圆形边界磁场
专题：圆形磁场问题
O1
例题(多选)如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀
强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆 心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的
时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子
（
CD ）
B v O s1 θ1 R1 s2
A．射入时的速度一定较大 B．在该磁场中运动的路程一定较长 C．在该磁场中偏转的角度一定较大 D．从该磁场中飞出的速度一定较小
2 2
2
当速度变为2V的带电粒子，不具备“磁会聚”的 条件，因此不会都通过O点。但此题可采用极端分析 法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r’=2R的圆 弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做 匀速直线运动，如图所示。靠近上端点发射出来的带 电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处； 靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿 出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围 是x>0. y
θ2
R2
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长对应 时间越长。(直径对应的弧最长)
例题：如图，半径为 r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁 场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入 磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使
粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应 如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？ 解析：R=mv/Bq=5×102m>r 说明：半径确定时，通过的弧越 长，偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时，弦越长则弧越长。 sin = r/R = 37º，
h 2vt 4 3mv / qE
2
圆形磁场多次碰撞问题
圆形边界磁场知识讲解
B
·
O•1 R
x
r2R vqBr2qBR r
mm
qU 1 mv2 2
U 2qB2R2
600
r
O2
6．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小 孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。
圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大
小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点 射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内 壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
此时速度方向与y轴的夹角为300,P到O的距离为L,如图
所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy
平解:面上qv磁B场区m域v的2 半径LR. 3r
300 y
r
B mv 3mv qr qL
P Lr A
r
R2rco3s00 3L 3
0 vR
1． 如图所示，当滑动变阻器R3的滑片C向B方向移 动时，电路中各电表示数如何变化？（电表内阻对电 路的影响不计）
O’
y
v
y
P(x y)
v
oO• x
B
t 600 T12mm
3600 6 qB 3qB xRco6s00 1R 2
yRsin600 3R
x
2
P(1 R, 3 R)
22
2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从磁
场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子，对
这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是：
无损失）
B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒
碰撞从原孔射出，其运动轨迹具
有对称性．当发生最少碰撞次数
r
． R vO0
高考物理试题库 专题3.11 圆形边界磁场问题(基础篇)(解析版)
（选修3-1）第三部分磁场专题3.11 圆形边界磁场问题（基础篇）一．选择题1.（2019合肥三模）图示为一粒子速度选择器原理示意图。
半径为l0cm的圆柱形桶内有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.0×10-4T，方向平行于轴线向外，圆桶的某直径两端开有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，将以不同速度从另一个孔射出。
有一粒子源发射出速度连续分布、比荷为2.0×1011C/kg的带正电粒子，若某粒子出射的速度大小为×106m/s，粒子间相互作用及重力均不计，则该粒子的入射角θ为（）A. B. C. D.【参考答案】B【命题意图】本题以带电粒子射入圆形匀强磁场区域做匀速圆周运动为情景，考查洛伦兹力、牛顿运动定律及其相关知识点。
【解题思路】画出粒子在圆形匀强磁场区域运动轨迹，如图所示，由图中几何关系可得rcosθ=R，由洛伦兹力提供向心力，qvB=m2vr，q/m=2.0×1011C/kg，联立解得θ=45°，选项B正确。
【方法归纳】对于带电粒子在有界匀强磁场中的运动，首先根据题述情景画出带电粒子运动轨迹，根据几何关系得出轨迹半径r （或r 的表达式），然后利用洛伦兹力等于向心力列方程解答。
2.(多选)(2019·广东省惠州市模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 以速度v 垂直磁场正对着圆心O 射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q 、质量为m ，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )A ．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长B ．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心OC ．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN 上D ．只要速度满足v ＝qBR m ，入射的粒子出射后一定垂直打在MN 上【参考答案】 BD【名师解析】 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由t ＝θ2πT 知，运动时间t 越小，故A 错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B 正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN 上，与粒子的速度有关，故C 错误；速度满足v ＝qBR m 时，粒子的轨迹半径为r ＝mvqB ＝R ，入射点、出射点、O 点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在MN 板上，故D 正确．3．（6分）（2019湖北武汉武昌5月调研）如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界），两圆的半径分别为R 、3R ，圆心为O ．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO 方向以速度v 1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P 点射入的速度大小变为v 2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v 1：v 2至少为（ ）A．B．C．D．2【参考答案】B【命题意图】本题以带电粒子在圆环形磁场区域的运动为情景，意在考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点。
圆形磁场中的几个典型问题
圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
圆形边界磁场知识点总结
圆形边界磁场知识点总结磁场是指在空间中出现的一种物理现象，是由电荷运动所产生的基本物理场。
在工程和科学应用中，圆形边界磁场是一种常见的磁场形式，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将对圆形边界磁场的相关知识进行总结，包括其定义、性质、计算方法等方面，以便对圆形边界磁场有更深入的了解。
一、圆形边界磁场的定义圆形边界磁场是指由一个或多个电流元在圆形环路内产生的磁场。
在平面上，若电流I在半径为r的圆形环路上均匀分布，则在圆心的磁场大小可以用以下公式表示：\[ B = \frac{\mu_0 I}{2r} \]其中，B代表磁场强度，μ0代表真空磁导率, I代表磁场环路上的电流，r代表圆形环路的半径。
二、圆形边界磁场的性质1. 磁场方向圆形边界磁场有明确的磁场方向。
根据安培定则，磁场环路内部的磁场方向为环路的法向，指向环路内部；环路外部的磁场方向为环路的法向，指向环路外部。
2. 磁场大小圆形边界磁场的大小与环路的半径成反比，与环路上的电流成正比。
当环路的半径越大，磁场强度越小；当环路上的电流越大，磁场强度越大。
3. 磁场分布圆形边界磁场的分布是均匀的，即在圆形环路的内部，磁场大小和方向是均匀分布的。
4. 磁场叠加在多个圆形环路产生的磁场可以叠加。
根据叠加原理，多个圆形环路产生的磁场可以通过矢量合成得到总的磁场。
5. 磁场方向的变化圆形边界磁场的方向与环路上的电流方向有关。
根据右手定则，当电流方向与环路的法向方向相同时，环路内部的磁场方向指向环路内部；当电流方向与环路的法向方向相反时，环路内部的磁场方向指向环路外部。
三、圆形边界磁场的计算方法1. 定义电流元在计算圆形边界磁场时，先需要定义一个电流元，然后再将电流元叠加起来以得到总的磁场。
2. 利用比奥-萨伐尔定律计算磁场比奥-萨伐尔定律是用来计算电流元产生的磁场的公式，可以用来计算圆形边界磁场。
该定律表明，一个长直导线在某一点产生的磁场与该点到导线的距离成反比，与导线上的电流成正比。
带电粒子在圆形有界磁场中运动的两个重要结论
—
，
上）０
与粒子速度 大小无 关。
图２
ｑ Ｂ—
—
得 一一 ｑ Ｂｒ
ｒ
当粒 子速 度减小 为 ／ ３后 ， 根据 ｒ —ｑ ｍ Ｂ ｙ 一一
～ 呖中
（ ２ ） 质 子沿 ｚ轴 正 向射 人 磁 场 后 ， 在 磁 场 中运 动
的轨 道 半径 变 为 ｒ ／ ３ ， 粒子将从 Ｄ 点射出 ， 根据 图 ２
或
因
ｔ Ａ ｉ ： ： ＝ — Ｂ ２ ） ７ Ａ
—
Ａ ｘ— ｖ ａ ｔ
线圈 ， 质量 为 ｍ 的导 体棒 垂 直 跨 接在 导 轨 上 ， 整 个 装 置 处在 竖 直 向上 的 匀 强 磁 场 中 ， 磁 感 应 强 度 大 小 为 Ｂ。现 给导体 棒 一个 沿 导 轨方 向 的瞬 间 冲量 ， 使 之 立 刻 获 得速 度 ７ ３ 。 ， 则 此后 导 体棒 如何 运动 ？
Ｆ安一一Ｂ ｉ ２ 一 一旦
其 中 图１ 愚 一
一一ｋ
动生 电动 势最 大 ， 但 因线 圈产
生 的 自感 电动 势 阻 碍 电 流 的 增加 ， 故此 时 电流 ｉ 仍 为零 。
（ 常量 ）
这 是一 个很 有趣 的结 论 ， 它表 示 导体 棒 所做 的运
路 径 返 回 后 ， 再 射 人 磁 场 ， 在 磁 场 中 运 动 丢 个 圆 周 后 于 Ｙ轴且 沿 轴正 方 向离开 磁场 ， 然后 沿 轴 负方 向
象 限射 入 磁 场 时 ， 设 质 子
将从 Ａ 点 射 出磁 场 ， 如图 ４
质子 第二 次在 磁场 中运 动 的时 间为
，
。
一
所示 ， 其中 ０ 、 （ ） ２ 分 别 为 磁
圆形有界磁场中“磁聚焦”规律[有答案及解析]
![圆形有界磁场中“磁聚焦”规律[有答案及解析]](https://img.taocdn.com/s3/m/fc3c7e34700abb68a882fb02.png)
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
【典型题目练习】1. 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q,质量为m速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是( )A. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D. 只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2. 如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m, O e分别是ad 、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心0(为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。
一群不计重力、质量m=3< 10 -7 kg、电荷量q=+2x 10 -3C的带正电粒子以速度v=5x 102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是( )A.从Oc边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B. 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C. 从0c边射入的粒子，出射点分布在ab边D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为0(a, 0),圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E, —质量为m电荷量为+q (q>0)的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：(1)磁感应强度B的大小；(2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；(3)若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角0 =300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的(2)求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动?(3)为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x =2l o 上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场， 使得沿x 轴正方向射出电场的粒 子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之磁聚焦与磁发散
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之--磁聚焦与磁发散模型概述带电粒子在圆形有界匀强磁场中运动时，会出现一束平行粒子经磁场偏转后会聚于边界一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从边界一点向不同方向经磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。
等半径原理：圆形磁场半径与粒子运动半径相等时，会出现菱形，如下图所示。
当粒子入射方向指向磁场区域圆心，或粒子入射方向不指向磁场区域圆心，根据几何关系，易证明四边形AOCO'为菱形。
物理建模：模型：如图所示。
当圆形磁场区域半径R 与轨迹圆半径r 相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射入圆形磁场的粒子全部平行射出，出射方向与过入射点的磁场圆直径垂直(磁发散)；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且入射方向与过出射点的磁场圆直径垂直(磁聚焦)。
O A证明：如图所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。
图中AO、OC、CO'、O'A的长度均为R，故AOCO'为菱形。
由几何关系可知CO'∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。
反之也成立。
解题切入点：分析发现粒子轨道半径与磁场区域圆半径的关系，二者相等为磁聚焦或磁发散，否则不满足该关系，但满足怎么进入怎么出去的角度关系，借助几何关系解答。
【典例1】(磁聚焦)如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。
边界磁场二(圆形边界)
边界磁场（二）1、如图所示,长方形的长,宽,、分别是、的中点,以为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场),磁感应强度. 一群不计重力,质量,电荷量的带电粒子以速度沿垂直于方向且垂直于磁场区域射入,则( )A.从边射入的粒子,出射点全部分布在边B.从边射入的粒子,出射点全部分布在边 C.从边射入的粒子,出射点分布在边和边 D.从边射入的粒子,出射点分布在边和边2、如图所示,半径为的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为,方向垂直于纸面向外.一电荷量为、质量为的粒子沿平行于直径的方向射入磁场区域,射入点与的距离为.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为,则粒子的速率为(不计重力)( )A. B. C. D.3、如图所示,以为圆心的圆形区域内,存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。
磁场边界上的点有一粒子发射源,沿半径方向发射出速率不同的同种粒子(粒子重力不计),垂直进入磁场。
下列说法正确的是( )A.速率越大的粒子在磁场中运动的时间越长B.速率越大的粒子在磁场中运动的偏转角越小C.速率越大的粒子在磁场中运动的向心加速度越大D.速率越大的粒子在磁场中运动的角速度越大4、如图所示为一圆形区域的匀强磁场,在点处有一放射源,沿半径方向射出速度为的不同带电粒子,其中粒子1从点飞出磁场,粒子2从点飞出磁场.不考虑带电粒子的重力,则( )A.带电粒子1与2的比荷的比为B.带电粒子1与2的比荷的比为 C.带电粒子1与2在磁场中运动时间的比为 D.带电粒子1与2在磁场中运动时间的比为5、如图所示,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为,一带点粒子(不计重力)以某一初速度沿圆的直径方向射入磁场,粒子穿过此区域的时间为,粒子飞出此区域时速度方向偏转60°角,根据上述条件可求下列物理量中的( )A.带电粒子的比荷B.带电粒子的初速度C.带电粒子在磁场中运动的周期D.带电粒子在磁场中运动的半径6、在以坐标原点为圆心、半径为的圆形区域内,存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图所示。
高考物理试题库 专题3.11 圆形边界磁场问题(基础篇)(原卷版)
（选修3-1）第三部分 磁场专题3.11 圆形边界磁场问题（基础篇）一．选择题1.（2019合肥三模）图示为一粒子速度选择器原理示意图。
半径为l 0cm 的圆柱形桶内有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.0×10-4T ，方向平行于轴线向外，圆桶的某直径两端开有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，将以不同速度从另一个孔射出。
有一粒子源发射出速度连续分布、比荷为2.0×1011C/kg 的带正电粒子，若某粒子出射的速度大小为×106m/s ，粒子间相互作用及重力均不计，则该粒子的入射角θ为（ ）A. B. C. D.2.(多选)(2019·广东省惠州市模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 以速度v 垂直磁场正对着圆心O 射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q 、质量为m ，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )A ．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长B ．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心OC ．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN 上D ．只要速度满足v ＝qBR m，入射的粒子出射后一定垂直打在MN 上 3．（6分）（2019湖北武汉武昌5月调研）如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界），两圆的半径分别为R 、3R ，圆心为O ．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO 方向以速度v 1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1：v2至少为（）A．B．C．D．24.（2018金考卷）如图所示，在xOy坐标系中，以（r，0）为圆心的圆形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场。
2024届高考物理微专题：带电粒子在圆形边界磁场中的运动
微专题72带电粒子在圆形边界磁场中的运动1．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要将磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线、将轨迹圆圆心与两交点连线、将轨迹圆与磁场圆圆心连线.2.带电粒子进入圆形边界磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象.3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，将沿半径方向出射．1.如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.氦核(42He)和质子(11H)先后从A点沿AO的方向射入磁场，均从C点射出磁场，OA 与OC的夹角为106°.氦核(42He)的质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力，sin53°＝0.8，下列说法正确的是()A．质子与氦核在磁场中运动的时间相等B．质子在磁场中运动的时间是氦核的2倍C．氦核(42He)的速度大小为4qBR3mD．质子(11H)的速度大小为2qBR3m答案C解析作出质子(11H)和氦核(42He)在磁场中的运动轨迹，如图所示根据题意可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的圆心角相等，运动周期为T＝2πmqB，运动时间为t＝θ2πT，可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的时间之比为t1t2＝12，故A、B错误；对质子(11H)和氦核(42He)，根据几何关系可得tan53°＝rR，又q v B＝mv2r，可得氦核(42He)的速度大小为v 1＝4qBR 3m ，质子(11H)的速度大小为v 2＝8qBR3m，故C 正确，故D 错误．2.(多选)(2023·河北张家口市高三模拟)如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，AC 是圆的一条直径，D 为圆上一点，∠COD ＝60°.在A 点有一个粒子源，沿与AC 成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v 的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD 射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．则从A 点射出的粒子的比荷qm可能是()A.vBR B.3v 2BR C.3v BRD.3v 3BR答案AD解析带电粒子从C 点射出磁场时，轨迹如图所示由几何关系得sin 30°＝Rr 1，解得r 1＝2R ，带电粒子从D 点射出磁场时，轨迹如图所示，由几何关系得AODO 2是菱形，所以粒子的轨迹半径r 2＝R ，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r 2≤r ≤r 1，由洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r，解得从A 点射出的粒子的比荷满足v2BR ≤q m ≤vBR，故选A 、D.3.(多选)如图所示，半径为R 、圆心为O 的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a 点先后沿直径ac 和弦ab 方向射入磁场区域，ab 和ac 的夹角为30°，已知沿ac 方向射入的粒子刚好从b 点射出，沿ab 方向射入的粒子刚好从O 点正下方射出，不计粒子重力．则()A ．沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为RB ．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为(3＋1)RC ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1D ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为2－33答案BC解析沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图中轨迹1所示，由几何关系知其轨迹半径为r 1＝Rtan 30°＝3R ，故A 错误；沿ab 方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹2所示，根据几何关系可知，该粒子的轨迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r 2满足r 2sin 45°＝Rsin 15°，又sin 15°＝sin (45°－30°)，解得r 2＝(3＋1)R ，故B 正确；两粒子的质量和电荷量相同，根据T ＝2πmqB，可知在磁场中的运动周期相同，结合两粒子在磁场中的偏转角之比为2∶1，可知沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故C 正确；根据q v B ＝m v 2r ，可得v＝qBrm ，则沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为3－32，故D 错误．4.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小和方向不变的基础上，需将粒子的入射点向上平移的距离d 为()A.12RB.33RC.22R D.32R 答案B解析粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可得r ＝Rtan 30°，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．由图乙可知sin θ＝R r ，平移距离为d ＝R sin θ，解得d ＝33R ，故B 正确，A 、C 、D 错误．5.(多选)(2023·湖北省联考)如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等．圆心在(O ，R )，半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .磁场右侧有一长度为R ，平行于y 轴的光屏，其中心位于(2R ，R )．已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则()A ．粒子速度大小为qBR mB ．所有粒子均能垂直射在光屏上C ．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为2πm 3qBD ．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足45°≤θ≤135°答案AC解析由题意，初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qB v ＝m v 2r，r ＝R ，解得v ＝BqRm ，A 正确；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离原点的竖直高度最大值为2R ，并不会垂直打在光屏上，B 错误；如图甲，打在光屏上端的粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为23π，甲根据周期公式T ＝2πr v ，可得t ＝2π32πT ＝13T ＝2πm3Bq ，C 正确；粒子初速度方向与x 轴夹角为θ时，若能打在光屏下端，如图乙乙由几何关系可得圆心角为60°，即初速度与x 轴夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端时(如图甲)，初速度与x 轴夹角为θ2＝120°，D 错误．6.如图所示，第一象限内有一圆形边界匀强磁场(图中未画出)．一质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，以大小为v 的速度沿＋x 方向自磁场边界上的点P (L ,3L )射入，从点Q (L ,0)射出时速度方向与x 轴负方向成60°角，粒子重力不计．求：(1)磁感应强度的大小和方向；(2)圆形有界磁场的最小面积．答案(1)m v qL方向垂直于纸面向外(2)34πL 2解析(1)由于PQ 平行于y 轴，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ 上，由几何关系可得r ＋rcos 60°＝3L 由牛顿第二定律可得q v B ＝mv 2r联立解得B ＝m v qL由左手定则可得，磁感应强度的方向垂直于纸面向外．(2)设带电粒子从点F 飞出后经过Q 点，则以PF 为直径的圆形有界磁场的面积最小，设圆形磁场的最小半径为R ，由几何关系可得R ＝r sin 60°＝32L 则最小面积为S ＝πR 2＝34πL 2.7.如图所示，圆形区域有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，边界跟y 轴相切于坐标原点O .O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带正电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍.已知该带电粒子的质量为m 、电荷量为q ，不考虑带电粒子的重力．(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角．答案(1)m vqB(2)60°解析(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bq v＝m v2r，则r＝m vBq.(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图甲所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，如图乙所示，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin φmax2＝Rr＝12，即φmax＝60°.8.如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径未知．内圆有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；内圆与外圆之间的环状区域内的匀强磁场垂直纸面向里，大小也为B.在内圆边界上有一粒子源S，所发出的粒子质量为m，电荷量为＋q，速度大小为v0.内圆边界上无磁场，外圆边界上存在磁场．不计粒子重力，求：(1)若粒子源在纸面内向各个方向发射粒子，为了让粒子约束在外圆内运动，则外圆半径至少为多大？(2)若发出的粒子初速度方向沿半径背离圆心．粒子运动了一段时间再次经过S，则v0应该满足什么条件(写出v0与m、q、B、R之间的关系)?(3)在满足(2)问的条件下，粒子相邻两次经过S 处的时间是多少？答案(1)R ＋2m v 0qB(2)v 0＝qBR m tan πn(n ≥3，且取整数)(3)见解析解析(1)粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，q v 0B ＝m v 02r解得r ＝m v 0qB当粒子轨迹与外圆内切时外圆半径最小，如图由图中几何关系得，外圆半径R 1＝R ＋2r 故外圆半径至少为R 1＝R ＋2m v 0qB(2)经分析得，带电粒子运动轨迹将内圆均分成n 段圆弧(n ≥3，且取整数)，如图由图中几何关系得θ＝2π2n ＝πn且tan θ＝r R故tan πn ＝m v 0qBR(n ≥3，且取整数)则v 0应满足：v 0＝qBR m tan πn (n ≥3，且取整数)(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ＝2πr v 0＝2πmqB 粒子相邻两次经过内圆，在内圆外运动的时间t 1＝2π－ π－2θ 2πT ＝π＋2θ mqB 粒子相邻两次经过内圆，在内圆内运动的时间t 2＝π－2θ2πT ＝ π－2θ m qB 当(2)中n 为奇数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝ n －1 2(t 1＋t 2)＋t 1＝ n 2＋2 πmnqB(n ≥3，且取奇数)当(2)中n 为偶数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝n 2(t 1＋t 2)＝n πmqB(n ≥3，且取偶数)．。
高考物理专题复习-9.磁场6 圆形边界磁场问题(解析版)
高考物理专题复习－9.6 圆形边界磁场问题（解析版）一．选择题1（2018金考卷）.如图所示，在xOy坐标系中，以（r，0）为圆心的圆形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场。
在xOy平面内，从O点以相同速率、沿不同方向向第一象限发射质子，且质子在磁场中运动的半径也为r。
不计质子所受重力及质子间的相互作用力。
则质子A．在电场中运动的路程均相等B．最终离开磁场时的速度方向均沿x轴正方向C．在磁场中运动的总时间均相等D．从进入磁场到最后离开磁场过程的总路程均相等【参考答案】AC【命题意图】本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动和在匀强电场中的运动及其相关的知识点。
【解题思路】根据题述圆形磁场的半径与质子在磁场中运动的半径相同，从O点以相同的速率沿不同方向向第一象限发射质子，质子经过磁场偏转后以相同的速率平行于y轴射出做减速运动，速度减小到零后反向加速后进入磁场，根据动能定理，在电场中运动的路程均相等，选项A正确；通过分析可知，质子最终离开磁场时的速度方向均与原来进入磁场时速度方向相同，选项B错误；由于带电粒子在磁场中两次运动轨迹虽然不同，但是两次轨迹所对的圆心角之和相同，两次运动的轨迹长度之和相等，所以带电粒子在磁场中运动的总时间相等，选项C正确；带电粒子在电场中运动时间相等，在磁场区域运动时间相等，由于磁场区域与电场区域之间有非场区，所以质子从进入磁场区域到离开磁场区域的过程中的总路程不相等，选项D错误。
2.（2018云南昭通五校联考）如图，在半径为R=mv0/q B的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B；圆形区域右侧有一竖直感光板MN．带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面进入磁场，已知粒子质量为m，电量为q，粒子重力不计．若粒子对准圆心射入，则下列说法中正确的是( )A．粒子一定沿半径方向射出B．粒子在磁场中运动的时间为πm/2q BC．若粒子速率变为2v0，穿出磁场后一定垂直打到感光板MN上D．粒子以速度v0从P点以任意方向射入磁场，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上【参考答案】ABD轨迹圆弧对应的圆心角为故运动时间为：t=T/4，T=，所以t=πm/2q B，B正确；若粒子速率变为2v0，则轨道半径变为2R，运动轨迹如图：故不是垂直打到感光板MN上，故C错误；当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R．设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如图所示．因P O3=O3S=PO=SO=R所以四边形POSO3为菱形，由图可知：PO∥O3S，v3⊥SO3，因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关．故D正确；故选：ABD．3．如图所示，在一个圆环内的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（磁场未画出），圆环逆时针转动并在环上开有一个小缺口，一带正电的粒子从小缺口沿直径方向进入圆环内部，且与圆环没有发生碰撞，最后从小缺口处离开磁场区域，已知粒子的比荷为k，磁场的磁感应强度大小为B，圆环的半径为R，粒子进入磁场时的速度为，不计粒子的重力，则圆环转动的角度A. kBB. 3kBC. 5kBD. 7kB【参考答案】AC【名师解析】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，故，粒子将圆环区域内运动四分之一周期离开磁场，粒子运动的时间为，在这段时间内，圆环转过的角度为，根据可得，故AC正确，BD错误；故选AC。
带电粒子在圆形磁场区域运动规律
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。
最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。
对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。
规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。
规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。
以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =2121at L =，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为0v at v y ==，1tan 0==v v y α 故045=α，粒子在磁场中的速度为02v v =，应用规律二，圆心角为：0902=α，画出的轨迹如图2所示，由rm v Bqv 2=，由几何关系得L r 2=得：2v B E = （2）在磁场中运动的周期vrT π2=粒子在磁场中运动时间为02241v L T t π==图2图1得412π=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。
用好对称性解决圆形边界磁场问题
天空飘来５个物理冷知识 天空中的云，实际上就是“水”，可能是以液态（小水滴）或者固态（小冰晶）的形式存在。
１５ 熟练使用连心线，平分对称关系现。
用好对称性解决圆形边界磁场问题 河北 牛红标 圆形边界磁场问题是带电粒子在磁场中偏转的一个难点，很多同学由于抓不住要害，经常不能迅速准确地做出相关几何图形，找不出对应的几何关系而导致解题失败，其实若能够熟练掌握以下几何关系，便能顺利解决问题。
有关数学几何知识：对于圆形边界磁场中的偏转问题，通常涉及的是两个圆的相交关系，一个为边界圆，一个为轨迹圆，如果做出这两个圆的连心线（两个圆心的连线），可以看出，这两个圆的几何关系是关于这条连心线对称平分，设这两个圆的半径分别为Ｒ和ｒ，两个圆的公共弦长为ｄ，与公共弦对应的圆心角分别为θ和α，如图１所示，连心线将两个圆心角对称平分，且满足以下几何关系：ｄ＝２ｒｓｉｎα２＝２Ｒｓｉｎθ２ｒｓｉｎθ２＝Ｒｓｉｎα２当两个半径相互垂直时（对应粒子沿半径方向射入圆形磁场的情况），ｔａｎα２＝Ｒｒ，若Ｒ一定，ｒ越大，α角越小。
图１图２当ｒ＜Ｒ时，根据两个圆的位置关系，公共弦的最大值为ｄ＝２ｒ，如图２，θ角有最大值，θｍａｘ＝２ａｒｃｓｉｎｒＲ。
如果对以上几何知识掌握得很熟练，有关圆形磁场中偏转问题的几何关系就比较容易得到，下面引证一些实例。
一、对心入射问题当带电粒子沿半径方向（即对着圆心）进入圆形边界的磁场时，满足以上几何关系中两个半径相互垂直的情形，再根据关于连心线对称，粒子离开磁场时一定沿半径方向，即背离圆心射出，两个半径满足正切关系。
【例１】如图３所示，电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过加速电场后，进入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于圆面。
不加磁场时，电子束将通过磁场中心Ｏ点而打到屏幕上的中心Ｍ点，加磁场后电子束偏转到Ｐ点外侧。
现要使电子束偏转回到Ｐ点，可行的办法是（ ）图３Ａ．增大加速电压Ｂ．增加偏转磁场的磁感应强度Ｃ．将圆形磁场区域向屏幕靠近些Ｄ．将圆形磁场的半径增大些【分析】本题中带电粒子沿半径方向进入磁场，属于典型的两个半径相互垂直的相交圆问题。
圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律操练之青柳念文创作当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场鸿沟上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示.规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场鸿沟上的同一点射出，而且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示.【典型题目操练】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不思索粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后都可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线纷歧定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度知足qBR，沿分歧方向入射的粒子出射后都vm可垂直打在MN上2．如图所示，长方形abed的长ad=，宽ab=，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(鸿沟上无磁场)磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列断定正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子分开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变成沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终分开磁场的总时间t.4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=−2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向.在电场左鸿沟从A（−2l0，−l0）点到C（−2l0，0）点区域内，持续分布着电量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起，A点到C点间的粒子依次持续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场.从A点射入的粒子恰好从y轴上的A （0，−l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示.不计粒子的重力及它们间的相互作用.（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小.（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场鸿沟的一个交点.则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（2y x x=-+-，100.025单位：m）和直线DH（0.425=-，单位：m）构成的区域中，y x存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T.现有大量质量m=1×10-6 kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4 C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间.（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子颠末x轴时速度方向均与x轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会颠末y轴上的同一点，并求出该点坐标.6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ.电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，其下鸿沟在x轴上，右鸿沟刚好与区域Ⅱ的鸿沟相切；区域Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，其上鸿沟在x轴上，左鸿沟刚好与刚好与区域Ⅳ的鸿沟相切.磁场的磁感应强度大小均为22mE qL ，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，2L ）、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，2L -）、磁场方向垂直于xOy 平面向里.两个质量均为m 、电荷量均为q 的带正电粒子M 、N ，在外力约束下运动在坐标为（32L -，2L ）、（32L -，234L +）的两点.在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面.将粒子M 、N 由运动释放，它们最终打在感光板上并当即被吸收.不计粒子的重力.求：（1）粒子分开电场Ⅰ时的速度大小.（2）粒子M 击中感光板的位置坐标.（3）粒子N 在磁场中运动的时间.7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x 轴上，OO1间隔等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1.虚线MN 平行x 轴且与半圆相切于P 点.在MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E ，方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为B2.B1，B2方向均垂直纸面，方向如图所示.有一群相同的正粒子，以相同的速率沿分歧方向从原点O 射入第I 象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子颠末P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m ，电荷量为q （粒子重力不计）.求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径.（2）若撤去磁场B2，则颠末P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标.（3）试证明：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动.8．如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0×10−3T ，方向垂直于纸面向里，在x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C，在x=2m 处有一垂直x 方向的足够长的荧光屏，从O 点处向分歧方向发射出速率相同的比荷91.010/q C kg m=⨯带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内.一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子M ，恰能从磁场与电场的相切处进入电场.不计重力及阻力的作用.求：（1）粒子M 进入电场时的速度.（2）速度方向与y 轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N ，最后打到荧光屏上,画出粒子N 的运动轨迹并求该发光点的位置坐标.9．如图甲所示,质量m=8.0×10−25kg ，电荷量q=1.6×10−15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向分歧，但大小均为v0=2.0×107m/s.现在某一区域内加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上,而且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置坚持不变.(π=3.14)求：（1）粒子从y 轴穿过的范围.（2）荧光屏上光斑的长度.（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差.（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线暗示）.参考答案1．当v⊥B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为mv R qB =、2m T qBπ=的匀速圆周运动；只要速度知足qBR v m=时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，分歧方向入射的粒子出射后都可垂直打在MN 上，选项D 正确.2．由0.3mv R m qB==知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa 入射的粒子，出射点一定在b 点；从Od 入射的粒子，颠末四分之一圆周后到达be ，由于鸿沟无磁场，将沿be 做匀速直线运动到达b 点；选项D 正确.3．解析：（1）当粒子速度沿x 轴方向入射，从A 点射出磁场时，几何关系知：r=a ；由2v qvB m r =知：mv mv B qr qa == （2）从A 点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：2x Eq v a m= 沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；∴粒子分开第一象限时速度与y 轴的夹角：202tan xy v Eqa v mv θ== （3）粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P 点的出射方向与OO1平行，即与y 轴平行；轨迹如图所示；∴粒子从O 到P 所对应的圆心角为θ1=600，粒子从O 到P 用时：163T a t vπ==. 由几何知识可知，粒子由P 点到x 轴的间隔13sin 2S a a θ==； 粒子在电场中做匀变速运动的时间：22mv t Eq=； 粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：32()(23)a S a t v v--==； 粒子由P 点第2次进入磁场，从Q 点射出，ＰO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q 点在x 轴上，即为（2a ，0）点；粒子由P 到Q 所对应的圆心角θ2=1200，粒子从P 到Q 用时：4233T a t v π==；∴粒子从射入磁场到最终分开磁场的总时间：12342amv t t t t t v Eqπ=+++=+. 4．解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有002l t v =从A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知201()22Eq t l m = 解得2002082ml mv E qt ql == （2）设距C 点为y ∆处入射的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，第一次达x 轴用时t ∆，有水平方向0x v t ∆=∆ 竖直方向21()2qE y t m∆=∆ 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x 轴正方向，有022l n x=⋅∆（n =1，2，3，…） 解得：2002201()2qE l l y n m v n ∆== 即在A 、C 间入射的粒子通过电场后沿x 轴正方向的y 坐标为021y l n=-（n =1，2，3，…） （3）当n=1时，粒子射出的坐标为10y l =当n=2时，粒子射出的坐标为2014y l =- 当n≥3时，沿x 轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的间隔为12054L y y l =-=； 则磁场的最小半径为0528L l R == 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形，由200mv qv B R = 得：0085mv B ql =5．解析：（1）由211v qvB m R =知：110.1mv R m B == （2）考查从A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K 点分开磁场，O1和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO2K 为菱形，分开磁场时速度垂直于O2K ，即垂直于x 轴，得证.（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x ，y1）,分开电场时的坐标为（x ，y2）,分开电场时速度为v2；在电场中运动过程，动能定理：2221211()22Eq y y mv mv -=- 其中21100.0025y x x =-+-，20.425y x =- 解得v2=100x在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2，有22222v qv B m R =解得R2=x 因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y 轴上；又因v2的方向与DH 成45º，且直线HD 与y 轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好颠末四分之一圆周后刚好到达H 处，H 点坐标为（0，–0.425）.6．解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得2012EqL mv = 解得02EqL v m =（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有200v qv B mr=，又有22mE B qL=，解得02mvL r qB==因M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M 在磁场Ⅲ中运动四分之一个周期后颠末原点进入磁场Ⅳ，再运动四分之一个周期后平行于x 轴正方向分开磁场，进入电场Ⅱ后做类平抛运动.假设M 射出电场后再打在x 轴的感光板上，则 M 在电场Ⅱ中运动的的时间0Lt v =（1分）沿电场方向的位移22011()2242Eq L L L y at m v ==⨯⨯=<（2分）假设成立，运动轨迹如图所示.沿电场方向的速度2yqELv at m== 速度的偏向角01tan 2y v v θ== 设射出电场Ⅱ后沿x 轴方向的位移x1，有124tan 2L L L x θ-== M 击中感光板的横坐标122L x L x L =++=，位置坐标为（2L ，0） （1分）（3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N 将从b 点进入磁场Ⅲ，从原点O 分开磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ，然后从d 点分开磁场Ⅳ，沿水平方向进入电场Ⅱ.轨迹如图.在磁场Ⅲ中，由几何关系334cos 22LL θ==则θ=300，圆弧对应的圆心角φ=1800−300=1500粒子在磁场中运动的周期222L mLT v qEππ⨯== 粒子在磁场Ⅲ中运动的时间105360122mLtT qEϕπ== 由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等； 故粒子在磁场中运动的时间15262mLt tqEπ==7．解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有02Eq qv B =解得02EvB =粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有2001v qv B m R=解得0112mvmER qB qB B ==由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即12mER qB B =（2）撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速212Eq R t m =竖直方向匀速0221222E mR mEy v t B Eq qB B B === 从y 轴出电场的坐标为0211212()mE y y R v t qB B B B '=+==+（3）证明：设从O 点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与x 轴成θ角，粒子出B1磁场与半圆磁场鸿沟交于Q 点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q 四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q 与OO1平行.所以从Q 点出磁场速度与O2Q 垂直，即与x 轴垂直，所以垂直进入MN 鸿沟.进入正交电磁场E 、B2中都有02Eq qv B =故做直线运动.8．解析：（1）由沿y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m.粒子M在磁场中匀速圆周运动有：2v qvB m R=解得6110/qBR v m s m==⨯（2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N 在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示.在电场中运动的加速度大小1221.510/Eqa m s m==⨯ 穿出电场的竖直速度57.510/y L v at a m s v===⨯速度的偏转角tan 0.75y v vα==在磁场中从P 点穿出时距O 点的竖直间隔11.50.75yr m ∆==在电场中运动沿电场方向的间隔22211()0.187522Eq L y at m m v∆===射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上3()tan 0.75y x r L m α∆=--=最好达到荧光屏上的竖直坐标123()0.1875y yy y m =∆-∆+∆=-故发光点的位置坐标（2m ，−0.1875m ） 9．解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有2v qvB mR=解得0.1mvR m qB== 当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置坚持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m ；且圆形磁场的圆心在y 轴上O 点正上方，如图所示的O1点.（1）初速度沿y 轴正方向的粒子直接从原点穿过y 轴；初速度与x 轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则∠OO2B=1500；设此粒子从y 轴上的A 点穿过y 轴，由几何关系知∠OAO2=300，则有02cos303OA R R ==.粒子从y 轴穿过的范围为0~3R .（2）初速度沿y 轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P 点，有PyR =；初速度与x 轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所示，打在光屏上的Q 点，有03s 602Q y R R in R R =+=+；荧光屏上光斑的长度Q P l y y =-== （3）粒子在磁场中运动的周期8210m T s qBππ-==⨯打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间815111012466t T T T s π-∆=-==⨯ 打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间8211024R t s v -∆==⨯ 打到最高点和最低点的粒子运动的时差间89121()107.71064t t t s s π--∆=∆+∆=+⨯=⨯（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B 到C 的鸿沟无磁场分布.。
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圆形边界磁场
1.在圆形有界匀强磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。
2.磁场圆与轨迹圆公共弦最长时等于其中一个的直径。
3.轨迹圆半径等于（匀强）磁场圆半径的粒子会平行离开磁场。
圆形边界磁场运动的特点：
带电粒子在有界匀强磁场中做不完整的圆周运动，由于磁场区域边界可能是圆形的、三角形的、矩形的等各种几何形状及粒子射入的速度不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹﹑偏转角度、运动时间等各不相同，这成为学生学习的一个难点。