光学教程第2章_参考答案

2.1 单色平面光照射到一个圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 各带的半径。若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R r R k hk +=λ，

当∞→R 时，0r k R hk λ=。

第一半波带半径067.011045001100=⨯⨯⨯==-r k R hk λcm 。

2.2平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像摄像机光圈那样改变大小．问：(1)小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4 m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；(2)P 点最亮时，小孔直径应为多大?设此光的波长为500nm 。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R r R k hk +=λ，

当∞→R 时，k k r k R hk 414.14105000100=⨯⨯⨯==-λmm 。 K 为奇数时，P 点光强为极大值； K 为偶数时，P 点光强为极小值。

(2)P 点最亮时，由p 点的振幅)(2

1

1k k a a a +=，所以当k=1时，k a 为最大

所以2828.021==h R d cm 。

2.3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5 mm 和1 mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1 m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R

r R k hk +=λ，

圆环内径对应的半波带数1)1

1

11(105000)105.0()11(102302

1

1=+⨯⨯=+=--R r R k h λ

圆环外径对应的半波带数4)1

1

11(105000)101()11(10

2302

1

2=+⨯⨯=+=--R r R k h λ 由题意可知，实际仅露出3各半波带，即142)(2

1

a a a a k ≈+=，

而112

1

)(21a a a a ≈+=∞∞

所以光强之比4

22

0==∞a a I I k

。

2.4波长为632.8 nm 的平行光射向直径为2.76 mm 的圆孔，与孔相距l m 处放一屏，试问：(1)屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点?(2)要使P 点变成与(1)相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少?

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R

r R k hk +=λ，

当∞→R 时，31

106328)21076.2(102

302≈⨯⨯⨯==

--r R k hk λ。 由于k=3，为奇数，所以屏上正对圆孔中心的P 点时亮点。 (2)预使P 点变为暗点，即要使k 为偶数，即k=2or4 当k=2时

5.12106328)2107

6.2('102

320≈⨯⨯⨯==--k R r hk λm 5.0'00-=-=∆r r r m 即将屏向后移动0.5m 当k=2时

75.04106328)21076.2('10

2

320≈⨯⨯⨯==--k R r hk λm 25.0'00=-=∆r r r m

即将屏向前移动0.25m

2.5 一波带片由五个半波带组成，第一半波带为半径r 1的不透明圆盘，第二半波带是半径r 1至r 2的透明圆环，第三半波带是r 2至r 3的不透明圆环，第四半波带是r 3至r 4的透明圆环，第五半波带是r 4至无穷大的不透明区域．已知r 1：r 2：r 3：r 4=l ：2：3：4，用波长500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1 m 的轴上．试求：(1)r1；(2)像点的光强；(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)1

1(02

R r R k hk +=λ，

当∞→R 时，λk r R hk 0=，由于500=λnm ，0r =1m ， 所以k R hk 101050001-⨯⨯=

由题意可知43214321:4:3:2:1:::k k k k R R R R h h h h ：：== 所以1k =1，2k =2，3k =3，4k =4。

707.011050001101=⨯⨯⨯=-h R mm 。

由题意可知，屏对于波带片只让偶数的半波带透光，所以‘ 2422a a a a k ≈+=

而221

a a ≈∞

所以02

22216164I a a a I k ===≈∞

(3)因为1'2

0===λk R

r f h m ——主焦点

它还有次焦点：'31f 、'51f 、'7

1

f ……

故光强极大点出现在轴上31、51、7

1

……

2.6波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带(1，3，5，…，199)．另外100个不透明偶数半波带．比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该像点的强度比0:I I 。

解：由题意可知，将所有偶数半波带挡住了，二只有奇数的半波带透过 所以在考察点的振幅为

119919731100a a a a a a k ≈++++= ，即21210000a a I k =≈ 当换上同样焦距的口径的透镜时，

透镜对所有光波的相位延迟一样，所以1a 、2a 、3a …199a 、200a 的方向时一致的，即12001994321200a a a a a a a a k ≈+++++=

强度2

12

040000a a I k =≈

所以40

=I I

2.7 平面光的波长为480 nm ，垂直照射到宽度为0.4 mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距

为60 cm ，分别计算当缝的两边到P 点的相位差为2π和6

π

时，P 点离焦点的距离。

解：如图所示

'

2tan 2sin 2f y b

b b λ

π

θλ

π

θλ

π

ϕ=

≈

=

∆， 所以ϕπλ∆=

b

f y 2'

18.02104.021*********'3

2911=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---ππϕπλb f y mm 06.06

104.021*********'32911=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---ππϕπλb f y mm

2.8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二各次最大值重合，求该光波的波长。 解：由单缝衍射出现次最大值的条件为