离散傅里叶变换

离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。

但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。

近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。

§ 3-1 引言一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。

二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。

傅氏变换§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换对称性： 时域连续，则频域非周期。

反之亦然。

二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数时域信号 频域信号 连续的 非周期的非周期的 连续的t⎰∞∞-Ω-=Ωdtet x j X tj )()(:⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(:π反*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换--序列的傅氏变换pT 0=Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的非周期的 离散的⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(:p p T T t jk pdte t x T jk X 正∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e jk X t x 0)()(:0反0 T2Tt时域信号 频域信号 离散的 非周期的周期的 连续的∑∞-∞=Ω-Ω=n Tjn Tj enT x e X )()(:正⎰ΩΩ-ΩΩΩΩ=2/2/)(1)(:s s d eeX nT x Tjn Tj s反TT s π2,*=Ω频域的周期为时域抽样间隔为四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。

t0 T 2T 1 2 Nn时域信号 频域信号 离散的 周期的周期的 离散的)1()1(0-Ω-N N .2,;2*0TT T T s p p ππ=Ω=Ω频域的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为DFT 的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：02/2/:1~0,2:1~0:)(1)()()(Ω=∆Ω=ΩΩ-=⋅=Ω=ΩΩ-ΩΩ==⎰∑ΩΩ-ΩΩ∞-∞=Ω-Ωd d N k F k k N n d e e X nT x e nT x e X s s T jn T j sn Tjn T j π从∑∑∑∑-=-=--=ΩΩ-=Ω-Ω===Ω⋅Ω=⋅=ΩΩΩ==122102200110)(1)()()(222)()()()(0000N k nk Nj k N jN n nk Nj k N j s p N k Tjnk T jk sN n T jnk T jk e eX NnT x enT x eX N T T T e e X nT x e nT x e X πππππππ因此又Θ视作n 的函数，视作k 的函数，这样,§ 3-3 周期序列的DFS一.周期序列DFS 的引入导出周期序列DFS 的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：对上式进行抽样，得： ，代入又由于∑∑-=-=-==10212)(1)()()(N k nk NjN n nk Njek X Nn x en x k X ππ)()(2k N jeX nT x π)()()()(2k X eX n x nT x k N j →→π∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e k X t x 0)(~)(~0∑∑∞-∞=∞-∞=ΩΩ=Ω=k nk Nj k nTjk ek X e k X nT x π200)(~)(~)(~0NT π20=Ωkn Nj rn j nk Njn rN k Njee eeππππ222)(2=⋅=+所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。

二.的k 次谐波系数 的求法 1.预备知识 同样，当 时，p 也为任意整数，则亦即()()∑-=Ω=120~~N k nk Njek X nT x π∑-==Ω120)(~)(~)(~~)(~)(~~)(~N k nk Njek X n x k X k X n x nT x π则有，；，考虑到：)(~n x )(~k X ⎩⎨⎧==∑-=rm mN r N e N n rnN j ，其他为任意整数0,,102π)(11122)1(2222102时mN r N eeee e er N j N r NjN r Njr Nj r Nj N n rn N j==--=++++=⋅-⋅⋅-=∑ππππππΛΘpNr k =-])[()0(10)(2pN r k N N N e N n n r k Nj --===∑-=-δδπ[][])()()(11)(2pN r k pN r k pN r k eNN n n r k Nj+-=--=--=∑-=-δδδπ所以 2. 的表达式将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和，则：[])(~)(~)()(~10r X pN r X pN r k k X N k =+=+-∑-=δ)(~k X ∑-==12)(~)(~N k nk Nj e k X n x πnr Nj e π2-∑-=-12)(~N n nr Njen x π∑∑-=-=-=101)(2)(~N n N k n r k Njek X π[])(~)(~)()(~)(~)(~)(~11010)(2101)(212r X N pN r X N pn r k N k X e k X ek X en x N k N k N n n r k Nj N n N k n r k NjN n nr Nj=+=+-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=--=-δπππ通常将定标因子1/N 移到 表示式中。

即：3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入，则： ∑-=-=12)(~1)(~,N n nr Njen x Nr X π因此∑∑∑-=-=--=-===121212)(~)(~)(~1)(~,)(~1)(~N k kn Nj N n knNj N n kn Nje k X n x e n x N k X en x Nk X k r πππ对于周期序列所以则有换成将)(~n x ∑∑-=-=-==1212)(~1)(~)(~)(~N k kn NjN n kn Njek X Nn x en x k X ππNjN e W π2-=正变换： 反变换： 4. 的周期性与用Z 变换的求法周期性： 用Z 变换的求 ：对作Z 变换，[]∑∑-=-=-===112)(~)(~)(~)(~N n nk NN n nk NjW n x en x n x DFS k X π[]∑∑-=--====112)(~1)(~1)(~)(~N k nk NN k nk NjW k X Nek X Nk X IDFS n x π)(~)(~)(~)(~)(~102102210)(2k X en x e e n x en x mN k X N n kn NjN n mn j knN j N n n mN k Nj==⋅==+∑∑∑-=--=---=+-ππππ个不同值。

只有这就是说，N k X )(~)(~k X )(n x )(~k X如果 ，则有可见， 是Z 变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N 个等分点上，且第一个抽样点为k =0。

∑∑-=-∞-∞=-==1)()()(N n nn n Z n x Z n x Z X[]Z j Im []ZkN je Z π2=)(~)()(122k X en x eX N n kn Njk N j==∑-=-ππ)(~k X )(Z X§ 3-4 DFS 的性质一.线性 如果 则有 其中，a,b 为任意常数。

二.序列的移位 如果 则有： 证明： 令i =m +n,则 n =i -m 。

n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m所以 * 和 都是以N 为周期的周期函数。

三.调制特性[][])(~)(~)(~)(~2211n x DFS k X n x DFS k X ==[])(~)(~)(~)(~2121k X b k X a n x b n x a DFS +=+[])(~)(~k X n x DFS =[])(~)(~)(~2k X ek X W m n x DFS mk N jmk N π==+-∑-=+=+10)(~)](~[N n nk NW m n x m n x DFS mk NmN mi ik N W W i x m n x DFS -+-=⋅=+∑1)(~)](~[)(~)(~1k x W W i x W mk N N i ik N mkN--=-==∑)(~i x ik NW如果则有证明：时域乘以虚指数( )的m 次幂，频域搬移m ,调制特性。

四.周期卷积和1.如果则：2.两个周期序列的周期卷积过程 （1）画出 和 的图形；（2）将 翻摺,得到可计算出： [])(~)(~k X n x DFS =[])(~)(~m k X n x W DFS mn N +=)(~)(~)(~)](~[1)(10m k X W n x W n x W n x W DFS N n n m k Nkn N N n mn N mn N +===∑∑-=+-=mn N jnm Njmn Nj mn N eeeW )(222πππ---===n N j eπ2-)(~)(~)(~21k X k X k Y =∑∑-=-=-=-==111221)(~)(~)(~)(~)](~[)(~N m N m m n x m x m n x m x k Y IDFS n y )(~1m x )(~2m x )(~2m x )0(~)(~22m x m x -=-11020********)0(~)(~)0(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y（3）将右移一位、得到mm 计算区)1(~2m x -)(~2m x -1010********)1()(~)1(~521⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y可计算出：（4）将 再右移一位、得到 ， 可计算出： （5）以此类推，m )(~2m x -)2(~2m x -3100001011121)2()(~)2(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y 4000001112111)3(~)(~)3(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y ,4)4(~=y 同样，可计算出：3)5(~=y3.频域卷积定理 如果 ，则§ 3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式如果 ，m 为整数；则有：)(~n y n 13 4 4 )(~)(~)(~21n x n x n y =[]∑∑∑-=-=-=-=-===11210211)(~)(~1)(~)(~1)(~)(~)(~N l N l N n nk Nl k X l X Nl k X l X NW n y n y DFS k Y mN n n +=1101-≤≤N n ()()()1n n N =此运算符表示n 被N 除，商为m ，余数为 。