离散傅里叶变换
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离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§ 3-1 引言
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题：
一是离散与量化，
二是快速运算。
傅氏变换
§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式
一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数
时域信号 频域信号 连续的 非周期的
非周期的 连续的
t
⎰
∞
∞
-Ω-=
Ωdt
e
t x j X t
j )()(:⎰
∞
∞
-ΩΩ
Ω=
d e j X t x t j )(21
)(:π
反
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
三.离散时间、连续频率的傅氏变换
--序列的傅氏变换
p
T 0=
Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的
非周期的 离散的
⎰
-Ω-=
Ω2
/2
/00)(1
)(:p p T T t jk p
dt
e t x T jk X 正∑
∞
-∞
=ΩΩ=
k t
jk e jk X t x 0)()(:0反
0 T
2T
t
时域信号 频域信号 离散的 非周期的
周期的 连续的
∑∞
-∞
=Ω-Ω=
n T
jn T
j e
nT x e X )()(:正⎰
ΩΩ-ΩΩΩ
Ω=
2
/2
/)(1
)(:s s d e
e
X nT x T
jn T
j s
反T
T s π
2,*=
Ω频域的周期为时域抽样间隔为
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是
周期的。
t
0 T 2T 1 2 N
n
时域信号 频域信号 离散的 周期的
周期的 离散的
)
1()1(0
-Ω
-N N .
2,;
2*0T
T T T s p p π
π
=Ω=Ω频域的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为
DFT 的简单推演：
在一个周期内，可进行如下变换：
02
/2
/:1~0,2:1
~0:)(1)()()(Ω=∆Ω=ΩΩ-=⋅=Ω=ΩΩ-Ω
Ω=
=
⎰
∑ΩΩ-ΩΩ∞-∞
=Ω-Ωd d N k F k k N n d e e X nT x e nT x e X s s T jn T j s
n T
jn T j π从∑∑∑
∑
-=-=--=ΩΩ-=Ω-Ω=
=
=
Ω⋅Ω=⋅=ΩΩΩ=
=1
2210
22001
1
0)(1
)()()
(222)()()()(0000N k nk N
j k N j
N n nk N
j k N j s p N k T
jnk T jk s
N n T jnk T jk e e
X N
nT x e
nT x e
X N T T T e e X nT x e nT x e X πππππ
ππ因此又Θ
视作n 的函数，
视作k 的函数，
这样,
§ 3-3 周期序列的DFS
一.周期序列DFS 的引入
导出周期序列DFS 的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数
开始的：
对上式进行抽样，得： ，代入
又由于
∑∑-=-=-=
=
10
21
2)(1
)()()(N k nk N
j
N n nk N
j
e
k X N
n x e
n x k X π
π
)
()
(2k N j
e
X nT x π)
()
()()(2k X e
X n x nT x k N j →→π∑
∞
-∞
=ΩΩ=k t
jk e k X t x 0)(~)(~0∑
∑
∞
-∞
=∞
-∞
=ΩΩ=
Ω=k nk N
j k nT
jk e
k X e k X nT x π200)(~
)(~
)(~0N
T π20=
Ωkn N
j rn j nk N
j
n rN k N
j
e
e e
e
ππππ
222)(2=⋅=+