外接球与内切球

外接球与内切球

【基础回顾】 球的体积公式：343

V R π=

球的表面积公式：24S R π= ☆核心：求出外接球/内切球的半径R . 【知识引导】

一、多边形外接圆⇒几何体外接球

（圆心到多边形各个顶点距离相等，距离为半径r ⇒球心到几何体各顶点距离相等，距离为半径R ） ☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r . 【1】常见多边形外接圆半径 1. 四边形

长方形： 半径：22

a b

r +=，圆心：对角线交点

正方形： 半径：2

2

r a =

， 圆心：对角线交点

2. 三角形☆

等边三角形： 半径：3

r =

， 圆心：中线三等分点 （注意讲解中线上2:1关系）

直角三角形： 半径：222

a b

r +=， 圆心：斜边中点

120︒等腰三角形： 半径：r a =，圆心：如图，在三角形外部

普通三角形： 半径：利用正弦定理

2sin a

r A

= （已知一组对边角） （这里r 即为外接圆半径）

【2】常见几何体外接球半径

1. 直棱柱：

2

2

2

h

R r

⎛⎫

=+ ⎪

⎝⎭

，r为底面外接圆半径，h为柱体的高（注：斜棱柱无外接球）

长方体：半径：

222

a b c R

++ =

正方体：半径：

3

R=，球心：体对角线交点

直三棱柱：半径：

2

2

2

h R r

⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭

2. 锥体：

正三棱锥：外接球球心在底面的高线上

球半径可利用勾股定理列方程求解

正四面体：半径：

6

4

R=，

二、多边形内切圆⇒几何体内切球

【解题技巧与步骤】

一、求解外接球半径R （☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r ）

【1】柱体：R =r 为底面外接圆半径. 【2】锥体

步骤：（1）选合适底面，找圆心O '，求出底面外接圆半径r .

（底面：长方形，正方形，等边∆，直角∆，120︒等腰∆，已知一组对边角的∆） （2）将圆心向上平移h ，得到球心O

☆（3）利用PO AO =（R 相等）列方程求h （OA

（4）将h 代入OA =R

（三棱锥外接球为重点内容，重点讲解第3步列方程中各长度的求解）

二、求解内切球半径R （核心：等体积法）

题型一、柱体外接球

1. 一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5cm cm cm ，则该长方体的外接球的体积是________3cm ．

2. 长方体的长宽高分别是 ，，，则其外接球的体积是 ．

3.长、宽、高分别为 、 、 的长方体的外接球的表面积为 ．

4.一个棱长为2cm 的正方体的外接球的体积是_________3cm ．

5.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于 ．

6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，

4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）

A . B. C.

132

D. 7.三棱柱

的侧棱垂直于底面，且

，，若

该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A. B. C.

D.

8.三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，，若

该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A.

B.

C.

D.

9.已知侧棱与底面垂直的三棱柱

满足

，

，则其外接球的表面积为 ．

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 2a π B.

273

a π C.

2

113

a π D. 25a π

11.设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是．

12.一个直六棱柱的底面是边长为的正六边形，侧棱长为，则它的外接球的表面积为．

题型二：锥体外接球

（等边三角形（含正三棱锥））

1.在正三棱锥中，，分别是棱，的中点，且，若侧棱

，则正三棱锥外接球的表面积是．

2.已知三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的外接球的直径为 ．

3.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是___________.

4.已知球的直径6SC =，,A B 是该球球面上的两点，且3AB SA SB ===，则棱锥S ABC -的体积为

A . B.

C.

D.

5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为_________________.

6.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒，已知,,,A B C D 四点在同一个球面上，则球的表面积等于___________.

7.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，当三棱锥P ABC -表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 A. 12π B. 8π C. 43π

D.

323

π

8.三棱锥

中， 为等边三角形，，

，二面角

的大小为

，则三棱锥 的外接球的表面积为

A. B.

C.

D.