不可约多项式和互素的区别

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不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1）如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

有理数域上不可约多项式

第七章多项式环
§7.8 有理数域上的不可约多项式
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。一、整系数多项式的可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
都是本原多项式
f x g x c0 c1x
p ck , k 1,2,
ci j xi j
cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数也不能被p整除，
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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但两者不能同时成立。

p2
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ，由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p

不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

有限域上的不可约多项式与其分布

承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

(保密的学位论文在解密后适用本承诺书)作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章绪论有限域是计算机科学与数字通讯领域最基本的数学工具之一,也是现代代数学的重要分支之一。

在初等数论里面，我们已经知道，对于每个素数p ，都存在p 元有限域。

更进一步，利用简单的域的扩张理论，我们能确定出全部有限域，并且得出，对于任意奇素数的方幂q 和任意正整数n ，都存在着n q 个元素的有限域。

近五十年来，由于它在组合，编码，密码，通信等学科的广泛应用，而逐步形成富有特色的代数学核心课程。

有限域的理论最早可追溯到费尔马（FERMAT 1601-1665）和欧拉（EULER 1707-1783），他们为一些特别的有限域结构，如素数域，作出了重要的贡献。

有限域的一般理论主要从高斯（GAUSS 1777-1855）和伽罗瓦（GALOIS 1811-1832）的工作开始，但最近几十年，随着离散数学的发展，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用。

例如，有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算有重要的影响。

我们用()GF q 表示含有q 个元素的有限域，q 为素数p 的方幂。

我们知道，不可约多项式在多项式中的地位相当于素数在整数中的地位。

类似整数的分解唯一性，()[]GF q x 中多项式()f x 在()GF q 上的分解也是唯一确定的。

除了多项式的次数，刻画有限域上的多项式的另一个重要参数是多项式的周期。

不可约多项式定义

不可约多项式定义好的，以下是为您生成的关于“不可约多项式定义”的文章：---【不可约多项式定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，有一个叫做“不可约多项式”的概念。

你有没有在做数学题或者学习代数的时候，被这个词搞得有点晕头转向？其实啊，它并没有那么神秘，今天咱们就一起来揭开它的面纱！**什么是不可约多项式？**简单来说，不可约多项式就是在某个数域范围内，不能再分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。

比如说，在有理数域上，多项式 x² + 1 就是不可约多项式。

给您举个生活中的例子，不可约多项式就像是一个完整的、无法再拆开的拼图块。

如果能拆开，那就不是不可约多项式啦。

这里要纠正一个常见的误区哦，有些人可能会觉得只要多项式看起来复杂，就是不可约多项式，这可不对！得按照严格的数学定义和方法来判断。

**关键点解析**3.1 核心特征或要素不可约多项式有几个关键要素。

首先是数域，不同的数域中，同一个多项式的可约性可能不同。

比如 x² - 2 在有理数域上是不可约的，但在实数域上就不是了，因为在实数域上它可以分解为 (x - √2)(x + √2) 。

这就好比同样的一个物品，在不同的环境下可能有不同的用途。

其次是次数，不可约多项式的次数是有规定的，不能是零次多项式（也就是常数）。

还有就是不能分解这一特性，意味着找不到其他两个非零多项式相乘能得到它。

3.2 容易混淆的概念容易和不可约多项式混淆的概念是可约多项式。

可约多项式就是能分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。

比如说在有理数域上，x² - 1 就是可约多项式，因为它可以分解为 (x - 1)(x + 1) 。

不可约多项式和可约多项式的区别就在于能否分解，这是判断的关键。

**起源与发展**不可约多项式的概念起源于代数数论的研究。

在数学的发展历程中，随着对多项式性质的深入研究，不可约多项式的重要性逐渐凸显出来。

2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式

对于Z2上一个n次多项式f(x)=xn+xk+1(n,k不同时为偶数)，则有： 1）当n4时，若n1mod3,k2mod3,或n2mod3而 k1mod3时，f(x)有因子x2+x+1，即f(x)可约。 2）f(x)满足下列3个条件中一个时，f(x)可约： i)n是偶数，k是奇数，n2k,而nk/20mod4或 1mod4 ii)n是奇数，k是偶数，k不能整除2n,而n3mod8 iii)n是奇数，k是偶数，k|2n,而n1mod8
定理 2( 艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 ) ：设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 p=3
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的多项式，不一定就可约。如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件，前者在有理数域上可约，后者不可约。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式，最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表，次数小的在前面，大的在后，次数相等的按某种规定排列先后，排在最前面的多项式就是不可约的，把它圈出来，再把该多项式倍式的多项式从表中划去。剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的，重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量就很大。
有限域上的不可约多项式最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表次数小的在前面大的在后次数相等的按某种规定排列先后排在最前面的多项式就是不可约的把它圈出来剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的重复这一过程即可但当n适当大时工作量就很大

第一讲-高等代数选讲之多项式理论

4、一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。零次多项式：不为零的常数零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3

例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者。
其中 c 为任意常数。（10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式；（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。 5、综合除法设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。

不可约多项式的和仍是不可约多项式

不可约多项式的和仍是不可约多项式不可约多项式的和仍然是不可约多项式，这是多项式理论中的一个重要性质。

在这篇文章中，我们将解释什么是不可约多项式，为什么它们的和仍然是不可约的，并提供一些具体的示例来说明这个结论。

首先，我们需要明确什么是多项式和什么是不可约多项式。

一个多项式是由常数项、一次项、二次项等有限项的代数和构成的数学表达式。

每个项由一个系数乘以一个变量的幂次。

例如，多项式P(x)=2x^3-3x+1就是一个多项式，其中2、-3和1是系数，x^3、x和1是项，3、1和0是幂次。

不可约多项式是指不能再被其他多项式整除的多项式。

换句话说，如果一个多项式P(x)不可以被另一个多项式Q(x)整除，那么P(x)就是一个不可约多项式。

例如，多项式P(x)=x^2-3x+2是不可约的，因为它不能被任何其他一次或更低次数的多项式整除。

现在我们来证明不可约多项式的和仍然是不可约的。

假设P(x)和Q(x)是两个不可约多项式，我们要证明它们的和P(x)+Q(x)仍然是不可约的。

为了证明这个结论，我们使用反证法。

假设P(x)+Q(x)是可约的，则存在一个多项式R(x)使得P(x)+Q(x)=R(x)，其中R(x)不是常数。

由于P(x)和Q(x)是不可约的，我们可以假设R(x)的次数大于等于P(x)和Q(x)的次数，即deg(R) ≥ deg(P)、deg(R) ≥ deg(Q)。

然后，我们可以将P(x)和Q(x)表示为如下形式：P(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x) = b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0。

其中a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0是P(x)的系数，b_m、b_{m-1}、...、b_1、b_0是Q(x)的系数。

根据多项式的加法，我们有P(x)+Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0+b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0=R(x)。

不可约多项式整除任意多项式的概念

不可约多项式整除任意多项式的概念随着数学的不断发展，不可约多项式整除任意多项式的概念逐渐成为了数学研究中的一个重要课题，在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

本文将深入探讨不可约多项式整除任意多项式的概念，阐明其理论意义和实际应用。

一、不可约多项式的定义我们来回顾一下不可约多项式的定义。

在代数学中，如果一个多项式不能被分解为两个次数更低的非零多项式的乘积，则称其为不可约多项式。

不可约多项式在数论、代数几何和编码理论等领域有着重要的应用，因此对其性质和特征进行研究具有重要意义。

二、不可约多项式整除的概念对于两个多项式P(x)和Q(x)，如果存在另一个多项式R(x)，使得P(x)=Q(x)·R(x)，则称P(x)可整除Q(x)，记作Q(x)|P(x)。

而对于不可约多项式来说，如果一个不可约多项式整除任意多项式，其特性将会是怎样呢？三、质数环中的不可约多项式整除在质数环中，不可约多项式的整除性质更加复杂和多样化。

对于给定的质数p，我们可以考察在有限域Fp上的多项式环中的不可约多项式。

通过适当的构造和分解，可以得到不可约多项式对其他多项式的整除规律，这为解决一些数论和计算机科学中的问题提供了重要的数学工具。

四、应用举例1. 数论领域通过对不可约多项式整除的相关性质进行研究，可以在数论领域中应用到素性测试以及大整数的分解等问题上。

在RSA公钥密码系统中，不可约多项式整除的概念被广泛应用于加密算法的设计和安全性分析中。

2. 代数几何领域在代数几何领域，不可约多项式整除的概念被应用于构造椭圆曲线密码系统和几何编码理论等方面。

通过对不可约多项式整除性质的研究，可以设计更加安全和高效的密码算法，并在信息传输和存储中发挥重要作用。

五、不可约多项式整除的研究现状目前，关于不可约多项式整除的研究还存在一些未解决的问题和挑战。

在高维空间中的多项式整除性质、不可约多项式整除与素数分解的关系等方面仍然需要更加深入和系统的研究。

如何判别一个多项式不可约

探索不可约多项式的应用
除了在数学理论研究中的应用外，不可约多项式在实际应用中也有着广泛的应用前景。例如，在计算机科学、信息编码等领域中，不可约多项式可以用于构造一些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项式的方法
目前我们判别不可约多项式的方法主要适用于有限域上的多项式，对于其他情况是否适用还需要进一步的研究和探索。因此，推广判别不可约多项式的方法也是未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
谢谢您的观看
不可约多项式是整环上的不可约元，即它不能被其他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是不可约元，因此它在整环中是不可约的。
不可约多项式是素数，即它没有除了1和自身以外的因数。
不可约多项式在整环中是不可约的，因此它在整环中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域具有重要研究价值，有助于深入理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的判别方法可以用于设计高效的算法，例如在符号计算、数值分析等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握多项式不可约的判别方法有助于提高数学素养和解题能力。

有限域上本原多项式与不可约多项式判定

（1）（封闭性），，有；
（2）（结合性），，，有；
（3）在中有一个元素，对中任意元素，有，元素称为单位元；
（4）对中任一元素，都存在中的一个元素，使得，称为可逆元，称谓的逆元，记作，
则称关于“ ”形成一个群（Group），记作，，通常在不混淆的情况下省略“ ”，用来表示一个群，也简记为。
关键词：有限域不可约多项式本原多项式
A
Weintroducethe basic knowledge of finitefieldstheoryin the frontof this paper. According to the knowledgeoffinite fields,wediscussanefficient algorithm, which is used to determine whether a polynomial over finite fields is irreducible (primitive) or not, proposed byWangXin and WangXinMei in [1]. Three conditionsare proposedby itasanecessary and sufficient conditionto determineirreducible polynomialsoverthe finite field. And under the preconditionthat thepolynomialisirreducibleoverfinite fields, thealgorithmproposes aconditionas the necessary and sufficient conditionto determinewhether a polynomial isprimitiveor not over finite fields.In the latter part,byusingMicrosoft Visual Studio 2008 software,we makethe mode operations, multiplicationoperations, fast exponential algorithm,Euclidalgorithm, integer factorization algorithm modules come true in c++ language. And finally achievedthe decisionmethodproposed byWangXinandWangXinMeiin[1], realizedthe determinationthatwhether the polynomialover finite fields is irreducible (primitive) or not.

不可约多项式的判别方法

不可约多项式的判别方法
一个多项式f(x) 是不可约的，当且仅当以下任一条件成立：
1. f(x) 为常数多项式。

2. f(x) 为一次多项式，即f(x)=ax+b，其中a\neq 0。

3. f(x) 为二次多项式，但其判别式\Delta=b^2-4ac 为负数，其中
f(x)=ax^2+bx+c，a\neq 0。

4. f(x) 的次数大于等于3，且它没有根的有理数解。

这时我们可以利用如下Tschirnhaus 变换，将f(x) 转化为一个新的多项式g(x)，使得g(x) 在有理数域上有一个根r=\frac{p}{q} （p 和q 互质）：
g(x)=f(x-rq)
其中r 为有理数解，rq 表示其denominator。

如果g(x) 还是不可约多项式，则f(x) 也是不可约多项式。

对于f(x) 的判别，我们可以通过暴力枚举f(x) 的因子进行验证。

具体地，我们从2 到\sqrt{\deg f(x)} 枚举每一个整数d，判断f(x) 是否能够被x^d-1
整除，如果能被整除，则说明存在一个次数为d 的不可约多项式，它是f(x) 的因子。

如果f(x) 不能被任何次数小于\sqrt{\deg f(x)} 的不可约多项式整除，则f(x) 是不可约多项式。

有理数域上不可约多项式

有理数域上不可约多项式
有理数域上的不可约多项式是指在有理数范围内不能被分解为两个次数较低的多项式乘积的多项式。

在代数和数学的其他领域中，这些多项式具有非常重要的性质和应用。

首先，我们需要明确什么是有理数域。

有理数域是由所有有理数（即可以表示为两个整数之比的数）构成的数域。

有理数包括所有的整数、分数以及有限小数和无限循环小数。

有理数域在数学中占有重要地位，因为它是实数域的一个子域，并且许多数学定理和结论都是在有理数域上得出的。

接下来，我们讨论有理数域上的不可约多项式。

一个多项式如果在有理数域上不能被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称该多项式为有理数域上的不可约多项式。

例如，多项式 x
2
−2 在有理数域上就是不可约的，因为它不能表示为两个一次多项式的乘积。

不可约多项式在代数中具有重要地位。

它们是多项式环中的“原子”，类似于整数环中的质数。

正如质数在整数分解中起到基本构建块的作用一样，不可约多项式在多项式分解中也扮演着类似的角色。

许多代数定理和结论都是基于不可约多项式的性质和存在性得出的。

此外，不可约多项式还与代数方程的解密切相关。

例如，一个代数方程在有理数域上是否有解，往往取决于其对应的多项式是否可以在有理数域上分解为线性因子的乘积。

如果多项式是不可约的，并且次数大于1，那么该方程在有理数域上就没有解。

总之，有理数域上的不可约多项式是代数和数学中的一个重要概念。

它们在多项式分解、代数方程的解以及更高级的代数理论中都具有广泛的应用和深刻的内涵。

不可约多项式和可约多项式

不可约多项式和可约多项式
不可约多项式和可约多项式是多项式分解中的两个重要概念。

可约多项式是指可以分解为若干个一次因式乘积的多项式。

例如，$x^2 + 2x + 1$ 可以分解为$(x + 1)^2$，这是一个可约多项式。

不可约多项式是指不能分解为若干个一次因式乘积的多项式。

例如，$x^2 + 1$ 不能分解为任何一次因式的乘积，所以它是一个不可约多项式。

在数学中，不可约多项式具有一些重要的性质。

例如，一个多项式是可约的当且仅当它没有公因式。

此外，任何多项式都可以表示为一些不可约多项式的乘积。

以上就是不可约多项式和可约多项式的定义和性质。

干婷婷08025049多项式的不可约与互素及应用

本科毕业论文（设计）题目多项式的不可约与互素及应用院（系）巢湖学院数学系专业数学与应用数学学生姓名干婷婷学号 08025049指导教师贾正华职称副教授论文字数 7985完成日期:2012年6月2日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。

学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。

保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。

本人签名：日期：导师签名：日期：巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）多项式的不可约与互素及应用摘要多项式的互素与不可约的这部分知识是息息相关的，多项式的不可约与多项式的互素概念都围绕着因式的存在与否而进行定义的，而笔者亦从这个入手来分析两者之间的关联。

众所周知，多项式理论是高等代数中的重要组成部分，而多项式的不可约与互素又是多项式理论的两个重要概念，对后继知识的学习有重要影响，在众多的高等代数书籍中对两个一元二次的互素都有较全面的论述，笔者尝试先分别陈述多项式的不可约与互素相关性质与概念，再讨论不可约多项式与不可约多项式之间的互素关系和可约多项式与不可约多项式之间的互素关系，再进一步去表述出多项式的不可约与互素的应用，最后，再将两者联系在一起应用，以期对多项式的互素和多项式的不可约有较全面的把握和进一步的理解。

二、不可约多项式

公因式与系数域无关，则公因式也就不会随系数域的扩大而改变 . 最大公因式是由辗转相除法求得的，故这里问题的关键是带余除法中的商式q(x)，余式r(x)尽管唯一确定，是否与系数域无关？→ 事实上，设 f,g∈P[x], P∈P/ → 据带余除法定理，存在唯一的q, r ∈P[x], 使得 f = qg + r, r = 0或 ∂r＜∂g成立.
f s i {1, 2,
, s}, p | f i .
设 p 0, f , g P[ x], p | fg 可推出 p | f 或p | g p 是不可约多项式. 证明：假定 p 可约 → 存在 f, g , 使得 p fg , f , g < p p | fg ,
f ( x ), g ( x ) 的标准
f ( x ), g( x ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数中较小的一个．
例如，若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
f ( x ) ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x ) g( x ) bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x ) ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
pi ( x ), q j ( x ) i 1,2,
ps ( x ) qt ( x )
, s ; j 1,2,
⑴
, t . 都是不可约
多项式. 对 s 作归纳法．若 s 1, 则必有 s t 1, f ( x ) p1 ( x ) q1 ( x )
假设不可约多项式个数为 s 1 时唯一性已证. 由 (１ )

互素是什么意思

互素是什么意思
互素，就是互为质数，两个数之间除了1之外没有更多的公约数。

比如，2与9，3与8，等等，都是互素的，因为他们没有共同的因数，除了1。

但是4与6，8与12，9与21等等，他们都不是互素，因为他们都有相同的因数！
互质整数
互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。

公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形。

1和-1与所有整数互素，而且它们是唯一与0互素的整数。

两个数互质的情况：
性质一：两个不同的质数是互质的。

性质二：一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。

（较大数是质数的两个数是互质数）
性质三：相邻的两个自然数是互质数。

性质四：相邻的两个奇数是互质数。

性质五：最大公约数是1，两个数互质。