四色定理的证明范文

四色定理的证明范文

一、四色问题的简介

根据网络上的一些内容，可知：

四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？

在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。

在四色问题中

假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。

假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。

假设没有飞地，国土连通。飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。

假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。

假设国家的数量有限，不是无限多。

假设国家的形状任意。这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬

如像麋鹿的剪影：

在四色问题中

需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内

外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例

如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的

相邻情况，等等。

需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进

来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。

二、四色定理的证明

一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。

令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。运动时间随机，但是不能过长或过短。运动中，颜色相同的点相遇后就粘结在一起，形成

色斑、色块。运动结束后，那些零星零散的足够小的色点色斑被吸附，被

改色，融入附近的色块。这样一来，这个平面或球面就被分割成红黄蓝三

色的若干色块，其中相邻的色块肯定颜色不同，也就是构造出了三色地图。

上述的过程可以反复进行，无限进行，就构造出了三色地图的无限丰

富的素材库、成品库。

同样，随机选择红黄蓝绿四种颜色，就构造出了四色地图及其无限丰

富的素材库、成品库。

同样，随机选择赤橙黄绿青五种色，就构造出了五色地图及其无限丰

富的素材库、成品库。

已知三色不够用，三色地图仅是特例之类，已知五色够用，那么四色

是够用还是不够用呢？

如果任一五色地图可以改涂成四色，就证明四色有充分的可行性。

如果任一地图不需要用五种及更多颜色来上色，就证明四色够用。

将任一五色地图（赤橙黄绿青），改涂成四色地图（红黄蓝绿），这

有充分的可行性吗？

首先，可以将五色地图中的橙黄绿青改涂成白色，赤色保持不变，各

国的国界保持不变。

那么这些赤色之间没有相邻，

那么这些白色只有二种可能：与一个或多个赤色有相邻，或者无相邻。

如果一个白色与赤色没有相邻，那就把它再改涂成赤色。多个白色相

连与赤色没有相邻，就从中选择一个或多个，改成赤色。

总之，就是说，用赤色和白色给所有国家上色，使得任一白色与一个

或多个赤色有相邻，使得赤色之间没有相邻，使得赤色尽量的多，使得赤

色及其白色邻国涵盖所有的国家，其中，赤色的都是独立一国，白色的是

多国共用白色。

此时就任一赤色来看，它的邻国全是白色。假设这些白色邻国多于四

个（或者一个，二个，或三、四个等）。

那么从这些白色邻国中任意抽取四个则没有两两相邻。假若有，一定

能再次改涂，将其中一个改涂成赤色。

也就是说，任意抽取、反复抽取四个白色邻国，它们顶多使用三色即可。除非它们两两相邻，才需要四色。

此时就任一赤色来看，它的邻国全是白色。假设这些白色邻国多于四

个（或者一个，二个，或三、四个等）。

那么从这些白色邻国中任意抽取三个，与这一赤色之间要么有两两相邻，要么没有。

也就是说，任意抽取、反复抽取三个白色邻国，它们与赤色用四色即可。

此时就任一白色来看，它的邻国是白色和赤色。假设这些邻国多于四

个（或者一个，二个，或三、四个等）。

此时这一白色的邻国，可能分属多个赤色圈子。多个赤色圈子中的赤

白二色的若干个国家是这一白色的邻国。

那么从这一白色和其白色邻国来看，顶多三色就可以进行改涂。

那么从这一白色和其赤白邻国来看，顶多四色就可以进行改涂。

以上也就是说，任一五色地图进行改涂的话，任一地图进行上色的话，顶多使用四色即可。亦即，四色具备充分可行性。

在这里，如何上色就不讨论了，能否上色成功也不讨论了。不需要讨论，可以不进行讨论。

综上可得：

由于四色具备了充分可行性，

由于四色地图具备了存在性，

由于四色地图的素材库、成品库具备了无限丰富性，

那么针对平面或球面上的任一地图来说，四色总是够用，总是可以上

色成功。

证毕。

三、一些说明

上述的证明过程是这样：

1，论证任一赤橙黄绿青的五色地图（或者尚未上色的任一地图），

能够暂时改涂为赤白二色。

2，论证任一赤白二色的地图，顶多需要四色来做终极改涂。这证明

了四色有充分的可行性，但是还没有证明必定上色成功。

3，论证四色地图有存在性，且有无限的丰富性，从而证明了四色有

充分的可行性，并且还具有上色成功的必然性。

4，得证。

两两相邻的国家不会有五个，大家知道这个结论很关键，可是这个已

经被证明的结论不能直接证明四色定理，需要找出一些关键的东西之后，

才能够拿着去证明四色定理。如何拿着它去证明四色定理呢？这里的做法，是先把任一地图用赤白二色来上色，进而展示出地图上任何一个地方不会

超出四色。此时还没有得出证明，引入四色地图的存在性和无限丰富性，

就得证了。