考研数学行列式题解题步骤

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考研数学行列式计算方法大放送

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行列式的计算方法有很多种，主要包括代数法、行列代数法以及矩阵分析法等，其中代数法是最常用的计算方法。

一、代数法
根据行列式的定义，任何行列式都可以用其子式的乘积来表示，即行列式的值等于其子式的乘积。

计算方法：
1.等式两边同时乘以行列式除子式的值。

2.将乘出来的结果写成等值式。

3.继续乘积，直到结果显示出来。

例1：求A=
123
456
789
的行列式的值。

A=1*(5*9-6*8)-2*(4*9-6*7)+3*(4*8-5*7)
=1*45-2*36+3*32=0
例2：求B=
3786
2043
1683
2451
的行列式的值。

B=3*(0*(8*1-3*5)-7*(4*1-3*2)+8*(4*5-1*2))-6*(2*(8*1-3*5)-
4*(4*1-3*2)+3*(4*5-1*2))
=3*(-48-112+80)-6*(-24-48+60)=468
二、行列代数法
行列代数法也叫列代数的高斯消去法，是可以直接求出行列式的值的一种计算方法。

计算方法：
1.将原行列式以及左边的数字用矩阵表示出来，以便计算。

2.将矩阵的第一行与其它行进行比较后，得到一个新的矩阵（称为变换矩阵），将该变换矩阵乘以原矩阵，得到一个新的矩阵。

3.将新矩阵的第二行与其它行进行比较后，得到一个变换矩阵，将该变换矩阵再乘以原矩阵，得到一个新的矩阵。

线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,11000000000000000(1)n n n n nn n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D=分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。

解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。

历年行列式考研真题精选

关于行列式的计算方法总结行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样。

行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式。

本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结。

一、利用基本性质计算1.（1999数二（5）题）记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为)(x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为（） .1)(A .2)(B .3)(C .4)(D求解：347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f373422133101221012----------=x xx x x x671212212673412133001220012------=--------=x x x x x x x x x x)1(5)12)(5)((5512121-=+---=----=x x x x x x x故0)1(5)(=-=x x x f 有两个根，故应选)(B .原行列式中各元素的特点，（均是x 的一次多项式，且除33a ，43a 外，其余x 的系数均有规律。

）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。

2.（1996数一（2）题）四阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于（）.)(43214321b b b b a a a a A - .)(43214321b b b b a a a a B + ).)()((43432121b b a a b b a a C -- ).)()((41413232b b a a b b a a D --求解：原式33224133224143322143322100000a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a -=-=))((41413232b b a a b b a a --=。

2023考研数学复习资料：计算行列式方法5,加边法

2023考研数学复习资料：计算行列式方法5,加边法1500字计算行列式是数学中常见的一种运算。

在高等数学中，行列式的计算是一个重要的内容，也是很多其他数学理论和方法的基础。

下面，将为你介绍一种行列式的计算方法——加边法。

加边法是一种简便快速计算行列式的方法。

该方法的基本思想是利用原始行列式进行变形，通过“加边”得到新的行列式，从而实现行列式的简化。

下面，将通过一个例子来详细介绍这种方法的步骤。

假设我们要计算一个3阶行列式：$$D = \\begin{vmatrix}a &b & c\\\\d &e & f\\\\g & h & i\\end{vmatrix}$$首先，写出原始行列式的形式，并加边：$$D = \\begin{vmatrix}a &b &c & a & b & c\\\\d &e &f & d & e & f\\\\g & h & i & g & h & i\\end{vmatrix}$$接下来，我们按照加边的思路，对新的行列式进行处理。

我们将新的行列式中的每一列按照原来的顺序分为两个部分，上半部分是原来的行列式，下半部分是复制的原行列式。

然后，我们对新的行列式进行展开。

注意到新行列式中每一列的数据都是相同的，所以行列式的值应该是确定的。

展开后的行列式为：$$\\begin{vmatrix}a &b &c & a & b & c\\\\d &e &f & d & e & f\\\\g & h & i & g& h & i\\end{vmatrix} = (a \\cdot e \\cdot i + b \\cdot f \\cdot g + c \\cdot d \\cdot h) + (g \\cdot e \\cdot c + h \\cdot f \\cdot a + i \\cdot d \\cdot b) - (i \\cdot e \\cdot c + h \\cdot d \\cdot a + g \\cdot f \\cdot b) - (a \\cdot f \\cdot g + b \\cdot d \\cdot i + c \\cdot e \\cdot h) - (g \\cdot d \\cdot h + h \\cdot e \\cdot i + i \\cdot f \\cdot g) + (c \\cdot f \\cdot i + b \\cdot e \\cdot g + a \\cdot d \\cdot h)$$最后，我们将展开后的行列式进行化简，得到最终的结果。

行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法
行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等多个应用。

而行列式的计算方法也有很多种，接下来我们将分别介绍一些常用的行列式计算方法。

1. 代数余子式法：
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法，它的基本思想是通过对矩阵中的元素进行操作来求解行列式的值。

具体步骤如下：
（1）选择矩阵中的一行或一列，以此为基准，生成n个n-1阶矩阵。

（2）计算每个n-1阶矩阵的行列式值，即代数余子式。

（3）将每个代数余子式与对应元素乘积后，加减交替求和。

3. 递推法：
递推法是通过将行列式的计算问题逐步转化为较小行列式的计算问题来求解行列式的方法。

具体步骤如下：
（1）从矩阵的最后一行开始，计算该行的每个元素与其代数余子式的乘积，并乘以相应的正负号。

（2）将每个乘积累加得到最后一行的元素的求和值。

（3）通过将最后一行的求和值代入到后一行的计算中，逐步递归计算行列式的值。

（4）最后得到行列式的值。

除了以上介绍的几种方法外，还有基于矩阵的性质和变换的方法、基于行列式的性质和变换的方法等。

通过灵活运用这些方法，我们可以有效地计算行列式的值，解决实际问题。

考研数学解题宝典重要公式及解题技巧

考研数学解题宝典重要公式及解题技巧数学在考研中占据着非常重要的地位，作为考试科目之一，数学的解题技巧和重要公式的掌握都对考生的成绩起着至关重要的作用。

本文将介绍一些考研数学解题宝典中的重要公式及解题技巧，帮助考生更好地备考。

一、线性代数1. 行列式的性质- 若行列式的两行（或两列）互换，行列式变号。

- 若行列式中某行（或某列）元素全为0，则行列式的值为0。

- 若行列式两行（或两列）成比例，则行列式的值为0。

- 若行列式两行（或两列）有相同的元素，则行列式的值为0。

- 行列式的某一行（或某一列）的元素都乘以同一个数，行列式的值也乘以这个数。

2. 矩阵的基本运算法则- 两个矩阵的和（或差）的行数、列数相等，相应元素相加（或相减）。

- 两个矩阵相乘，第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数，乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

3. 线性方程组的解法- 初等变换法。

通过初等行变换或初等列变换将线性方程组化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，进一步求得解。

- 矩阵法。

使用矩阵表示线性方程组，通过矩阵运算求得方程组的解。

- Cramer法则。

若线性方程组的系数行列式不为0，可以使用克拉默法则求得方程组的解。

二、概率论与数理统计1. 基本概率公式- 事件的概率为其样本点的概率之和。

- 若A、B为互不相容事件，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。

- 若A、B为任意两事件，则P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

2. 排列组合公式- 排列公式：A(n, m) = n!/(n-m)!- 组合公式：C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)3. 概率分布函数- 二项分布：P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)- 正态分布：P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)三、数学分析1. 一元函数求导公式- 基本导函数：(常数函数)' = 0, (x^n)' = nx^(n-1)- 三角函数导函数：(sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, (tanx)' = sec^2x 2. 一元函数的极限公式- 无穷小量的性质：lim(x→0) sinx/x = 1, lim(x→∞) (1+1/x)^x = e 3. 一元函数的级数展开公式- 泰勒级数：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...四、高等代数1. 矩阵运算公式- 矩阵转置：(A^T)^T = A- 矩阵加法交换律：A + B = B + A- 矩阵数乘结合律：k(A + B) = kA + kB2. 矩阵的特征值与特征向量公式- 矩阵A的特征方程：det(A-λI) = 0- 矩阵A的特征值：满足特征方程的λ值- 矩阵A的特征向量：Ax = λx，x为非零向量3. 矩阵的对角化与相似矩阵公式- 若矩阵A与对角矩阵D相似，则存在可逆矩阵P，使得D = P^-1AP五、常微分方程1. 一阶线性微分方程公式- 可分离变量的微分方程：dy/dx = g(x)f(y)- 齐次方程的解法：dy/dx = g(y)/f(x)2. 高阶常系数线性微分方程公式- 齐次线性微分方程的解法：a_ny^n + a_(n-1)y^(n-1) + ... + a_1y' + a_0y = 0- 特解的叠加原理：若y_1, y_2, ..., y_n是对应于非齐次线性方程的解，y_c是对应于齐次线性方程的解，那么通解为y = y_c + y_p六、数值分析1. 数值求根方法- 二分法：f(x)在[a, b]上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x) = 0在[a, b]上有解。

行列式的求解方法

行列式的求解方法行列式是线性代数中的重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。

行列式的求解方法有很多，接下来将介绍一些常见的求解方法。

1. 二阶和三阶行列式的求解：对于二阶行列式：$D = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$对于三阶行列式：$D = \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$这种求解方法适用于二阶和三阶行列式，其实质是按照一定的规律对行列式进行展开计算。

2. 扩展行列式法：对于n阶行列式的求解，可以利用扩展行列式法逐步缩小求解规模。

首先选择行列式中的某一行或者某一列，将其展开并作为公因子，得到n个n-1阶的代数余子式。

然后，对每个n-1阶代数余子式再次进行类似的展开操作，得到n-1个n-2阶的代数余子式。

如此循环递归，直到求得1阶行列式，即可得到n阶行列式的解。

例如，对于4阶行列式：$D = \begin{vmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix}$，选择第一行进行展开，得到：$D = a \begin{vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p\end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o& p \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m& n & p \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} e & f & g \\ i & j & k\\ m & n & o \end{vmatrix}$然后，对每个3阶代数余子式再次进行展开，最终得到4阶行列式的解。

行列式的计算方法和技巧大总结

行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。

以下是行列式计算方法和技巧的大总结。

1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。

2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。

3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。

行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。

当进行行变换时，行列式的值保持不变。

4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。

5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。

展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。

6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。

这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。

7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。

克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。

具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。

8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。

具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。

考研线性代数解题方法汇总(非知识点汇总)

考研线性代数解题方法汇总（非知识点汇总）行列式的计算消零化基本形法•思想：通过恒等变形变为基本形求解•恒等变形o消零化▪当列/行元素大致相同时，用第一行倍加▪当列/行元素具有递推性质时，用i行倍加i+1行▪相同优先o互换▪变为分块对角矩阵▪变换主/副对角线（变换次数为(n-1)n/2）o展开定理•常见行列式形状o爪形行列式o行和相等行列式▪求法▪1、所有元素向第一列求和▪2、提出第一列公因式▪3、将第一列归零化，视情况采用相应方法加边法•使用场景：无法通过互换、倍加、倍乘化简的行列式•使用方法：每列元素都含有同一参数的项，且该项系数（可以是其他参数）具有规律性数学归纳法与递推法•使用场景：具有递推性质的n阶行列式的证明•第一类归纳法o1、验证n=1时成立o2、假设n=k时成立o3、证明n=k+1时成立•第二类归纳法o1、验证n=1、n=2时成立o2、假设n<k时成立o3、证明n=k时成立•常见行列式形状o三主对角线行列式▪行和相等▪行和不相等用范德蒙德行列式行列式形式与解法总结•特殊形状行列式o爪形行列式o行和相等行列式o三主对角线行列式•多个行/列元素大致相同•行列元素具有递推性质•零的分布有规律•第一列只有两个元素o消去第二个元素o放置两头采用展开定理•具有递推性质的n阶行列式•所有元素都为齐次式余子式和代数余子式的线性组合计算法1:转化为行列式计算法2:用伴随矩阵计算•1、利用 A=|A|A逆计算A•2、由伴随阵的相应元素得到余子式•要求：需要A逆好求，没啥大用特别：所有代数余子式和的计算抽象行列式的计算|A+B|•知列向量o拆分o将向量的线性组合转化为矩阵乘积o将对矩阵的变换过程转化为矩阵乘积•完全抽象•知部分具体矩阵C 或 C的特征值o向|C|、|C+kE|靠拢▪相似：知A～B，可得|A+kE|=|B+kE|▪特征值性质：A+kE的特征值为 A的特征值+k行列式方程•1、将方程化为待求矩阵为因子的因式方程行列式表示的函数和方程求行列式函数f最高次数•化简行列式计算fo观察有差相同的行列，尽可能化零o多项式行列式化为基本型求解求行列式函数f的复合函数求行列式函数f的根或根的个数由行列式函数f的根特征（二重根）求参数行列式在Ax=0上的应用——克拉默法则注意：在求解|A|=0时，使用展开定理直接求因式乘积，不要先求多项式再因式分解，可能很难因式分解|A|=0的证明充要条件•|A|=k|A|o将关于A一次幂的表达式两边取行列式o特别：正交矩阵相关证明【李线代讲义例2.29】•Ax=0有非零解•反证法•存在零特征值o当题目中提到列向量时使用o题目中有A的多项式函数：同乘å•矩阵的秩注意矩阵方阵的幂通用步骤o对角阵o小三角阵o对角线元素相同的三角阵o零分布规则的阵分解为矩阵乘积•1、若给定矩阵向量成比例，则可分解为两向量乘积•2、利用结合律将两向量交换相乘•原理o行向量*列向量=数o列向量*行向量=各行成比例的矩阵利用递推式•使用场景：给定矩阵无法分解•1、依次求矩阵前几次幂，得递推式o形式：A^m=k*A^s（n>m)o注意•2、由递推式用法化简求值o1）从A^n中提出A^s，将其看作催化剂o2）A^s把A^n剩余部分全部转化为k▪转化为(n-s)/(m-s)个k乘积▪当n-s/m-s不是整数时分类讨论利用对角阵•1、求其相似对角阵代入•2、当对角阵元素相同时，求幂不需要求P两方阵和的幂•通过二项式定理展开•特别：对角线元素相同的三角阵o1、将给定矩阵分解为单位阵E和小三角阵B的和o2、用二项式定理展开，消去零项，再求和o背景知识：小三角阵▪对角元素为0的三角阵▪小三角阵的幂=更小三角阵▪小三角阵的”非零对角线到角的线数+1”次幂=O矩阵乘法的可交换性求与其可交换的矩阵•待定系数法o1、假设同阶矩阵B与其可交换o2、列式AB=BA并化简o3、令对应元素相等得解•拆解单位阵法o应用场景：给定矩阵与单位阵相近o1、将给定矩阵呢拆解为单位阵E和矩阵Bo2、求与矩阵B可交换的矩阵证明两矩阵可交换•利用伴随矩阵公式o应用场景：被证明式中含有伴随阵o1、凑出与伴随阵对应的矩阵o2、用公式进行矩阵交换后恢复•利用可逆矩阵公式o应用场景：给定两被证矩阵关系式o1、将已知条件凑出AB=E，证明可逆o2、由可逆矩阵可交换写出交换乘积等式o3、将乘积展开，消去多余项相关结论•对角矩阵与对角矩阵可交换•(E+A)^(-1)与(E-A)可交换对称矩阵和反对称矩阵相关结论•n阶方阵=对称矩阵+反对称矩阵待定证明A可逆并求A逆求数值矩阵A的逆•分块矩阵法求抽象矩阵的逆•分解成多个可逆矩阵的乘积o将待证矩阵分解为已知可逆矩阵的乘积o相关结论分块矩阵的逆•主对角线分块矩阵的逆•副对角线分块矩阵的逆•待定系数法o1、设出逆矩阵，令其与原矩阵相乘为单位阵o2、由对应块相等列方程可逆矩阵的判别验证•证明可逆o证明|A|≠0o特征值全为0部分+特征值全不为0部分证明A=O证明aij=0证明r(A)=0相关结论抽象矩阵式化简先化简条件，再化简被证式用条件将被证式的不可转化单元表出伴随矩阵低阶阵：定义法一般/抽象阵：公式法记忆方阵的行列式常见恒等变换•交换某项乘积顺序o解法：一边消一边补o例：(E+AB)=A(E+BA)A^(-1)•(A^(-1)+B^(-1))=A^(-1)(A+B)B^(-1)矩阵方程技巧•知A*可直接求|A|、A^(-1)•A逆的逆可乘进括号逆中初等矩阵将左乘初等矩阵看作行变换证明正交阵证明ATA=AAT=E，不能只证一部分矩阵的秩与等价矩阵向量向量组的线性表出计算题转化为线性方程组有没有解证明题构造方程组，证明方程组有解•等价证明r(å1,å2,...,ås)=r(å1,å2,...,ås,ç)找出两个条件•å1,å1,...,ås线性无关•å1,å1,...,ås,ç线性相关证明k≠0反证法向量组的线性相关、无关具体相关性计算转化为Ax=0有没有非零解特别•有零向量•向量数>维数•n维n个向量行列式=0•向量数>矩阵秩抽象相关性证明定义法•1、设k1a1+k2a2+...+knan=0•2、恒等变形证明k1 k2 ... kn=0▪同乘使1项为0，需要多次同乘▪同乘后与原式相加减消元o常用条件▪特征向量：不同特征值特征向量线性无关▪基础解系：基础解系线性无关秩•1、将被证向量组以列排为矩阵A•2、证明r(A)=so A若有A=BCo A若有AB=Co A若有AB=O秩向量组极大无关向量组•含一参向量组求极大【李线代讲义例3.21】o拼矩阵、行变换、由参讨论秩求两向量组矩阵计算证明•思路：分别找到表大于和表小于的两个条件•条件o向量o方程组▪解向量的秩=n-r(A)▪若Ax=b、Ax=0有s个线性无关解向量，则s≤n-r(A)▪若AB=O，则r(B)≤n-r(A)其他•已知r(A)求r(B)等价矩阵和等价向量组分别证明向量组1、11可以相互线性表出r(A)=r(B)=r(A,B)当A B其中一个满秩时不需要求r(A,B)A可由B表出，Ｂ不能由A表出1、由r(A)<r(A,B)≤n得|A|=0解未知数2、代入看是否满足r(A)<r(B)=r(A,B)向量空间线性方程组齐次线性方程组具体型求解1、将系数矩阵化为含最大单位阵的矩阵2、非单位阵列的位置填写100；010；0013、在解向量其他位置填写填1列元素相反数抽象型求解1、推断r(A)知解向量个数2、找出n-r(A)个å使得Ax=0证明向量组是Ax=0的基础解系1、验证Açi=02、证明ç 1 ç 2 ... çt无关3、说明t=n-r(A)非齐次线性方程组具体型求解一般步骤•1、将增广矩阵化为含最大单位阵的矩阵•2、自由变量赋值o1/选取剩余非单位矩阵列作为自由变量o2/给通解的自由变量列赋值100；010；001o3/给特解的自由变量列赋值000•3、填写其他元素o1/通解解向量其他位置填写填1列元素相反数o2/特解解向量其他位置填写b向量元素含参注意•首先尽量消去参数•不能对某行同乘/除（可能为零）含参项•不能对某行同除含参项后加到另一行（可能为∞）含两参数的分类讨论•1、令|A|=0求出得唯一解参数范围•2、剩余范围画树状图讨论o三个主分支o次分支标准▪r(A)=?=r([A,b])•3、写情况类别o将每种情况对应的路线取交集，得参数范围o无解情况参数范围可取并集，合并为一种o无穷解情况不可合并抽象型求解1、推断解的结构2、找出n-r(A)个线性无关齐次方程解向量3、找出特解A的行向量与Ax=0的解的关系线性方程组系数矩阵列向量和解的关系求两个方程组的公共解两个方程组联立成大方程组求解抽象方程组：证明大方程组有非零解一个方程组+另一方程组的基础解系1、求出方程组的基础解系2、将公共解用两个基础解系分别表示•其中一个基础解系用负系数表示•移项得两个基础解系的线性组合=03、建立新齐次方程组并求解4、代回2步骤式得公共解同解方程组具体型同解必要条件题目•同未知数不同方程数的两个齐次方程组同解求参数步骤•1、由方程式较多的方程组1非满秩求参数•2、将方程组1求解得基础解系•3、将基础解系代入方程组2中求参数•4、验证两方程组秩相同抽象型1、证明方程组(1)的解是(11)的解2、证明方程组(11)的解是(1)的解方程组的几何应用求矩阵AX=B型•将其看作多个同系数矩阵的方程组•1、设X=[x,y,z]，x y z为列向量•2、将A、B组成增广矩阵[A,B]求解f(X)=B型（不可化为AX=B）•1、设未知矩阵为具体矩阵•2、代入条件令对应元素相等转化为方程组特征值与特征向量求特征值/向量数值矩阵特征方程法•1、利用特征方程求解特征根o展开公式法▪找到两行/列相乘加满足o一般方法▪1、合并同类项写成降幂多项式▪2、猜根后通过多项式除法进行因式分解•2、带入特征根解齐次线性方程组求特征向量观察法•秩1矩阵•主对角线ai，其他为b抽象矩阵方法•公式法•定义法o思想：将题目条件转化为Aå=kå形式o常见•相似法o背景知识▪P^(-1)AP~B，特征值相同▪B的特征向量=P^(-1)*A的特征向量▪A的特征向量=P*B的特征向量o思想：构造相似阵，求其特征，公式法求原矩阵特征o题目特征▪题目出现‘å1 å2线性无关’，‘Aå1’，‘Aå2’•同乘å法o步骤▪1、对f(A)=0同乘å转化为f(λ)=0，求λ可能值▪2、由’秩’ + ’可相似对角化’ 确定λ题目•‘å1 å2线性无关’，‘Aå1’，‘Aå2’•多项式f(A)=0两个矩阵是否有相同的特征值判断思路特征多项式是否相等常见判断矩阵与转置阵相似矩阵。

线性代数之行列式问题求解方法总结

线性代数之行列式问题求解方法总结
在考研数学中，行列式是线性代数中最基本的知识点，也是线性代数必考知识点之一，是历年线性代数中非常基础和重要的知识点，是各位考生比较容易出错的一个知识点。

考研数学线性代数对行列式的的要求，不仅要会计算行列式，更要能够快速高效解决行列式的计算。

下面我总结了一些计算行列式的解法，希望对正在备考2020年考研和即将备考同学们有些帮助。

计算行列式的方法主要有：
（1）三角法：
一个行列式通过各种变换化简成上(下)三角，然后通过对角线相乘，得到行列式的值。

（2）利用行列式的性质
（3）加边法：
（4）把行列式各列各行都加到某一列或某一行：
只要行列式各行或各列加和相等，就可以把行列式各列各行都加到某一列或某一行，然后利用行列式的性质化简该行列式
（5）利用范德蒙行列式
（6）利用递推法
（7）按行列式的某行或某列展开
几个重要结论：
（1）主(次)对角行列式
题型一：利用行列式的性质
例1：
解：
题型二：把行列式各列各行都加到某一列或某一行例2：
解：。

行列式的计算技巧

行列式的计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

行列式的计算是线性代数中的重要内容之一，掌握行列式的计算技巧对于解决各类问题至关重要。

本文将介绍一些行列式的计算技巧，帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在介绍行列式的计算技巧之前，我们需要先了解行列式的定义。

对于一个n阶矩阵A=(a[i][j])，其行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n]-a[1][n]*a[2][n-1]*…*a[n][1]其中a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

二、行列式计算的基本规则1.交换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即A，=-，A其中A'表示交换了两行（列）的行列式。

2.行列的一个倍数加到另一行（列）上，不改变行列式的值，即A，=，A其中A'表示将A的其中一行（列）的k倍加到另一行（列）上的行列式。

3.如果行列式的其中一行（列）的所有元素都为0，则行列式的值为0。

三、行列式计算的技巧1.利用初等行变换求行列式的值初等行变换是指对矩阵进行以下操作：(1)交换两行(2)一行乘以非零常数(3)一行加上另一行的k倍利用初等行变换可以把一个行列式转化成上三角形或下三角形的形式。

例如，对于一个三阶矩阵，可以通过初等行变换将其转化为上三角形，此时行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

2.利用行列式的性质简化计算对于具有一定结构的矩阵，可以利用其特定的性质来简化行列式的计算。

(1)对角矩阵的行列式的值等于对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(2)三角矩阵的行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(3)如果行列式的其中一行（列）的所有元素都相同，则行列式的值等于该行（列）的任一元素乘以n-1次该元素的幂，即A，=a[1][1]^(n-1)*a[2][2]^(n-1)*…*a[n][n]^(n-13.利用行列式的性质化简计算行列式具有一些性质，利用这些性质可以将行列式的计算简化。

线性代数专题：行列式计算

当β ≠ α 当β = α
注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注 1 仿照例 1 的讨论，三对角线型的 n 阶行列式
2a a 2 1 En = 0 0
和三对角线型行列式
0
0 0 0 2a 0 0 0 2a
（3）
2a a 2 1 2a 0 0
2a a 0 a 2a a Fn = 0 a 2a 0
xy x+ y 1 0 0
0 xy x+ y 0 0
0 0 0 x+ y 1
0 0 0 xy x+ y
解：
D1 = x + y D2 = x 2 + xy + y 2 D3 = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3
猜测： Dn = x + x
n n −1
y+
+ xy n −1 + y n
2
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ，当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②

行列式解题过程

行列式解题过程行列式是一个方阵的特殊矩阵，可以通过一系列的代数运算求解。

解题过程通常包括以下几个步骤：1. 行列式的定义：首先，我们需要将行列式写成展开式的形式，对于一个 n 阶方阵 A，行列式可以表示为 det(A) 或者 |A|。

2. 代数余子式：将方阵 A 的元素 a(ij) 所在的行和列划去，剩下的元素构成的 n-1 阶子方阵称为代数余子式。

我们记作M(ij)。

3. 代数余子式的符号：代数余子 M(ij) 的符号与 i+j 的奇偶性相关。

若 i+j 为奇数，则 M(ij) 的符号与 a(ij) 的符号相同；若i+j 为偶数，则 M(ij) 的符号与 a(ij) 的符号相反。

4. 代数余子式的值：对于一个 n 阶方阵 A，其行列式的展开式可以通过以下公式计算：det(A) = a(11) * M(11) + a(12) * M(12) + ... + a(1n) * M(1n)= (-1)^(1+1) * a(11) * det(M(11)) + (-1)^(1+2) * a(12) *det(M(12)) + ... + (-1)^(1+n) * a(1n) * det(M(1n))5. 递归求解：利用上述公式，可以将 n 阶行列式的求解转化为计算 n-1 阶行列式的过程。

我们可以一直递归下去，直到求解一个 1 阶行列式（即单个数字），然后依次将结果带回到上一级的代数余子式中，最终得到行列式的值。

这就是行列式的解题过程。

需要注意的是，行列式的计算过程可能会相当复杂，特别是对于高阶方阵来说。

因此，有时候我们会利用行列式的性质和规则进行简化，例如使用拉普拉斯展开式、行列式的性质和逆序数等方法。

2023考研数学复习资料：计算行列式方法4,加边法

2023考研数学复习资料：计算行列式方法4,加边法1500字计算行列式是数学中的一项重要内容，也是考研数学中常见的题型之一。

在考研数学复习中，熟练掌握计算行列式的方法对提高解题效率和正确率非常重要。

本文将介绍数学复习资料中的计算行列式方法之一——加边法。

加边法是一种通过增加边和顶点的方法，将原始的行列式转化为一些已知的行列式，从而简化计算过程的方法。

下面将介绍加边法的具体步骤和应用示例。

加边法的基本步骤如下：步骤一：将原始的行列式的每一行或每一列上方添加一行（或一列）相等的元素，并且该行（或列）元素只在后面加边的行列式中出现。

步骤二：根据加边后的行列式的性质，进行一系列行列式的变换，使其转化为已知的行列式。

步骤三：根据已知的行列式的性质，求解最终的行列式。

下面通过一个具体的示例来说明加边法的应用：例题：计算行列式$$D = \\left| \\begin{array}{cccc}1 &2 &3 &4 \\\\5 &6 &7 &8 \\\\9 & 10 & 11 & 12 \\\\13 & 14 & 15 & 16 \\\\\\end{array} \\right|$$解：根据加边法的步骤，我们可以进行如下操作：步骤一：在每一行上方添加一行相等的元素，添加的行为$(13,14,15,16)$。

$$\\left| \\begin{array}{cccc}1 &2 &3 &4 \\\\5 &6 &7 &8 \\\\9 & 10 & 11 & 12 \\\\13 & 14 & 15 & 16 \\\\\\end{array} \\right|$$步骤二：对加边后的行列式进行一系列的变换。

①将第3行乘以-1加到第1行上，得到$$\\left| \\begin{array}{cccc}10 & 12 & 14 & 16 \\\\5 &6 &7 &8 \\\\9 & 10 & 11 & 12 \\\\13 & 14 & 15 & 16 \\\\\\end{array} \\right|$$②将第4行乘以-1加到第2行上，得到$$\\left| \\begin{array}{cccc}10 & 12 & 14 & 16 \\\\-1 & -8 & -9 & -8 \\\\9 & 10 & 11 & 12 \\\\13 & 14 & 15 & 16 \\\\\\end{array} \\right|$$③将第4行乘以-1加到第3行上，得到$$\\left| \\begin{array}{cccc}10 & 12 & 14 & 16 \\\\-1 & -8 & -9 & -8 \\\\0 & -4 & -4 & -4 \\\\13 & 14 & 15 & 16 \\\\\\end{array} \\right|$$步骤三：根据已知的行列式的性质，求解最终的行列式。

考研数学之行列式的计算方法

考研数学之行列式的计算方法行列式在高等数学中是一个重要的概念，是线性代数的基础之一、考研数学中，行列式的计算方法是必须掌握和熟练运用的部分。

下面将从行列式的概念、性质和计算方法等方面进行详细介绍。

行列式具有以下几个重要的性质：1.行列互换性质：行列式不变性的一种表现，即行与列可以互换。

2.行列式倍加性质：如果行或列中的元素是两个数之和，那么对应的行列式也是这两个行列式之和。

3.行列式倍乘性质：如果行或列中的所有元素都乘以同一个数k，那么行列式也与k成比例。

4.行列式元素全为0：如果行列式中有一行或一列的元素全为0，则此行列式的值为0。

了解了行列式的基本概念和性质后，下面将介绍计算行列式的方法。

1.初等行变换法：通过初等行变换，可以将方阵A化为上三角矩阵或下三角矩阵，从而计算行列式的值。

初等行变换包括交换两行、一行乘以非零常数、一行乘以非零常数加到另一行上三种操作。

2.拆分法：对于一个n阶行列式，可以通过将其中一行或一列的元素按照其中一种规则拆分成和的形式，然后利用行列式的性质进行化简。

3.列展开法（代数余子式法）：以行或列展开的方式计算行列式的值。

具体方法是选择一行或一列元素，在每个元素前面加上(-1)^{i+j}来表示正负号，然后与其对应的代数余子式相乘，再将所有元素求和。

其中，代数余子式是指除去相应行列后那个元素所构成的行列式。

4.递推法：对于n阶行列式，可以将其化为n-1阶行列式的形式，然后再递归的应用相同的方法计算。

需要注意的是，在计算行列式时，为了减少计算量，可以通过初等行变换将方阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，从而简化计算。

此外，还可以根据行列式的性质，巧妙地选择行列展开的方法，以减少计算的复杂度。

总结起来，计算行列式的方法主要包括初等行变换法、拆分法、列展开法和递推法。

这些方法既可以单独使用，也可以结合使用，具体根据问题的特点来决定。

通过不断的练习和实践，掌握这些行列式的计算方法，对于考研数学的学习和应试都是非常重要的。

考研线性代数行列式的计算方法

考研线性代数行列式的计算方法考研线性代数行列式的计算方法考研数学强化阶段复习很重要，考生万不可掉以轻心。

店铺为大家精心准备了考研线性代数行列式的计算方法，欢迎大家前来阅读。

考研线性代数行列式的计算技巧一、基本内容及历年大纲要求。

本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。

从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。

不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。

二、行列式在线性代数中的地位。

行列式是线性代数中最基本的运算之一，也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一（另一项基本技能是求解线性方程组），另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。

三、行列式的计算。

由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。

虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算；二是抽象型行列式的计算。

1。

数值型行列式的计算主要方法有：（1）利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错；（2）利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算；（3）利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算；（4）利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的.行列式计算；（5）利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。

2。

抽象型行列式的计算主要计算方法有：（1）利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的；（2）利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算；（3）利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算；（4）利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算；（5）利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。

考研数学三类行列式计算分析

考研数学三类行列式计算分析行列式是线*代数的重要考察点，出题比较灵活，考生需熟练掌握。

小编为大家精心准备了考研数学三类行列式计算指南，欢迎大家前来阅读。

对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。

三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。

在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的*质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。

特殊低阶行列式可以直接利用行列式的*质进行求解。

对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：一是利用行列式的*质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。

其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展开了，展开后有的时候就直接是上或者下三角形行列式了，但有时其还不是上下三阶，可能就要用到递推的类型来处理此类题目了。

总之，我们对于高阶行列式要求不是很高，只要掌握几种常见的情形的计算方法就可以了。

有的时候，对于那些比较特殊的形式，比如范德蒙行列式的类型，我们就直接把它凑成此类行列式，然后利用范德蒙行列式的计算公式就可以了，但是，我们一定要把范德蒙行列式的形式，一阶其计算方法给它掌握住，我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面，希望同学们课下多多做些练习题进行巩固。

当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展开来计算，只是这些都是些特殊的行列式的计算，其有一定的局限*，比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。

对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法线性代数是数学中的一个重要分支，对于考研数学来说，线性代数是必不可少的一部分。

而在线性代数中，行列式的计算是一个非常重要且基础的部分。

本文将详细介绍行列式的计算方法。

一、行列式的基本定义行列式是对一个方阵进行运算得到的值，用来描述一个线性变换对空间进行了多大的“拉伸”。

对于一个n阶方阵A（n*n矩阵），其行列式记作，A，或det(A)。

二阶行列式的计算非常简单，对于一个二阶方阵：aA=，cd其行列式的计算方法为：，A， = ad - bc。

三阶行列式的计算方法稍微复杂一些，对于一个三阶方阵：abA=，defgh其行列式的计算方法为：，A， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。

对于多阶行列式的计算，可以利用行列式的性质进行简化。

以下是行列式的一些基本性质：1.行列式与转置行列式不受转置操作的影响，即对于一个方阵A，有det(A) =det(A^T)。

2.行列式的行列互换行列互换会改变行列式的正负号。

对于一个方阵A，如果交换了第i 行和第j行，那么行列式的值变为-，A。

同理，对于方阵A，如果交换了第i列和第j列，行列式的值也变为-，A。

可以利用这一性质来简化计算。

3.行列式的公因子对于一个方阵A，如果存在一个数k，使第i行（或第i列）的元素分别乘以k，则行列式的值也应该乘以k。

4.行列式的零行（零列）与行列式的值如果一个方阵A的其中一行（或其中一列）的元素全部为0，则行列式的值为0。

5.行列式的线性性质行列式满足线性运算的性质，即对于一个方阵A和一个数k，有det(kA) = k^n * det(A)，其中n为方阵的阶数；另外，如果方阵A的第i行（或第i列）的元素分别加上方阵B的第i行（或第i列）的元素，得到一个新的方阵C，则有det(C) = det(A) + det(B)。

通过上述性质，我们可以采用行列变换的方法，将一个方阵化简为一个三角行列式或对角行列式，从而简化计算。