高中数学教材中数学史分布的特征和效应

高中数学教材中数学史分布的特征和效应

法国着名数学家庞加莱曾说:“如果我们想要预测数学的未来,那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状”[1].《普通高中数学课程标准(实验)》指出:“数学课程应适当介绍数学发展的历史、应用和趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神……”数学史在数学教育中的价值已得到越来越多的数学教育工整理的重视[2-4],但是讨论数学史融入数学教材研究的时间很短,有关成果也不多[5].然而,教材中数学史是如何分布的?采用何种呈现方式?特别是数学史的内容选择和设计模式有何特征?对上述问题的研究,有助于对数学教材中数学史融入数学教学的做法有深入的认识,也有助于更好地进行数学史融入数学教学的教学设计.选取北师大版高中数学必修教材作为主要研究对象,对数学教材中数学史分布的特征与模式进行了分析和研究.

一、分布特征

1.总体分布

首先,考察数学史的内容及分布情况.统计发现,在必修1至必修5的5本教材中数学史料共计出现了22处,具体如表1所示.

必修1至必修5教材中出现数学史的次数分别为:4,2,7,3,6,共计22处.每本教材中出现数学史次数的差别是比较大的,其中必修3中出现数学史料最多,但第三章《概率》中没有出现数学史的内容.

2.分布布局

表1展现了教材每一章节中安排的数学史内容,对数学史在教材中的分布情况进行了更具体的分析,主要考察数学史的分布布局.在分布布局这一维度上,着重考虑正文、例题、习题、阅读材料4个方面.需要说明的是,考虑到教材设置的栏目中小资料和阅读材料存在本质上的一致性,因此统计时统一列为“阅读材料”.数学教材中数学史的分布布局如表2所示.

统计结果表明,5本必修教材中共出现数学史22处,主要分布在阅读材料中,共计14处,占63.64%.但在教材正文和例题中也出现了较多的数学史料,在教材正文和例题中出现的数学史更有利于教师在教学中应用,以逐步提高学生的数学修养,这应该是对课程标准对教材中数学史设计要求的一种积极回应和具体体现.

3.内容选择

在内容选择这一维度上,着重考虑数学家生平、相关数学史料、历史名题和其他文化4个方面.其中“其他文化”主要是指音乐、绘画等艺术领域及社会中天文、医学等生活领域,侧重介绍数学发展与社会生活各方面的关系.

从表3可以看出,5本教材都至少有一则数学家的简介,必修5中介绍了3位数学家.选择数学家生平这一内容的数学史料共计7处,与其一样多的是相关数学史料(7处),再次是历史名题(5处).可见教材已比较注重数学知识发生发展过程的介绍,并着重说明在知识发展过程中着名数学家作出的重大贡献,有利于学生了解数学发展的曲折历程.在教材中展现历史名题,有利于激发学生的数学学习兴趣,促进学生数学思维的发展.相对而言,展现其他文化的史料较少,这就促使研究者寻求将数学知识和其他文化结合的途径.另外,在介绍数学家时,教材中主要说明数学家的生平(如国籍、出生地、时间等)及做出的贡献,较少(几乎没有)体现数学家遭遇困惑、挫折、失败的经历.对数学家的叙述使学生感觉数学家想到定理是理所当然的,并没有恢复数学“冰冷的美丽”背后“火热的思考”,未能表现出数学家创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路.

4.呈现方式

教材中所选取数学史的呈现方式多数以文字为主,并无其他呈现方式,只有少量的数学史料在以文字呈现方式为主的基础上,附以图片、图形等.为了更深入地了解教材中数学史的呈现方式,研究者对此进行了统计.除文字呈现方式外,区分为头像、图文、图片和图形4种方式.在分类时,数学史料中只是附以数学家的照片,则归于头像一类;对数学家或其他相关史料说明时,并在照片下有必要的文字说明,则归于图文一类;涉及生活中的相关景象等归于图片一类;数学史料中为了更好地解释史料的数学知识,增添了数学图形,则将此归于图形一类,即主要涉及数学图形,具体统计结果如表4所示.

根据表4可以看出,除文字这一呈现方式外的其他方式共有17处,而5本教材中的数学史料共有22处,仅从数据来看,其他呈现方式是比较少的.另一方面,对其他呈现方式进行数量统计时,有的数学史料就有多个统计量.例如数学与音乐这一史料中,有3个图片2个图形,这样一个数学史料在统计呈现方式时将会统计5次.相对而言,其他数学史料中除文字外的呈现方式就更少了,怎样才能增加数学史料的呈现方式?这点值得深思.

二、设计模式

数学史的分布布局、内容选择以及呈现方式体现了高中数学教材中数学史内容的外部特点,而对数学史的具体编排设计却体现了它的内部特点,即怎样设计才能使数学史更好地在高中数学教学中发挥其教育功能[6].

数学史融入数学教学主要有两种方式:显性融入和隐性融入.显性融入数学史旨在“描述数学发展的进程”,也就是在教学中讲点数学史以提高学生的学习兴趣,这只是数学史融入数学教学的较低层次.隐性融入是根据历史对教学内容重新设计和加工,整理适用于教学的“历史套装”,主要在于将数学史中的思想方法和数学知识了解起来,使学生在学习中深刻体会其中的方法,这是数学史融入数学教学的较高层次.

通过对教材的分析,将数学史融入教材的显性融入方式进一步划分为由数学史引出数学知识和由数学知识引出数学史两种设计模式,具体见图1所示.

显性融入主要指数学史和数学知识是互相引出的关系,只是由一点想到另一点,两者之间并无深层次的了解.由数学知识引出数学史,是指在教材中阐述某一知识时联想到与此有关的数学史料,进而进行数学史的介绍.在此,数学史作为知识的注解或扩充,目的是让学生在学习知识时了解一些相关的数学史料.例如,在必修1第一章《集合》中,介绍了集合的创始人康托,进而引出了阅读材料“康托与集合论”.这种设计模式可条理清晰地叙述某一方面的数学史料,在阅读的过程中感受数学家严谨治学的态度和数学发展的曲折历程.但在教学过程中进行讲解势必会占用大量课堂时间,只能作为学生课外阅读材料.

由数学史引出数学知识,是根据数学史的介绍,在史料中提炼出数学问题,让学生用现有的知识解决问题.在这一模式中,数学史充当数学问题的背景,提出的问题在历史上可能并未存在,数学史只是作为问题的一种情境.例如,在必修5第二章《解三角形》正弦定理和余弦定理一节中,根据历史上古希腊数学家泰特托斯构造无理数,……的图形,编制出应用余弦定理求图中相应线段长度及角度大小的例题.这种设计模式,数学史仅仅作为数学知识的背景出现,其目的在于引出数学问题或相应的数学知识,并无深层次的关系.按照这两种设计模式引入数学史,数学史充当知识的注解或问题的背景,只是停留于表面,难以达到数学史对数学教学的真正价值,在教学中融入数学史,并不是为了讲数学史而介绍数学史,真正意图是通过数学史的运用实现教学目标.

数学史融入教材的另一种设计模式是隐性融入,真正地把蕴含着数学思想方法的巨大宝藏的数学史的文化教育功能发挥出来,也就是“基于数学思想的历史与逻辑的数学教育方式”

[7].这种模式与显性融入的模式有着本质的区别,在此数学史被请入了数学知识的殿堂,并未游离于数学知识外.例如,在必修3第二章《算法初步》中的“韩信点兵”例题,主要让学生在分析韩信智慧的基础上,提炼其点兵的思想方法,进而转化为算法的基本程序.这样就把韩信