第一节 有界线性算子的谱

第一节 有界线性算子的谱
一、算子代数
定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。

性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m n
m n T T T m n +=∈N ；
2、()()()ST S T S T ααα==；
3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；
4、单位算子I 满足：IT TI T ==；
5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1
T -，并称T 为可逆算子。

以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。

6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且
11111(),()()n n ST T S T T -----==。

当()T GL X ∈时约定10()(0),n
n T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。

注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)n
n ST S T T
T n ≤≤≥；
3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。

定义：设T 属于某算子代数，称
010
()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞
===++
++
∑、
（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。

性质：设通常幂级数0
()n
n
n f λαλ
∞
==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数
（3.1.1）绝对收敛：
n
n n n T T αα≤<∞∑∑。

引理3.1.1 设()T L X ∈，则
1
()n n I T T ∞
-=-=∑
只要其右端级数收敛。

特别，当1T <时上式必成立。

推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则
1
110
()()n n T S T ST ∞
---=+=-∑，
只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。

二、谱与谱半径
定义3.1.2 设(),T L X ∈
1、若,I T λλ∈-C 不可逆，即()I T GL X λ-∉，则称λ为T 的谱值。

以()T σ记T 的谱值的全体，成其为T 的谱；称
()
()sup T r T σλσλ∈=
为T 的谱半径，它是以原点为中心且包含()T σ的最小的圆的半径。

2、令()\()T T ρσ=C ，称任何的()T λρ∈为T 的正则值；称
1(,)()(())R T I T T λλλρ-=-∈
为预解式，也记为()R λ或R λ。

3、若λ∈C ，存在0x ≠，使得Tx x λ=（这相当于()x N I T λ∈-），则称λ为T 的特征值，并称x 为T 关于λ的特征向量，称()N I T λ-为T 关于特征值λ的特征子空间。

以()p T σ记T 的特征值的全体，称其为T 的点谱。

性质：1、()()p T T σσ⊂；
2、若(),dim T L X X ∈<∞，则(){0}N I T I T λλ-=⇔-可逆，因而()()p T T σσ=。

3、若dim X =∞，则可能有()()p T T σσ≠，即谱值未必是特征值。

定理3.1.3（Gelfand 定理） 设()T L X ∈，则()T σ是非空紧集，且成立谱半径公式：
1/()lim n
n
n
r T T σ=。

三、某些应用 定理3.1.4 设幂级数n
n
αλ
∑的收敛半径为,()R T L X ∈。

1、若()r T R σ<，则级数n n T α∑绝对收敛；
2、若()r T R σ>，则级数n
n
T
α∑发散。

注：若()r T R σ=，级数n
n
T
α∑可能收敛，也可能发散。

第二节 算子函数
一、解析扩张
由定理3.1.4可推得：若
00
()()n n n f λαλλ∞
==-∑
是圆
00(){:}r D r λλλλ∈-<C
内的复解析函数，则当0(),()T L X r T I r σλ∈-<时，
00
()()(3.2.3)n
n n f T T I αλ∞
==-∑
有意义，且上式右端级数绝对收敛。

因
000()(){:()}T I T T σλσλλλλσ-=-=-∈，
于是
00()()(0)()(0)()r r r r T I r T I D T D D σλσλσλλ-<⇔-⊂⇔⊂+=
所以：（3.2.3）表示一个定义于集合0{():()()}r T L X T D σλ∈⊂上的算子函数()f T 。

我们将()f T 视为复解析函数()f λ的某种扩张。

特别，熟知的初等函数都可适当地扩张为算子函数。

例如，对数函数
111
(1)(1)ln ((0))n n
n D n λλλ-∞
=--=∈∑
可扩张为集1{():()(1)}T L X T D σ∈⊂上的算子对数函数
11
(1)()ln n n
n T I T n -∞
=--=∑。

类似地，还可定义算子的指数函数T
e 、正弦函数sin T ，等等。

但是，在通过深入思考后，我们发现这种推广并非可以简单地实现，我们将会发现以下
的问题：
1、幂级数仅能表达圆域内的解析函数。

对任意开集()Ω⊂C 内的解析函数()f λ及满足
()T σ⊂Ω的()T L X ∈，应如何定义()f T ？
2、()f T 能继承()f λ的哪些性质？
3、函数()f T 仅只是()f λ的形式扩张，还是有某些不可缺少的实质性应用？
为解决以上问题，先介绍算子积分的概念。

设L 是复平面上任一可求长曲线，()T τ是定义于L 上而取值于()L X 中的函数（称为算子值函数），则可用通常的“分割、求和、取极限”的方式定义()T τ沿L 的积分：
max 0
1
()lim
()
i n
i
i L
i T d T τττξτ→==
∑⎰。

其中01,,,n τττ为L 上顺次排列的分点，0τ与n τ分别为L 的起点与终点，i ξ是L 上介于
1i τ-与i τ之间的任一点，1(1)i i i i n τττ-=-≤≤。

性质：1、当()T τ对τ连续时，上述积分必存在。

2、对任给的*
u X ∈与x X ∈有
,(),()L
L
u T d x u T x d ττττ<>=<>⎰⎰
下面考虑任意复解析函数的扩张问题。

取定非空开集Ω⊂C ，以()H Ω记Ω内的复解析函数之全体，令
{():()}D T L X T σΩ=∈⊂Ω
设()(),f H T D λΩ∈Ω∈，今探求()f T 的合理定义。

因未必有某个圆0()r D λ，使得
0()()r T D σλ⊂⊂Ω，
形如式（3.2.3）的定义式一般不再有效。

注意到在复函数理论中，复解析函数不仅可表为幂级数，而且可表为积分，即有如下形式的Cauchy 公式表示：
1
1()()()2L f f d i
λττλτπ-=
-⎰， 其中L 是Ω内任一围绕λ的简单闭曲线（或称围道，且假定沿其正方向行进时，保持λ所在区域在左边），我们设想将()f T 类似地定义为
1
1()()()(3.2.6)2L f T f I T d i
τττπ-=
-⎰
定义3.2.1 任给()()f H λ∈Ω与T D Ω∈，取Ω内任一围绕()T σ的围道L ，依式（3.2.6）定义()f T ，则得到一个从D Ω到()L X 的函数()f T ，称它为()f λ的解析扩张，或简称为扩张。

注：1、式（3.2.6）右端的积分必存在。

2、式（3.2.6）右端的积分不依赖于L 的选择。

3、定义式（3.2.3）与（3.2.6）（两者都可使用时）是一致的。

4、()f T 的确是()f λ的扩张。

首先，
(),L X I λλ→→C
显然是一等距嵌入，且此嵌入保持乘积运算。

因此，不妨认为()L X ⊂C ，即将λ与I λ等同。

显然(){}I σλλ=，因此可以认为D ΩΩ⊂。

λ∀∈Ω，在Ω内取一围绕λ的围道L ，则
1
1()()()2L f I f I I d i
λττλτπ-=-⎰⎰ 11
[
()()]()2L
f d I f I i ττλτλπ-=-=⎰， 可见()f I λ与()f λ一致。

二、解析扩张的性质
定理3.2.2 设(),()(),()()f g H h H λλλ'∈Ω∈Ω，(),f T D Ω'Ω⊂Ω⊂∈C ，则 1、()()()()f g T f T g T +=+； 2、()()()()fg T f T g T =； 3、()()(())h f T h f T =。

定理3.2.3（谱映射定理） 设()(),f H T D λΩ∈Ω∈，则有
(())(())f T f T σσ=。

三、谱分解
定理3.2.4（谱分解定理） 设1
(),(),2,n
i i T L X T n σσσ∈=
≥为互不相交的非空闭集，
则存在X 的拓扑直和分解：
12,
(3.2.17)n X X X X =⊕⊕⊕
使得每个i X 是T 的不变子空间(即,1)i i TX X i n ⊂≤≤,且()i i T σσ=,
(,),
(3.2.18)i i
i i i i
Tx T x x x x X ==∈∑∑
此处|i i T T X =看作i X 上的有界线性算子。

证明：取充分小的0ε>,令
{:(,)}
(1),i i C d i n λλσεΩ=∈<≤≤
使得i Ω互不相交.令1
n
i Ω=
Ω,则Ω为开集,()T σ⊂Ω.以()i f λ记i Ω之特征函数,则
()()i f H λ∈Ω.令(),i i i i P f T X P X ==,以下验证(1)i X i n ≤≤即为所求.
(1)验证(3.2.17)式。

显然有恒等式:
()()(),()1
()i j ij i i i
f f f f λλδλλλ==∈Ω∑。

于是，由定理3.2.2得
,(1,).
(3.2.19)i j ij i i i
PP P P I i j n δ==≤≤∑
特别，2
(1)i i P P i n =≤≤，由
i i
P I =∑得
i i i
i
X P X X ==∑∑，这意味着对每个x X ∈有分解
,
(1)(3.2.20)i i i
i
x x x X i n =∈≤≤∑。

因i i X P X =，故对式（3.2.20）中的i x 有i y X ∈，使i i i x P y =，从而由式（3.2.19）有
i ij j j i j j i j i j
j
j
x P y PP y P x Px δ====∑∑∑。

这表明分解式（3.2.20）是惟一的，因而直和分解式（3.2.17）成立，且i P 就是从X 到i
X 的投影。

下证()(1)i j j i X N P i n ≠=≤≤∑。

若(
)j
j i
x N P ≠∈∑，则j
i
i
i
i
j i
x Ix P x Px Px PX X
≠==+=∈=∑。

反之，若i x X ∈，则有
i Px x =，这是因为，由i X 的定义，有y X ∈，使得i
P y x =，所以2
i i i Px P y P y x ===。

故(
)()0j
i
i
j i
P x I P x x Px ≠=-=-=∑，
所以()j
j i
x N P ≠∈∑。

又()(1)i
j j i
X N P i n ≠=≤≤∑是X
的闭子空间（有界算子
j
j i
P ≠∑的核是闭子空间）
，故式（3.2.17）是拓扑直和。

（2）证明（3.2.18）。

任给x X ∈，令(1)i i x Px i n =≤≤，则
i i i i i
i
i
Tx T x Tx T x ===∑∑∑。

因i i i
i i TX TP X PTX P X X ==⊂=，故(1)i X i n ≤≤是T 的不变子空间。

（3）证明()(1)i i T i n σσ=≤≤。

只要证11()T σσ=。

不妨设2n =（否则合并
23,,,n σσσ）。

任取01λσ∈，令
20()()/()f ϕλλλλ=-，
则()()H ϕλ∈Ω（0λ为()ϕλ的可去极点）。

由定理3.2.2有
200()()()();
(3.2.21)P I T T T I T λϕϕλ=-=-
2()()()f ϕλλϕλ=，所以
22
()(),()(3.2.22)T P T T X X ϕϕϕ=⊂
上式后一式成立是因为222()()T X P T X P X X ϕϕ=⊂=。

式（3.2.22）表明2()|T X ϕ可看作从2X 到2X 的算子，记作B ；由式（3.2.21）推出
220202|()()I P X I T B B I T λλ==-=-，
可见02()T λσ∈。

这推出01()T λσ∈，否则，设01I T λ-可逆，则有有界算子1B ，使得
0111011()()|I T B B I T I X λλ-=-=，
对x X ∈，作直和分解121122,,x x x x X x X =+∈∈，定义算子:S X X →如下：
112:S x B x Bx →+
S 的线性性显然，而
112112Sx B x Bx B x B x ≤+≤+
由第二章习题17，存在常数0C >，使得12,x C x x C x ≤≤，故
1121121()Sx B x Bx B x B x C B B x ≤+≤+≤+
可见S 有界，而
0011201102()()()()()I T Sx I T B x Bx I T B x I T Bx λλλλ-=-+=-+- 011102()()I T B x I T Bx λλ=-+- 111()B x X ∈ 0111022()()I T B x I T Bx λλ=-+- 12x x x =+=。

同理：0()S I T x x λ-=。

将推出0I T λ-可逆，这与01()T λσσ∈⊂相矛盾。

这就证明了11()T σσ⊂。

反之，若01()T λσ∈，则必01()T λσ∈。

否则，0I T λ-可逆，这将推出01I T λ-与02
I T λ-均可逆。

若02λσ∈，则依上段所证将有01()T λσ∈，矛盾，故必01λσ∈，因此11()T σσ=。

第四节 Hilbert 空间上的有界线性算子
以下假定H 是给定的复Hilbert 空间。

一、相伴算子
定义3.4.1 任给()T L H ∈，由恒等式
,,*(,)(3.4.2)Tx y x T y x y H <>=<>∈
决定一个算子*()T L H ∈，称它为T 的相伴算子。

下面说明：*T 的确存在。

首先，任给y H ∈，由
(),()y u x Tx y x H =<>
∈
显然定义了一个*y u H ∈，且y u T y ≤。

由Riesz 表现定理，存在由y u （因而也就由y ）惟一决定的*y H ∈，使得
(),*()y u x x y x H =<>
∈，
且*y y u =。

只要令**T y y =，就得到一个确定的算子*:T H H →，*y →，它使得恒等式（3.4.2）成立，且
*y T y u T y =≤。

下证*T 是线性的，即
1212
12*()**(,,,)T y y T y T y y y H αβαβαβ+=+∈∈C ，
这只需注意到下面的推理即可：
121212,*(),,,x T y y Tx y y Tx y Tx y αβαβαβ<+>=<+>=<>+<> 12,*,*x T y x T y αβ=<>+<>
12,**()x T y T y x H αβ=<+>
∀∈。

故定义3.4.1是合理的。

例：设[]n n
ij A a ⨯=∈C
，则,n
x y ∀∈C ，有
,(),*ij j i j ij i i ji j i
j
j
i
i
j
Ax y a x y x a y x a y x A y <>====<>∑∑∑∑∑∑，
这表明*[]T
ji A a A ==，即*A 即为A 的共轭转置。

例：设2
(())T L L J ∈是以2
(,)()K x y L J J ∈⨯为核的积分算子，[,]()J a b a b =<，则
2,()u v L J ∀∈，有
,()(,)()()(,)()b b b b
a
a
a
a
Tu v v x dx K x y u y dy u y dy K x y v x dx <>==⎰⎰⎰⎰
()(,)(),*b b
a
a
u x dx K y x v y dy u T v ==<>⎰⎰。

所以*T 是以(,)K y x 为核的积分算子。

命题3.4.2 对任给的,(),,T S L H αβ∈∈C ，成立以下等式：
()***T S T S αβαβ+=+；
()***,()*(*)n n TS S T T T ==； 11()*(*)T T --=（若T 可逆）；
**T T =；
*T T =； 2
**T
TT T T ==。

推论：映射
:()(),*L H L H T T *→→
是等距共轭同构。

二、自伴算子与U 算子 在线性代数中，对n n
A ⨯∈C
，若有**AA A A =，则称A 为正规矩阵；若*A A =，则称A
为Hermite 对称矩阵；若1
*A A -=，则称A 为U 矩阵。

定义3.4.3 设()T L H ∈。

若**TT T T =，则称T 为正规算子；若*T T =，则称T 为自伴算子；若1
*T T -=，则称T 为U 算子。

注：1、自伴算子与U 算子都是正规算子。

2、若()A L H ∈是自伴算子，则iA
T e =是U 算子。

3、若()T L H ∈是U 算子，且()T σ不充满复平面上的单位圆周，则必有自伴算子()A L H ∈，使得iA
T e =。

命题：3.3.4 设()T L H ∈，则以下结论成立： 1、T 是正规算子⇔*()Tx T x x H =∀∈。

2、T 是自伴算子⇔,()Tx x x H <>∈∀∈R 。

3、T 是U 算子⇔:T H H →是等距同构。

定理3.4.5 设()T L H ∈。

1、若T 是正规算子，则()r T T σ=。

2、若T 是自伴算子，则()T σ⊂R ；设[,]m M 是包含()T σ的最小闭区间，则 11
inf ,,sup ,x x m Tx x M Tx x ===<>=<>； 1
sup ,x T Tx x ==<>
3、若T 是U 算子，则()T λσ∀∈，有
1λ=，即1()T S σ⊂，1S 表单位圆周。

三、正算子 定义3.4.7 设,()T S L H ∈是自伴算子。

若,0()Tx x x H <>≥∀∈，则称T 为正算子，记作0T ≥；若0T S -≥，则约定T S ≥或S T ≤。

注：1、自伴算子是正算子的充要条件是其谱值非负。

2、H 上的自伴算子全体构成一实向量空间。

（记为()s L H ）。

3、每个()T L H ∈有惟一分解：
,,()s T A iB A B L H =+∈
且(*)/2,(*)/2A T T B T T =+=-
因而*T A iB =-。

定义 若()T L H ∈满足
2
,(,0)Tx x m x x H m <>≥∀∈>
则称T 为正定算子。

四、正投影
定义 若H A A ⊥=⊕是正交分解，则由此分解决定的从H 到A 的投影称为正投影算子或正投影，通常记作A P 。

注：x H ∀∈，A P x 就是x 在A 中的最佳逼近。

命题3.4.10 ()T L H ∈是正投影2*T T T ⇔==。

推论 1、设()P L H ∈(){0,1}P σ⊂；
2、0P I ≤≤。