数学中的划归方法及其应用

数学中的化归方法及其应用

班级电子商务10-01 学号 20104045 姓名鲁婷

数学思想是对数学事实、概念、理论和方法的本质认识，是数学方法的灵魂，揭示了数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化中的辩证唯物主义观点，数学方法是数学思想的具体表现，它们是数学知识的核心。在数学中比较常用和基本的数学思想及方法是化归（转化）。

一、化归思想方法及化归原则

1、化归的思想

“化归”是转化和归结的简称，是数学家们十分典型的思维特点，匈牙利数学家罗莎•彼得在《无穷的玩艺》中分析数学家在面临所要解决的问题时提出：“他们不是对问题实行正面的攻击，而是不断的将它变形直至将它转化成能够解决的问题。”化归，是运用某种方法和手段，把有待解的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决的方法。

2、化归的一般原则

化归原则的结构中蕴涵着三个基本要素，即化归的对象、目标、和方法。化归的对象就是待解问题中需要变更的成分，化归的目标是所要达到的规范问题。

化归原则的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的，复杂的问题化为熟悉的、简单的问题，以便利用已知的理论、方法和程序实现问题的解决。因此熟悉化和简单化是化归的基本方向。

化归与转化的一般原则是：

①化归目标简单化原则；

②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）；

③具体化原则；

④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已

经建立起来的数学模式。如二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）；椭圆方程）；

⑤低层次化原则（解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单）。

3、化归与转化策略

化归与转化的策略有：

①已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。

②正面与反面的转化（在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果）。

③数与形的转化（数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求）。

④一般与特殊的转化。

⑤复杂与简单元的转化（把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则）。

二、化归的方法及应用

化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。或简单的说，化归就是问题的规范化的手段、措施和技术。例如，求有理函数的积分，一般要化为部分分式求解，这里被积有理函数是化归的对象，部分分式是化归的目标，而把有理函数表为部分分式之和时通常采用的待定系数法就是化归的方法。

化归方法包括三个要素化归对象、化归目标和化归途径。化归对象，即把什么东西进行化归目标;化归目标，即化归到何处去；化归途径，即如何进行化归。在化归的三要素中，化归方法是实现化归的关键，这是显而易见的。

化归方法的途径:分解与组合所谓分解，就是把一个复杂的问题分解成若干个较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。分解有时并不能单独解决问题，为了使化归过程完全实现，还要结合组合，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。恒等变形就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方因式分解等恒等变换，都起到将复杂难未知的问题化归为简单易己知问题的作用。

在化归原则中，实现化归的方法是多种多样的。按照应用范围的广度来划分，数学中的化归方法分为三类，这就是多维化归方法、二维化归方法和单维化归方法。（一）、多维化归方法这是指跨越多种数学分支，广泛适用于数学各学科的化归方法。例如，换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法等。它们既适

用于几何、三角等初等数学的各个分支，又适用于高等数学各个学科，其应用十分广泛，因而属于多维化归方法。

（二）、二维化归方法 这是指能沟通两个不同数学分支学科的化归方法，是两个分支学科之间的转化。例如，解析法、三角代换法、向量法等都可以沟通两个数学分支学科，以便发挥两个学科的理论和方法的优势实现问题的解决，因而都是二维化归方法。

（三）、单维化归方法 这是指只适用于某一学科的化归方法，是本学科系统内部的转化。例如，得数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系法、坐标变换法等都是单维化归方法。

例 设2,,22=++∈x y x R y x 且，求67M 2-+=x y 的最值。

分析 求M 的最值是二元函数的极值问题，考虑用恒等变换化归为一元二次函数的极值问题。

由得到

0)2)(1(222≤+-=-+=-x x x x y

故.12≤≤-x

于是67)2(-++--=x x x M

故 当x=1时M 有最大值1，当x=-2时有最小值-20.

三、对化归思想的总结

化归思想是根据主体已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化直到化成已经解决或容易解决的问题的思想，即是以变化、运动、发展以及事物间相互联系制约的观点去看待问题，善于对所要解决的问题进行变形，学生一旦形成了化归意识，就能熟练地掌握各种转化，化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体等等。例如，用化归思想可把多元方程化成一元方程，把高次方程化为低次方程，将钝角三角函数化为锐角三角函数。又如，函数图象是把代数问题化归为几何图形去解决问题，学生容易吸收所学的数学知识，能明确新知识是建立在旧知识之上的，既丰富了新知识，也巩固了原知识.

222=++x y x 2

)3(5---=x