高等数学(本科少学时)总结

高等数学（本科少学时类型）总结

邻域：

(){}

,|U a x x a δδ=-<

去心邻域：(){},|0U a x x a δδ=<-<

数列极限的证明

已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=（N -ε语言）

步骤1．由n x a ε

-<化简得()εg n >，

∴

()N g ε=⎡⎤⎣⎦

步骤2．即对0>∀ε，

()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a

x n x =∞

→lim

0x x →时函数极限的证明

已知函数()x f ，证明()A

x f x x =→0

lim （δε-语言）

步骤1．由()f x A ε

-<化简得

()

00x x g ε<-<，

∴()εδg =

步骤2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，

∴()A

x f x x =→0

lim

∞→x 时函数极限的证明

已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim （X -ε语言）

步骤1．由()f x A ε

-<化简得

()

x g ε>，

∴()εg X =

步骤2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X

x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，

∴()A

x f x =∞

→lim

函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim

假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则

()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦。 在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0

f x ≠，则

()x f 1

-为无穷大。

多项式

()

p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1101

10

则有

()()⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 00b a x q x p x m n m n m

n >=< ()()()

()000

lim 0

0x x f x g x f x g x →⎧⎪

⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩ ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==

特别地，当

()()00lim 0

x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，

也可以用洛必达法则求解。

若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()0

0lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦。 第一个重要极限：1

sin lim

0=→x x

x

特别地，000sin()

lim

1

x x x x x x →-=-。

第二个重要极限：e x x

x =⎪⎭⎫

⎝⎛+∞

→11lim

一般地，

()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

，其中()0lim >x f 。

等价无穷小（乘除可替，加减不可）

1．()

~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-

2．U U cos 1~212

-

函数的连续性：

()()()

00

0lim lim x x x x f x f x f x -

+→→==

间断点的分类：⎩⎨

⎧∞⋯

⋯⎩⎨

⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极

特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式。

切线方程：

()()()

y f a f a x a '-=-

法线方程：()()

()1

y f a x a f a -=-

-'

线性组合（加法）：()u v u v αβαβ'''±=+ 导数公式：

特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±。 函数积的求导法则（乘法）：()uv u v uv '''=+

函数商的求导法则（除法）：2

u u v u v v v '

''

-⎛⎫= ⎪

⎝⎭

反函数的求导法则：

()()

1

1f x f x -'⎡⎤=⎣⎦'

高阶导数：

()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n

n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦） 【典型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数。

解：

()1

111y x x -'=

=++，

()()()12

111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦ ……

()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-⋅-⋅+！

隐函数的求导法则：等式两边对x 求导 参数方程型函数的求导法则

设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求2

2dx y d