行程问题

一、基本知识点：
1、基本公式：距离=速度×时间
2、相遇追及问题：
相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间
追及距离=（大速度-小速度）×追及时间
3、环形运动问题：
环形周长=（大速度+小速度）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔
环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔
4、流水行船问题：
顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间
5、电梯运动问题：
能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间
能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间
6、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题）
（1）假设时钟一圈是12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

（2）钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

（3）时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

二、例题和解题思路
1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？
解析：先画示意图：
可以看到它们到第二次相遇时共走了3个AB全程。

当甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，因此，我们可以理解为乙车一共走了3个64千米，再由上图可知：乙车一共走过的路程减去一个48千米后，正好等于一个AB全程。

①AB间的距离是 64×3－48＝192－48＝144（千米）.
②两次相遇点的距离为144—48－64＝32（千米）.
2、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？
解析：甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.
甲的速度为：100÷（4－1＋4÷2）＝10O÷5＝20（千米/小时）.
乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）
.
3、在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1，3，5，…（连续奇数）分钟数调头行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？解析无论相向还是反向，张李二人每分钟都共走4000÷60+5000÷60=150（米）.如果两人一直相向而行，那么从出发经过600÷150=4（分钟）两人相遇.
画图可知：在16分钟（=1+3+5+7）之内两人不会相遇.在这16分钟之内，他们相向走了6分钟（=1+5），反向走了10分钟（=3+7），此时两人相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200米，因此，再相向行走，经过1200÷150=8（分钟）就可以相遇.
所以是600+150×（3+7-1-5）=1200（米）
1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分钟）
1+3+5+7+8=24（分钟）
两人相遇时是8点24分.
4、姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。

姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。

小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。

问小狗共跑了多少米？（）
A、600
B、800
C、1200
D、1600
解析：由于小狗的运动规律不规则，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。

由于姐姐和小狗同时出发，同时终止，小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。

这个时间为80÷（60-40）=4分钟
小狗跑了150×4=600米
5、小明放学后，沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。

每隔30分钟就有辆公共骑车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。

问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？（）
A、20
B、24
C、25
D、30
解析：设两辆车间距为S。

有
S=（V车+V人）×20
S=（V车-V人）×30
求得V车=5V人
故发车间隔为：T=S/V车=24分钟
6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
A．80级B．100级C．120级D．140级
解析；总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100
7、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。

已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
A．166米B．176米C．224米D．234米
解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分）
从而解得X=78 Y=72
由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。

8、甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行
走，甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙。

已知乙的速度是甲的2/3，湖的周长为600米，则丙的速度为；
A．24米／分B．25米／分 C 26米／分D．27米／分
『解析』解题关键点为“相遇问题的核心是…速度和‟的问题”可设甲的速度为
，则乙的速度为2x/3，又根据“甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙”，可知（＋2x/3）×（1+1/4＋3+3/4）＝600，则＝72，如果设丙的速度为，则有（＋）×（1+1/4＋3+3/4＋1+1/4）＝600，从而解得＝24。

9、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。

该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。

问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?
A．5倍B．6倍C．7倍D．8倍（2003年中央B类）
解析，如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。

设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程
5/4A=1/4AX
解得X=5
所以，正确答案为A。

10、某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则时刻为几点几分？
A、10点15分
B、10点19分
C、10点20分
D、10点25分
解析：
设此时刻是10点X分。

3分钟前是10点X-3分；6分钟后是10点X+6分。

则：10点X-3分时，时针从12点位置上转过了300°+（X-3）×30°/60
10点x+6分时，分针从12点位置上转过了(X+6) ×12×30°/60
300°+（X-3）×30/60°-(X+6) ×12×30°/60 =180°=>X=15
所以选A
注：一般时针问题都有简便的方法来解
比如此题，可以使用代入法
B,C,D的时刻的3分钟前都还是10点多，因此时针在钟面上的10与11之间，而3个时刻6分钟以后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的5上或者之后了。

而钟面上10与11之间反过来对应的是4和5之间，所以这三项都不符。

选择A
11、有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少？（）
A、11点整
B、11点5分
C、11点10分
D、11点15分
解析：坏表问题的基本解题思路是找准坏表的“标准比”，然后按照比例来计算。

设此时的标准时间为y时，得到这样的比较：
标准钟慢钟
时刻1：4+30/60 4+30/60
时刻2：y 10+50/60
两次时间差：y-(4+30/60) (10+50/60)-( 4+30/60)
标准比：60 57
列出比例关系：y-(4+30/60): (10+50/60)-( 4+30/60) =60：57
解得y=11+10/60，即此时的标准时间为11时10分。

三、练习
1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
2.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车
驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？
3.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？
4.甲乙两地有公共骑车，每隔3分钟就从两地各发一辆汽车，30分钟驶完全程。

如果车速均匀，一个人坐上午9点的车从甲地开往乙地，一共遇上多少辆汽车？
A 15
B 18
C 19
D 20
5.甲、乙两人站在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙走了24级到达顶部。

那么，自动扶梯有多少级露在外面？
A 68
B 56
C 72
D 85
6、绕湖一周是20千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走一小时以后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？
A 120
B 125
C 130
D 136
7、人乘竹排沿江顺流漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇员：你后面有轮船开过来吗？快艇员回答：半小时前我超过一艘轮船。

竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎面开来的这艘轮船。

那么快艇静水速度是轮船静水速度的几倍？
A 2
B 2.5
C 3
D 3.5
8、某司机开车从A城到B城。

如果按原定速度前进，可准时到达。

当路程走了一半时，司机发现前一半路程中，实际平均速度只可达到原定速度的11/13.现在司机想准时到达B城，在后一半的行程中，实际平均速度与原速度之比是（）
A 11：9
B 12：7
C 11：8
D 13：8
9、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）？
A 24分钟
B 26分钟
C 28分钟
D 30分钟
10、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，他们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就掉头爬行，那么，他们相遇时已爬行的时间是多少秒?()
A 46
B 47
C 48
D 49
解析：
1.解：①A、B两地间的距离：4×3—3＝9（千米）.
②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千米）.
2.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.
提示：在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.
3.解：①第三次相遇时两车的路程和为：90＋90×2＋90×2＝450（千米）.
②第三次相遇时，两车所用的时间：450÷（40＋50）＝5（小时）.
③距矿山的距离为：40×5—2×90＝20（千米）.
4、C解析：乙站在上午8点半到9点半，共发送21辆车，这21辆车也就是甲站九点钟发出所应遇到的，除去首尾就是途中遇到的即21-2=19辆车。

5、C解析：甲乙到达顶部所用的时间之比是36/2:24=3：4
假设扶梯的速度为x，那么36+3x=24+4x，得到x=12，所以扶梯长为36+3×12=72.
6、D 解析：两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲、乙都休息完2次，甲已经行了4×2=8千米，乙已经行了6×（130-20）/60=11千米。

相遇还需要（20-8-11）/(4+6)=0.1小时=6分钟，故两人从出发到第一次相遇用了130+6=136分钟。

7、C 解析：对于竹排来说，它自身不动，而快艇、轮船都以它们在静水中的速度向它驶来。

快艇半小时走的路程，轮船用了1个半小时。

因此快艇静水中的速度是轮船静水速度的3倍。

8、A 解析：前一半路程用的时间是原定的13/11.多用了2/11.要想准时到达，后一半路程只能用原定时间的1-2/11=9/11。

所以后一半行程的速度是原定速度的9/11.即11：9。

9、C 解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。

也就是说，两人16分钟走了一圈。

从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走版权，即从A到B是半圈，A从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14*2=28分钟。

10、D 解析：半圆周长63厘米。

如果蚂蚁不掉头走，用63/(5.5+3.5)=7秒即相遇。

由于13-11+9-7+5-3+1=7，所以经过13+11+9+7+5+3+1=49秒，两只蚂蚁相遇。