boost 反馈电路

经过之前分析，原系统不稳定，原因是原始回路中频以-40dB/dec的斜率穿越0dB线，此时对应最小相位系统相频图中相移为-180度，-20dB/dec对应-90度，所以应使校正后的系统以-20dB/dec的斜率穿越0dB线，这样就会有较好的相位稳定性。
为使系统无静态误差，采用PI校正（K(τs+1)/(τs)），这时即使比例系数较小，由于积分项的作用，仍能够消除静态误差。应该使PI调节器的零点频率明显低1/原系统开环传递函数极点频率ω0，使得校正后的开环传递函数在相移1800时的频率不至于有太大的降低，否则截止频率将会更低。据此可选PI调节器的零点频率1/τ=0.5ω0，即
K=τ 10-A0/20=0.5*10-A0/20(3)
据此可计算得到τ=1/（0.5*1000）=0.002，K=0.5*10-40/20=0.005。由此得到的PI调节器的波特图、系统校正后的开环传递函数的波特图如图3中所示，由图4可知，系统校正后的开环传递函幅频特性以-20db/dec过零，相位稳定裕量为940，系统是稳定的。
d=[4e-10,4e-5,1,0];
sys1=tf(c,d);
bode(sys1)
grid on;
hold on;
x2=conv([-8.1e-2,360],[2.72e-5,2.72e-2,6.8]);
y2=conv([1.8e-5,3.6e-3,16],[4e-10,4e-5,1,0]);
margin(x2,y2);
首先来确定调节器的零点频率，一般使得零点频率为原始系统极点频率ω0的0.5倍，即1/τ1=0.5ω0，则有
τ1=2/ω0(4)
为使调节器的超前特性充分发挥出来，其零极点对应的频率差应该尽可能大，可使极点频率与零点频率之比为100，即
τ2=τ1/100(5)
代入数据得τ1=2/ω0=2/1000=1/500，τ2=τ1/100=1/500/100=1/50000。
图5 R=10 ，K=0.005时系统响应
改变比例系数，观察比例系数对系统的影响，如图6，图7所示。可见，比例系数越小，响应速度越慢。但比例系数越大，系统稳定性越差，甚至引起不稳定。
图6 R=10 ，K=0.004时系统响应 图7 R=10 ，K=0.008时系统响应
可以看出在K=0.005时系统快速性较好，仿真在K=0.005时，不同功率时的输出响应。仿真结果，如图8、图9、图10所示。可以看出，功率越大，系统的响应速度越快，由于采用PI控制，均无稳态误差。
图3 采用PI调节器时的波特图
Boost变换器的负反馈控制系统传递函数图如图4所示，其中，Gvd(s)为占空比至输出的传递函数,Gm(s)为PWM脉宽调制器的传递函数,Gc(s)为PI调节器的传递函数，H(s)表示反馈通路的传递函数。
图4 Boost变换器的负反馈控制系统传递函数图
采用PI调节时系统输出响应如图5所示，可以看出系统相应速度较快，且无静态误差。
τ=1/(0.5ω0)(2)
PI调节器的零点频率确定以后，改变PI调节器的比例系数K 即可改变校正后的开环传递函数的截止频率和相位稳定裕量。由图1中的幅频特性可知，原系统在极点频率处有约40db的谐振峰值，因此设计PI比例系数时必须考虑这个因数，否则可能在ω0附近由于开环增益大于零而使系统不稳定。PI调节器的增益为-40db时对应的频率为 ，且 处于PI调节器幅频特性的-20db/dec段，则有20lg(K/(τ ))+ A0=0，A0为原系统开环特性的谐振峰值（db）。取 为PI调节器零点频率的一半，即 =0.5/τ，则有
图1 Boost电路闭环控制系统结构图
根据Boost电路的小信号模型可知，其占空比到输出电压的传递函数如式（1）所示。
(1)
图2 原始系统的波特图
可见该传递函数是一个非最小相位系统，其波特图如图2所示。
电路的幅值裕度：GM=-27dB，相位裕度：-50.6deg
其稳定判据显示系统不稳定。
三、PI控制器校正分析
y2=conv([1.8e-5,3.6e-3,16],[2e-3,0]);
margin(x2,y2);
w=-8*pi:0.01:8*pi;
b=[-8.1e-2,360];
a=[1.8e-5,3.6e-3,16];
sys=tf(b,a);
bode(sys);
hold on;
c=[2.72e-5,2.72e-2,6.8];
图8 K=0.005，R=20 时系统响应
图9 K=0.005，R=8 时系统响应
图8 K=0.005，R=10 时系统响应
四、超前滞后校正分析
PI调节器的比例系数增大，则校正后的系统的幅频特性在ω0附近将会大于0，而相移正好在1800附近，将会使得系统不稳定。但这样的校正方法，系统校正后的开环传递函的截止频率较低，使得系统的动态响应较慢。
图11 采用超前滞后调节器时的波特图
加入超前滞后调节器后的系统响应如图12、图13所示。
图12 R=10 时超前滞后校正输出响应
图13 R=20 时超前滞后校正输出响应
五、总结
通过对比图8和图13，可以看出采用超前滞后校正，能使系统响应尽快达到稳定,两种校正方法均实现了无静态误差。
部分MATLAB程序附录
为避免原始电路的影响，补偿后的穿越频率应该小于零点频率，取开关频率的1/8，即使校正后的频率为1.25*103，如图2所示，此时对应的增益AC0为29.3db，因此要求调节器在ωc处具有-29.3db的增益，由此可以得到调节器比例系数K的计算式为20lg(Kτ12ωc)= -AC0，即
K=10(-AC0/20)/ (τ12ωc) (6)
Boost反馈控制器设计
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一、设计要求
设计Boost反馈校正电路，使得输入10V，输出15V，并分析输出响应的快速性与静态误差。
二、原系统分析
Boost电路闭环控制系统结构图如图1所示，其中电源Vin=10V，Vo=15V，电感1mH，电容500uF，电阻10Ω，开关频率10KHz。
w=-8*pi:0.01:8*pi;
b=[-8.1e-2,360];
a=[1.8e-5,3.6e-3,16];
sห้องสมุดไป่ตู้s=tf(b,a);
bode(sys);
hold on;
c=[1e-5,5e-3];
d=[2e-3,0];
sys1=tf(c,d);
bode(sys1)
grid on;
hold on;
x2=conv([-8.1e-2,360],[1e-5,5e-3]);
超前滞后校正环节，在调节系统响应质量方面具有更大的灵活性。若将超前滞后环节的两个零点和极点分别设计得相同，则传递函数可为K(τ1s+1)2/[s(τ2s+1)2]，一般τ1>τ2。由于该调节器在一定的频率段具有相位超前特性，因此可以使得校正后的开环传递相移1800时的频率点得到改变，若增大这个频率，则可使校正后的系统地截止频率提高，以提高系统的响应速度。
根据式（4）、（5）、（6）可以计算得到，K=10(-29.3/20)/(1/5002*1250)=6.8。
由此得到的波特图分别如图11所示，其中曲线1、2、3分别表示原始系统、超前滞后校正系统、校正后的系统。
由图11的相频特性可以看出，校正后的系统相移1800时的频率为8000rad/s，远大于原始系统相应的频率1300rad/s，为提高校正后系统的截止频率提供了可能。