概率计算方法全攻略
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理概率论是考研数学中的一大重点，掌握好概率论的基本公式和解题思路对于备考考研数学非常重要。
本文将对考研数学概率论的备考重点公式和解题思路进行整理，帮助考生更好地备考概率论。
一、基本概率公式1.1 事件的概率公式对于一个随机试验，其所有样本点组成的样本空间为S，一个事件A是样本空间S的一个子集。
那么，事件A发生的概率P(A)定义为： P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A包含的样本点的个数，n(S)表示样本空间S 中所有样本点的个数。
1.2 事件的互斥与独立若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是互斥的：- 事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B = ∅- 事件A和事件B的概率相加等于1，即P(A∪B) = P(A) + P(B)若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是独立的：- 事件A和事件B发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)二、常用的概率公式2.1 全概率公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到全概率公式：P(B) = P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) * P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
2.2 贝叶斯公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / (P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) *P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An))其中，P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率。
初中数学知识归纳概率与概率的计算方法
初中数学知识归纳概率与概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，它用于描述某个事件发生的可能性。
在初中数学中，学生们需要学习并掌握概率的基本概念和计算方法。
本文将对初中数学中与概率相关的知识进行归纳总结，包括概率的定义、概率的计算方法以及与概率相关的常见问题。
一、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小。
通常用一个介于0到1之间的数值来表示概率，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
在实际问题中，概率的取值也可以是一个百分比，例如50%表示事件发生的可能性为一半。
二、概率的计算方法1. 等可能事件的概率计算如果一个事件中的每个结果发生的可能性相同且互不影响，我们称这些事件为等可能事件。
对于等可能事件，其概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点个数，n(S)表示样本空间中的样本点总数。
2. 有限样本空间的概率计算对于有限样本空间的事件，我们可以先计算出每个样本点发生的概率，再根据事件包含的样本点的概率之和计算事件发生的概率。
3. 独立事件的概率计算如果两个事件A和B同时发生的可能性与事件A发生的可能性以及事件B发生的可能性之乘积相等，我们称这两个事件为独立事件。
对于独立事件，其概率的计算公式为：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)4. 互斥事件的概率计算如果两个事件A和B不能同时发生，那么我们称这两个事件为互斥事件。
对于互斥事件，其概率的计算公式为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)三、与概率相关的常见问题1. 排列组合问题在概率计算中，常常涉及到排列组合问题，例如从一组数中选择若干个数的不同排列情况。
在解决这类问题时，我们可以使用排列组合公式来计算可能的情况数，进而计算概率。
2. 抽样问题在实际问题中，经常需要进行抽样调查来获取数据。
在计算概率时，我们需要根据抽样的结果来计算概率的估计值，从而对总体的情况进行推断。
数学解决概率问题的常用方法和技巧
数学解决概率问题的常用方法和技巧概率问题是数学中常见的一类问题，涉及到随机事件的发生与可能性的计算。
在解决概率问题时，我们可以采用一些常用的方法和技巧，以提高解题效率和准确性。
本文将介绍几种常用的数学解决概率问题的方法和技巧。
一、频率法频率法是一种通过大量实验来计算概率的方法。
我们可以进行多次重复实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
当实验次数足够多时，频率会逐渐接近于真实概率。
频率法适用于实验重复次数较多的情况，可以较为准确地估计概率。
二、古典概型古典概型是一种基于等可能性原则的概率计算方法。
在古典概型中，我们假设所有可能的结果具有相同的概率，根据事件的数量和总体的数量来计算概率。
例如，一个骰子有6个面，每个面的点数是等概率出现的，那么掷出一个骰子点数为3的概率就是1/6。
三、条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的计算方法是根据已知条件来确定样本空间和事件发生可能性的比例。
条件概率的计算可以帮助我们更准确地估计概率，并解决一些与条件相关的概率问题。
四、加法公式加法公式是一种用于求解复合事件概率的方法。
当两个事件互斥（即同时不能发生）时，可以使用加法公式计算两个事件中至少发生一个的概率。
加法公式的计算公式是P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
五、乘法公式乘法公式是一种用于求解独立事件概率的方法。
当两个事件是相互独立的（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生）时，可以使用乘法公式计算两个事件同时发生的概率。
乘法公式的计算公式是P(A且B) = P(A) × P(B)。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种在已知后验概率的情况下，计算先验概率的方法。
贝叶斯定理可以在新的证据出现后，根据观测到的事件来调整之前的概率判断。
贝叶斯定理在处理具有隐含条件和先验概率的问题方面有着广泛的应用。
综上所述，数学解决概率问题的常用方法和技巧包括频率法、古典概型、条件概率、加法公式、乘法公式和贝叶斯定理。
概率的计算方法总结
概率的计算方法总结概率是数学中一个重要的概念，用于描述随机事件发生的可能性。
在许多领域中，概率的计算方法都扮演着重要的角色，如统计学、金融学、工程学等。
本文将总结一些常见的概率计算方法，包括经典概率、条件概率、贝叶斯定理和概率分布函数等。
一、经典概率经典概率又称为古典概率，用于描述在确定条件下，各个可能事件发生的概率相等的情况。
计算经典概率的方法是通过所求事件的对数除以样本空间的对数，即 P(A) = N(A)/N(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，N(A) 表示事件 A 发生的次数，N(S) 表示样本空间的大小。
例如，一枚均匀的硬币抛掷，正面和反面的可能性相等。
则正面朝上的概率为 1/2，反面朝上的概率也为 1/2。
二、条件概率条件概率是指在给定某个条件下，事件发生的概率。
计算条件概率的方法是通过已知条件下所求事件的概率与已知条件的概率之比，即P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
例如，一个骰子，求在投掷的结果为奇数的条件下，投掷结果为3的概率。
已知条件为奇数，即样本空间为{1, 3, 5}，而事件 A 为投掷结果为3。
则条件概率为P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 1/3。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是基于条件概率的一种概率计算方法。
它描述了在得到新的信息后，对之前的概率进行修正的过程。
贝叶斯定理的计算公式为 P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
贝叶斯定理在统计学、人工智能、医学等领域有广泛的应用。
概率计算方法全攻略
概率计算方法全攻略概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一.公式法P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0<P(随机事件)<1.例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162 . 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法例2 如图2是地板格的一部分，一只图1蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178.评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积.三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12 .（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 .由题意得21122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下：∴两次摸到都是白球的概率 =61122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的.本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？黄白2白1蓝黄白1蓝黄白2（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是.2142= (2)解法一(树形图):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 解法二(列表法):12 3图图3第一次抽取12 3 第二次抽取 21 3 31 2 41 2 1共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122 评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效.概率计算一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？1条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)【本讲教育信息】一. 教学内容：概率计算二. 重点、难点：1. 古典概型∴2. A、B互斥，则3. A的对立事件，4. A、B独立，则【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
如何迅速计算复杂的概率问题
如何迅速计算复杂的概率问题概率问题在数学和统计学中扮演着重要的角色，但是对于一些复杂的概率问题，我们可能会感到头疼。
然而，有一些技巧和方法可以帮助我们迅速计算复杂的概率问题。
本文将介绍一些这样的方法，以帮助您更好地解决概率问题。
一、理解问题的要求在解决任何概率问题之前，我们首先需要清楚地理解问题的要求。
我们需要弄清楚问题中涉及到的事件、概率和相关的条件。
通过仔细阅读问题，理解问题的核心要求，可以帮助我们更好地解决问题。
二、使用基本的概率公式对于一些简单的概率问题，我们可以使用基本的概率公式来计算。
例如，如果我们要计算一个事件发生的概率，可以使用下面的公式：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中有利的结果的个数，n(S)表示样本空间中的总结果数。
通过使用这个公式，我们可以计算出事件发生的概率，从而解决一些简单的概率问题。
三、使用排列组合对于一些涉及到顺序和组合的概率问题，我们可以使用排列组合的方法来解决。
排列指的是从一组元素中选取一部分元素的顺序排列的方法；组合指的是从一组元素中选取一部分元素的组合方式。
例如，如果我们要计算从10个不同的球中选取3个球的排列数，可以使用排列公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，P(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的排列数，!表示阶乘。
同样地，如果我们要计算从10个不同的球中选取3个球的组合数，可以使用组合公式：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)通过使用排列组合的方法，我们可以快速计算出一些涉及到顺序和组合的概率问题。
四、使用条件概率和贝叶斯定理在一些复杂的概率问题中，我们可能需要考虑到条件概率和贝叶斯定理。
条件概率是指在发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯定理是一个重要的概率公式，可以用于计算在给定一些条件下的事件发生的概率。
条件概率和贝叶斯定理可以帮助我们解决一些复杂的概率问题，尤其是当涉及到多个事件和条件时。
1-3概率的基本运算法则
数理统计
01-03-16
概率乘法公式 两个事件积事件的概率等于一
个事件的概率乘以这个事件发生的 条件下另一事件的条件概率，这就 是概率乘法公式。即
P(AB)=P(A)×P(B|A) (当P(A)>0时) P(AB)=P(B)×P(A|B) (当P(B)>0时)
数理统计
01-03-17
EXAMPLE In a large genetics study utilizing guinea pigs, 30% of the offspring produced had white fur and 40% had pink eyes. Tow-thirds of the guinea pigs with white fur had pink eyes. What is the probability of a randomly selected offspring having both white fur and pink eyes?
两两互不相容，则
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
数理统计
01-03-05
推论2 若有限个事件 A1,A2,…,An 之间，
两两互不相容，且 A1+A2+…+An=Ω， 则
P(A1)+P(A2)+…+P(An) =1
推论3 对立事件的概率满足
P(A) =1P( A )
数理统计
01-03-09
例 袋中有4只黑球和1只白球，每 次从袋中任意取出一球，并换入一 只黑球。连续进行，问第三次取出 的是黑球的概率是多少？
数理统计
概率的计算方法
概率的计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，它在各个领域都有着重要的应用。
在实际生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。
本文将介绍概率的计算方法，包括基本概率、条件概率和贝叶斯定理等内容。
首先，我们来看基本概率的计算方法。
对于一个随机事件A，它发生的概率可以用如下公式来表示：P(A) = N(A) / N(S)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S中事件发生的总次数。
通过这个公式，我们可以计算出事件A的概率。
接下来，我们介绍条件概率的计算方法。
条件概率是指在另一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
它的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过这个公式，我们可以计算出在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
最后，我们介绍贝叶斯定理的计算方法。
贝叶斯定理是一种通过已知信息来更新概率的方法。
它的计算公式为：P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过这个公式，我们可以根据已知信息来更新事件A的概率。
综上所述，概率的计算方法包括基本概率、条件概率和贝叶斯定理等内容。
通过这些方法，我们可以计算出事件发生的概率，从而在实际生活中做出合理的决策和预测。
希望本文能够帮助读者更好地理解概率的计算方法，并在实际应用中发挥作用。
概率与事件的计算方法
概率与事件的计算方法概率与事件的计算方法是概率论中的重要内容，它描述了事件发生的可能性大小。
在解决实际问题时，我们经常需要计算概率和事件的相关性，以便做出合理的决策。
本文将介绍一些常用的概率计算方法，并通过实例进行说明。
一、概率基础知识回顾在深入了解概率计算方法之前，我们需要对概率的基础知识进行回顾。
概率用于描述某个事件在所有可能事件中的相对可能性大小。
在概率论中，将事件的发生称为随机试验，而事件的每个结果称为样本点。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法适用于所有可能结果等概率出现的情况。
具体计算公式为：事件发生的可能性 = 有利于事件发生的样本点数 / 所有样本点数。
例如，有一个标准52张扑克牌的纸牌盒，那么从中抽取一张牌的概率可以使用经典概率法计算。
在这个案例中，有利于抽到黑桃A的样本点数为1，而所有样本点数为52，因此概率为1/52。
2. 相对频率法相对频率法是通过大量重复实验计算概率的方法。
具体操作是进行大量的实验，然后统计事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，为了计算抛硬币正面朝上的概率，我们可以抛100次硬币并记录正面朝上的次数。
如果正面朝上的次数为50次，那么概率即为50/100=0.5。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验来估计概率的方法。
这种方法常用于无法具体统计和实验的情况下。
例如，假设要判断明天下雨的概率，我们可以依据天气预报、云的形状、气氛等因素来进行主观估计。
这种方法没有明确的计算公式，只能根据个人主观判断来得出概率。
三、概率与事件的相关性概率与事件的相关性是指两个或多个事件之间的相关性。
在概率计算中，我们经常需要计算事件的交集、并集以及互斥性等相关性。
1. 事件的交集事件的交集指的是两个或多个事件同时发生的情况。
计算事件的交集概率时，可以使用相对频率法或者数学模型进行计算。
例如，假设有一个箱子里装有10颗红色和10颗蓝色的球，从中随机取出一颗球，同时颜色是红色和蓝色的概率可以使用相对频率法进行计算。
概率计算方法全攻略
概率计算方法全攻略概率是数学的一个分支，用来研究随机事件在一系列试验中发生的可能性。
概率计算方法是利用数学模型来计算事件的概率。
本文将系统地介绍概率计算的常见方法。
首先，我们需要了解一些基本概念。
1.试验：指的是一次随机现象发生的过程。
例如，掷一枚硬币、掷一个骰子等。
2.样本空间：指的是试验的所有可能结果组成的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间是{正面，反面}。
3.事件：指的是样本空间的一个子集，表示我们关心的一些结果。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件。
下面介绍一些概率计算的常见方法。
1.古典概率：也称为经典概率，适用于试验的样本空间有限且各个结果发生的概率相等的情况。
计算公式为P(A)=N(A)/N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A包含的有利结果的个数，N(S)表示样本空间的结果个数。
2.几何概率：适用于试验的样本空间可以用一个几何模型表示的情况。
例如，随机选择一个点落在一个圆内的概率可以通过计算圆的面积与正方形的面积之比得到。
3.统计概率：适用于试验的样本空间不能直接观察到，而是需要通过统计方法估算的情况。
例如，通过随机抽样估计一个群体中其中一种特征存在的概率。
4.条件概率：指的是在已知一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
计算公式为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5.独立事件：指的是两个事件的发生与否互不影响的情况。
对于独立事件，有P(A∩B)=P(A)*P(B)。
6.互斥事件：指的是两个事件不可能同时发生的情况。
对于互斥事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
除了上述常见的概率计算方法，还有一些高级方法，如贝叶斯定理、排列组合等。
贝叶斯定理可以用于计算在已知一些条件下，事件的概率。
排列组合可以用于计算从一个集合中选择元素的不同方式的个数。
概率统计的解题技巧
概率统计的解题技巧【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;③ 依公式()m P A n 求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：①求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n kn nmP AnP A B P A P BP A B P A P BP k C p p-⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:互斥事件：独立事件：n次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C33.54C102P===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．[解答过程]1.20提示:51.10020P==例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有51. 204=例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=故填0.94.+++例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( ) （A ）454（B ）361 （C ）154（D ）158[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有55120A =种，所求的概率是120822515P ==，所以选D.例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：A “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．[解答过程]（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-． 解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==． 00316179()()1()1.495495P B P B P B ==-=-=例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 44244288135A A A P A ==种.所以,填135.例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.[标准解答]（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅= （II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件. 2B 由题意，得31()1.44P B =-=2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C CC C ++⋅⋅=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =++22222242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++ 所以,12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=， 化简，得271160,n n --=解得2n =，或37n =-（舍去），故 2n =.例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．[解答过程]（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,23()(10.6)0.064P A =-=， ()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+ 0.648=．例10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，则P (A )=a ，P (B )＝b ，P (C )=c.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )=a ×b ×(1-c)+(1-a)×b ×c+a ×(1-b)×c+a ×b ×c =ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+31P (B ·C )+ 31P (A ·C )= 31×(a ×b+b ×c+c ×a)= 31(ab+bc+ca)(Ⅱ) p 1--- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca)=23( ab+bc+ca-3abc)≥23]3abc -=0-≥. ∴p 1≥p 2例11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. [解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41()5P A =， ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率 3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，ix ，……，ξ取每一个值ix （=i 1，2，……）的概率P （ix =ξ）=iP ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥iP ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k nkq p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n=- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例12．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C CP C ξ===，()2322032190C P Cξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795． 例13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)iA i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=． ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)iA i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+nn p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+. (4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD 由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定. 小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元． (200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为=（元）．Eη=⨯+⨯+⨯2402000.42500.43000.2小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解答过程：易得x没有改变，x=70，而s2=1［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－48x2］=75，48s′2=1［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－48x2］48=1［（75×48+48x2－12500+11300）－48x2］48=75－1200=75－25=50.48答案：B考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.典型例题例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ． 解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．例19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm ）如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 ⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图. 思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。
事件的概率计算学习如何计算事件的概率
事件的概率计算学习如何计算事件的概率事件的概率计算：学习如何计算事件的概率事件的概率计算是概率论中的重要概念，它用于衡量某个事件发生的可能性大小。
在我们日常生活和学习中，掌握如何准确计算事件的概率对于做出决策、预测结果以及解决问题非常重要。
本文将介绍事件概率的基本概念、计算方法和应用案例，以帮助读者更好地理解和应用概率计算。
概率的基本概念概率是用于描述某个事件发生可能性的数值。
它的取值范围是从0到1，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
通过概率的计算，我们可以对不同事件的发生可能性进行比较和评估。
事件的概率计算方法1. 经典概率法：经典概率法也称为“等可能概率法”，适用于所有可能的结果发生概率相等的情况。
计算方法如下：P(A) = 事件A发生的可能数 / 所有可能结果的总数2. 相对频率法：相对频率法是根据观察数据来计算概率，通过大量试验或实际观察的结果来评估事件发生的可能性。
计算方法如下：P(A) = 事件A发生的次数 / 总实验次数3. 主观概率法：主观概率法是基于个人主观判断或经验估计来计算概率。
由于没有具体的数据支持，因此主观概率法的结果可能会因人而异。
事件的概率计算应用案例1. 投掷骰子：假设我们有一个标准的六面骰子，每个面上的点数从1到6。
我们想计算投掷骰子后出现点数为3的概率。
根据经典概率法，点数为3的可能数为1，总可能数为6，因此概率为1/6。
2. 生日悖论：生日悖论是指在一个随机群体里，只要人数超过23个，至少有两个人生日相同的概率超过50%。
这个问题可以通过相对频率法计算得出。
3. 网络安全：在网络安全领域，计算恶意软件感染电脑的概率对于保护网络安全至关重要。
通过分析历史数据、行为模式和网络流量等因素，可以应用概率计算来评估恶意软件感染的风险。
总结事件的概率计算是概率论的核心内容之一，通过了解和应用概率计算方法，我们可以更好地评估和预测事件发生的可能性。
在实际生活和学习中，我们可以利用概率计算来做出决策、解决问题和进行风险评估。
概率知识点总结
概率知识点总结概率是数学中一个重要且广泛应用的概念。
它与我们日常生活密切相关，无论是在投资决策、医学诊断还是运动比赛中，我们都要借助概率来进行判断和预测。
概率的应用广泛而深远，本文将对一些常见的概率知识点进行总结和分析。
一、基本概念1. 随机事件与样本空间：随机事件是指在某个特定条件下具有不确定性的事件，样本空间则是随机事件可能发生的所有情况组成的集合。
2. 事件的概率：事件发生的可能性大小用概率来表示，概率是一个介于0和1之间的实数，其中0表示不可能事件，而1表示必然事件。
二、概率的计算方法1. 经典概率：对于等可能出现的随机事件，可以通过计算有利结果的个数与总结果的个数之比来计算概率。
2. 几何概率：对于连续随机事件，可以通过计算事件发生的区域面积与总体区域面积之比来计算概率。
3. 条件概率：当已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，可以通过计算两个事件同时发生的概率与条件事件发生的概率之比来计算条件概率。
4. 独立事件：如果两个事件发生与否互不影响，即一个事件的发生不会改变另一个事件发生的概率，那么这两个事件称为独立事件。
对于独立事件，可以通过将两个事件的概率相乘来计算同时发生的概率。
三、概率的性质1. 互斥事件：两个事件之间不可能同时发生，称为互斥事件。
对于互斥事件，它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
2. 全概率公式：对于一个事件A，如果将样本空间分为若干个互斥事件B₁、B₂、B₃...，则事件A的概率等于事件在各个互斥事件发生的条件下的概率之和乘以各个互斥事件发生的概率。
3. 贝叶斯公式：对于一个事件A和一组互斥事件B₁、B₂、B₃...，已知事件A发生的条件下，各个互斥事件发生的概率，可以通过贝叶斯公式计算事件A在各个互斥事件发生的条件下的概率。
四、概率应用实例1. 投资决策：在投资中，我们经常需要根据历史数据和市场趋势来进行风险评估和收益预测。
通过对相关事件的概率计算，可以帮助我们作出更明智的投资决策。
概率问题求解技巧
概率问题求解技巧概率问题在数学和统计学中起着重要的作用。
无论是在日常生活中做决策还是在学术研究中进行推断，概率都是一个必不可少的工具。
本文将介绍一些解决概率问题的常见技巧，帮助读者更好地理解和应用概率知识。
1. 确定问题类型在解决概率问题之前，首先需要确定问题的类型。
常见的概率问题类型包括概率计算、条件概率、贝叶斯定理、随机变量等。
不同类型的问题需要采用不同的解决方法，因此在确定问题类型后，才能选择适当的技巧和公式进行求解。
2. 制定概率模型解决概率问题时，制定概率模型是关键的一步。
概率模型是对问题进行建模的过程，它将问题中的各个元素和事件进行抽象和描述。
建立概率模型的方法包括事件树、样本空间和随机变量等。
通过建立概率模型，我们可以清晰地理解问题的结构和关系，并通过适当的数学方法进行求解。
3. 使用概率公式和定理概率公式是解决概率问题的基础。
常见的概率公式包括事件的定义、互斥事件、相等概率事件等。
此外，还有一些重要的概率定理，如乘法定理、加法定理、全概率定理和贝叶斯定理等。
了解并熟练应用这些公式和定理，能够帮助我们更加方便地解决概率问题。
4. 转化为几何概率问题有时候，将概率问题转化为几何概率问题可以更加简化求解过程。
几何概率是基于几何形状的概率计算方法。
通过将概率事件与几何图形相对应，可以使用面积、长度或体积等几何属性来计算概率。
这种转化可以使求解过程更加直观和易于理解，并且可以借助几何图形进行可视化分析。
5. 使用计算工具和模拟方法对于一些复杂的概率问题，手工计算可能会非常繁琐和耗时。
此时，可以借助计算工具和模拟方法来简化求解过程。
计算工具如计算器、电子表格和统计软件可以帮助我们进行复杂的概率计算。
模拟方法如蒙特卡洛模拟可以通过随机抽样和实验模拟来估算概率值。
这些计算工具和模拟方法能够大大提高概率问题的求解效率和准确度。
综上所述，概率问题求解技巧是解决概率问题的基础。
通过确定问题类型、制定概率模型、应用概率公式和定理、转化为几何概率问题以及使用计算工具和模拟方法等技巧，我们能够更好地理解和解决概率问题。
初步认识概率的概念及其计算方法
初步认识概率的概念及其计算方法概率是数学中一个重要的概念，用来描述事件发生的可能性。
在日常生活和各个领域中，我们经常会遇到需要计算概率的问题，比如赌博、投资、医学诊断等等。
因此，初步认识概率的概念及其计算方法对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
一、概率的概念概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
一般用0到1之间的实数表示，0表示不可能发生，1表示必然发生。
在概率的计算中，我们常用事件A发生的概率表示为P(A)，读作“事件A的概率”。
二、概率的计算方法1. 古典概率法古典概率法是由拉普拉斯提出的，适用于有限个等可能性事件的概率计算。
根据古典概率法，事件A的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示所有可能事件的总数。
2. 统计概率法统计概率法是基于实际观察数据的概率计算方法，适用于大量重复实验的情况。
根据统计概率法，事件A的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A出现的次数，n表示实验总次数。
3. 几何概率法几何概率法适用于连续型随机事件的概率计算。
对于区间[a, b]内的某一随机事件，其概率可以表示为该事件在区间[a, b]内的长度与整个样本空间的长度之比。
即：P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx其中，f(x)表示事件的概率密度函数。
三、概率的性质1. 概率的基本性质(1) 非负性：概率始终大于等于0，即P(A) ≥ 0。
(2) 互斥性：若事件A和事件B互斥（即互不相交），则P(A∪B) = P(A) + P(B)。
(3) 全集性：对于样本空间S，P(S) = 1。
(4) 反面性：对于事件A的补事件(A的非)，记作A'，有P(A') = 1 - P(A)。
(5) 加法性：对于任意的事件A和事件B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
概率初步及计算方法
概率初步及计算方法概率是概括事物发生可能性的一种数学工具，它的应用涵盖了各个领域，如统计学、金融学、社会科学等。
在本文中，我们将初步介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种度量，通常用0到1之间的实数表示，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的基本法则包括：1. 加法法则：对于互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），它们的概率之和等于各自概率的和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)2. 乘法法则：对于独立事件A和B（即A的发生不影响B的发生），它们的概率之积等于各自概率的乘积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)二、计算概率的方法1. 经典概率：适用于样本空间有限且各种可能性等概率出现的情况。
计算方法为事件A发生的次数除以样本空间中可能事件的总数。
P(A) = Σ(A出现的次数) / 样本空间大小2. 相对频率概率：适用于进行实验或观察时，通过实验数据来估计概率。
计算方法为事件A发生的次数除以总实验次数。
P(A) ≈ (A出现的次数) / 总实验次数3. 主观概率：适用于无法进行实验的情况，概率的估计基于主观判断。
计算方法为根据个人主观判断给出的概率值。
三、概率计算的案例为了更好地理解概率计算方法，下面将给出一个实际案例。
假设有一枚均匀硬币，进行10次抛掷实验。
事件A表示出现正面的次数大于等于7次，我们来计算事件A发生的概率。
首先，我们可以列出所有的可能结果：样本空间 S = {正正正正正正正正正正，正正正正正正正正正反，正正正正正正正正反正，...，反反反反反反反反反反}其中，正表示正面，反表示反面。
然后，我们可以计算出事件A发生的次数，即正面出现7次、8次、9次和10次的情况。
通过计算，我们可以得到事件A发生的次数为36次。
最后，我们计算事件A发生的概率：P(A) = 36次 / 1024次≈ 0.035所以，根据计算结果，事件A发生的概率约为0.035。
概率计算的常用方法
概率计算的常用方法
概率计算是全国中考的高频考点，三大题型都会考查，且在解答题中多数会涉及游戏公平性问题，下面我们聊聊一般情形下的概率计算方法（如下图所示）：
方法一：列举法
1. 列表：适用于一步概率计算
例1 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为____．
2. 画树状（形）图：适用于两步及以上概率计算
例2 在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（）
方法二：频率估计概率
例3 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____．
方法三：几何面积概型
例4 如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为____．
应用：游戏公平性问题
例5 一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．（1）用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．。
概率的计算方法
概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在统计学、经济学、生物学等领域中，概率计算是非常常见和关键的技巧。
本文将介绍一些常用的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。
一、基本概率计算法基本概率计算法是概率计算的基石，通常由两部分组成：事件的可能数和总的可能数。
事件的可能数指的是满足某一特定条件的结果个数，总的可能数指的是所有可能结果的个数。
通过计算事件的可能数与总的可能数的比值，即可得到概率的估计。
例如，求一副扑克牌中从中抽出一张牌的概率。
首先，我们需要确定事件的可能数。
一副扑克牌中共有52张牌，因此抽取一张牌的可能数为52。
接下来，我们需要确定总的可能数，即一副扑克牌中所有抽取1张牌的可能数，也是52。
因此，这个事件的概率为1/52。
二、条件概率计算法条件概率计算法是指在已知某一条件下，事件发生的概率。
条件概率计算通常涉及到条件事件和事件的交集。
条件事件指的是事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。
它的计算方法是计算事件A与事件B的交集的大小除以事件B的大小。
例如，在一个班级中，有30%的学生是女生，而其中有20%的女生戴眼镜。
要求计算一个随机选到的戴眼镜的学生也是女生的概率。
首先，我们需要计算戴眼镜的女生的个数，即将30%与20%的交集乘以总人数。
然后，我们计算所有戴眼镜的学生的个数，将其除以总人数。
最后，将两个数量相除，即可得到概率的估计。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率计算中的重要工具，用于计算一个事件在另一个已经发生的事件下的条件概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
贝叶斯定理在概率计算中有着广泛的应用，包括医学诊断、搜索引擎优化等。
四、排列组合排列和组合是概率计算中常用的方法，用于计算各种可能性的数量。
概率的计算方法
概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用来描述某个事件发生的可能性。
在现实生活中，我们常常需要根据已有的信息来计算概率，以做出合理的判断和决策。
本文将介绍几种常见的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。
一、古典概率法古典概率法，也称为等可能概率法，是最简单的概率计算方法之一。
它适用于样本空间中各个事件等可能出现的情况。
具体计算步骤如下：1.确定样本空间：首先，确定所有可能的结果组成的样本空间。
2.确定事件：确定感兴趣的某个事件或一组事件。
3.计算概率：用所求事件发生的可能性（即所求事件包含的基本事件的个数）除以总可能性（即样本空间中基本事件的总数），即可得到概率。
二、频率法频率法通过大量的实验观测来估计概率，它适用于不能直接确定样本空间的情况。
具体计算步骤如下：1.实验：进行大量重复实验，记录事件发生的次数。
2.事件计数：统计所求事件发生的次数。
3.计算频率：将所求事件发生的次数除以总实验次数，即可得到频率。
三、几何概率法几何概率法，也称为几何概型法，适用于几何问题或连续的样本空间。
具体计算步骤如下：1.确定样本空间：在几何问题中，确定样本空间往往需要用到几何图形。
2.确定事件区域：确定感兴趣的事件所对应的区域。
3.计算概率：将事件所对应的区域的面积除以样本空间的总面积，即可得概率。
四、条件概率法条件概率法是在给定某个条件下计算事件发生的可能性。
具体计算步骤如下：1.确定已知条件：根据已知条件确定问题的限制。
2.计算概率：根据已知条件，重新计算所求事件的概率。
3.计算条件概率：将所求事件发生的概率除以已知条件发生的概率，即可得条件概率。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是计算条件概率的重要工具，它将后验概率与先验概率联系起来。
具体计算步骤如下：1.确定先验概率：获得事件的先验概率。
2.计算似然概率：获得已知条件下事件发生的概率。
3.计算后验概率：将事件的先验概率与似然概率相乘，再除以归一化常数，即可得后验概率。
概率与事件计算
概率与事件计算概率是数学中的一个重要概念，用来描述一个事件发生的可能性大小。
在现实生活中，我们经常需要根据已知信息来计算出一个事件发生的概率，以便做出合理的决策。
本文将介绍概率的基本概念和计算方法，以及一些与概率相关的实际问题的计算。
一、概率的基本概念概率是一个在0到1之间的数，用来描述一个事件发生的可能性大小。
当事件发生的可能性越大，概率值就越接近于1；当事件发生的可能性越小，概率值就越接近于0。
一般来说，事件的概率可以通过统计样本空间中所有可能的结果，并计算出事件发生的次数与样本空间中的总次数之比来得到。
二、概率的计算方法1. 经典概率法经典概率法是指根据事件的样本空间和事件发生的次数来计算事件的概率。
例如，一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6，那么掷一次骰子出现1的概率就是1/6。
2. 频率概率法频率概率法是指通过大量重复试验来计算事件的概率。
例如，如果我们要确定掷一次骰子出现1的概率，我们可以进行1000次掷骰子的实验，并记录下每次实验出现1的次数。
然后将出现1的次数除以总实验次数（1000），就可以得到事件发生的概率。
3. 组合计算法组合计算法适用于多个事件同时发生的情况。
例如，如果我们要计算从一副扑克牌中抽取两张牌，同时出现一张红心和一张方块的概率，我们需要计算红心牌和方块牌的数量，并除以总的牌的数量。
三、与概率相关的实际问题的计算1. 生日问题生日问题是指计算在一个房间中，至少有两个人生日相同的概率。
假设这个房间中有n个人，我们可以使用排列组合的方法来计算出至少两个人生日相同的概率。
2. 网球比赛问题假设甲乙两名选手比赛，甲选手在每一局中赢的概率为p，那么甲选手在比赛中获胜的概率可以使用二项分布来计算。
3. 扑克牌游戏问题扑克牌游戏中的问题可以通过计算事件发生的次数与总次数之比来计算概率。
例如，计算在扑克牌中抽到同花顺的概率。
以上只是概率与事件计算的一些基本概念和计算方法，实际问题的计算可能会更加复杂，需要进一步的数学知识和技巧。
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概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，表达了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P 〔不可能事件〕=0；0<P(随机事件)<1.例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的反面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 此题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162=. 说明: 此题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算.例2 如图2是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178. 评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球〔除颜色外其余都相同〕，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12.〔1〕试求袋中蓝球的个数.〔2〕第一次任意摸一个球〔不放回〕，第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得21122=++x ∴x=1答：蓝球有1个 〔2〕树状图如下：图1 图2黄白2白1蓝黄白1蓝黄白2∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是时机均等的. 此题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的反面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．〔1〕从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？〔2〕从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是.2142= (2)解法一(树形图):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 解法二(列表法):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 评注:此题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤〔三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有1 2 3图4图3 第一次抽取12 3 第二次抽取 21 3 31 2 41 2 1第1次摸出1张第2次摸出1张1 12 234 3 4 (1,2) (1,3)(1,4) (2,1) (4,1) (3,1) (2,3) (2,4) (3,2) (3,4) (4,2) (4,3) 1效.全概率公式即例已如某事件A是有B,C,D三种因素造成的，求这一事件发生的概率p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)其中p(A/B)叫条件概率，即：在B发生的情况下，A发生的概率柏努力公式是用以求某事件已经发生，求其是哪种因素的概率造成的好以上例中已知A事件发生了，用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大，C因素，D因素同样也求．古典概型 P〔A〕=A包含的基本领件数/基本领件总数几何概型 P(A)=A面积/总的面积条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本领件数/B包含的基本领件数相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)【本讲教育信息】一. 教学内容：概率计算二. 重点、难点：1. 古典概型∴2. A、B互斥，则3. A的对立事件，4. A、B独立，则【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
[例2] 4封不同的信，随机投入3个信箱，试求三个信箱均不空的概率。
[例3] 某袋中有大小相同的红球2个，白球4个。
〔1〕甲每次取一个不放回，恰在第k次取得红球的概率。
〔2〕甲一次取两个同色的概率。
〔3〕甲每次取一个不放回，在第三次首次取到红球的概率。
[例4] 从52张扑克牌中任取5张。
〔1〕5张同花的概率；〔2〕5张顺子的概率；〔3〕5张同花顺的概率；〔4〕5张中有四张点数相同的概率；〔5〕5张中有花色齐全的概率。
解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕[例5] 〔1〕掷一枚骰子三次之和为10的概率。
解：有序，所有可能满足条件∴∴〔2〕掷三枚骰子，三枚骰子之和为10的概率。
同上[例6] 10个外表相同的小球，其中8个为a克，2个为b克，现从10球中取3个放在一端，再从余下的7个中取3个放在另一端，则天平平衡的概率是多少？解：总数平衡：①②∴[例7] 有三个电器件T1、T2、T3正常工作的概率分别为，，，将其中某两个并联后再与第三个串联，求使电路不发生故障的概率最大值。
A. T1T2并联B. T2T3并联C. T1T3并联∴∴ T1T2并联，再与T3串联，不发生故障概率最大。
[例8] 某射击手，射击一次击中目标的概率为，他连续射击三次。
〔1〕全部击中的概率〔2〕击中目标的概率〔3〕恰有一次击中目标的概率解：三次射击击中的事件依次为A1、A2、A3〔1〕〔2〕均不击中〔3〕[例9] 如下图，为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率，假设各元件正常工作，相互独立，求接入电路后，电路导通的概率。
∴[例10] 设甲、乙、丙三人射击目标击中的概率分别为，，，三人各向目标射击一次。
〔1〕至少有1人命中的概率；〔2〕恰有2人命中的概率。
解：〔1〕〔2〕[例11] 一汽车前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯的概率为，假定汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止。
求停车时最多已通过3个路口的概率。
解：[例12] 现有个可靠度为P〔〕的电子元件其接入方式如图试判断哪一种更可靠解：令，∴∴方式更可靠【模拟试题】1. 从数字1，2，3，4，5中随机抽取3个数〔允许重复〕组成一个三位数，其各位数字之和为9的概率是〔〕A. B. C. D.2. 从1，2，……9过九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数和为偶数的概率是〔〕A. B. C. D.3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，假设采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起〔指演讲序号相连〕，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为〔〕A. B. C. D.4. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为〔〕A. B. C. D.5. 某班委会由4名男生与3名女生组成现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一名女生当选的概率是〔〕A. B. C. D.6. 口袋内装有10个相同的球，其中5个标有0，5个标有1，假设从换出5个球，五个球数字之和小于2或大于3的概率是〔〕A. ，B. ，C. ，D.，7. 从1、2、3……9中任取2数。
〔1〕均为奇数的概率？〔2〕和为偶数的概率？〔3〕积为偶数的概率？8. a、b、c，任取满足条件的一组a、b、c，恰成等差数列的概率是多少？9. 甲、乙进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜概率为，乙获胜概率为，比赛可采用三局二胜制，或五局三胜制。
试问哪一种制度下，甲获胜的可能性大。
概率计算公式罐中有12粒围棋子，其中8粒白子，4粒黑子，从中任取3粒，求取到的都是白子的概率是多少？12粒围棋子从中任取3粒的总数是C(12,3)取到3粒的都是白子的情况是C(8,3)∴概率C(8,3)P=——————=14/55C(12,3)附：排列、组合公式排列：从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。
排列数：从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Anm排列公式：A(n,m)=n*(n-1)*.....(n-m+1)A(n,m)=n!/(n-m)!组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m 个元素的组合。
组合数：从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm组合公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!*(n-m)!)C(n,m)=C(n,n-m)生活中的实例普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：1. 六合彩：在六合彩〔49选6〕中，一共有13983816种可能性〔参阅组合数学〕，普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52〔周〕=268919年后获得头等奖。
事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。
2.生日悖论：在一个足球场上有23个人〔2×11个运发动和1个裁判员〕，不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50％。
3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。
这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是 18/37。