高等数学(本科少学时)总结

高等数学（本科少学时类型）总结邻域：(){},|U a x x a δδ=-<去心邻域：(){},|0U a x x a δδ=<-<数列极限的证明已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=（N -ε语言）步骤1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦步骤2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}ax n x =∞→lim0x x →时函数极限的证明已知函数()x f ，证明()Ax f x x =→0lim （δε-语言）步骤1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =步骤2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()Ax f x x =→0lim∞→x 时函数极限的证明已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim （X -ε语言）步骤1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =步骤2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当Xx >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()Ax f x =∞→lim函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦。

在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大。

多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 00b a x q x p x m n m n mn >=< ()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩ ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用洛必达法则求解。

若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦。

第一个重要极限：1sin lim0=→x xx特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-。

第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f 。

等价无穷小（乘除可替，加减不可）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-2．U U cos 1~212-函数的连续性：()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==间断点的分类：⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式。

切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--'线性组合（加法）：()u v u v αβαβ'''±=+ 导数公式：特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±。

函数积的求导法则（乘法）：()uv u v uv '''=+函数商的求导法则（除法）：2u u v u v v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭反函数的求导法则：()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦'高阶导数：()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n nn n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦） 【典型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数。

解：()1111y x x -'==++，()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦ ……()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-⋅-⋅+！隐函数的求导法则：等式两边对x 求导 参数方程型函数的求导法则设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx y d一阶导数：()()t t dx dy ϕγ''=二阶导数：()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='微分运算法则：()dx x f dy ⋅'=洛必达法则：()()()()lim lim x a x a f x f x g x g x →→'='（极限类型属于两大基本不定型0,0∞∞）注意：配合等价无穷小的替换运算，不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）。

1.0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 2.∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 3.00型（对数求极限法） 4.1∞型（对数求极限法） 5.0∞型（对数求极限法）洛必达法则进行极限运算的基本思路00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)1.通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）2.取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）3.取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 原函数：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx=⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数。

原函数存在定理：如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）。

不定积分：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx称为积分表达式，x 则称为积分变量）。

基本积分表：分项积分公式：()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰不定积分第一类换元法（凑微分）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）：()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 不定积分第二类换元法（去根式）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）1.一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t bx a -=，则原式可化为t 。

2.根号下平方和的形式（0a >）tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctanxt a =，则原式可化为sec a t 。

3.根号下平方差的形式（0a >）：3-1.sin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsinxt a =，则原式可化为cos a t 。

3-2.sec x a t =（02t π<<），于是arccosat x =，则原式可化为tan a t 。

分部积分公式：udv uv vdu=-⎰⎰注意：分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”。

定积分：()()1limnbi iaif x dx f x Iλξ→==∆=∑⎰（()f x称为被积函数，()f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[],a b称为积分区间）。

定积分的性质1.()() b ba af x dx f u du=⎰⎰2.()0 aaf x dx=⎰3.()() b ba akf x dx k f x dx=⎡⎤⎣⎦⎰⎰4.()()()() 1212b b ba a ak f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰5.()()() b c ba a cf x dx f x dx f x dx=+⎰⎰⎰6.若函数()f x在积分区间[],a b上满足()0f x>，则()0baf x dx>⎰7.若函数()f x、函数()g x在积分区间[],a b上满足()()f xg x≤，则()()b ba af x dxg x dx≤⎰⎰8.()() b ba af x dx f x dx≤⎰⎰牛顿-莱布尼兹公式：()()() baf x dx F b F a=-⎰变限积分的导数公式（上上导―下下导）：()()()()()()()xxdf t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰定积分第一类换元法：()()()() b ba af x x dx f x d xϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰定积分第二类换元法：()()() baf x dx f t t dtβαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰定积分分部积分公式：()()()()()()()()()()()() b ba ab bbaa au x v x dx u x v x v x u x dx u x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰偶倍奇零（()[],f x C a a∈-）偶函数：()()f x f x-=，()()2a aaf x dx f x dx-=⎰⎰奇函数：()()f x f x-=-，()0aaf x dx-=⎰。