购房中的数学问题-数学建模

2016年第十三届五一数学建模联赛
承诺书
我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： A
我们的报名参赛队号为：342
参赛组别（研究生或本科或专科）：本科
所属学校（请填写完整的全名）内江师范学院
参赛队员(打印并签名) ：1.
2.
3.
日期：2016 年05 月02 日
2016年第十三届五一数学建模联赛
编号专用页
竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：
裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：
参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：
2016年第十三届五一数学建模联赛
题目购房中的数学问题
摘要
随着中国政府实施了不断深入住房制度的改革，中国房地产近年来取得了瞩目的发展，并由于其产业关联度高一直对国民经济起到了强有力的拉动作用，成为国民经济的支柱产业。

所产生众多的楼盘，而许多的消费者对于购房有了更高的要求，影响消费者选择购房的因素较多，例如影响消费者购房的外部因素有：总体居住氛围、交通便利情况、配套实施等。

内在因素有：个人可支配收入、文化因素以及个人喜好倾向等。

本文针对购买住房的众多消费者的状况进行了评价以及分析，通过查阅相关文献，我们了解到购买住房的消费者的相关评价模型及其指标。

借鉴现有的相关模型，结合创新理论，本文利用层次分析、比较分析、线性加权等的创新分析方法和算法建立了完整的购房中的数学问题的模型。

针对问题一：经查阅资料文献，给出的太阳高度角算法建立模型，先计算出太阳时角和太阳赤纬角后得到太阳高度角，再经过三角函数转换得到前面一栋楼的影子长度。

随后我们还考虑到因太阳出现时有一定的角度偏差，于是对太阳高度角进行了修正，使结果更加精确。

针对问题二：可以把这个问题当做是第一问的重复计算得到。

楼房影长的理论值与实际值的偏差最小，太阳照射的纬度变化即为最优解。

在模型一的基础上，建立模型二并利用遗传算法计算此模型。

利用所绘的八日的影长为代表得到最优的日照天数和日期。

针对问题三：利用优化模型，在给出的几个不同的方案中选取最优的模型，在第二问上进行迭代，再结合当地楼盘实际布局情况及房间售出情况得到一组最优解，即在不同的房间内，只考虑光照影响的条件下，结合销售实情对于消费者最优的选择。

针对为题四：利用层次分析法对于该问题进行分析，是在前一问上的延续，加进了更多的贴近我们生活的实际条件，来分析消费者选择购房的因素及权重，各因素在对消费者的选择上进行线性加权。

是对我们实际生活中是最为直观实用的部分。

针对问题五：建立数学模型，分析电梯距离、楼层高度、上下班高峰期人流量等影响来考虑该汽车位分布是否合理。

同时考虑路径和停车位的分配是否合理来重新设计汽车车位分布方案。

关键词：住宅日照时间居住区规划购房选择因素停车场规划
一问题的重述
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
立的模型画出2015年12月22日北京时间9:00-16:00之间该地（北纬34.18度,东经117.17度）98.6米高的楼房的太阳影子长度的变化曲线。

2.建立遗传模型，分析影子长度在不同的时间内各种参数的变化规律，并建立的模型
算出太阳影长的变化率，一年的时间影子的变化曲线。

3.建立优化模型，分析光照影响的条件下，给出多种方案，进行相同条件下的分析，
给出消费者的最有方案选择。

4.建立神经网络模型，在多种因素下影响消费者的选择。

对多种因素进行线性加权
二模型的假设
（1）每年的太阳活动情况是相同的，均为“恒星年”。

（2）地球是一个完美的球形，不考虑海拔、地球扁率的影响。

（3）无光线衍射造成的影子减淡现象。

（4）在小尺度考虑直杆投影问题时，地表是绝对水平的。

（5）不考虑地球公转的影响。

（6）题目所给的数据是真实的，可靠的。

（7）不考虑阴天，下雨等影响日照的天气的影响。

(8) 不考虑房价临时变动。

(9) 一天内的纬度变化是不变的
三名词解释和符号说明
1.名词解释
（1）太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地标切线的夹角。

（2）太阳赤纬:是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。

（3）太阳方位角:太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地子午线的夹角，
可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。

（4）日照间距系数：根据日照标准确定的房屋间距与遮挡房屋檐高的比值。

（5）太阳时角：指日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。

2. 符号说明
四 模型的建立与求解
1. 问题一的分析与求解
本模型结合相关地理学知识，对影子的变化情况进行分析描述。

下面将明确一些地理学的定义，以及重新定义一些模型需要用到的参数。

太阳高度角，也称为太阳高度，是指某地的太阳光线与当地地平面的所交的最小线面角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹得角度。

在水平地面上，楼高与影子的比值即为太阳高度角的正切值：
tan =
L
S θ （1）
查阅资料，根据日照原理 ,有关太阳位置的参数,可通过公式计算得到
s cos (sinh sin sin )(cosh cos sinh =sin sin +cos cos cos s s T H W H H W H W K
=-÷）（2）
式中H 、T 、K —— 分别为地理纬度、太阳赤纬角及时角
T 、s H — — 分别为太阳方位角和高度角
日照及日照间距平面和立面示意,分别如图1和图2所示。

满足某一日照标准时日照间距的计算公式为
t =ot cos D T
（3）
式中ot —— 满足某一日照标准的影子长度
T —— 满足某一日照标准的t 时刻太阳方位角
t
D —— 满足某一日照标准的住宅建筑间距
从图1和图2可知,满足某一日照标准的日照间距系数计算式为
t t =h
L D （4）
式中h —— 前幢建筑(遮挡建筑) 的建筑日照计算高度
图1 平面示意图 图2 立面示意图 根据建筑日照原理可知
ot=h coth （5）
将(3)、(5)式代入(4)式得到
t =cos cosh
L T (6)
通过(1)、(2)式计算可以得到某一日照标准条件下的T 、s
h 值,从而由(6)式计算
得到某一日照标准。

利用(6) 式计算住宅日照间距系数,与地形坡度无关。

条件下的正南向平行布置的住宅建筑日照间距系数。

首先计算题目所给条件的H ，W 和K ，再讲上述参数值代入（2）式中，得出9：00——16:00的太阳高度角随时间的变化。

将影长随时间变化的情况用 MATLAB 绘制成图像：
图3 影子长度与时间的关系
从图3中可以发现，影长随着时间的增加，呈现先减小后增大的趋势，影长最小点出现在12:14，这是由于北京时刻为120︒E 的地方时，换算到117.17︒E 附近时，会产生时差，显然是符合常理的。

2. 问题二的分析与求解
太阳的赤纬等于太阳入射光与地球赤道之间的角度，由于地球自转轴与公转 平面之间的角度基本不变，因此太阳的赤纬随季节不同而有周期性变化。

太阳赤 纬的最高度数为23°26′，夏至时太阳的赤纬为+23°26′，冬至时太阳的赤纬为-23°26′，春分和秋分时太阳的赤纬为0°。

由于地球公转轨道的偏心率非常低，可以看作是一个圆圈，太阳赤纬 δ 可用 下面这个公式来计算：
()°
2284=23.45sin 365n πδ+⎛⎫
⎪
⎝⎭
其中 n 为当日日期序号，1月1日时 n =1，以此类推得10月22日n = 295。

与第一问中的（1）——（5）式子联立得到方程组：
()°0°°°tan sin cosh cos cos sin sin 12015h=15(12)2284=23.45sin 365L S
t t t n θθδφδφγπδ⎧
=⎪⎪
=+⎪⎪-⎪=+⎨⎪
⨯-⎪
⎪+⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩
求解上述方程组，得：
()()()()
()(
)°tan arcsin cos 1512cos cos sin sin S L t δφδφ
=⨯-+
可见，影子长度的变化与时间
()
,T t d 这个参数有关
查阅资料，得到二十四节气时，太阳纬度的变化情况如下表：
编程求解出日期变化对太阳影长的关系如下图：
图四 日期变化对太阳影长的关系
根据上图可得，日期对太阳影长的影响呈近似抛物线，上半年中随着日期的 增加影长呈下降状态，下半年中影长呈上升状态。

选取春分、夏至、秋分、冬至 四节气，共八天的数据，分析四节气对影子长度变化的影响率：
3月20日 3月21日
6月21日 6月22日
9月22日 9月23日
12月21日 12月22日
通过对以上8天为例的分析可以发现，在其他情况不变的情况下，计算所得的影子长度。

计算得到今年共有8784小时，其中该地的日照为4403.2804412417小时；住宅可享受到的日照时间为1253.1063128小时。

共有152天采光时间小于三小时，共有137天采光时间小于两小时，春分时可采光4.0332493712054小时，夏至时可采光6.6841235小时秋分时可采光4.1584287194804小时，冬至时可采光0小时大寒时可采光0小时 3. 问题三的分析与求解
在本模型中，需要运用地理学相关知识分析影子在两栋楼之间的前后影响关系，对下面给出的模型，需要作出部分说明，并定义一些新的参数。

太阳高度角公式为：
s sinh =sin sin +cos cos cos H W H W K
楼段选取的层数关系式为： R=H-L tan h+1θ⨯÷（） 在该模型中， H ——楼高
h ——每层楼的楼高
L ——两栋假设中的两栋楼A 与B 之间的距离（楼距）
θ——太阳高度角
太阳时角ω等计算参数都为了考虑终年可受日照而选取的时间为冬至日的正午（12：00），因此ω的值为0，一般不影响计算结果。

除此之外，R 为终年可受日照的最低楼层数，在这里，R 为正整数且把余数算整进一。

根据图中的表示以及太阳高度角公式和楼段的选取公式，楼层R 的计算公式整合为：
通过对所给题中遮挡与被遮挡的楼的位置关系测量数据，并以此数据来得出每栋楼的理想楼层R ，从而结合房间售出情况得出最优化方案。

首先根据太阳高度角公式与理想楼层选取的关系式得出理想楼层与楼高，所处纬度等条件的直接公式，将小区内在售楼盘的数据逐一进行带人计算，由于个别楼的高度不一，需作出区分。

各楼受遮挡的楼盘以及经线距离如下表：
经过带入相关公式后，各楼盘的理想层数如下表所示（理想层数为
0表示太阳能够直射地面）：
根据原题题供的房间售出情况整理如下:
经分析，在仅考虑日照的前提下，结合售出情况，第五栋售出的房间中，售出位于理想楼层的房间较少，切剩下的位于理想楼层的房间较多，采光条件符合条件，终年都能够受太阳照射，并且售出数量较小，错过购买时机的风险较低，且剩余房间多可能会享受到一定的价格优惠，消费者可以考虑在此选择。

4.问题四的分析与求解
在本选房模型中，基于第三问的基础，我们将采取层次分析法，以采光合格、便于购买的房间的范围中，在楼价、交通便利性、采光优劣，噪音影响、环境质量几个方面的差异上广泛选取3个具有代表性的方案:
X —— 3-2-602房间；
Y —— 7-1-241房间；
Z —— 11-1-142房间；
其中，楼价部分，X房间为4250元/M²，Y房间为4410元/M²，Z房间为4510元/M ²；交通便利性根据提供的国道、乡村公路、街道、地铁考虑重要性以及距离划分评估；采光条件受层数影响，随层数递增；噪音根据国道、公路、街道等因素根据距离、人口密度划分；居住环境质量中，北面的河流为积极因素，而小区南面500米处的发电厂烟囱对小区中处于下风向的部分楼具有较大的消极影响，再结合小区中的周围绿化质量，基础设施等作出综合评估。

在层次分析法中，我们将各种因素条件的比较程度划分如下
我们以各项指标最优化逐层分为九个等级层次为基础，通过上一层次以一定准则偏好进行比较且赋予比较值然后计算出各要素的权重，最终以此对给出方案进行同一条件下的评估。

其中，
a——楼价
b——交通条件
c——采光
d——噪音影响（在后续的指标中，噪音因素均指代噪音隔绝，优势水平由好到差排列）
e——环境条件
然后就不同选取准则，对方案X,Y,Z评估进行两两比较：
在表一中，计算各行的几何平均值i
N
1N ==1.0371
2N ==0.9786
3N =0.8443
4N =2.7019
5N =0.7155
然后各行之和:
24135 6.2774G G G G G G =++++=
各行排序权重i T
:
110.1652T N N =÷=
220.1559T N N =÷= 330.1345T N N =÷= 440.4304T N N =÷= 550.114T N N =÷=
由权重大小可知，五个因素中，重要性的由大到小的顺序依次为：噪音、房价、交通条件、采光、环境质量。

在各项指标中。

X 、Y 、Z 的权重为： 房价（a ）： （0.09，0.2734，0.6368） 交通条件（b ）：（0.7257,0.1248,0.1495） 采光（c ）： （0.0993,0.2009,0.6997） 噪音（d ）： （0.0831，0.1663,0.7506） 环境质量（e ）：（0.0779,0.3074,0.6148） 因此可以得出在不同影响因素中 房价部分，房间优势为： Z>Y>X; 交通便利性部分，房间优势为：X>Z>Y; 采光部分，房间优势为： X>Z>Y; 噪音部分，房间优势为： X>Z>Y; 环境质量方面，房间优势为： Z>Y>X;
在总目标的权重中，需要每个因素的权重与每个权重中房间优势的权重，则总的权重：
0.16520.090.72570.09930.08310.07790.18600.15590.27340.12480.20090.16630.30740.19830.13450.63680.14950.69970.75060.61480.61580.43040.114w ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 由此可以看出，房间优势的总权重中，房间Z>Y>X,所以房间Z 是最佳选择。

5.问题五的分析与求解
对于一个划分，则有一个停车路线范围L 。

在这个范围内，任一路线l L ∈的占用区域
r
D 不侵占其他停车位置
i
S ，
(){}
:r D d region l l L =∈∈
满足
.r i i
D S ⎛⎫⋂=∅
⎪⎝
⎭
那么，在
r
D 内，存在有一个最大转弯半径max
R 和一个最小转弯半径
min
R 。

停车难度同
转弯半径、道路宽度想关联。

建立一个函数关系，以最大转弯半径、最小道路宽度描述
d 停车难度
()
max min ,,diff R R d ζ=。

这个关系应满足一下要求： 最大转弯半径越大，则难度越小；
最大转弯半径和最小转弯半径的差越大，则难度越小；道路最小宽度越小，则难度越大。

另外，这个难度应考虑到通风险开销建立关系的便易性。

并且，他也有可能是一个向量，为对个元素的组个。

如何很亮最小的道路宽度，最普遍性的方法：取一条停车路径，记录它与除目标车位意外的其他车位便捷的最小距离为最小路径宽度；对于一切该道路中的合法路径，他们的最小路径宽度中最大值，即为最小道路宽度。

我们必须找到停车难度和风险开销之间的关系。

这个关系粗看起来似乎不容易找到，因为这涉及到保险、停车人工费用等开销。

但是，一旦找到突破口，这个问题就会变得很简单。

不论是怎么样的风险开销s ，他总是不大于停车难度所带来的经济损失期望
E
s 。

并且，由于市场的作用，这个开销总是向损失靠近。

设计一个经济学的模型，以说明开销和损失期望之间的关系
()
Cos E s Risk t s =。

五模型的评价1.模型的优点
1)问题四的模型首先从该小区售房价格的变化出发，然后逐步的加入影响因素，从
而使模型逐步的丰富，逐步改进，不断与现实想接近。

2)模型较稳定，不会因某一控制量的微小变化而导致最终方案出现较大改变。

3)本文利用数学规划，通过MATLAB编程对模型进行数据处理，并做出各种平面图，
简便，直观，快捷，具有科学性。

2.模型的缺点
1)对于一些数据，我们对其进行了一些必要的处理，会带来一些误差。

2)模型中为使计算简便，使所得结果更理想化，忽略了一些次要因素。

3)只能应用在水平地面上。

没有考虑斜坡和坎坷地面上的情况。

4)对形状规格较为复杂的建筑，本模型不能适用
六模型的推广
本文模型的实质是根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，因此可以应用到求建筑物群合理间距问题。

对于一般的小区，楼体一般情况下沿相互平行的平行线进行建筑。

利用这个模型可以求解适当的楼间距以保证不同楼层，不同地区住户的采光质量。

将楼体看做是同样高度的一排直杆，计算出其在一年间的日影变化情况，并将其最大值在楼间距离上的投影作为楼间距，可以保证不同楼间不互相遮挡。

而在现实情况下，只要求住户有一定时间的日照时间，将两幢建筑物按其朝向简化为两个相互平行的铅垂面, 其在地面上的投影为两平行线, 当所取的轨迹线上的时间差刚好等于要求的必要日照时
间数时, 两幢建筑之间的垂直距离即为合理的间距,这种方法适用于两幢建筑物等高的情况。

参考文献
（1）武琳，基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究，天津大学，2010。

（2）卜毅，建筑日照设计[M]，北京: 中国建筑工业出版社, 1988.38—42。

（3）瞿伟，确定住宅建筑日照间距的棒影图综合分析法[J]，合肥工业大学学报(自然科学版)，2001。

（4）姜启源，谢金星，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。

（5）武琳，基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究，天津大学，2010。

（6）莫生红，层次分析法在市民购房决策中的应用[M]，经济论坛，2007。

（7）莫生红，统计分析助你购房决策[M]，生活中的统计学，2008.
怎样写作数学建模竞赛论文
一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法
建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。

当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：
1. 形成问题
要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。

只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。

2. 假设和简化
根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。

现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。

此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。

因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化
3 .模型的构建
根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。

这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。

4. 检验和评价
数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。

这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。

而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。

模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。

因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。

评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。

此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。

5. 模型的改进
模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。

一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。

针对发现的问题作出相应的修正。

然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。

6. 模型的求解
经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。

模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。

电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。

数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想
象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。

它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。

这种能力的培养要依靠长期的积累。

此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。

一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。

但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。

另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。

二写作数学建模竞赛论文应注意的问题：
1. 论文格式
论文的封面：
题目………
参赛队员：… … …
指导教师：……
单位：………
论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：
一. 问题的提出
二. 问题的分析
三. 模型的假设
四. 模型的建立
五. 模型的求解
六. 模型的检验
七. 模型的修正
八. 模型的评估
九. 附录
以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。

例如：问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。

下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。

2. 审题：赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题)，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。

因此，首先必需弄清题目的意义。

数学建模的题目有时很长，有时很复杂。

不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。

因此我们要求：
(1). 深刻理解题意
(2). 弄清题目的实际背景
(3) 正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。

要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。

3. 当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。

下面的几项工作是必需要做的：
(1). 在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。