广东省惠州市博罗县博罗中学2023届高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

1、B
【解析】根据题意，由函数的解析式可得 ，进而计算可得答案．
【详解】根据题意， ，
则 ；
故选B．
【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，注意分析函数 的解析式．解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．
【详解】若函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[ ]上恒有f（x）＞0，
则 ，或
当 时，解得 ＜a＜1，当 时，不等式无解.
综上实数 的取值范围是（ ，1）
故答案为（ ，1）．
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
2、C
【解析】化简集合 得 范围，结合 判断四个选项即可.
【详解】集合 ，四个选项中，只有 ，
故选：C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
3、D
【解析】由题可得定义域为 ，排除A,C;
又由 在 上单增，所以选D.
4、C
【解析】先分析给定函数的奇偶性，排除两个选项，再在x>0时，探讨函数值正负即可判断得解.
C. D.
4．函数 图像大致为（）
A. B.
C. D.
5．在如图所示中，二次函数 与指数函数 的图象只可为
A. B.
C. D.
6．已知函数 ，则下列判断正确的是
A.函数 是奇函数，且在R上是增函数
B.函数 偶函数，且在R上是增函数
C.函数 是奇函数，且在R上是减函数
D.函数 是偶函数，且在R上是减函数
故选：C
【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题
6、A
【解析】求出 的定义域，判断 的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】 的定义域为R，且 ；
∴ 是奇函数；
又 和 都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
7、D
【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得 的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.
【详解】作出 的图象，如下图所示：
∵关于 的方程 有且仅有一个实数根，
∴函数 的图象与 有且只有一个交点，
由图可知 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数 ，且关于 的方程 有且仅有一个实数根，那实数 的取值范围为________
12．若 在 内无零点，则 的取值范围为___________.
13．若 ， ，则 =______； _______
14．函数 的单调减区间是__________
12、
【解析】求出函数 的零点，根据函数在 内无零点，列出满足条件的不等式，从而求 的取值范围.
【详解】因为函数 在 内无零点，
所以 ，所以 ；
由 ，得 ，
所以 或 ，
由 ，得 ；由 ，得 ；由 ，得 ，
因为函数 在 内无零点，
所以 或 或 ，
又因为 ，所以 取值范围为 .
故答案为： .
13、①. ②.
所以概率为 .
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）设f（t）= 代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b.令 ＝kt， ,代入（40，8000），解得k,再令 ＝mt+b， ,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到 和 的解析式；
【解析】首先指对互化，求 ，再求 ；第二问利用指数运算，对数，化简求值.
【详解】 ， ，
所以 ；
,，
所以
故答案为： ；
14、
【解析】 ， 在 上递增，在 上递增， 在 上递增， 在 上递减， 复合函数的性质，可得 单调减区间是 ，故答案为 .
15、
【解析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[ ]上恒有f（x）＞0，即 ，或 ，分别解不等式组，可得答案
（2）由题意知每天的阅读量为 = ，分 和 两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.
【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）= 代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以 ,又令 ＝kt， ,代入（40，8000），解得k=200,令 ＝mt+b， ,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 .
【详解】函数 的定义域为 ，
，即函数 是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；
x>0时， ，而 ，则有 ，显然选项D不满足，C符合要求.
故选：C
5、C
【解析】指数函数 可知 ， 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论
【详解】根据指数函数 可知 ， 同号且不相等，则二次函数 的对称轴 在 轴左侧，又 过坐标原点，
15．已知函数 在区间 ，上恒有 则实数 的取值范围是_____.
16．给出如下五个结论：
①存在 使 ②函数 是偶函数
③ 最小正周期为 ④若 是第一象限的角，且 ，则
⑤函数 的图象关于点 对称
其中正确结论 序号为______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7．若函数 满足 且 的最小值为 ，则函数 的单调递增区间为
A. B.
C. D.
8．命题“对 ，都有 ”的否定为（）
A.对 ，都有 B.对 ，都有
C. ，使得 D. ，使得
9．已知函数，则 ，则
A. B.
C.2D.
10．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
小明阅读“经典名著”的阅读量 （单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；
t
0
10
20
30
0
2700
5200
7500
阅读“古诗词”的阅读量 （单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.
（1）请分别写出函数 和 的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． ，则
A.1B.2
C.26D.10
2．已知集合 ，且 ，则 的值可能为（）
A B.
C.0D.1
3．函数 的大致图像是（）
A. B.
16、②③
【解析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.
【详解】对于①， ， ，故错误；
对于②， ，显然为偶函数，故正确；
对于③，∵y＝sin（2x ）的最小正周期为π，
∴y＝|sin（2x ）|最小正周期为 ．故正确；
对于④，令α ，β ，满足 ，但 ，故错误；
对于⑤，令 则 故对称中心为 ，故错误.
(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为 )；
(2)设动直线 ，当点 到 的距离最大时，求 所围成的三角形的内切圆(即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程.
21．函数 是奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）当 时， 恒成立，求m的取值范围
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
【详解】（Ⅰ）由题意知，四边形ABEF是正方形，∴AF⊥EF，
又平面ABEF⊥平面EFDC，
故答案为：②③
【点睛】本题主要考查三角函数 图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(I) .(II)
【解析】解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：
红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，
详解： ，
根据题中条件满足 且 的最小值为 ，
所以有 ，所以 ，从而有 ，
令 ，整理得 ，
从而求得函数的单调递增区间为 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.
8、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】 ，都有 的否定是 ，使得 .
故选：D
9、B
【解析】因为 ，所以ห้องสมุดไป่ตู้，故选B.
10、A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档
19、证明过程详见解析
【解析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，得出AF⊥CD；再由勾股定理证明FC⊥CD，即可证明CD⊥平面ACF，平面ACD⊥平面ACF；
（Ⅱ）取DF的中点Q，连接QE、QP，证明BPQE四点共面，再证明CD∥EQ，从而证明CD∥平面EBPQ，即为CD∥平面BPE
红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故
所求的概率为 .
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，
多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，
其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
19．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，点E为线段BC的中点，点F在线段AD上，且EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，点P为几何体中线段AD的中点
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ACF；
（Ⅱ）证明：CD∥平面BPE
20．设有一条光线从 射出，并且经 轴上一点 反射.
17．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
18．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时 “经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为 ，则对“古诗词”的阅读时间为 ，
① 当 ，即 时，
=
= ，
所以当 时， 有最大值13600.
当 ，即 时，
h
= ，
因为 的对称轴方程为 ，
所以 当 时， 是增函数，
所以 当 时， 有最大值为13200.
因为 13600>13200，
所以阅读总字数 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项