江苏省连云港市高级中学(苏教版)高二下学期必修四数学学案：学案：2.2.3向量的数乘(2)

必修4

向量的数乘（2）

教学目标：

知识与技能:理解向量共线含义,掌握向量共线定理，会判断两个向量是否共线.

过程与方法:学会综合运用向量的加减法法则、数乘向量运算及向量共线定理

证明简单的几何问题.

教学重点：向量共线定理

教学难点：向量共线定理的证明

教学过程：

一、问题情境

如果b=λa（a≠0）则称向量b可以用非零向量a线性表示.

二、学生活动

如图：D、E分别为ΔABC的边AB、AC的中点.

问题1：BC与DE共线吗？

问题2：能用线性表示吗？

三、建构数学

1．向量共线定理：

如果有一个实数λ,使b=λa（a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a（a ≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa

2. 向量共线定理的含义及证明

问题3:定理有哪两层意思?为什么a≠0?

四、数学应用

例1、如图,ΔOAB 中,C 为直线AB 上一点,AC =λCB (λ≠-1).

求证:λλ++=1OB OA OC A C B

O

问题4：上例中，当λ=1时，你能得到什么结论？

问题5：当λ>0,λ<0时点C 分别在直线AB 的什么位置上?

问题6:当C 与A 重合时λ的值是多少? C 与B 重合时,λ又会怎样呢?

问题7:上例所证明的结论表明:起点为O,终点为直线AB 上一点C 的向量OC 可以用OA 、OB 表示.那么两个不共线的向量OA 、OB 可以表示平面内任一向量吗？

例2、（1）已知a 、b 满足（a +3b )-(a -b )=2(a +b ),求证：a 与b 共线

（2）设AB =a +5b ,BC =-2a +8b ,CD =3(a -b ), 试证：A 、B 、D 三点在同一条直线上.

变式1：设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知AB =k e 1+2e 2,BC =2e 1+3e 2, CD =e 1-2e 2,若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.

变式2：设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知OA =k e 1+2e 2,OB =2e 1+3e 2, OC =e 1-2e 2,若A 、B 、C 三点共线，求k 的值

例3、ΔABC 中,Q 为直线AC 上一点，AQ =

21AC ，R 为直线AB 上一点，AR =3

1AB ， BQ 交CR 于点I, b Ac a AB ==,,试用b a ,表示BQ ,CR 和AI ．

五、当堂反馈

1.书P 66练习1、2、3

2.设a 、b 为不共线的非零向量，若=3a -2b ，=4a +3b , =8a -9b , 求证：A 、B 、D 三点共线

六、课后研学

1．若a 、b 为不共线向量,λ、μ∈R 满足3λa +（10-μ）b =2λb +(2μ+1)a 则λ=_____ μ= _____.

2．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e e e k +=+=共线。

3．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 。 4．已知向量1e u r 与2e u u r 不共线，122a e e =-r u r u u r ，122b e e =+r u r u u r ，则a b +r r 与1262c e e =-r u r u u r 的关系是 。

5．已知123()AB e e =+u u u r r r ，12CB e e =-u u u r r r ，122CD e e =+u u u r r r ，则一定共线的三点

是 。

6．若OA =1e －2e ，OB =31e ＋2e ，OC =λ1e ＋52e ，则当A 、B 、C 三点共线

时，实数λ=____________。

7．设21,e e 是两个不共线的向量，则向量b =)(21R e e ∈+λλ与向量a =212e e -共线的条件是λ＝_______________。

8.已知

， ，试判断 与 是否共线，并说明理由。

9.如图，在 中，

是 中点，点 是 上一点， BD BN 31=

，求证 、 、 三点共线．

10．已知12122323=-=+，a e e b e e ，其中12，e e 不共线，向量1229=-c e e ，问是否

存在这样的实数λμ，，使λμ=+d a b 与c 共线．

11．在ABC △中，13AM AB =，14

AN AC =，BN 与CM 交于点P ，且AB AC ==u u u r u u u r ，a b ，用，a b 表示AP u u u r ．

12．如图2所示，已知ABC △的两边AB AC ，的中点分别为M N ，，在BN 的延长线上取点P ，使NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使MQ CM =．试证明：P A Q ，，三点共线．

13．O 为平面内一点，四边形ABCD 是，=，=，=，=，点E 在BA 上，且BE ：EA=1：3，F 在BD 上，且BF ：FD=1：4，用、b 、、d 分别表示,,,，并判断E 、F 、C 三点是否共线。