高二数学数列的极限

7.7（1）数列的极限

上海市建平中学徐程

一、教学内容分析

极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.

二、教学目标设计

1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.

2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.

3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.

三、教学重点及难点

重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.

难点：数列极限的定义的理解.

四、教学用具准备

电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发

思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练

习中的优点和不足之处，及时反馈.

五、教学流程设计

六、教学过程设计 一、 情景引入

1、创设情境，引出课题

1. 观察

教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？

学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.

2. 思考

教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： , 21

, , 81 , 41 , 21n

3．讨论

教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？

学生： 慢慢靠近0.

教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题

二、学习新课

2、观察归纳，形成概念

（1）直观认识

教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势

（a ） ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0

③当n 无限增大时，相应的项n

101可以“无限趋近于”常数0 （b ） ,)1(,,31,21,1n

n

--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小

②当n 无限增大时，相应的项n

n )1(-可以“无限趋近于”常数0 （c ） ,1

,,43

,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1

③当n 无限增大时，相应的项1

+n n 可以“无限趋近于”常数1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：

（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右

两方趋近，使学生明白不同的趋近方式

教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其

实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”

概念辨析

教师：归纳数列极限的描述性定义

学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近

于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.

教师：是不是每个数列都有极限呢？

学生1：（思考片刻）不是.如n a n =

学生2： 2n a n = n n a )1(-=

教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.

（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=n

n n a n 11 （b ）无穷数列：

,3333.0,,333.0,33.0,3.0n

学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数

时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.

教师： 有不同意见吗？

学生2：数列（b ）的极限是0.34

学生3：数列（b ）的极限不存在

（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有n 是奇数 n 是偶数

各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）

教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思） 学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,

数列（b ）的极限是31. 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.

（2）量化认识

教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ 学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0

教师：现在以数列n n a n n )1(-=为例说明这种过程观察：

距离量化：n n a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n

1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n

1

比给定的正数小.

教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .

问题拓展

学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的 , 2

1

, , 81 , 41 , 21n 和 ,10

11,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下. 教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？ 学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使

得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.

教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：

一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于

预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞

→lim ，或者∞→n 时a a n →.

教师：常数数列的极限如何？

学生：是这个常数本身.

教师：为什么？

学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.

三、巩固练习

讲授例题 已知数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.

②写出n 1-n a 的解析式.