数形结合的几个经典题

数形结合

1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），

同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；

于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。。

2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），

同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；

于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.

。

3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；

若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，

则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。

于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。

4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角，

空白部分的面积从整体计算为a2－b2；

而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，

其面积为()()()()

)

)(

(

2

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

-

+

=

-

+

+

-

+

。

于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。

5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2，

从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4，

同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，

于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。

6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），

从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，

所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。

数形结合例题

例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a-b）2=a2-2ab+b2

C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2

析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．

例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．

析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b，所以面积为（a-b）2；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（a+b）2，

a b

a －b

a

b

a －b

甲

乙

每个长方形的面积为ab ，所以空白部分面积为（a +b ）2-4ab ．

因此有恒等式（a +b ）2-4ab =（a -b ）2成立．故填（a +b ）2-4ab =（a -b ）2．

例3 图4是由一个边长为a 的正方形与两个长、宽分别为a 、b 的小长方形拼接而成的长方形ABCD ，则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意三个等式______、______、_______．

析解：读懂题意，观察图中数据关系是关键，其次利用面积写出代数式，．根据图形的组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如： a 2+2ab =a （a +2b ）；a （a +b ）＋ab =a （a +2b ）； a （a +2b ）-a （a +b ）=ab ；a （a +2b ）-ab =a （a +b ）； a （a +2b ）-a 2=2ab ；a （a +2b ）-2ab =a 2．

数形结合解题

1.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）

A

()222

b 2ab a b a +-=- B.()2222b ab a b a ++=+

C

()()22b a b -a b a -=+

D.()ab a b a a -=-2

2.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）

A ．2

2

()()4m n m n mn +--= B ．2

2

2

()()2m n m n mn +-+= C ．2

2

2

()2m n mn m n -+=+ D ．2

2

()()m n m n m n +-=-

3.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩

形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）

A ．2m +3

B ．2m +6

C ．m +3

D ．m +6

4.七年级学生小明剪出了多张如图⑴中的正方形和长方形的卡片，利用这些卡片他拼成了如图⑵中的大正方形，由此验证了我们学过的公式：2222)(b ab a b a ++=+．现在请你选取图⑴中的卡片（各种卡片的张数不限），并利用它们在图⑶中拼出一个长方形，由此来验证等式：2232)2)((b ab a b a b a ++=++．（请按照图⑴中卡片的形状来画图

5.数形结合是一种重要的数学方法，，你能利用这种方法把算式(2a+b)(a+2b)=2a 2+5ab+2b 2的合理性解释清楚吗？

a

a

b b

⑴

（2）

（3）