D ．0【例54】已知()f x 为定义在区间(-∞,)+∞上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用k I 表示区间(21k -,21]k +,已知0x I ∈时,2()f x x =． ⑴求()f x 在k I 上的解析式；⑵对自然数k ,求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}．【例55】已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ,都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅,且(0)0f ≠．⑴求证：()f x 为偶函数；⑵若存在正数m 使得()0f m =,求满足()()f x T f x +=的1个T 值T ≠0．【例56】设()f x 是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,(1)0f a =>．⑴求1()2f 及1()4f ；⑵证明()f x 是周期函数；⑶记1(2)2n a f n n=+,求lim(ln )n n a →∞．【例57】函数()g x f xf=；⑶()(1)=-是奇函f x是偶函数；⑵(0)999f x在R上有意义,且满足：⑴()数,求(2008)f．【例58】()++≥,设f x f xf x f xf x是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有(3)()3++≤和(2)()2 =-,g x f x x()()⑴求证()g x是周期函数；⑵如果f998=1002,求f2000的值．。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系；的关系； ③作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。
是奇函数。
（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇 2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
函数及其性质知识点总结
函数及其性质知识点总结一、函数的定义及性质函数是数学中非常重要的概念，它是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，我们定义函数为一个集合到另一个集合的映射，即如果对于集合X中的任意元素x，都存在唯一的一个元素y满足f(x)=y，那么我们称f是从X到Y的函数，记作f:X→Y。
函数的性质有以下几点：1.定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值所组成的集合，通常记作X，而函数的值域是所有可能的输出值所组成的集合，通常记作Y。
2.单值性：函数中的每一个元素x都对应着唯一的元素y，即对于x1≠x2，有f(x1)≠f(x2)。
3.多值性：函数的输出值有可能对应多个输入值，即对于x1≠x2，有f(x1)=f(x2)。
4.反函数：如果对于函数f，存在一个函数g，使得f(g(x))=x和g(f(x))=x成立，那么我们称g是f的反函数，记作f^-1。
5.奇偶性：函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
如果对于任意x∈X，满足f(-x)=f(x)，那么函数f是偶函数；如果对于任意x∈X，满足f(-x)=-f(x)，那么函数f是奇函数。
6.周期性：如果存在一个常数T>0，使得对于任意x∈X，都有f(x+T)=f(x)，那么我们称函数f是周期函数，周期T称为函数的周期。
7.增减性：如果对于函数f中的任意两个数x1、x2（x1<x2），有f(x1)≤f(x2)，那么称函数f是增函数；如果有f(x1)≥f(x2)，那么称函数f是减函数。
8.单调性：如果对于函数f中的任意两个数x1、x2（x1<x2），有f(x1)≤f(x2)，那么称函数f是单调增加的；如果有f(x1)≥f(x2)，那么称函数f是单调减少的。
9.有界性：如果对于函数f中的任意一个数x，都存在一个数M，使得|f(x)|≤M成立，那么我们称函数f是有界的；如果对于函数f中的任意一个数x，都存在一个数M，使得f(x)≥M或f(x)≤-M成立，那么我们称函数f是上有界的或下有界的。
高中数学 函数概念及其性质知识总结
高中数学函数概念及其性质知识总结
函数是一种数学概念，它使用单个变量来描述关系，表现为X变量的取值范围对应Y
变量的取值范围，使得每一个X变量的取值都有一个固定的Y变量的取值，而且这个X与
Y之间的关系是普遍存在的，可以用一般性表达，即Y与X之间的函数关系被称为函数。
函数包含四种基本性质：
1、单调性：函数关系单调，即当X增加时，Y自动增大，当X减小时，Y自动减小；
2、对称性：函数关系对称，根据定义域的对称位置，Y的取值也保持相同，即当X的值发生对称的变化时，Y的取值也发生同样的变化；
4、连续性：函数关系连续，即不存在无穷多个点，恒定X这样说Y正在不断变化、
不断变大或不断变小，而且在没有间断的情况下。
函数可以是简单的，也可以是复杂的。
常见函数有简单直线函数、二次曲线函数、圆
函数、指数函数和对数函数等多种。
它们对应的图形也不一样，分别有简单的直线、二次
曲线、圆形、指数函数和对数函数的图形。
另外，函数还可以进行组合、幂函数以及图在
三维空间中进行表示等。
总之，函数是一种数学思维模型，包括一个定义域中的所有自变量X，和随这个自变
量改变而改变的因变量Y——二者之间形成对应关系，该关系不能随便而定，必须有一般
性表达，在这个定义域内都存在。
概括起来，函数的性质主要有单调性、对称性、周期性、连续性等。
函数知识点归纳
函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、统计学和物理学等领域也有广泛的应用。
本文将对函数的基本概念、性质和常见的函数类型做一个全面的归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用函数知识。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数通常表示为f(x)或y=f(x)，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量的集合。
函数可以用不同的方式表示，如数学表达式、图形、表格或文字描述。
函数的图形通常用坐标系上的点表示，自变量在横轴上，因变量在纵轴上。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域确定了自变量可能取值的范围，值域确定了因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减趋势，可以是递增、递减或不变。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于纵轴对称。
4. 周期性：周期函数具有一定的重复性，函数的图像在一定的区间内重复出现。
5. 极值点：函数的极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，可以通过导数求解。
三、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数、变量和指数幂运算组成的函数，可表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an为系数，n为次数。
2. 指数函数：指数函数的函数表达式为f(x) = ax，其中a为常数，x为自变量。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算，常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。
4. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标表示的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆运算，常见的反三角函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)等。
函数的性质及应用知识点总结
函数的性质及应用知识点总结函数是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将对函数的性质以及其应用知识点进行总结。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等，应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。
一、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量取值的范围。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)成立，则称这个函数为偶函数；如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则称这个函数为奇函数；如果函数既不满足偶函数的性质也不满足奇函数的性质，则称其为非奇非偶函数。
3. 单调性：如果对于任意两个x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)成立，则称这个函数为增函数；如果对于任意两个x1和x2，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)成立，则称这个函数为减函数。
4. 周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)成立，则称这个函数为周期函数。
二、函数的应用知识点1. 最值问题：最大值和最小值问题是函数应用中常见的问题。
通过求函数的导数，可以找到函数的极值点，并通过比较这些极值点的函数值来确定最大值和最小值。
2. 极值问题：极值问题是在给定条件下，求函数取得最大值或最小值时自变量的取值。
可以通过拉格朗日乘数法等方法求解。
3. 函数图像的绘制：了解函数的形态对于理解函数的性质很有帮助。
可以通过计算函数的值并绘制函数图像，观察函数的波动、交点和拐点等来研究函数的特点。
综上所述，函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等；函数的应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。
理解和掌握这些性质和应用知识点对于深入学习和应用函数具有重要意义。
希望本文对您有所帮助。
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《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。
②导数法（选修）：在()f x 区间()a b ，内处处可导，若总有'()0f x >（'()0f x <），则()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数；反之，()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数，且处处可导，则'()0f x ≥（'()0f x ≤）。
请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。
判定函数的单调性一般要将式子)()(21x f x f -进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。
提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“U ”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。
判定函数不具有单调性时，可举反例。
⑶与函数单调性有关的一些结论①若()f x 与()g x 同增（减），则()f x ＋()g x 为增（减）函数，(())f g x 为增函数；②若()f x 增，()g x 为减，则()f x －()g x 为增函数，()g x －()f x 为减函数，(())f g x 为减函数；③若函数()y f x =在某一范围内恒为正值或恒为负值，则()y f x =与1()y f x =在相同的单调区间上的单调性相反；④函数()y f x =与函数()(0)y f x k k =+≠具有相同的单调性和单调区间； ⑤函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =>具有相同的单调性和单调区间，函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =<具有相同单调区间上的单调性相反。
2.奇偶性函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于y 轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；⑴函数奇偶性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_____的x A ∈，都有()f x -=_____，那么函数()y f x =是偶函数. 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_____的x A ∈，都有()f x -=_____，那么函数()y f x =是奇函数. 如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，那么函数()y f x =具有________.注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
⑵图象特征函数()y f x =为奇（偶）函数⇔函数()y f x =的图象关于原点（y 轴）成中心（轴）对称图形。
注意 定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。
点评①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．. ②)(x f 是奇函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔=-. ③)(x f 是偶函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔=. ④奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f .⑤在关于原点对称的单调区间内：（ⅰ）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（ⅱ）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。
⑥)(x f 是偶函数⇔(||)()f x f x =.⑶奇偶性的判定方法若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性. 如判断函数()f x =判定函数奇偶性方法如下：①定义（等价定义）法；②图像法；③结论法等. 点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求()f x -，接着考察()f x -与()f x 的关系，最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反例。
⑷与函数的奇偶性有关的一些结论①若()f x 与()g x 同奇（偶），则()f x ±()g x 为奇（偶）函数，()f x ()g x 和()()f xg x 为偶函数，(())f g x 为奇（偶）函数；②若()f x 与()g x 一奇一偶，则()f x ()g x 和()()f xg x 为奇函数，(())f g x 为偶函数；③定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。
⑸函数按奇偶性分类①奇函数非偶函数，②偶函数非奇函数，③既是奇函数又是偶函数，④非奇非偶函数。
点评既奇又偶的函数有无数个。
如()0f x =定义域关于原点对称即可。
如函数()f x ＝。
3.周期性函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律；⑴函数周期性的定义一般地，对于函数()f x ，如果存在一个________的常数T ，使得定义域内的________x 值，都满足()________f x T +=，那么函数()f x 称为周期函数，________常数T 叫做这个函数的周期。
如果一个周期函数()f x 的所有的周期中存在一个________的____数，那么这个数叫做函数()f x 的最小周期正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
点评 ①非零常数T 是周期函数本身固有的性质，与自变量x 的取值无关；②若非零常数T 是函数()f x 的周期，则非零常数T 的非零整数倍（nT n Z ∈，，且0)n ≠也是函数()f x 的周期；③若函数()f x 的周期为T ，则函数()y Af x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A ≠，0ω≠）的周期为||T ω；④定义中的等式()f x T +=()f x 是恒等式；⑤函数()f x 的周期是T ⇔()f x T +=()f x 。
⑵三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； ⑶函数周期的判定①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）④结论法。
⑷与周期有关的一些结论①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2；②()f x 是偶函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为2||a ； ③()f x 奇函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为4||a ； ④()f x 关于点(,0)a ,(,0)b ()a b ≠对称⇒()f x 的周期为2||a b -； ⑤()f x 的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称⇒函数()f x 的周期为2||a b -；⑥()f x 的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称⇒)(x f 周期为4b a -；⑦()f x 对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-⇒()f x 的周期为2||a ； ⑧函数()f x 满足1()()1()f x f x a f x ++=-，且a 为非零常数⇒()f x 的周期为4||a ； ⑨函数()f x 满足()()()2f x a f x a f x +=+-（a 为非零常数）⇒()f x 的周期6||a 。
点评 注意对称性与周期性的关系。
4.对称性函数的对称性是研究函数图象的结构特点（即函数图象关于某一点成中心对称图形或关于某一条直线成轴对称图形）；⑴函数对称性的定义如果函数()y f x =的图象关于直线x a =成____对称或点()a b ，成______对称，那么()y f x =具有对称性。
注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。
⑵函数图象对称性的证明证明函数()y f x =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；⑶与对称性性有关的一些结论①函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称⇔()()f a x f a x -=+。
特别地，当0a =时，函数()y f x =为偶函数。
②函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称⇔()()2f a x f a x b -++=。