频域性能指标和时域性能指标的关系

5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系

频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。

5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标

设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。

图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图

此系统的闭环传递函数为

2

222)()

(n

n n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。 令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:

ja n n

M j j X j Y e 2)1(1

)

()

(22=+-=

ωωξ

ωωωω

式中 M n

n =

-

+1

122

2

22

()()ωωξωω

2

2

12a r c t a n n

n ωωω

ωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值

ωωξr n =-122

M r =-1212

ξξ

二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。

图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性

对于二阶系统，在01

2

≤<

ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。

系统的频带宽度(带宽)

由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。当闭环频率特性的

幅值下降到707.02

1

==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分

贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。此时有

b j M j M ωωω>-<3

)0(lg 20)(lg 20

对于0)0(lg 20=j M ，有

b j M ωωω>-<3

)(lg 20

系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。

闭环频率特性的分贝值不低于3-分贝时，对应的频率范围b ωω≤≤0称为系统的带

宽。带宽是一个重要的频域性能指标。带宽反映了系统在一定频带范围内比较满意地复现输入信号的能力。带宽大，表明系统能通过较高频的输入;带宽小，表明系统只能通过较低频的输入。因此，带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强; 另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。

为了使系统准确地跟踪任意的输入，带宽大好; 而从抑制噪声考虑，带宽又不能太大。因此，对带宽要求是有矛盾的，设计中应根据具体情况折衷考虑。

对于一阶系统和二阶，带宽和系统参数具有解析关系。 设一阶系统的闭环传递函数为

1

1

)()()(+==

Ts s X s Y s φ 因为1)0(=j φ，根据带宽的定义

2

1lg

201

1lg

20)(lg 2022

=+=b

b T j ωωφ (5-141)

根据式(5-141)可求得带宽频率

T

b 1=

ω 在第三章中，我们研究一阶系统的暂态响应时，有这样的结论:取%5的误差带时，T t s 3=，上升时间T t r 2.2=。因此

b

s T t ω3

3=

= (5-142) b

r T t ω2

.22.2=

= (5-143)

从式(5-142)和(5-143)可以看出，系统的带宽频率和上升时间r t 成反比，也和调节时间s

t 成反比。

设二阶欠阻尼系统的闭环传递函数为

2

2

22)(n

n n

s s s ωξωωφ++= 则系统的幅频特性为

2

2

2

211)(⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

n n

j ωωξωωωφ

因为1)0(=j φ，根据带宽的定义，

2

1lg 20211

lg

20)(lg 202

2

2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=n b

n

b

j ωω

ξωω

ωφ

所以有

24122

22

22=+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-n b n b ωωξωω

因而有

2/1222]1)21()21[(+-+-=ξξωωn b (5-144)

由式(5-144)可知，二阶系统的带宽频率ωb 和无阻尼自然振荡频率n ω成正比。

设2

)/(n b A ωω=，则有

)10(0)]21(1)21([1

)21(4d d 22222<<<-++-+--=ξξξξξξA (5-145)