凸包和凹包定义

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冲压凸包高度设计标准

冲压凸包高度设计标准冲压凸包高度设计标准冲压凸包是指在冲压过程中，为了增加零件的强度和刚度而在零件表面上凸出的部分。

冲压凸包的高度设计标准是非常重要的，因为它直接影响到零件的性能和质量。

以下是冲压凸包高度设计标准的详细内容：一、冲压凸包的定义冲压凸包是指在冲压过程中，为了增加零件的强度和刚度而在零件表面上凸出的部分。

它通常分为两种类型：一种是在零件的内部形成的凸包，另一种是在零件的外部形成的凸包。

二、冲压凸包的设计原则1.凸包的高度应该与零件的厚度相当，一般不应超过零件厚度的1.5倍。

2.凸包的宽度应该与零件的厚度相当，一般不应小于零件厚度的0.5倍。

3.凸包的形状应该符合零件的使用要求，一般应该是圆形或方形。

4.凸包的位置应该考虑到零件的使用要求和装配要求，一般应该在零件的边缘或角落处。

5.凸包的数量应该根据零件的使用要求和装配要求来确定，一般不应过多。

三、冲压凸包的高度计算方法冲压凸包的高度计算方法通常有两种：一种是按照零件的厚度来计算，另一种是按照零件的强度和刚度来计算。

按照零件的厚度来计算：凸包高度=零件厚度×1.5按照零件的强度和刚度来计算：凸包高度=（零件强度×0.5）÷（凸包宽度×凸包数量）四、冲压凸包的注意事项1.凸包的高度应该符合设计标准，不应过高或过低。

2.凸包的形状应该符合零件的使用要求，一般应该是圆形或方形。

3.凸包的位置应该考虑到零件的使用要求和装配要求，一般应该在零件的边缘或角落处。

4.凸包的数量应该根据零件的使用要求和装配要求来确定，一般不应过多。

5.凸包的加工应该符合加工工艺要求，一般应该采用冲压工艺或模具加工工艺。

总之，冲压凸包的高度设计标准是非常重要的，它直接影响到零件的性能和质量。

设计人员在设计冲压凸包时，应该根据零件的使用要求和装配要求，合理地确定凸包的高度、宽度、形状、位置和数量，以确保零件的性能和质量达到设计要求。

凸包convexhullppt课件

Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长我们先来看一个问题，POJ 1113。题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法：这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法就像一对卡壳卡住凸包旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对踵点的个数不超过3N/2个也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;

计算几何中凸包算法在模式识别中的应用

计算几何中凸包算法在模式识别中的应用凸包算法是计算几何中常用的算法之一，主要用于找出一组点集中的最小凸多边形。

在模式识别领域，凸包算法可以应用于图像处理、目标识别等方面。

本文将探讨凸包算法在模式识别中的应用，并分析其优势和限制。

1. 凸包算法概述凸包算法的基本思想是通过找出一组点集中位于最外围的凸壳点，构建出一个最小凸多边形。

常见的凸包算法有Graham Scan算法、Jarvis步进算法以及快速凸包算法等。

2. 凸包算法在模式识别中的应用2.1 图像处理在图像处理中，凸包算法可以用于边缘检测和目标识别。

通过计算图像中的物体边缘点的凸包，可以得到物体的轮廓，进而实现物体识别和形状分析。

凸包在图像分析中的应用广泛，例如人脸识别、指纹识别等。

2.2 目标识别凸包算法可以应用于目标识别领域。

对于一个目标物体，通过计算其特征点的凸包，可以得到目标物体的整体形状和轮廓信息。

这些信息可以用于目标物体的分类、识别和定位等。

凸包算法在目标识别中的应用可以大大提高识别的准确性和鲁棒性。

3. 凸包算法的优势和限制3.1 优势凸包算法在模式识别中具有以下优势：(1) 简单高效：凸包算法的时间复杂度较低，计算速度较快，适用于大规模数据集的处理。

(2) 特征提取：通过计算凸包，可以得到目标物体的整体形状和轮廓信息，为后续的特征提取和分类打下基础。

(3) 鲁棒性：凸包算法对数据噪声和异常点的鲁棒性较强，能够有效地处理不完整的数据。

3.2 限制凸包算法在模式识别中也存在一些限制：(1) 对切线缺乏敏感性：凸包算法主要基于点的位置关系进行计算，对于一些曲线或光滑的边界，可能无法精确地捕捉到局部的切线信息。

(2) 复杂形状处理困难：当目标物体的形状非常复杂或包含空洞时，凸包算法可能无法完全覆盖整个物体的轮廓。

4. 结论计算几何中的凸包算法在模式识别中有着广泛的应用，特别是在图像处理和目标识别领域。

凸包算法可以帮助提取物体的整体形状和轮廓信息，为后续的分类和识别工作提供基础。

凸包及最小外围矩形

题目简述：給出一个平面‎点集S，求一个面积最‎小的矩形使其‎包含S所有的‎点。

预备知识：在求解这道题‎之前我们先要‎了解一些关于‎凸包的知识。

什么是凸包？简单地说，对于一个平面‎点集S，我们把完全包‎含该点集的最‎小的凸多边形‎叫做点集S的‎凸包H。

凸包一个很重‎要的性质就是‎它“凸”的性质。

这个性质对我‎们理解和计算‎凸包都有很大‎的帮助。

I）对点集S中任‎意一点a，当且仅当存在‎直线p过a点‎并使得S中除‎a外所有点均‎在p的一侧，则a为凸包上‎的一顶点。

II）对点集S中任‎意两点a,b，当且仅当S中‎除a,b以外所有点‎都在过点a,b 的直线p的‎一侧，则线段ab为‎凸包上的一条‎边。

III）对点集S中任‎意四点a,b,c,d，当d在三角形‎a bc中（包括边），则d不是凸包‎上的点。

上面的几条关‎于凸包“凸”的性质为我们‎计算凸包提供‎了一个基础。

这里我们将介‎绍两种简单且‎被广泛运用的‎算法――Gift-Wrappi‎n g和Gra‎h am-Scan算法‎。

Gift-Wrappi‎n g算法：通过性质（I），我们可以找到‎一个特殊点，如具有最小y‎坐标且x坐标‎尽可能小的点‎。

将它作为计算‎凸包的第一个‎顶点。

确定了起点后‎，我们就可以通‎过Gift-Wrappi‎n g算法计算‎出点集的凸包‎。

下面的步骤很‎直观的描述了‎这个算法：1）把点集中所有‎点都看成是固‎定在平面上的‎柱子，想象我们在起‎始点柱子上系‎上一根身子。

2）把绳子沿水平‎方向向右拉直‎，并逆时针旋转‎，当绳子碰上一‎根柱子，则对应了凸包‎上的一点3）继续旋转绳子‎，每次确定一个‎凸包上的顶点‎，直至绳子回到‎起点。

图一：Gift-Wrappi‎n g算法计算‎凸包的过程每次通过旋转‎绳子找到下一‎个凸包顶点需‎要对点集中所‎有剩余点进行‎一次比较，所以这一步的时间复‎杂度是O（n）。

每个凸包上的‎顶点都需要进‎行一次旋转操‎作，而最坏情况下‎，凸包顶点个数‎可以和点集个‎数相等，所以整个Gi‎f t-Wrappi‎n g算法的时‎间复杂度是O‎（n2）的。

凸包——精选推荐

凸包算法模型想象在⼀个平⾯上钉下了n个钉⼦。

现在有⼀根橡⽪筋，我们把它撑开，期望在松⼿之后橡⽪筋可以收缩，包住所有的n个钉⼦。

事实上，这正是⼀个凸包。

如下图：引⼊凸包的概念：凸包，定义为周长最⼩的包含点集中所有点的凸多边形。

即使存在某个凹多边形的周长与凸包相等且可以包含所有点，这个凹多边形也⼀定不是凸包。

如下图，这个凹多边形不是该点集的凸包：凸包问题属于计算⼏何，通常可以使⽤Andrew,Graham,Jarvis，斜率逼近等算法求解。

本⽂将着重介绍其中思想通俗、代码简单的Andrew算法。

由于求解凸包需要⼀些前置的计算⼏何知识，本⽂将会介绍⼀些基础计算⼏何知识。

前置知识引进向量的概念。

在数学中，向量指同时具有⼤⼩和⽅向的量，与之相对的量称为数量。

数量只有⼤⼩，没有⽅向。

向量可以⽤⼀条带箭头的线段来形象地表⽰：箭头代表⽅向，线段的长度代表向量的⼤⼩。

如果向量的起点为A，终点为B，则这个向量可以记作→ab。

两个向量→x1,y1和→x2,y2的外积称之为叉积，它的结果是⼀个向量。

叉积的计算⽅法是 (x1y2)−(x2y1) ，记为→x1,y1×→x2,y2。

对于两个向量→ab,→bc，如果它们的叉积>0 ，说明→ab在→bc的顺时针⽅向；如果它们的叉积=0，说明→ab和→bc共线；如果它们的叉积<0，说明→ab在→bc的逆时针⽅向。

算法思想凸包Andrew算法的思想⾮常简单。

我们⾸先把点集按照以x坐标为第⼀关键字，以y坐标为第⼆关键字的⽅式进⾏双关键字从⼩到⼤排序，排序后的第⼀个点就是我们选出的极点。

两个关键字的顺序可以调换。

如下图，点 1 就是该点集的极点。

接着，我们从极点开始逆时针考虑将每⼀个点都加⼊凸包。

显然我们排序后的第⼀个点和最后⼀个点⼀定在凸包上。

从第⼆个点开始，我们假设当前点可以加⼊凸包。

设凸包上此时有m个点，第m−1 个点和第m个点分别是a,b，当前要加⼊凸包的点为c。

凸包扩展系数-概述说明以及解释

凸包扩展系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：凸包是计算几何学中的重要概念，它是一个包含给定点集中所有点的最小凸多边形。

凸包的计算方法和算法在计算机图形学、模式识别、地理信息系统等领域有着广泛的应用。

在实际应用中，为了更好地描述点集之间的几何关系，人们引入了凸包扩展系数这一概念。

凸包扩展系数可以帮助我们衡量凸包在空间中的扩展程度，进一步优化算法和提高计算效率。

本文将系统地介绍凸包的定义、计算方法和算法，以及凸包扩展系数的定义和计算方法，旨在深入探讨凸包在实际应用中的意义和作用。

1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，将首先对凸包进行简要概述，介绍凸包的基本概念，并说明本文的目的。

引言部分将帮助读者了解本文所要讨论的主题，并对文章的重点和方向有一个初步的了解。

在正文部分，将详细介绍凸包的定义和基本概念，以及凸包的计算方法和算法。

通过对凸包的详细讨论，读者可以深入了解凸包的特性和计算过程，从而更好地理解凸包扩展系数的定义和计算方法。

在结论部分，将总结本文的内容，讨论凸包在不同领域的应用和意义，并介绍凸包扩展系数的定义和计算方法。

结论部分将对本文所讨论的内容进行一个简要的总结，同时展望凸包在未来的研究和应用方向。

1.3 目的:本文的目的在于探讨和分析凸包扩展系数在计算机图形学和几何学中的重要性和应用。

通过详细介绍凸包的定义、基本概念和计算方法，引出了凸包扩展系数的概念。

在这一部分，我们将重点讨论凸包扩展系数的定义和计算方法，以及其在实际应用中的意义和作用。

同时，我们也将探讨如何利用凸包扩展系数来优化算法和提高计算效率。

通过深入研究凸包扩展系数的相关理论和实践，希望能够为读者提供全面的了解和思考，推动相关领域的研究和发展。

2.正文2.1 凸包的定义和基本概念凸包是指包围一组点集的最小凸多边形。

其中，凸多边形意味着多边形内部的所有角度都小于180度。

凸包在计算机图形学、几何学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。

凸集合定义

凸集合定义:对于平面上的一个点的有限集合S,如果以集合中任意两点P 和Q为连线的线段上的点都在S集合内,则称集合是凸集合。

如下为凸集合:如下为非凸集合:例如:连线点P与点Q后,则线段PQ上的点不在原集合S中。

凸包问题:对于平面上N个点的集合S,它的凸包就是包含所有这些点(或者在内部,或者在边界上)的最小凸多边形。

这可以形象地想成这样:在地上放置一些不可移动的木桩,用一根绳子把他们尽量紧地圈起来,这就是凸包了。

如下:解析(穷举法):凸包问题是为一个具有N个顶点的集合构造凸多边形的问题。

为了解决凸包问题,需要找出凸多边形的顶点,这样的点称为极点。

一个凸集合的极点应该具有这样的性质:对于任何以凸集合中的点为端点的线段来说,它不是这种线段中的点。

例如:一个三角形的极点是它的3个顶点,一个圆的极点是它圆周上的点。

因为线段构成了凸包的边界,可以基于这个事实来构造一个简单但缺乏效率的算法:对于一个由N个点构成的集合S中的两个点P i和P j,当且仅当该集合中的其它点都位于穿过这两点的直线的同一边时(需要考虑3点或3点以上共线的情况),它们的连线是该集合凸包边界的一部分。

对每一对点都检验一遍后,满足条件的线段构成了该凸包的边界。

如果S是凸集合,它的凸包一定是它自身;如果S是两个点组成的集合,它的凸包是连接这两个点的线段;如果S是由3个不同线的点组成的集合,它的凸包是以这3个点为顶点的三角形;如果3点同线,它的凸包是以距离最远的两个点为端点的线段;如果所有点都位于一条直线上,则凸多边形退化为一条线段。

具体解法:1.键盘输入N个顶点的信息并存储(新构建一个结构,下标从1开始存储)2.循环根据每两个点构成一条直线,并检测剩余的N－2个点是否在此直线的同一侧,如果是则构造此直线的两个点的线段为准输出线段(见下面判断共线问题),如果不是在同一侧,则此线段不是凸多边形的边界不能输出,继续检测其它连线。

直到所有线段检测完毕。

凸包标注方法

凸包标注方法【实用版4篇】《凸包标注方法》篇1凸包是指在平面上包含一组给定点的最小凸多面体。

在计算机图形学中，凸包经常用于场景分割、目标跟踪、碰撞检测等任务。

下面介绍一些常见的凸包标注方法。

1. 基于形态学的方法：形态学方法是一种基于图像处理技术的方法，它使用形态学操作，如膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等来标注凸包。

这种方法的优点是简单易用，但缺点是对噪声敏感，标注结果可能不够精确。

2. 基于区域生长的方法：区域生长方法是一种基于图像处理技术的方法，它从某个种子像素开始，通过相邻像素之间的相似性，不断扩大区域，直到满足凸包的定义。

这种方法的优点是可以获得较准确的标注结果，但缺点是需要选择合适的种子像素和相似性度量方法。

3. 基于网格重构的方法：网格重构方法是一种基于三维模型重建的方法，它将图像上的像素点映射到三维空间中的网格上，然后通过求解网格上的凸包来标注图像中的凸包。

这种方法的优点是可以获得高精度的标注结果，但缺点是需要预先建立三维模型。

4. 基于机器学习的方法：机器学习方法是一种基于训练数据的方法，它使用分类器或回归器来预测图像中的凸包。

这种方法的优点是可以自动学习标注规则，但缺点是需要大量的训练数据和合适的特征提取方法。

《凸包标注方法》篇2凸包是指在平面上，包含一组给定点的最小凸多面体。

在计算机图形学中，凸包常常被用于场景分割、目标跟踪、碰撞检测等任务中。

下面介绍一些常见的凸包标注方法。

1. 基于形态学的方法：形态学方法是一种基于图像处理技术的方法，它通过运用形态学的基本操作，如膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等，来创建凸包。

这种方法的优点是能够处理复杂的图像，缺点是需要根据具体的应用场景选择合适的形态学操作。

2. 基于网格的方法：基于网格的方法是将图像转换成网格形式，然后在网格上搜索凸包。

这种方法的优点是能够快速准确地标注凸包，缺点是需要预先建立网格，对于不规则的图像效果可能不好。

3. 基于区域的方法：基于区域的方法是将图像分成若干个区域，然后在每个区域内搜索凸包。

凸包

readln(n,temp); for i:=1 to n do readln(x[i],y[i]); end; function ok(x,midx,y,midy:extended):longint; begin if abs(x-midx)<=zero then begin if abs(midy-y)<=zero then exit(0); if midy>y then exit(1) else exit(2); end else begin if x<midx then exit(1) else exit(2); end; end; procedure qsort(head,tail:longint); var i,j :longint; midx,midy :extended; begin i:=head; j:=tail; midx:=x[(head+tail) div 2]; midy:=y[(head+tail) div 2]; repeat while ok(x[i],midx,y[i],midy)=1 do inc(i); while ok(x[j],midx,y[j],midy)=2 do dec(j); if i<=j then begin swap(x[i],x[j]); swap(y[i],y[j]); inc(i); dec(j); end; until i>j; if i<tail then qsort(i,tail);
二．凸包问题
给定平面上的二维点集，求解其凸包。
三．算法详解（Graham's Scan）
1. 在所有点中选取 y 坐标最小的一点 H，当作基点。如果存在多个点的 y 坐标都为最小值，则选取 x 坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点 p 和基点构成的向量<H,p> 与 x 轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为 H，根据夹角由小至大排序后依次为 H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

凹包参数-概述说明以及解释

凹包参数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述凹包是指物体表面产生的凹陷或坑洼，常见于金属、塑料等材料制品中。

凹包的形成主要是由于外力作用、材料缺陷和工艺不当等因素共同造成的。

在工业生产中，凹包对产品的质量和外观造成了一定程度的影响。

凹包不仅降低了产品的美观度，还可能使其性能受损，甚至影响到产品的安全性。

因此，了解凹包的成因和形成机制，以及预防和处理凹包的方法，对于提高产品质量和市场竞争力至关重要。

本文将重点探讨凹包的定义、特征以及凹包对物体性能和外观的影响。

通过深入分析凹包的成因和形成机制，我们可以更好地理解凹包问题的根源，并提出相应的预防和处理方法。

同时，我们也将探讨凹包对产品质量和市场竞争力的重要性，以及未来凹包研究的发展方向。

通过本文的探讨，希望读者能够对凹包问题有更深入的了解，并在实际生产中能够通过科学的方法预防和处理凹包，提高产品的质量和市场竞争力。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织结构和段落顺序，让读者能够清晰地了解文章的框架和内容安排。

在本文中，文章结构可以按照以下方式进行描述：文章结构本篇文章主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分介绍了本文的背景和目的，概述了凹包的主题，并对文章的结构进行了简要说明。

正文部分是本文的核心部分，主要包括凹包的定义和特征、凹包的成因和形成机制以及凹包对物体性能和外观的影响。

其中，2.1节将详细介绍凹包的定义及其特征，包括凹包的形态特征、尺寸参数等；2.2节将探讨凹包的成因和形成机制，涵盖材料特性、加工工艺等方面；2.3节将分析凹包对物体性能和外观的影响，包括机械性能、外观质量等方面。

结论部分总结了本文的主要内容，并提出了凹包的预防和处理方法，强调了凹包对产品质量和市场竞争力的重要性。

同时，还展望了未来凹包研究的发展方向，为读者提供了进一步深入研究的思路。

通过以上的文章结构，本文将全面探讨凹包的相关知识，从而使读者对凹包有更加全面的了解，并为相关领域的研究提供一定的指导。

凸包

凸包凸包（Convex hull）目录[隐藏]∙ 1 什么是凸包∙ 2 凸包的表达方式∙ 3 凸包的算法∙ 4 参考文献[编辑]什么是凸包在了解凸包之前，须先认识何谓“凸多边形”(Convex Polygon)。

从直观上说，一个凸多边形就是没有任何凹陷位的多边形。

我们在低年级数学所学习的三角形、正方形、长方形、平行四边形、正五边形、正六边形等等，都是凸多边形的例子。

但是以下这个“凸”字形却并非凸多边形，因为箭头指着的地方实际是一个凹陷位。

可是上述这一定义很不严密，究竟何谓“凹陷位”？实在难以说清楚。

因此在数学上，凸多边形有另一个严格的定义。

假设我们在一个多边形上 (包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。

根据以上定义，我们便可判断“凸”字形的确不是凸的。

例如，在下图中，连结A、B两点的线段有一部分并不在该多边形上。

认识了凸多边形后，我们便可了解何谓凸包。

给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。

例如，下图的点集共包含9个点，图中的六边形便是该点集的凸包。

其中构成六边形的6个点称为“凸包上的点”(Hull Point)，其余3个点则并非“凸包上的点”。

请注意上述定义中“最小面积”这个限制条件，因为除了凸包以外，还有无限多个包含点集中所有点的凸多边形。

例如，只要画一个面积足够大的四边形，便可包围任意给定的点集。

因此假如没有这个限制条件，求凸包就变成非常容易但却没有唯一解的运算。

[编辑]凸包的表达方式在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。

X的凸包可以用X内所有点()的线性组合来构造。

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

[编辑]凸包的算法增量式算法1逐次再点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。

平行四边形的凸包与凹包性质

平行四边形的凸包与凹包性质平行四边形是几何学中的重要概念，具有多种性质。

其中，凸包与凹包性质是平行四边形的重要特征之一。

在本文中，我们将探讨平行四边形的凸包与凹包性质，并分析它们的特点及应用。

一、凸包性质1. 定义：对于一个几何形状，如果它的所有点对之间的连线仍然在这个形状内部，则该形状为凸包。

在平行四边形中，如果四个顶点按顺时针或逆时针顺序排列，那么这个平行四边形就是凸包。

2. 性质：凸包的边界上的任意两点之间的连线也都在凸包内部。

这意味着在平行四边形中，任意两个相邻顶点之间的连线都在平行四边形内部，不会跨越边界。

3. 应用：凸包的性质在计算几何学和图形识别中有广泛的应用。

例如，在寻找最大凸包问题中，需要找到包含所有给定点的最小凸多边形。

这一问题在计算机视觉和几何算法中有重要应用。

二、凹包性质1. 定义：与凸包相反，凹包是指一个几何形状中的某些点对之间的连线穿越了这个形状的边界。

在平行四边形中，如果四个顶点不能按顺时针或逆时针方向排列，那么这个平行四边形就是凹包。

2. 性质：凹包中一定存在至少一条对角线，即连接两个非相邻顶点的线段穿过凹包的边界。

在平行四边形中，如果两条对角线相交于一个点，则这个平行四边形为凹包。

3. 应用：凹包的性质在图像处理和计算机图形学中有重要应用。

例如，在图像分割算法中，凹包可以被用来表示不规则边界或复杂形状的区域。

通过对凹包的分析，可以实现对图像的自动识别和处理。

综上所述，平行四边形的凸包与凹包性质具有重要的理论和实际意义。

凸包和凹包在几何学、计算几何学、图像处理等领域中都有广泛的应用，对于研究和解决相关问题具有重要的指导作用。

通过深入理解凸包与凹包的性质，我们可以更好地利用它们的特点，解决实际问题并推动相关领域的发展。

凸包详解

ACM 计算几何之凸包问题整理编辑----Blue Seven1、何谓凸包问题所谓凸包，是指平面上一点集Q ，将其中某些点连起来得到一凸边形，使得满足Q 中的所有的点都在该凸边形内（或其边上），则称该凸边形为点集Q 的凸包(convex hull)。

如上图中灰色线段组成的凸边形即为点集Q={p0，p1，p2，...，p11，p12}的凸包。

一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸边形，既是凸包问题。

形象地说：在一平木板（平面）上钉若干钉子（点），将一橡皮筋套上去后，会把钉子圈起来，形成一个凸边形，即为该点集的凸包。

2、解决凸包问题的常用算法及分析常用来解决凸包问题的算法有Graham 扫描法和Jarvis 步进法。

接下来简单介绍Graham 扫描法(极角序)，至于Jarvis 步进法可参考《算法导论》。

首先我们可以肯定的是，点集Q 中最左下角的一个点P 必是凸包ch ( Q)的一个顶点。

将其记为P0，接着从P0出发，按逆时针方向扫描点集Q 除P0外其余的每一个点，其顺序是依据各点在逆时针方向上相对P0的极角的递增次序。

极角的大小、可以通过计算叉积)(*)(00P P P P j i --来确定：若叉积>0，则说明相对P0来说，Pj 的极角大于Pi 的极角，Pi 先于Pj 被扫描;若叉积<0，则说明Pj 的极角小于Pi 的极角，Pj 先于Pi 被扫描;若叉积=0，则说明两个极角相等。

在这种情况下，由于Pi 和Pj 中距离P0较近的点不可能是凸包的顶点，因此我们只需扫描其中一个与P0距离较远的点。

接下来的问题是如何确定当前被扫描的点Pi(1 < i < n-1)是凸包上的点呢?我们设置一个关于候选点的堆栈S 来解决凸包问题。

初始时P0和排序后的P1,P2作为初始凸包相继人栈。

扫描过程中，Q 集合中的其它点都被推入堆栈一次，而不是凸包ch(Q)顶点的点最终将弹出堆栈。

当算法结束时，堆栈S 中仅包含ch ( Q)的顶点，其顺序为各点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

组合几何

4．平面上给定n(n>4)个点，每三个点不共线，证明：至少有个凸四边形以已知点为顶点．
三．练习
1．在平面上给出不在同一直线上的四个点，证明：以这些点中任意三点为顶点的
三角形中至少有一个不是锐角三角形．
2．平面上给定六个点，试证明任意两点距离之中最大与最小的比不小于．
3．平面上任意给定5点，其中任三点不共线，则在以它们为顶点的三角形中，至多有7个锐角三角形．
Key:要使直径为1的圆放入矩形，
则其圆心应在除去边框（宽为0.5）的
矩形内，其面积为24×19=456，
又若此圆不与任一单位正方形重叠，
则其圆心应在每个正方形加上宽度为
0.5的边框之外，正方形加框后的面积
为．由
所以有一点不在加框的小正方形中，以此点为
圆心，以0.5为半径所作的圆，在原矩形之内，
且不与任一个小正方形重叠．
（1）凸包是五边形．顶点为，于是和都是
凸四边形，对于四边形，则有
（2）凸包是四边形，其顶点依次为，不妨设在内，于
是和都是凸四边形，同（1）得；
（3）凸包是，另两点在该三角形内，于是
7．平面上任给五个相异的点，它们之间的最大距离与最小距离之比记为，
求证：．（1985年全国）
（２）若凸包是凸五边形时，在对角线上取点Ｐ、Ｑ，
使得：
若同侧，
不妨设为，则．
若同一侧，对角线必相交，设交点为Ｏ，则
10．两个同样大小的正方形相交错，其公共部分构成一个八边形，一个正方形的边是蓝色的，另一个正方形的边是红色的，证明：八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和．
Key1：（1）两个正方形中心重合时，所构成的八边形外切于以中心为圆心、正方形边长为直径的圆，由切线长定理即得．

凹多边形的性质及分类

凹多边形的性质及分类凹多边形是指内部含有凹角的多边形。

在凹多边形中，至少存在一个内角大于180度的顶点。

本文将探讨凹多边形的性质以及常见的分类。

一、凹多边形的性质1. 内角性质：在凹多边形中，至少存在一个内角大于180度。

2. 凸包：凹多边形的所有顶点都位于其凸包的边界上。

凸包是指通过连结多边形所有顶点的最小凸多边形。

3. 外角性质：凹多边形的任一外角都小于等于180度。

4. 对角线：凹多边形的对角线指的是凹多边形内不相邻的两点之间的线段。

凹多边形的对角线数量为n(n-3)/2，其中n为凹多边形的顶点数。

5. 边界：凹多边形的边界由一系列连续的线段组成，在相邻线段的端点处满足拐角性质。

二、凹多边形的分类根据凹多边形的特点和性质，我们可以将其进一步进行分类。

1. 凹四边形：凹四边形是指具有四个内角中至少一个大于180度的凹多边形。

常见的凹四边形有凹正方形、凹长方形、凹梯形等。

2. 凹五边形：凹五边形是指具有五个内角中至少一个大于180度的凹多边形。

常见的凹五边形包括凹等腰梯形、凹边长等边五边形等。

3. 凹六边形及更多边形：凹六边形及更多边形的分类相对复杂，涵盖了大量的凹多边形类型。

例如，凹正六边形、凹正七边形、凹正多边形等。

这些凹多边形的分类可以根据边长、内角大小等进行进一步的划分。

小结：凹多边形具有较为独特的性质和分类方式。

在数学和几何学中，凹多边形的研究对于深入理解多边形的性质和形态变换具有重要作用。

深入了解凹多边形的性质和分类，可以帮助我们解决相关的几何问题，并应用于实际生活和工作中。

注：本文所述的凹多边形性质及分类并非详尽无遗，仅涵盖了一部分常见的内容。

读者可以进一步探索和研究凹多边形的更多特性和分类方式。

凹函数的证明

凹函数的证明凹函数是数学中一个非常重要的概念，在众多实际问题中都有着广泛的应用。

对于凹函数的证明，其实并没有那么难，只需要我们掌握一些基本的知识和方法，就可以轻松证明凹函数的性质了。

首先，我们需要先了解什么是凹函数。

简单来说，凹函数就是指在一段区间上，函数图像下方的所有点的连线都在函数图像上方。

凹函数的性质可以用来描述很多实际问题，比如优化问题、经济学中的风险投资问题等等。

接下来，我们来证明凹函数的性质。

首先，我们需要掌握一些基本的数学方法，比如导数、二阶导数等等。

接着，我们可以考虑使用定义法、分段法等各种不同的方法来证明凹函数的性质。

关于定义法，我们可以通过凹函数的定义来证明。

首先，我们可以假设在区间[a, b]上，函数f(x)是凹函数，然后我们可以将其定义为f(x)的一条切线。

如果切线以上的点都是在函数图像下方，而切线以下的点都是在函数图像上方，那么f(x)就是一个凹函数。

这种定义法比较直观，也比较容易理解。

接着，我们来看一下分段法。

对于一个分段函数来说，我们可以考虑分别证明每一个子区间是否是凹函数。

假设函数f(x)在区间[0,1]上是凹函数，我们可以将其分成两个子区间，即[0,1/2]和[1/2, 1]。

然后，我们可以证明这两个子区间分别是凹函数，如果这两个子区间都是凹函数，那么整个区间[0,1]也就是凹函数了。

最后，我们来看一下几何法。

对于一个凹函数来说，它的图像看上去就是一个凸的形状。

我们可以通过凸包的概念来证明凹函数的性质。

凸包就是指将一个凸形状包围的所有点的集合。

对于一个凸形状来说，其凸包就是整个凸形状。

我们可以证明凹函数的图像是凸的，所以其凸包就是整个图像。

这种方法比较容易理解，但是需要对凸包和凸形状有一定的了解。

综上所述，证明凹函数的性质并不是一件非常困难的事情，我们可以使用不同的方法来证明。

掌握一些基本的数学方法和概念，了解凸包和凸形状的概念，便可轻松证明凹函数的性质。

在实际应用中，凹函数的性质可以为我们解决很多问题提供帮助，比如优化问题、风险投资等等。