高中数学：三次函数图像与性质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三次函数的图像和性质
设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ；
性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。
（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ，Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）
① 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1
x ，
2
x ，
f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2
x ，
图像如图1,2：
② 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）=0，即b 2
-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根
1x 2
x ，
f （x ）没有极值点，
图像如图3,4：
图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）＜0，即b 2
-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，
f （x ）没有极值点，
图像如图5,6：
（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ，Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）
① 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1
x ，
2
x ，
f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，
图像如图7,8：
图7 图8 图9 图10 图11 图12
② 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）=0，即b 2
-3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2
x ，f （x ）没有极值点，
图
像如图9,10：
③ 当Δ=4b 2
-12ac=4（b 2
-3ac ）＜0，即b 2
-3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，
图像如图11，12：
性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数
对于三次函数()3
2
f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ，
(1) 当b 2
-3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。
① 当 ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14；
图13 图14 图15 图16 图17 ② 当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16；
③ 当0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个实根，图像如图17； 性质五：奇偶性
对于三次函数()3
2
f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）
(1) f （x ）不可能为偶函数；
(2) 当且仅当0==d b 时是奇函数； 性质六：对称性
(1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b
f a a
-
-； (2) 结论二：其导函数为2
()320f x ax bx c '=++= 对称轴为a
b
x 3-
=，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二
阶导为零的点；
2
x 1x 0
)()(2
1>⋅x f x f x 1 x 2
x
x 1
x 2
(3) 结论三：)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图象关于点),(n m 对称，则)('x f y =图象关于直线m x =对称. (4) 结论四：若)(x f y =图象关于直线m x =对称，则)('x f y =图象关于点)0,(m 对称。 (5) 结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。 性质七：三次函数f （x ）图象的切线条数
(1)由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条； (2)过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条； 性质八：切割线性质
（1）设P 是f(x)上任意一点(非对称中心)，过点P 作函数f(x)图象的一条割线AB 与一条切线PT(P 点不为切点),A,B,T 均在f(x)的图象上，则T 点的横坐标平分A.B 点的横坐标，如图18：
图18 图19 图20 图21
推论1：设P 是f(x)上任意一点（非对称中心)，过点P 作函数f(x)图象的两条切线PM ，PN ，切点分别为M 、P ，则M 点的横坐标平分P 、N 的横坐标，如图19：
推论2：设f(x)的极大值为M ，当成f(x)=M 的两根为1x ，
2x 12()
x x <，则区间[]12,x x 被
和极小值点三等
分，类似的，对极小值点m 也有此结论，如图20： 性质九：切线条数
一般地，如图，过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L 和函数f （x ）的图象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域1、Ⅲ内的点作y=f(x)的切线，有且仅有3条；
（2）过区域II 、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有1条；
（3）过切线L 或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有2条。
3b a
-