8.2长方体直观图的画法
8.2 立体图形的直观图 课件(共60张PPT)
2 题型探究
PART TWO
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立 直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的 对应点是M′，则点M′的坐标为___(4_,_2_)__. 解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm， 则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_矩__形___(填具体形状)，其面积 为__8___ cm2.
12345
5.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图， 则△AOB的面积是__1_6__.
解析 由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4. 又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8. 所以△AOB 的面积为12×4×8＝16.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
2
√A.等边三角形
B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵A′O′＝ 23，∴AO＝ 3. ∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2， ∴△ABC为等边三角形.
45° 135° 水平面
8.2 立体图形的直观图(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确
定底面外的点的位置？
z y
o
x
例1. 用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. (1)画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，
使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
解析:由于图形的直观图中有一条边与y′轴平行，则在 原图中，应有互相垂直的边，而其对边不应与其它边垂 直，则可排除A、D，与y′轴平行的边在右侧，故选C.
【能力提升】
1.如下图的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的
一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
A.6 cm
B.8 cm
z
y
O
x
例1. 用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm
的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. (2)画底面.在x轴上取线段AB，使AB= 4 cm.在y轴上 取线段AD,使AD= 1.5 cm，分别过点D和B作x轴和y轴的 平行线交于C点，四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
斜二测画法口诀： 平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变； 眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
课后作业：
层级一 基础演练
1.下列叙述正确的个数是( )
①相等的角在直观图中仍相等
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等
③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行
④若两条线段垂直,在直观图中对应的线段也垂直
A.0 B.1 C.2
z
D
O
A
8.2 立体图形的直观图
S=OA·OP=24 2(cm2).
课中探究
探究点二 画空间几何体的直观图 [探索] 将直观图还原成空间几何体需要注意哪些问题?
解:由直观图还原成空间几何体时,关键在于确定点的位置.在直观图中平行 于x'轴、y'轴、z'轴的线段,在空间图形中平行于x轴、y轴、z轴,且在直观图 中平行于x'轴、z'轴的线段在空间图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在 空间图形中的长度变为它的2倍.
备课素材
(4)画侧棱(或高)时,平行于z轴的线段在直观图中长度不变. (5)成图,顺次连接各个线段的端点,构成直观图(注意看得见的画实线,看不见 的画虚线).
课中探究
探究点一 画平面图形的直观图 例1 画出如图8-2-2所示的水平放置的直角梯形的直观图.
图8-2-2
解:在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂 直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 画出相应的x'轴和y’轴, 使∠x'O'y'=45°,如图
图8-2-1
备课素材
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时要透彻理解“三变”与“三不变”
备课素材
2.画空间几何体直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的Ox轴、Oy轴,再取Oz轴,使∠xOz=90°且 ∠yOz=90°. (2)把它们画成对应的O'x'轴、O'y'轴、O'z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'= 90°(或∠y'O'z'= 90°). (3)画底面时,平行于x轴的线段在直观图中长度不变, 平行于y轴的线段在直观 图中长度减半.
8图文.2立体图形的直观图 (2)
谢谢，精品课件
资料搜集
2．讲解典型例题，熟悉斜二测画法规则
例1 已知长方体的长、宽、高分别是3 cm， 2 cm，1.5 cm， 用斜二测画法画出它的直观图．
画法：（1）画轴：如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O（A），且使∠xOy=45°(或 135°)，∠xOz=90°．
（2）画底面：在 x 轴正半轴上取线段 AB，使 AB=3 cm；在 y 轴正半轴上取线段 AD， 使 AD=1 cm．过点 B 作 y 轴的平行线，过点 D 作 x 轴的平行线，设它们的交点为 C，则□ABCD 就是长方体的底面 ABCD 的直观图.
E
A
D
B
C
E1
D1
A1
B1
C1
y E
A
O
Dx
A1
E1 D1
B
C
B1
C1
斜二测画法： 横竖不变，
纵减半，
平行性不变.
3．巩固练习，养成规范画图的习惯和技能
问题2 我们可以利用椭圆模板画水平放置的圆的直观图，怎样 画圆柱、圆锥、球等旋转体的直观图呢？
椭圆模板
O圆Βιβλιοθήκη 圆的直观图3．巩固练习，养成规范画图的习惯和技能
2．讲解典型例题，熟悉斜二测画法规则
例1 已知长方体的长、宽、高分别是3 cm， 2 cm，1.5 cm， 用斜二测画法画出它的直观图．
z D'
A' y D
O(A)
C' B'
C Bx
D' A'
D
A
C' B'
C
B
2．讲解典型例题，熟悉斜二测画法规则
例2 画水平放置的正五边形、正五棱柱、正五棱锥的直观图．
8.2立体图形的直观图课件(人教版)
水平放置的平面图形的直观图 [例1] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直 线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系．画相应的 x′轴和 y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图 ①②所示．
(2)在 x′轴上截取 O′B′＝OB，在 y′轴上截取 O′D′ ＝12OD，过点 D′作 x′轴的平行线 l，在 l 上沿 x′轴正方向 取点 C′使得 D′C′＝DC.连接 B′C′，如图②.
[变式训练]
用斜二测画法画如图所示边长为 4 cm 的水平放 置的正三角形的直观图．
解：(1)如图①所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上 的高线 AO 所在的直线为 y 轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在 y′轴
4.已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．
解析：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6， AB＝3，∴S△ABC＝12×6×3＝9. 答案：9
[系统归纳]
1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 “斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x 轴垂直的线 段，在直观图中均与 x′轴成 45°或 135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或 z′轴的线段长度不变；平行于 y′轴的线段长度 变为原来的一半． 斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置 与形状的点，并在直观图中画出．
[变式训练]
用斜二测画法画出正五棱柱的直观图． 解：(1)画轴．画 x′轴、y′轴和 z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或 135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
8.2立体图形的直观图
8.2⽴体图形的直观图8.2⽴体图形的直观图课标要求素养要求能⽤斜⼆测法画出简单空间图形(长⽅体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.在应⽤斜⼆测画法画⼏何体的直观图的过程中，经历由空间到平⾯，再由平⾯到空间的转换过程，发展学⽣的数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究美术与数学，⼀个属于艺术，⼀个属于科学，看似毫⽆关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有⽴体感，⼜能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.问题在画板上画实物图时，其中的直⾓在图中⼀定画成直⾓吗？提⽰为了直观，不⼀定.1.⽤斜⼆测画法画⽔平放置的平⾯图形的直观图的步骤2.⼏何体直观图的画法规则画⼏何体的直观图时，与画平⾯图形的直观图相⽐，只是多画⼀个与x轴，y轴都垂直的z轴，并且使平⾏于z轴的线段的平⾏性和长度都不变.教材拓展补遗[微判断]1.⽤斜⼆测画法画⽔平放置的∠A时，若∠A的两边分别平⾏于x轴和y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2.⽤斜⼆测画法画平⾯图形的直观图时，平⾏的线段在直观图中仍平⾏，且长度不变.(×)3.在斜⼆测画法中平⾏于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(×)4.建⽴z轴的⼀般原则是让z轴过空间图形的顶点.(√)提⽰ 1.也可能有∠A＝135°.2.平⾏的线段在直观图中仍平⾏，但长度可能改变.3.在斜⼆测画法中平⾏于y轴的线段在直观图中长度变为原来的⼀半.[微训练]1.下列命题中正确的个数是()①⽔平放置的⾓的直观图⼀定是⾓；②相等的⾓在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平⾏，则在直观图中对应的两条线段仍然平⾏.A.1B.2C.3D.4解析⽔平放置的平⾯图形不会改变形状，①正确；不⼀定，正⽅形的直观图为平⾏四边形，⾓度不⼀定相等，②错；因为平⾏于x轴的线段长度不变，平⾏于y轴的线段长度变为原来的⼀半，所以③错；平⾏性不会改变，所以④正确.答案 B2.利⽤斜⼆测画法画出边长为3 cm的正⽅形的直观图，正确的是图中的()解析正⽅形的直观图应是平⾏四边形，且相邻两边的边长之⽐为2∶1.答案 C[微思考]1.把⼀个直⾓梯形⽔平放置得其直观图如下，⽐较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发⽣了变化？哪些没有发⽣变化？提⽰发⽣变化的是⾼变为原来的⼀半，直⾓变成了45°或135°⾓，相应的腰也发⽣了变化.2.空间⼏何体的直观图是唯⼀的吗？提⽰不唯⼀.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图可能不相同.题型⼀平⾯图形的直观图的画法斜⼆测画法“三步曲”：画轴、画线、取长度【例1】画出如图所⽰⽔平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所⽰，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建⽴直⾓坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是⽔平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律⽅法画⽔平放置的平⾯图形的直观图的技巧：(1)在画⽔平放置的平⾯图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，⼀般要使得平⾯多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平⾏的线段端点的对应点都⽐较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平⾏的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平⾏的线段，将其转化到与坐标轴平⾏的线段上来确定. (3)同⼀个图形选取坐标系的⾓度不同，得到的直观图可能不同.【训练1】⽤斜⼆测画法画边长为4 cm的⽔平放置的正三⾓形(如图)的直观图.解(1)如图①所⽰，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的⾼线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三⾓形A′B′C′即为正三⾓形ABC的直观图，如图②所⽰.题型⼆空间⼏何体的直观图【例2】⽤斜⼆测画法画长、宽、⾼分别为4 cm、3 cm、2 cm的长⽅体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解画法步骤：(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底⾯.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平⾏线，过点P和Q作x轴的平⾏线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长⽅体的底⾯ABCD的直观图.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平⾏线，并在这些平⾏线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长⽅体的直观图.规律⽅法 1.空间⼏何体的直观图的画法：(1)对于⼀些常见⼏何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的⼤致形状，以便可以较快较准确地画出.(2)画空间⼏何体的直观图时，⽐画平⾯图形的直观图增加了⼀个z′轴，表⽰竖直⽅向.(3)z′轴⽅向上的线段，⽅向与长度都与原来保持⼀致.2.当⼏何体的形状确定后，⽤斜⼆测画法画出相应⼏何体的直观图.注意⽤实线表⽰看得见的部分，⽤虚线表⽰看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.【训练2】画出底⾯是边长为1.2 cm的正⽅形，侧棱均相等且⾼为1.5 cm的四棱锥的直观图.解(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底⾯.以O为中⼼，在xOy平⾯内，画出正⽅形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.(4)成图.顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.题型三直观图的有关应⽤原图⾯积为S，直观图⾯积为S′，则S′＝2 4S探究1把直观图恢复成原图形【例3－1】如图所⽰，△A′B′C′是⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图，将其恢复成原图形.解(1)画直⾓坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；(3)连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图.探究2由原图形求直观图的⾯积【例3－2】已知等边三⾓形ABC的边长为a，那么等边三⾓形ABC的直观图△A′B′C′的⾯积为() A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2解析法⼀建⽴如图①所⽰的平⾯直⾓坐标系xOy.如图②所⽰，建⽴坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以△A′B′C′的⾯积是S＝12·A′B′·C′D′＝12·a·68a＝616a2.法⼆S△ABC ＝34a2，⽽S△A′B′C′S△ABC＝24，所以S△A′B′C′＝24S△ABC＝24×34a2＝616a2.答案 D探究3由直观图求原图形的⾯积【例3－3】如图，⼀个⽔平放置的平⾯图形的直观图是⼀个底⾓为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的⾯积.解⼀个⽔平放置的平⾯图形的直观图是⼀个底⾓为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，所以其直观图的⾯积S′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.因此由上述公式可得原平⾯图形的⾯积是S＝S′24＝2＋ 2.规律⽅法由直观图还原为平⾯图形的关键是找与x′轴、y′轴平⾏的直线或线段，且平⾏于x′轴的线段还原时长度不变，平⾏于y′轴的线段还原时放⼤为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图⾯积是原图形⾯积的24倍.【训练3】(1)如图所⽰，⼀个⽔平放置的三⾓形的斜⼆测直观图是等腰直⾓三⾓形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三⾓形ABO的⾯积是()A.12 B.22C. 2D.2 2(2)如图所⽰，矩形O′A′B′C′是⽔平放置的⼀个平⾯图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________(填四边形的形状).解析(1)直观图中等腰直⾓三⾓形直⾓边长为1，因此⾯积为12，⼜直观图与原平⾯图形⾯积⽐为2∶4，所以原图形的⾯积为2，故选C.(2)如图所⽰，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，⼜OA∥BC，OA＝BC，故四边形OABC是菱形.答案(1)C(2)菱形⼀、素养落地1.通过画平⾯图形和空间图形的直观图，重点培养学⽣数学抽象素养及提升直观想象素养.2.斜⼆测画法中的“斜”和“⼆测”(1)“斜”是指在已知图形的xOy平⾯内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.(2)“⼆测”是指两种度量形式，即在直观图中，平⾏于x′轴或z′轴的线段长度不变；平⾏于y′轴的线段长度变为原来的⼀半.3.直观图中“变”与“不变”(1)平⾯图形⽤其直观图表⽰时，⼀般来说，平⾏关系不变.(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但⾓的⼤⼩有变化(特别是垂直关系有变化).(3)有些线段的度量关系也发⽣变化.因此图形的形状发⽣变化，这种变化，⽬的是使图形富有⽴体感.⼆、素养训练1.⽤斜⼆测画法画⽔平放置的平⾯图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平⾏的仍平⾏D.原来共点的仍共点解析根据斜⼆测画法，原来垂直的未必垂直.答案 B2.如图所⽰为某⼀平⾯图形的直观图，则此平⾯图形可能是()解析根据斜⼆测画法可知，此直观图的平⾯图形可能是C.答案 C3.如图，是⽤斜⼆测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的⾯积是________.解析由图可知O′B′＝4，则对应三⾓形AOB中，OB＝4.⼜和y′轴平⾏的线段的长度为4，则对应三⾓形AOB的⾼为8.所以△AOB的⾯积为12×4×8＝16.答案164.如图，平⾏四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案10基础达标⼀、选择题1.关于斜⼆测画法所得直观图，以下说法正确的是()A.等腰三⾓形的直观图仍是等腰三⾓形B.正⽅形的直观图为平⾏四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三⾓形的直观图⼀定为等腰三⾓形解析由于直⾓在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平⾏时，在直观图中长度不变且仍与x轴平⾏，因此答案为B.答案 B2.在⽤斜⼆测画法画⽔平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平⾏于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A.45°B.135°C.90°D.45°或135°解析因∠A的两边分别平⾏于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜⼆测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D.答案 D3.已知⼀个正⽅形的直观图是⼀个平⾏四边形，其中有⼀边长为4，则此正⽅形的⾯积为()A.16B.64C.16或64D.⽆法确定解析等于4的⼀边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正⽅形的⾯积为16或64.答案 C4.如图所⽰，△A′B′C′是⽔平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直⾓三⾓形，故其斜边AC最长.答案 D5.下⾯每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三⾓形的⼀组是()解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.答案 C⼆、填空题6.利⽤斜⼆测画法得到：①三⾓形的直观图是三⾓形；②平⾏四边形的直观图是平⾏四边形；③正⽅形的直观图是正⽅形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是________(填序号).解析斜⼆测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平⾏关系不会改变，因此三⾓形的直观图是三⾓形，平⾏四边形的直观图是平⾏四边形.答案①②7.⽔平放置的△ABC的斜⼆测直观图如图所⽰，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.解析由直观图知，原平⾯图形为直⾓三⾓形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.答案 2.58.如图所⽰，⼀个⽔平放置的正⽅形ABCO，它在直⾓坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则⽤斜⼆测画法画出的正⽅形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为22·12OA＝24OA＝22.答案2 2三、解答题9.⼀个机器部件，它的下⾯是⼀个圆柱，上⾯是⼀个圆锥，并且圆锥的底⾯与圆柱的上底⾯重合，圆柱的底⾯直径为3 cm，⾼为3 cm，圆锥的⾼为3 cm，画出此机器部件的直观图.解(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底⾯.在xOy平⾯上画出底⾯圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平⾏线O′x′，Oy的平⾏线O′y′，利⽤O′x′与O′y′画出底⾯圆O′，使其直径为3 cm.(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的⾼3 cm.(4)成图.连接A′A，B′B，P A′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此⼏何体(机器部件)的直观图，如图②.10.如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图⾯积为S，求梯形OABC 的⾯积S′.解设O′C′＝h，则原梯形是⼀个直⾓梯形且⾼为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝22h.由题意知12C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即24h(C′B′＋O′A′)＝S.原直⾓梯形⾯积为S′＝12·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝4S2＝22S.即梯形OABC的⾯积为22S.能⼒提升11.如图，正⽅形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是⽔平放置的⼀个平⾯图形的直观图，则原图形的周长是________.解析由题意正⽅形O′A′B′C′的边长为1，它是⽔平放置的⼀个平⾯图形的直观图，所以O′B′＝ 2 cm，对应原图形平⾏四边形OABC的⾼为2 2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝（22）2＋12＝3 cm，故原图形的周长为：2×(1＋3)＝8(cm).答案8 cm12.如图所⽰，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图.解画法：(1)如图a所⽰，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建⽴平⾯直⾓坐标系xOy.如图b所⽰，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂⾜为E.在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝323≈2.598 cm；过点E′过E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED＝12×32＝0.75 cm；再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他⼀些辅助线，如图c所⽰，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.创新猜想13.(多选题)如图所⽰是斜⼆测画法画出的⽔平放置的三⾓形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平⾯图形ABC中()A.AB与AC相等B.AD的长度⼤于AC的长度C.AB的长度⼤于AD的长度D.BC的长度⼤于AD的长度解析由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜⼆测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，⼜AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三⾓形，则AB与AC相等，且长度都⼤于AD的长度，但BC与AD的长度⼤⼩不确定，故选A，C.答案AC14.(多填题)在如图所⽰的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平⾯直⾓坐标系中原四边形OABC为_______(填具体形状)，其⾯积为______ cm2.解析由斜⼆测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其⾯积为2×4＝8(cm2).答案矩形8。
8.1长方体的元素8.2长方体直观图的画法
长方体有12条棱，相对的四条棱为一组，可以分为三组， 每组中的棱长度相等．
三条棱相交的点叫结： 1．长方体的每个面都是长方形．
2．长方体的十二条棱可以分为三组， 每组中的四条棱的长度相等． 3．长方体的六个面可以分为三组， 每组中的两个面的形状和大小都相等．
在数学中，我们约定把水平放置地平面画成一边是水平位置， 另一边与水平线所成的角为45度的平行四边形．
如何表示一个平面？
1. 依次用平行四边形四个顶点的字母来表示，记作：平面ABCD；
2 .用平行四边形相对的两个顶点的字母来表示， 记作：平面AC 或 平面BD ；
3.在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的希腊字母α， 记作：平面α．
自主小结
长方体、正方体的特征；
平面的画法及表示法；
长方体的斜二侧画法及表示法．
如何将长方体直观图画在纸上 ？
1. 画平行四边形ABCD，使AB等于长方体 的长，AD等于长方体宽的二分之一， ∠DAB = 45°． 2 . 过A、B分别画AB的垂线AE、BF， 过C、D分别画CD的垂线CG、DH， 使它们的长度都等于长方体的高． 3. 顺次连接EFGH． 4. 将被遮住的线段改用虚线表示 ． 长方体ABCD—FFGH 斜二侧画法 平面ABCD、平面FFGH
8.1 长方体的元素
8.2 长方体直观图的画法
平面图形
立体图形
长方体有几个面？ 每个面是什么形状？ 相对的两个面有什么特点？
长方体有6个面. 每个面都是长方形. 相对的两个面形状、 大小相同. 相对的两个面为一组，长方体的六个面可以分为三组， 每组中的两个面的形状和大小都相同．
长方体有多少条棱，相对的棱长短怎样？ 长方体有十二条棱，相对的棱长相等．
8.2 立体图形的直观图(解析版)
立体图形的直观图导学案【学习目标】1.掌握斜二测画法的步骤2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图【自主学习】知识点1 斜二测画法的步骤1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．知识点2空间几何体直观图的画法1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．【合作探究】探究一 水平放置的平面图形直观图的画法【例1】如图所示，梯形ABCD 中，AB∠CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．[分析] 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A ，B ，C ，D 在直观图中的相应点即可．[解] 画法步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图乙所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图甲中，过D 点作DE ∠x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332≈2.598(cm)；过点E ′作E ′D ′∠y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75(cm)，再过点D ′作D ′C ′∠x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D ′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E 的对应点E ′，再去确定D ′的位置【练习1】画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图∠所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图∠所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′、A ′C ′，则∠A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．(3)擦去x ′、y ′轴得直观图∠A ′B ′C ′，如图∠所示．探究二 画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图． [分析] 利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．[解] (1)画轴．如图∠所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm ，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图∠)．归纳总结：(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．解：(1)画轴，如图1所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB .选择椭圆模板中适当的椭圆过A 、B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox ，Oy 的平行线O ′x ′，O ′y ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使P O ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A ′A 、B ′B 、P A ′、P B ′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．探究三 由直观图还原成原图【例3】如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∠O ′y ′，A 1B 1∠C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.求原四边形ABCD 的面积．[分析] 利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．[解] 如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2. 所以面积为S ＝2＋32×2＝5.归纳总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可【练习3】如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形【答案】C解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝2O′C′＝2 2 cm，OD＝2O′D′＝4 2 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∠CD＝2 cm，OC＝CD2＋OD2＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm，∠OA＝OC，∠原图形为菱形.课后作业A组基础题一、选择题1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故∠ABC为等边三角形，故选A．]2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm【答案】C [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋2【答案】A [画出其相应平面图易求，故选A ．]4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是()A B C D【答案】CD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是() A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】ACD[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．【答案】(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．【答案】2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．【答案】2[∠ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE∠x轴，垂足为点E，如图∠所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图∠所示．①②③(2)如图∠所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∠y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图∠所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原∠ABC．B 组 能力提升一、选择题1.如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．22D ．42【答案】D [设∠AOB 的边OB 上的高为h ，由题意，得S 原图形＝22S直观图，所以12OB ·h ＝22×12×2×O ′B ′.因为OB ＝O ′B ′，所以h ＝4 2.故选D ．]2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D [由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D ．]二、填空题3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________． 【答案】72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′∠x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA ．所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA O ′A ′×C ′D ′，又在Rt∠O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]三、解答题4.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解] 四边形ABCD 的真实图形如图所示，因为A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形， 所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°，所以在原四边形ABCD 中，AD ∠AC ，AC ∠BC ，因为AD ＝2D ′A ′＝2，AC ＝A ′C ′＝2，所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． [解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图∠. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD ．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图∠.①②。
2020人教版A数学必修第二册 第8章 8.2 立体图形的直观图
8.2立体图形的直观图学习目标核心素养1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法及要求思考1：相等的角在直观图中还相等吗？[提示]不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．3．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．思考2：空间几何体的直观图唯一吗？[提示]不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．1．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A．①②B．①②③C．②⑤D．③④⑤C[由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]2．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形A[斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]3．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y 轴，则在直观图中，∠A′＝.45°或135°[因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.]平面图形的直观图【例1】(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy 中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为．(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．(1)22[正方形的直观图A′B′C′D′如图：因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝2 2.](2)[解]画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD；④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．①②③画平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.画空间几何体的直观图【例2】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)[思路探究]先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线．[解]画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴―→画底面―→画侧棱―→成图2．用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm，3 cm,2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．[解]画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．直观图的还原与计算[探究问题]1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10.3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？[提示]由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．【例3】 (1)如图①，Rt △O ′A ′B ′是一个平面图形的直观图，若O ′B ′＝2，则这个平面图形的面积是( )A ．1 B.2 C ．22 D ．4 2① ②(2)如图②所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．[思路探究] 逆用斜二测画法，还原图形．先定点，再连线得原图形，求面积．(1)C [由题图知，△OAB 为直角三角形．∵O ′B ′＝2，∴A ′B ′＝2，O ′A ′＝2.∴在原△OAB 中，OB ＝2，OA ＝4， ∴S △OAB ＝12×2×4＝2 2.选C.](2)[解] 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1；OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S＝2＋32×2＝5.1．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．[解]如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝2 2.而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝22＋1.由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．①②在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝22＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原图形的面积为S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋2 2.2．本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？[解]由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为32a×12×22＝68a，所以S△A′B′C′＝12×a×68a＝616a2.3．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？[解]由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝12×2×2＝1，原图形面积为S△OAB＝2 2.所以S△O′A′B′S△OAB＝122＝24.1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝24S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．判断正误用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(1)原来相交的仍相交. ()(2)原来垂直的仍垂直. ()(3)原来平行的仍平行. ()(4)原来共点的仍共点. ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是()A B C DC[正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.]3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为．10[由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.]4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．。
第2讲：长方体直观图的画法（教案）
第2讲：长⽅体直观图的画法（教案）第2讲：长⽅体直观图的画法（教案）我们知道每个长⽅体都有六个⾯组成，其中每个⾯都是平的，给我们以平⾯的形象。
在数学中，平⾯是平的，且⽆边⽆沿，可以向四周⽆限延展。
那么为了研究和学习的⽅便，我们如何将⼀个平⾯画在纸上呢？为了⽅便表⽰，在数学中，我们把⽔平放置的平⾯化成⼀个平⾏四边形，其中它的⼀边是⽔平的，另⼀边则与⽔平线成45度⾓。
如下图所⽰：这样我们就把⼀个⽔平放置的平⾯画在了纸上。
并且上述这个平⾯可以⽤平⾏四边形顶点的字母来表⽰，记作“平⾯ABCD”；也可以在表⽰平⾯的平⾏四边形的⼀个⾓上写上⼩写的希腊字母α，将平⾯记作：平⾯α。
平⾯可以⽤⼀个平⾏四边形来表⽰，那么⼀个长⽅体是否也能画在纸上呢？⼀、长⽅体的画法当然，长⽅体也可以画在纸上。
在数学中，我们通常采⽤“斜⼆测画法”来画长⽅体。
斜⼆测画法画长⽅体的具体步骤为：（1）画平⾏四边形ABCD，使AB等于长⽅体的长，AD等于长⽅体宽的⼆分之⼀，∠DAB=45°，如下图（1）所⽰：（1）（2）（2）过A、B分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长⽅体的⾼，如上图（2）所⽰：（3）顺次连接E、F、G、H，如下图（3）所⽰：（3）（4）（4）将被遮住的线段改⽤虚线表⽰，如上图（4）所⽰：这样，长⽅体就画完了。
我们⽤这种⽅法画出的长⽅体称为长⽅体的直观图。
上图（4）所画出的长⽅体可以表⽰为“长⽅体ABCD-EFGH”，它由六个⾯组成，分别为平⾯ABCD、平⾯BCGF、平⾯ABFE、平⾯ADHE、平⾯CDHG、平⾯EFGH。
它由12条棱组成，分别是：棱AB、棱BC、棱CD、棱AD、棱AE、棱BF、棱CG、棱DH、棱EF、棱FG、棱GH、棱HE。
注意：（1）在⽤字母表⽰⼀个长⽅体时，⼀般我们只需要写出上下两个⾯即可，中间⽤“－”连接；（2）在⽤字母表⽰平⾯或长⽅体时，字母要按照⼀定的顺序书写，不能混乱；（3）在画长⽅体时，看不到的线要⽤虚线表⽰；练习1：⽤字母表⽰下列平⾯：2、指出下列图形，哪个是长⽅体？3、⼀块橡⽪的形状是长⽅体，⼩杰量得其长、宽、⾼分别为4厘⽶、2厘⽶和1厘⽶，请你画出这块橡⽪的直观图。
8.2三视图和直观图
授课主题：三视图和直观图教学目标1．了解中心投影和平行投影的特征．2．能画出简单空间图形如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型．3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图，了解空间图形的不同表示形式．4．掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．5．会用斜二测画法画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图．教学内容1．投影由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMF 'M 'l2．平行投影（1）定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．（2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．（3）正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．3．中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．4．三视图（1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）．（2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）．（3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图左视图主视图5．三视图的对应关系正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．6．直观图定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法．7．斜二测画法规则（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使90xOz∠=︒，90yOz∠=︒．（三维空间中）（2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O x O y O z''''''，，，使45x O y'''∠=︒或135︒，90x O z'''∠=︒，x O y'''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）（3）已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴，'y轴或z'的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．题型一投影的概念例1判断对错(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：(1)矩形的平行投影一定是矩形；()(2)梯形的平行投影一定是梯形；()(3)平行四边形的平行投影可能是正方形；()(4)正方形的平行投影一定是菱形；()(5)两条相交直线的平行投影可能平行；()(6)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．()解析：利用平行投影的概念和性质进行判断．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√点评：平面图形经过平行投影后一般要改变形状，平行直线的平行投影是平行或重合的直线．两条相交直线的平行投影不可能平行．巩固如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断中正确的是______．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．解析：①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．答案：①③题型二画空间几何体的三视图例2画出如图所示几何体的三视图解析：三视图如下图所示．点评：三视图的画法关键是分清楚观察者的方向，应从正面、侧面、上面三个方向去观察图形，然后画出三视图．巩固画出右面几何体的三视图．解析：三视图如下：题型三由三视图还原成实物图例3下图所示的是三个立体图形的三视图，请说出其立体图形的名称．解析：由图可知甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；丙的俯视图是圆(及圆心)，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥．点评：根据三视图还原几何体要具备一定的空间想象能力，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常先判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．巩固下图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．解析：还原为实物图易知．答案：5题型四画水平放置的平面图形的直观图例1用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图．解析：建立坐标系xOy后，B，E两点不在平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′，这就是正五边形ABCDE的平面直观图．点评：用斜二测画法画水平放置的平面图形一要注意坐标系的选取，二要注意平行于x轴的长度不变，平行于y 轴的长度变为原长度的一半．巩固(多解题)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解析：解法一：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA.连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．解法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．题型五画空间几何体的直观图例5下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解析：由几何体的三视图知，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥．(1)画轴．如图甲，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．选择椭圆模板中适当椭圆，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图乙．点评：利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．巩固根据下图所示的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．解析：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如图①所示．(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如图②所示．题型六 将直观图还原为平面图形例6 下图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC的面积．解析：设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D ＝22h .由题意知12C ′D (C ′B ′＋O ′A ′)＝S ，即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (CB ＋OA )＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S 2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .点评：将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其作法是运用斜二测画法，也就是使平行于x ′轴的线段的长度不变，而平行于y ′轴的线段长度变为原来的2倍．巩 固 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：画出其相应平面图易求，故选A.答案：A1．观察图中的投影过程，回答问题．(1)它们的投影过程有什么不同？(2)图②、③是平行投影，它们有什么不同？ (3)中心投影和平行投影有什么不同？解析：(1)图①的投影线交于一点．把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图②、③的投影线平行，把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影．(2)图③中的投影是正对着投影面．这种平行投影称为正投影；图②中的投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影．它们的不同在于投影线是否正对着投影面．(3)与投影面平行的平面图形在平行投影下留下的影子与原平面图形是全等的平面图形；而在中心投影下留下的影子与原平面图形是相似的平面图形．2．(1)：圆锥的正视图是等腰三角形，对吗？答案：错．要看如何放置，当底面正对你时是圆，底面水平时是等腰三角形．(2)：底面水平的圆柱的左视图是矩形，对吗？答案：对．(3)：水平放置的圆台的俯视图是一个与下底面大小相同的圆，对吗？答案：错．是两个同心圆．3．有一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体应是一个()A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对答案：A4．一个几何体的正视图如图，它一定不是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．长方体答案：B5．对几何体三视图，下列说法中正确的是()A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的长和宽D．正视图反映物体的高和长答案：D6．两条相交直线的平行投影是()A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线答案：D7．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是()答案：C8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案：D9．四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为()答案：B10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台答案：D11．下面两个几何体的侧视图和俯视图一样吗？解析：侧视图一样，俯视图不同．12．根据如图所示俯视图，找出对应的物体(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．答案：D A E C B13.如图，点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填所有可能的序号)．答案：①②③1．在画三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．2．若相邻两物体表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．3．确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同．1．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形答案：A2．如图，直观图表示的平面图形是( )A ．任意三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析： A ′B ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，∴相应的∠ABC ＝90°. 答案：C3．关于斜二测直观图的画法，以下说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 答案：C4．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是( )A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确；平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半，故③，④不正确，从而选A.答案：A5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )解析：直观图的正方形的对角线在y ′轴上且长度为2，故原来图形的对角线在y 轴上且长度为2 2.故选A. 答案：A6．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的( )A ．2倍 B.22倍 C.24倍 D.12倍 解析：直观图的底面边长与实际三角形底面边长相同，而直观图的高为12×h ×sin 45°＝24h ，所以直观图的面积是实际三角形面积的24倍． 答案：C7．右图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到O′x′轴的距离为()A.12 B.22C．1 D. 2解析：如图，为正方形ABCO在x′O′y′中的直观图，作B′D′⊥x′轴于D′，则在Rt△B′C′D′中，∠B′C′D′＝45°，|B′C′|＝1，∴B′D′＝|B′C′|·sin 45°＝1×22＝22.即B′到x′轴的距离为22.答案：B8．下图中长方体的长、宽、高分别为5,4,3，侧视图矩形的面积为________．解析：长方体的侧视图是长为4，宽为3的长方形，故面积为3×4＝12.答案：129．根据三视图想象物体原形，并画出物体直观图．解析：由几何体的三视图知道几何体是一个简单组合体，下部是个圆柱，上部是个圆台，且圆台下底与圆柱面重合．画法如图(1)所示，图(2)为三视图所表示的物体的直观图．10．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．解析：(1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，画出正六棱锥的顶点V ′，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示； (3)连接V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．11．如图，等腰直角△O ′A ′B ′是△OAB 的直观图，它的斜边长为O ′A ′＝a ，求△OAB 的面积．解析：∵A ′，B ′在轴上，∴∠AOB ＝90°. 又O ′B ′＝22a ，故OB ＝2a ， ∴S △OAB ＝12a ·2a ＝22a 2.12．已知几何体的三视图如下，画出它的直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．解析：直观图如下图所示，画法略．13．如图所示，AB 和CD 两根木杆竖在平面上，有一灯使AB 和CD 这两根木杆有影子，试根据实物和影子确定灯的位置．解析：要确定灯的位置，就要了解灯光是向四面发散的，这样，致使两根木杆的影子如图所示，所以，灯的位置应在木杆AB顶部A和它的影子的顶部E的连线的那条直线上，同样，这个灯也在木杆CD顶部C和它的影子的顶部F的连线上．如下图，点O就是灯所放的位置．。
8.2长方体直观图的画法
8.2 长方体 直观图的画法
平面
观察放在课桌左上角的数学书，你看到它还是
长方形的形状吗？
水平的哟!
D
C
450
α
A
Байду номын сангаас
B
1）几何表示（即：作图）
把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边
与水平线所成的角为45度的平行四边形.
2）字母表示：平面ABCD， 平面AC 或平面BD
平面 α
3）补画下面的图形，使之成为长方体的直观图．
①
②
③
谢谢观赏!
帮帮它
小熊要建造一座长方体的房子,可它搞 不清的是盖房子的顺序:
是先砌墙呢?还是先打好地基?或者先盖房顶呢?
先— 打地基 再— 砌墙 最后— 盖房顶
观察
水平放置在桌面的长方体盒子, 你最多能看到它的几个面?
三个面
如何将如图放置的长方体画下来呢?
一打地基 ——画底面 二砌墙 ——画柱子 三盖房顶 ——连线
斜二侧画法
H
1、画平行四边行ABCD，使 E AB等于长方体的长，AD等于
长方体宽的二分之一,∠DAB＝450
2、过A、B分别画AB的垂线 AE、BF,过C、D分别画CD 的垂线CG、DH,使它们的长
度都等于长方体的高.
D A
3、顺次连接EFGH.
4、将被遮住的线段改用虚线表示．
G F
C B
长方体的表示方式
H
长方体ABCD-EFGH E 长方体AG
D
长方体BH等
A
G F
C B
这个长方体的六个面可怎样表示？
练习
1）思考：有一个长方体，小明用斜二侧画法画出它的 直观图，在画图时他使过同一顶点的三条棱一样长， 并且都是4厘米，那么这个长方体是不是正方体？
上海市松江区六年级数学下册8.1长方体的元素8.2长方体直观图的画法精选教学PPT课件沪教版五四制
有没有六个面都一样的长方体？
A
D
C
正方体各个元素有什么特征呢？
H E
B
G F
正方体的十二条棱的长度都一样， 六个面的形状都一样，都是正方形．
V=abc 长方体的体积公式：
a 长方体的表面积公式：S=2 (ab +ac +bc) 长方体的棱长的和：l = 4(a+b+c) b
c
完成书P111/2
练习：小明想用一根长度为250厘米 的塑料管和橡皮泥做一个三条棱分别 为10厘米、30厘米、15厘米的长方体 架子，应如何裁剪这根塑料管？
斜二测画法
平面ABCD、平面FFGH
棱AB、棱CD
思考：有一个长方体，小明用斜二侧画法画出它的直观图，在 画图时他使过同一顶点的三条棱长一样长，并且都是4厘米， 那么这个长方体是不是正方体？ 练习1：一块橡皮的形状是长方体，量得其长、宽、高分别为 4厘米、2厘米和1厘米，请你画出它的直观图．
练习2：补画下列图形，使之成为长方体的直观图．
答：裁剪4根10厘米，4根30厘米，4根15厘米 还剩一段30厘米的塑料管。
已知一个长方体无盖容器，它的棱长分 别为5厘米，8厘米和10厘米，这个容器 的表面积和容积各是多少？
平面
如何画一个平面？
在数学中，我们约定把水平放置地平面画成一边是水平位置， 另一边与水平线所成的角为45度的平行四边形．
如何表示一个平面？
1. 依次用平行四边形四个顶点的字母来表示，记作：平面ABCD；
2 .用平行四边形相对的两个顶点的字母来表示， 记作：平面AC 或 平面BD ；
3.在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的希腊字母α， 记作：平面α．
完成书P113/2
8.2立体图形的直观图教案(3)Word版含答案
中学教案学科：数学年级：高一教师：授课时间：教学内容8.2 立体图形的直观图（2）教学目标四基：1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．学会简单几何体的直观图的画法，规范画图。
四能：通过本节课的学习，使学生掌握作图技能，养成规范作图的习惯。
通过观察身边的阳光照射窗户的影子和远处农田的形状，以及桌子面等的形状用平行四边形表示矩形的直观感受，从而理解斜二测画法的本质。
数学核心素养：通过本节的学习，培养学生养成规范作图的习惯和技能，提高读取立体几何直观图的水平。
理解立体图形直观图画法的原理和步骤，掌握画图技能，注意画图的规范性。
注重画图的立体感。
教材分析地位：立体图形的直观图，本质是用二维（平面）图形表达三维（立体）图形，是学习立体几何的重要依据和载体。
重点：简单几何体的直观图的画法难点：养成规范作图的习惯和技能学情分析初中学习过投影是化立体图形直观图的学习基础。
教法模式以学生为主体，采用诱思探究式教学，让学生独立思考，合作学习。
媒体运用多媒体展台，实物模型备注一、课前小测（检测上节课所学的内容）1．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的21C ．画与直角坐标系xOy 对应的y O x '''时，y O x '''∠必须是45 D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ） A ．16 B ．64 C ．16或64 D ．都不对3.．下列叙述中正确的个数是（ ）①相等的角，在直观图中仍相等； ②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等； ③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
沪教版(上海)六年级第二学期数学8.2长方体直观图的画法(11张PPT)
B
或 平面α.
（两种表示方法）
观察下面的图形，你最多只能看到几个面？
观察讲台上放置的长方体粉笔盒，如何将这个长 方体粉笔盒直观地画在纸上？ 长方体直观图有多种画法，通常我们采用斜二侧 画法。
例1、画一个长、宽、高分别为5cm、
4cm、3cm的长方体
H
G 注意：
E D
A
1、上下两面画成平
F
行四边形，宽与长的
8.2 长方体直观图的画法
复习：
1、长方体有_八___个顶点，__六__个面,_十__二__条棱。 2、长方体的面有哪些特征？ 1） 每个面都是长方形 2） 六个面分为三组 3） 每组中两个面形状大小都相同 3、长方体的棱有哪些特征？ 1） 十二条棱分为三组 2） 每组中的四条棱长度相等 4、特殊的长方体是__正__方_体_____
C 夹角为450
2、宽的长度取实际
B
长度的一半
练习：画一个长3cm、 3、遮住的棱要用虚 宽2cm、高2cm的长方 线
体
例2、
H
如图，在长方体 ABCD-EFGH中， E
（1）与棱HG长度相等来自D的棱是__棱_E_F_、__棱_A_B_、__棱_C_D_ A
（2）与平面ABFE对的面是__面_D_C_G__H_
求：1）所有棱长的总长
2）表面积
3）体积
一只蚂蚁沿着长方体的棱从A点处爬到 B点处，最短的路线是多少？
A 8公分
6公分
12 公 分
B
8＋6＋12 =26 A——B：26公分
怎样走最近？
一只蚂蚁从A点处爬到B点处，最短的 路线是多少？
A
A
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8.2 长方体直观图的画法
班级 姓名 学号 【学习目标/难点重点】 掌握长方体的斜二侧画法 【学习过程】 一、课前复习
1.长方体有 个面， 个顶点， 条棱.
2.长方体的每个面都是 ；长方体的 条棱可以分为 组，每组中的 条棱的长度 ；长方体的 个面可以分为 组，每组中的 个面的 和 都 .
3.设长方体的长、宽高分别为a 、b 、h ，则表面积为 ，体积为 . 二、新课学习 1.平面：
1）几何表示（即：作图）
把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线所成的角为45度的平行四边形. 2）字母表示：平面ABCD 或平面
2.平面的画法——“斜二测”画法： 思考：如何将这个长方体直观地画在纸上？
基本步骤：
第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，∠DAB =450
.
第二步：过A 、B 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，使它们的长度都等于长方体的高. 第三步：顺次连接EFGH .
第四步：将被遮住的线段改用虚线表示. 这样，长方体的直观图就画成了. 分步图解：
C
G H E
F
A
B
C
D
3.一块橡皮的形状是长方体，小杰量得其长、宽、高分别为4厘米、2厘米和1厘米，请你画出该橡皮的直观图.
4.补全下面的图形，使之成为长方体（虚线表示被遮住的部分）
(4)
(3)
(2)
(1)
G
C
G
C
G
C
C
E
E
课课精炼
一、填空题:
1.长方体的直观图的画法有很多种，通常我们采用 画法.通常在画图时，所画的长方体的宽是实际宽的 （填分数），长与宽的夹角为 .
2.如图所示的长方体中，
1）从正面看，看不见的棱有 ， 2）与棱EH 相等的棱有 ， 3）与平面ABEH 相对的平面有 ，
4）位于水平位置的平面有 .
二、选择题:
3.在①平整的镜面；②平整的地面；③平整的斜面；④平放的桌面；⑤平静的湖面；⑥光滑的墙面中，通常情况下可以看成水平面的有 （ ）
A.①③⑥
B.②④⑤
C. ①③⑤
D.②④⑥ 4.用斜二测画法画长方体的直观图中，表示看不到的面有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 三、解答题
8.补全下面各图，使之成为长方体（虚线表示被遮住的部分）
A
B C
D
E
F G
H
1）
2）
3） 4）
9.画一个长方体，使它的长、宽、高分别为5厘米、2厘米、3厘米.
10.画一个正方体，使它的边长是4厘米.。