高中数学 第5章 推理与证明 5.2 直接证明与间接证明 5.2.1 直接证明：分析法与综合法讲义(

5．2.1 直接证明：分析法与综合法

[读教材·填要点]

综合法和分析法

综合法

分析法

定义 从数学题的已知条件出发，经过逐步的

逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法

从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法

特点

从“已知”看“可知”，由因导果，寻

找必要条件

从“未知”看“需知”，执果索因，寻

找充分条件

[小问题·大思维]

1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

2．综合法与分析法有什么区别？

提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．

综合法的应用

已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1

b

≥4.

[自主解答] 法一：∵a ，b ∈R ＋

且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤1

2

.

∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab

≥4.

当且仅当a ＝b ＝1

2时，取“＝”号．

法二：∵a ，b ∈R ＋

， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1

b ≥2

1ab

＞0.

∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ≥4.

又因为a ＋b ＝1， ∴1a ＋1

b

≥4.

当且仅当a ＝b ＝1

2时，取“＝”号．

法三：∵a ，b ∈R ＋

，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b

＝1＋b a ＋a

b ＋1≥2＋2

a b ·b

a

＝4. 当且仅当a ＝b ＝1

2

时，取“＝”号．

保持例题条件不变，求证：4a ＋1

b

≥9.

证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b

＝

4a ＋b a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a

b

＋1 ≥5＋2

4b a ·a

b

＝5＋4＝9.

当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝2

3时等号成立．

法二：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b

＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫4a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b

＋1

≥5＋2

4b a ·a

b

＝5＋4＝9.

当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝2

3

时等号成立．

综合法证明问题的步骤

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．

1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a 2

＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B . 证明：∵a 2

＝b (b ＋c )，

∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋bc 2bc ＝c －b 2b

，

cos 2B ＝2cos 2

B －1＝2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫a 2＋c 2－b 2

2ac 2－1

＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝b ＋c 2－2b b ＋c 2b b ＋c ＝c －b 2b ， ∴cos A ＝cos 2B .

又A ，B 是三角形的内角，∴A ＝2B .

分析法的应用

当a ＋b >0时，求证：a 2

＋b 2

≥

2

2

(a ＋b )． [自主解答] 要证 a 2＋b 2

≥

2

2

(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2

≥⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤22a ＋b 2

， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2

≥2ab .

因为a 2

＋b 2

≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2

＋b 2

≥

2

2

(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．

分析法的证明过程及书写形式

(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．

(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．

2．已知a>6，求证：a－3－a－4

证明：法一：要证a－3－a－4

只需证a－3＋a－6

⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2

⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4

⇐a－3a－6

⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)

⇐18<20，

因为18<20显然成立，

所以原不等式a－3－a－4

法二：要证a－3－a－4

只需证

1

a－3＋a－4

<

1

a－5＋a－6

，

只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.

∵a>6，

∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.

又∵a－3>a－5，

∴a－3>a－5，

同理有a－4>a－6，

则a－3＋a－4>a－5＋a－6.

∴a－3－a－4

综合法与分析法的综合应用

已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.

[自主解答] 法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1