例析0-1整数规划及隐枚举法的应用
0-1整数规划与隐枚举法-感受剪枝的魅力
0-1整数规划与隐枚举法-感受剪枝的魅力作者：llhthinker整数规划是线性规划的特殊情况，即当约束条件是变量为整数时，线性规划就变成了整数规划。
若要求所有变量都为整数，即为纯整数规划；若允许存在一部分变量不一定为整数，则称为混合整数规划。
而本文要讨论的0-1整数规划则是纯整数规划的特殊情况，即所有变量要么等于0，要么等于1，故这种变量又成为逻辑变量。
0-1整数规划在生活中还是很常见的，通常可以总结为“是”“否”问题。
例如，有n个产品销地x1,...,xn可供选择，为使得利润最大，那么每一个销地都面临是否选择的问题，通常还会有一些限制条件，由于销地xi与销地xj距离较近，所以规定若选择xi就不能选择xj等。
那么如何求解0-1规划问题？最朴素的方法是枚举，即将所有销地是否被选择的情况都考虑，那么就是从{0, ... ,0}枚举到{1, ... ,1}，需要2的n次方的枚举次数。
显然，当n较大时，这种方式的效率就非常低。
本文要介绍的隐枚举法就可以提高求解出最优解的效率。
所谓隐枚举法，从字面上理解，就是隐去一些不需要枚举的情况，下面从一个例子出发，来给出隐枚举法的步骤。
【例】求解下列规划问题max z = 8*x1 + 2*x2 - 4*x3 - 7*x4 -5*x5;s.t.{3*x1 + 3*x2 + x3 + 2*x4 + 3*x5 <=>5*x1 + 3*x2 - 2*x3 - x4 + x5 <=>xi = 0或1，i = 1, ..., 5}1. 预处理首先需要对原问题进行预处理，至于为什么后文将会解释。
预处理的步骤如下：1) 将目标函数统一为求最小值，即'min', 同时将约束条件都化为'>='。
•若原约束条件为'<>•若原约束条件为'Ai * X = bi'，则化为'Ai * X >= bi' 和'-Ai * X >= -bi'，其中Ai为系数行向量，X为变量列向量。
第四讲 0-1整数线性规划
√ √
√ √
√ √
√ √
Z≥0 Z≥5
（1 0 0） 3 （ 1 0 1） 1
（ 1 1 0） 8 （ 0 1 1） 3 （ 1 1 1） 6
× √ √ √ √
最优解： x1 1 ，x2 1 ，x3 1 最优值 Z 6
三
指派问题
1 投资第i个项目 xi 0 不投资第i个项目
1 3 4 5 210 100 130 260 150 60 80 180
2
300
210
Z表示投资效益
投资项目模型： 例1 （投资问题）华美公司有5个项目被列入投资计 划，每个项目的投资额和期望的投资收益见下表： max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 该公司只有 600 万资金可用于投资，由于技术上的 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 600 210 x1 x1 x2 x3 1 原因，投资受到以下约束： s.t x1 x4 1 1、2和3中必须有一项被选中 3 、在项目 x2 x1 5 、项目 3和4只能选中一项 i 1,2,,5 x3 i 0,1 、项目5被选中的前提是项目1被选中;如何 在 满足上述条件下选择一个最好的投资 项目 投资额 投资收益 （万元） （万元） 方 案，使投资收益最大 解：设 xi为决策变量（ i 1,2,,5)
当n=4时， 有16变量， 8个约束方程
练习2：现有4份工作，4个人应聘，由于各 Z表示总费用 人技术专长不同，他们承担各项工作所 max Z 3x11 5x12 4 x13 5x14 需费用如下表所示，且规定每人只能做 6 x21 7 x22 6 x23 8x24 一项工作，每一项工作只能由一人承担， 8x31 9 x32 8x33 10 x34 试求使总费用最小的分派方案。 10 x41 10 x42 9 x43 11x44 工作 1 2 3 4 x11 x12 x13 x14 1 人 x21 x22 x23 x24 1 1 3 5 4 5 6 7 6 8 2 x31 x32 x33 x34 1 8 9 8 10 3 x41 x42 x43 x44 1 10 10 9 11 x x x x 1 4 21 31 41 11 s.t x12 x22 x32 x42 1 解： 第i人做第j 件事 xij 1 0 x13 x23 x33 x43 1 x14 x24 x34 x44 1 第i人不做第j 件事 xij 0,1 i=1,2, 3,4; i 1,2, , n j=1,2, 3,4 j 1,2, , n
0-1规划在各种实际问题中的应用以及lingo求解
势，才最有可能取得好成绩？
姿势 成绩
队员
自由泳
蛙泳
蝶泳
仰泳
A B
56 63
74 69
61 65
63 71
C
D
57
55
77
76
63
62
67
62
• 假设问题的决策变量 1 , 第i名运动员游第j种姿势 xij= 0 , 第i名运动员不游第j种姿势
四名运动员的成绩矩阵aij=
56 63 57 55
74 69 77 76
280 30 200
400 40 300
5 1 4
3 0.5 2
300 300 300
• 三种服装的利润分别为120元、10元、100元.
• 设xi表示生成第i(i=1,2,3)种服装的数量，yi表示是否 生产第i种服装. 生产第 i种 服 装 1, yi i种 服 装 0， 不 生 产 第
即甲完成B任务，乙完成D任务，丙完成E任务，丁完成A任务 总用时105分钟.
• 第(2)题，按照指派模型，可添加一个虚拟完
成人戊.而实际上，戊所完成任务还是由甲乙
丙丁完成的.
• 为了保证时间最少，戊完成各项任务的时间，
就取完成各任务所需时间最短人的时间.
• 若戊完成哪项任务，则那项任务所需时间最
短人来完成.
建立i污水厂 1, yi 0，不建立i污水厂
min z=0.03x1+0.03x2+0.04x3+400y1+300y2+250y3 80x1+50x2+40x3≥80000 60x1+40x2+50x3≥60000 x1≤800y1 s.t. x2≤500y2 x3≤400y3 xi≥0 yi=0或1
整数0-1规划
′=x 1=1,
x3′=0 x5′=0 x4′=0
z=4, 可行 z=1 z=-2
z=10,不可行
x2=0 z=6,不可行 x3′=0 x5′=0 z=5,不可行 x4′=0 z=3,不可行 x1=0 z=2,不可行
最优解为x2=0 ， x3′=0 ， x5′=1 ， x4′=1， x1=1 。 于是， 原 问 题 的 最 优 解 为 z*=4 ， x1*=1，x2*=0，x3*= 1-0=1， x4*=1-1=0，x5*=1-1=0
令 x3′=1-x3, x4′=1-x4, x5′=1-x5，得 Max z=2x2+4x3′+5x5′+7x4′+8x1-16 3x2- x3′- 3x5′- 2x4′+3x1≤-2 ① 3x2+2x3′- x5′+ x4′+5x1≤6 ② x2, x3′,x5′,x4′,x1 =0或1
z=8,不可行 x2 =x3′=x5′ = x4
x1 , x2 , x3 0或1
求解0-1型整数规划，可使用分枝定界法。下面 用实例说明： 例 求解0-1型整数规划问题 Max z=8x1+2x2-4x3-7x4-5x5 3x1+3x2+x3+2x4+3x5≤4 5x1+3x2-2x3-x4+ x5≤4 xj=0或1，j=1,2,…,5 变成标准型，要求如下：⑴目标函数求极大化。 对于目标函数为Min z的极小化问题，令z′=-z，使其 变为目标函数为Max z′的极大化问题。⑵目标函数中 所有变量的系数都为正数。如果目标函数中变量xj的 系数为负数，令xj′=1-xj，把模型中的xj用xj′代换。⑶ 变量的排列顺序按变量在目标函数中的系数值从小到 大排列。
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
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0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
浅谈0-1规划的隐枚举法（OR）
浅谈0-1规划的隐枚举法（OR）线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1”时，称之为“0-1规划问题”。
有种极其简单的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列出，然后分别代⼊⽬标函数，选出其中能使⽬标函数最优化的组合，即为最优解。
但是真的这样会做很多⽆⽤功，浪费⼤量资源，所以，需要改进⽅法。
本⽂主要介绍隐枚举法的应⽤原理，意在剖析其“隐”在何处。
从⽽帮助读者更好地应⽤这种⽅法。
下⾯介绍隐枚举法的具体步骤：第⼀步：得到模型、和线性规划问题⼀样，⾸先需要将模型标准化。
标准化对0-1规划问题提出四点要求：1.⽬标函数为最⼩优化2.⽬标函数中变量的系数都为正3.在⽬标函数中，变量按系数值从⼩到⼤排列，则约束函数中，变量的排列次序也做相应改变。
4.所有变量均为0或1为了满⾜这四点要求，需要对原始模型进⾏转化。
1.最⼩优化转化若原函数是最⼤优化，重新构造⼀个函数，使各个⾃变量的系数是原来的相反数。
当新函数值最⼩时，原函数值达到最⼤值。
2.⽬标函数系数为正转换若⽬标函数的中变量xj的系数为负，令xj’=1-xj代⼊，使系数变为整数。
约束函数中，变量随之换元即可。
这样做的效果是在变量前加个负号，使这个负号和变量系数中的负号抵消，达到系数为正的效果。
变量取值只能是0或1的特殊性，给这种换元⽅式提供了嫁⾐。
3.这步标准化的⽬的是将每个变量安排“优先级”，优先级⾼的可以优先为“1”。
第⼆步：确定“母⽅案”在标准化后的模型中，令所有的变量为“0”，以此作为“母⽅案”。
检验母⽅案是否满⾜所有约束条件，如果满⾜即为问题的最优解，否则进⼊第三步。
第三步：分枝与择优你可曾发现，在0-1规划的标准化模型中，除了变量的0、1要求外，都在围绕⽬标函数作⽂章。
其他问题都主打约束函数，为什么这⼀次⽬标函数却成了“众⽮之的”呢？原因就在这个“隐”字。
⽬标函数承担了“安排枚举次序”的重⼤责任。
下⾯举例说明(⾮常不好意思，举⼀个笔者课本上的例⼦)。
0-1规划中并行隐枚举法的实现方式
Ｉ ＰＬＥＭ ＥＮＴＩ Ｍ ＮＧ ＡＰＰＲｏＡＣＨ ＦｏＲ ＰＡＲＡＬＬＥＬ Ｉ ＰＬＩ Ｔ Ｍ ＣＩ ＥＮＵＭ ＥＲＡＴＩ ｏＮ Ｎ １ ＰＲＯＧＲＡＭ Ｍ Ｄ Ｉ ０． Ｇ
Ｚ ｎ ｎ ｅ ｇ Ｙａ
（ ｅａｔ ｅｔｆＣ ｍ ｕｅ Ｓｉ ｃ ｎ ｅ ｎｌ ｙ Ｃ ｎｒｌ ｈｎ ｏ ｌＵ ｉ ｒｔ，Ｗ ｈ ｎ私 ０ ７ ， ｕｅ， ｈｎ ） Ｄｐ ｒ ｎ ｏ ｐ ｔ ｃ ｎｅａ ｄＴｃ ｏ ｇ ， ｅｔ ｉ Ｎ ｒ ｎｖ ｓｙ ｕ ａ ｍ ｏ ｒ ｅ ｈ ｏ ａ Ｃ ａ ｍａ ｅｉ Ｄ ９ Ｈ ｂｉＣ ｉａ
Ａｎ ｄ，ｔ ｅｅ ｉ ｓ ｍｅｉ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｄ ｎ ｔ ｅｉ ｌ ｉ ｅ ｕ ｒ ｔ ｎ Ｏ ｔ ｅｐ ｏ ｌｍ ｉｈ ｉ ｈ ｒ ｅ ａ ｃ ｍｐ ｔ ｇ ｃ ｎ ｂ ６ｖ ｄ ｂ ａ ａｌｌ ｈ ｒ ｓ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｍａ ｅｏ ｈ ｍｐ ｉ ｔ ｎ ｍｅ ａｉ ，Ｓ ｒ ｂ ｅ ｗｈ ｃ ｓ ａ ｄ ｔ ｓ ｒ ｌ ｏ ｕ ｉ ａ ｅ ｓ １ｅ ｙ ｐ ｒ ｌ ｃ ｏ ｈ ｏ ｉ ｎ ｅ
ｍｅａ ｉｎ ｍｅｈ ｄ ｉ ｈ ｅ ｔ ｙ ｔ ｏ ｖ ｔ ｒ ｔ ｔ ｏ ｓｔ ｅ ｂ ｓ ｓ ｌ ｅｉ ｏ ｗａ ｏ ．Ａｃ ｏ ｄｎ ｅｃ ａａ ｔｒｓ ｃｏ ａａ ｌｌ ｏ ｕ ｉ ｇ ｔｃ ｌ ｓ ｌｅ ｂｇ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｅ ｒ ｂｅ ａ ｔ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｔ ｈ ｒ ｃ ｅｉｔ ｆ ｒ ｌ ｍｐ ｔ ，ｉ ａｌ ｏｖ ｉ ｎ ｏ ｌ ｘｐ ｏ ｌｍｓｆ ｓ． ｏｈ ｉ ｐ ｅｃ ｎ Ａ ｔ ｏ ｏ ｉｉ ｇ ｔ ｅｐ ａｌｌｃ ｍｐ ｔ ｇ ｗｉ ｈ ｍｐ ｉ ｉ ｅ ｕ ｒ ｔ ｎ ｉ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｉ ｉ ｐ ｐ ｒｔ ｅ ｏ ｖ ｈ ｒ ｂ ｅ ｍｅ ｔ ｎ ｄ ａ ｏ ｅ ｍｅ ｄ ｃ ｍｂ ｎ ｎ ｈ ａ ｌ ｏ ｕ ｉ ｔ ｔ ｅ ｉ ｌ ｔ ｎ ｍｅ ａｉ ｓ ｒ ｓ ｎ ｅ ｔ ｓ ａ ｅ ｒ ｓ ｌｅ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｎ ｉ ｅ ｂ ｖ ． ｈ ｒ ｅ ｎ ｈ ｃ ｏ ｎ ｈ ｏ ｏ
关于求解0_1型整数规划的若干问题
0 前言化问题，可知最优解的目标函数一定不小于 5。
为此，在求最优解之前先增加一个约束条件，即过滤0- 1 型整数规划是整数规划的特例，其数学模型的目 条件：3x - 2x +5x !5##⊙ 标函数、约束条件与线性规划相同，不同的是其变量只能1 2 3 过滤条件的作用是：在检验一个解是否为可行解之取 0 和 1，分别表示两种截然相反的结果。
0- 1 型整数规前，先看目标函数是否不小于 5，若小于 5，则肯定不是最 划应用很广，如土木工程系统的最优工程配置问题，城建优解，其可行性无须再检验而直接被淘汰，可以大大减少规划中的居民点、给水点、加油站和商业网点的最优布局计算工作量。
问题，均可应用 0- 1 型整数规划求得最优解。
有了过滤条件，就可以列表计算。
对解集中的解逐个检0- 1 型整数规划的数学模型如下：验，先检验过滤条件，若不符合则直接淘汰该解;若符合条 目标函数：件⊙，再按①~④顺序检验每一个约束条件，当某一个约 束条件不满足时即行淘汰，其右边的约束条件再无检验 约束条件：的必要。
这样，计算工作量可大为减少。
本例中有 3 个变量，共有 23=8 个解需要检验，通过计 算求得的最优解为: .本例以 为初始可行解，通过建立过滤条1 求解 0- 1 型整数规划三种通用的方法 件，只计算了 18 次就找到了最优解，而用穷举法需要计算1.1 穷举法40 次，技术工作量大大减少了。
如在求解过程发现更好的 由于 0- 1 型整数规划的变量个数有限且取值非 0 即可行解及时更换过滤条件 ，计算工作量还可进一步减少。
1，所以不难将解的集合找出来，再检验每个解的可行性， 1.2.2 对隐枚法法 I 的评价 凡符合全部约束条件者均为可行解，通过比较目标函数 对隐枚举法 I 来说其数学模型无须转化为标准型,减的值便可找到最优解，这个解法称为穷举法。
当变量和约 少了人工处理的工作量，但它需要检验的方案较多,而且 束条件很多时，其工作量是非常大的。
0-1型整数规划的一般解法---隐枚举法解
例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
甲 15 20 10 9
乙
6
5
4
7
丙 10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
10 13 16 17
指派问题与匈牙利法
4. 某事一定不能由某人做的指派问题
变，得到新的系数矩阵。
3 Ø0 2 4 Ø0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
指派问题与匈牙利法
0Ø ◎0 3 0Ø 3
1
6
0◎ 2
Ø0
3 2 0Ø 0◎ 3
2
Ø0
2
◎0 4 4
3
◎0
0Ø 6
总费用为 =5+7+6+6+4=28
注：此问题有多个最优解
指派问题与匈牙利法
Ø0 Ø0 3 ◎0 3
3
◎0
选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其
4 1 ◎0 1 3
他保持不变。
4
Ø0
3
5
1
√
◎0 2 3 0Ø 5
√
指派问题与匈牙利法
1 ◎0 3 1 3 √
2
6
Ø0
3
0◎
√
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交
4 2 ◎0 1 3 √ 点元素加1，其他保持不
指派问题与匈牙利法
用匈牙利法求出最优指派方案为：
0—1型整数规划问题的求解方法
0—1型整数规划问题的求解方法1、一般来说，碰到了0-1规划的问题，怎么办？枚举，比较每个解对应的目标函数值。
为什么要枚举，是把每一个解都拿出来比较。
因此，有的叫法是显枚举法？2、有显枚举法，就有隐枚举法。
如果说，显枚举法是显式的枚举法，那么隐枚举法就是隐式的枚举法。
都是枚举法，都是要把所有的解带入到目标函数进行比较，对不对？理论上是这样的，可以参考其他的讲解。
但是，其他的地方讲解似乎没有把这个讲解到位，为什么叫隐枚举法。
有一种说法是：设计一种方法，只检查0-1变量组合的一部分，就能得到问题的最优解。
3、首先，如果你不把所有的解都判断一下，我怎么知道那个解是不是最优的解呢？回顾一下LP问题的求解，发现线性规划并不需要判断所有的解，确切的说，是所有的可行解。
只需要在所有的基本可行解里面去寻找最优的解。
因此，0-1规划求解的思路也是一样，是在所有的0-1可行解里面去寻找。
这样，就需要在约束条件里面去一个一个的判断，这个0-1组合是否可行。
所以，隐枚举法的思路，还是枚举法，但是我并不是要把每个解都要进行约束条件的判断，判断他是不是可行，可以只检查所有0-1变量组合的一部分约束条件的判断，这样还是可以得到问题的最优解。
4、接着，那怎么减少约束条件的检查判断呢？设置一个过滤条件，叫做过滤约束，如果这个不满足，那么其他的约束就不用判断了。
因此，隐的意思应该在这里。
问题来了，怎么添加这个过滤约束呢？通过一种方法（试探法），找到一个可行解，然后代入目标函数，得到目标值，这个就得到了一个过滤约束。
求最大值的时候，如果一个可行解的目标值不大于这个约束，那么直接排除。
5、继续。
怎么得到这个过滤约束。
比如下面的例子：一种说法是试探法，随便试探？或者可以从某一个解开始（比如0,0,0）开始递增，直到得到一个可行解，然后就得到了这个过滤约束了，比如上面的例子，我们可以从1,0,0开始递增，先看看这个解是不是可行解。
是在可行解，因此看目标函数值是3，因此得到一个约束，3x1-2x2+5x3>=3过滤约束。
0—1型整数规划问题的求解方法
0—1型整数规划问题的求解方法0-1型整数规划问题是一类特殊的整数规划问题，其中变量只能取0或1，即变量是二进制的。
这类问题在实际应用中具有广泛的应用，如装配线平衡、员工调度、货物装载等。
求解0-1型整数规划问题可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的方法。
1.枚举法：枚举法是最朴素的解法，它列举出了所有可能解，并通过穷举所有解的方式找到最优解。
这种方法适用于问题规模较小且没有明显的约束条件，但对于大规模问题不适用。
2.分支定界法：分支定界法是一种广泛应用于整数规划的方法。
它从原问题形成一个目标函数较小的松弛问题开始，通过分支操作将问题分解为一系列子问题，每次选择一个变量分支，并根据问题的特性设置相应的约束条件。
通过逐步分解问题，最终获得最优解。
3.动态规划法：动态规划法通过构建状态转移方程的方式，将问题分解为多个子问题，并利用子问题之间的关系求解最优解。
对于0-1型整数规划问题，可以使用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入背包容量为j的情况下的最大价值。
然后根据背包容量逐步求解，最后得到最优解。
4.启发式算法：启发式算法是一类基于经验和直觉的算法，通过评估当前解的优劣性来寻找最优解。
对于0-1型整数规划问题，可以使用启发式算法如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等进行求解。
这些算法通过随机和逐步优化的方式，可以在较短时间内找到较好的解。
以上是常用的几种0-1型整数规划问题的求解方法，根据问题的规模、约束条件和求解的要求选择合适的方法。
在实际应用中，通常会根据问题的特性选择相应的算法，并结合数学模型和计算机编程进行求解。
0-1整数规划
0-1整数规划整数规划是线性规划的一个特殊情况，其决策变量是整数。
在0-1整数规划中，决策变量只能取0或1的整数值。
0-1整数规划是一类NP-hard问题，通常以优化问题的形式出现。
0-1整数规划在实际生活中有广泛的应用。
它可以用于资源分配、生产计划、物流运输等方面。
下面将通过一个具体的例子来说明0-1整数规划的应用：假设某公司生产两种产品A和B，分别需要使用两种原材料X和Y。
每个单位的产品A需要消耗1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；每个单位的产品B需要消耗2个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
该公司每天可以获得100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y。
假设产品A的利润为5元，产品B的利润为8元。
问如何安排生产，使得利润最大化。
首先，我们定义决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B 的生产数量为y，决策变量为整数。
则可以列出目标函数和约束条件。
目标函数：maximize 5x + 8y约束条件：1x + 2y ≤ 100 （原材料X的限制）3x + 2y ≤ 150 （原材料Y的限制）x，y为0或1的整数根据上述目标函数和约束条件，可以构建0-1整数规划模型。
然后，可以使用相应的算法求解该模型，确定最优的生产方案，使得利润最大化。
对于这个例子来说，通过计算可以得到最优解为x=25，y=37，即生产25个单位的产品A和37个单位的产品B时，利润最大，为325元。
总结起来，0-1整数规划是一种重要的优化工具，可以应用于各种实际问题中。
通过明确决策变量的整数限制，可以获得最优解，实现最大化或最小化的目标。
在实际应用中，需要结合具体问题的特点和约束条件，构建相应的数学模型，并运用适当的算法求解。
这样可以有效地解决实际问题，提高效率和经济效益。
0–1型整数规划的解法
0–1型整数规划的解法
解0-1 型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0 或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的2的n次方个组合。
对于变量个数n 较大（例如
n>100），这几乎是不可能的。
因此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。
这样的方法称为隐枚举法（implicit enumeration ），分枝定界法也是一种隐枚举法。
当然，对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是必要的。
下面举例说明一种解0-1 型整数规划的隐枚举法。
求解思路及改进措施：
（i ）先试探性求一个可行解，易看出满足约束条件，故为一
个可行解，且z=3。
（ii ）因为是求极大值问题，故求最优解时，凡是目标值z<3 的解不必检验是否满足约束条件即可删除，因它肯定不是最优解，于是应增加一个约束条件（目标值下界）.
（iii ）改进过滤条件。
（iv ）由于对每个组合首先计算目标值以验证过滤条件，故应优先计算目标值z 大的组合，这样可提前抬高过滤门槛，以减少计算量。
解 0—1 规划的隐枚举法
(5)解 0—1 规划的隐枚举法解 0—1 规划的隐枚举法有其独特的工作程序，具体过程如下。
a.模型转化为求极小的问题b.变量替换。
极小问题模型的目标函数中所有变量系数为负的0—1变量，可利用变量替换x k=1－x'k (x'k是引入的新的0—1变量)，将目标函数中所有变量系数化为正数。
c.目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整。
d.按目标函数值由小到大的顺序依次排列可能的解，并予以可行性检验。
e.发现求极小问题的最优解并停止。
f.转化为原问题的最优解。
例4 用隐枚举法求解下列0—1规划问题Max Z=3x1＋2x2－5x3－2x4＋3x5x＋x2＋x3＋2x4 ＋x5≤417x1 ＋3x3－4x4＋3x5≤811x1－6x2 ＋3x4 ＋5x5≥3x=0, 1, j=1, 2, 3, 4, 5.j解：①转化为求极小的问题Min Z=－3x1－2x2＋5x3＋2x4－3x5－x1 －x2－x3－2x4 －x5≥－4－7x1 －3x3＋4x4－3x5≥－811x1 －6x2 ＋3x4 ＋5x5≥3x=0, 1, j=1, 2, 3, 4, 5.j②令x'1=1－x1, x'2=1－x2, x'5=1－x5, 带入极小问题模型中，得Min Z=3 x'1＋2 x'2＋5x3＋2x4＋3 x'5－8x'＋x'2－x3－2x4 ＋x'5≥－117x'1 －3x3＋4x4＋3x'5≥2－11x'1 ＋6x'2 ＋3x4－5x'5≥－7x=0, 1, j= 3, 4; x'j =0, 1, j= 1, 2, 5.j③目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整，得Min Z=5x3＋3 x'1＋3 x'5＋2 x'2＋2x4－8－x3＋x'1 ＋x'5＋x'2－2x4 ≥－1 ①－3x3＋ 7x'1 ＋3x'5 ＋4x4≥2②－11x'1 －5x'5＋6x'2 ＋3x4≥－7 ③x=0, 1, j= 3, 4; x'j =0, 1, j= 1, 2, 5.j④按目标函数值由小到大的顺序排列可能的解，并予以可行性检验。
运筹学匈牙利法
满足约束条件（是∨ 否×） (1) (2) (3) (4)
过滤 条件
√√√ √ 0
√√√ √ 5
-2
3
3
√√√ √ 8
1
6
max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3
x 1 2 x 2 x 3 2 (1)
x1 x1
4
x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
4 x 2 x 3 6 (4)
1 0 7
0 4 1
4
3
0 √
√
找(1到)对3没个有独独立立零零元元素素，的但行m打√= 号3 <；n = 4 (2)对已打√号的行中所有含划掉零元素的列打√号；
(3)再对打有√号的列中含独立零元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；
(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就 得到覆盖所有零元素的最少直线数
xij
n
0不分配i个 第人取完j成 项第 任务
x ij 1
( i 1 .2 . .n )
j1
n
x ij 1 ( j 1 . 2 . . n )
i1
x ij 0 或 1( i , j 1 . 2 . . n )
典型问题
例1：有一份说明书，要分别译成英、日、 德、俄四种文字，交与甲、乙、丙、丁四个 人去完成，因各人专长不同，他们完成翻译 不同文字所需要的时间（小时）如表所示。 规定每项工作只能交与其中的一个人完成， 每个人只能完成其中的一项工作。
工作 人 甲 乙 丙 丁
译英文 译日文 译德文 译俄文
2 10 15 4 13 14 4 15
97 14 8 16 11 13 9
运筹学——0-1整数规划
(1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0’’ -2 3 1 6
1
.2
.3
Z .4 足 值 no no no no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
例2
求下列问题：
Max Z=3x1+ 4x2 + 5x3 + 6x4 s.t. 2x1+ 3x2 + 4x3 + 5x4 15
0-1规划应用
华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表： 项目 投资额(万元) 投资收益(万元) 1 210 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资， 由于技术原因，投资受到以下约束： 在项目1、2和3中必须有一项被选中；
0-1 规划及其解法
0-1 规划在线性整数规划中具有重要地位。 定理：任何整数规划都可以化成0-1规划。 一般地说，可把整数x变成(k+1)个0-1变量公 式为：x=y0+2y1+22y2+….2kyk 若x上界为U，则对0<x<U,要求k满足2k+1 U+1.
由于这个原因，数学界曾纷纷寻找“背包问 题”解的方法，但进展缓慢。
xi=1或0
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解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数， 可作如下变换：
令 x1 ＝1－ x1′ , x2 =1- x2′, x3= x3′, x4 =1- x4′带入原题 中，但需重新调整变量编号。令 x3′ = x1′, x4′ = x2′得到下式。
0-1规划中并行隐枚举法的实现方式
0-1规划中并行隐枚举法的实现方式曾艳【摘要】0-1规划中,当变量较大时,状态数过多、时间耗费较大,隐枚举法是目前解决0-1规划问题最有效的方法,并行计算的特点是快速解决大型且复杂的计算问题.结合并行计算和隐枚举法来解决这个问题,并且对隐枚举法做了一定的改进,使得在串行计算中难以实现的问题在并行计算机上得到了解决,并用实例验证了算法的可行性和优越性.【期刊名称】《计算机应用与软件》【年(卷),期】2010(027)007【总页数】3页(P268-269,289)【关键词】0-1规划;并行计算;隐枚举法【作者】曾艳【作者单位】华中师范大学计算机科学与技术系,湖北,武汉,430079【正文语种】中文0 引言对于有 n个变量的 0-1规划问题,由于每个变量只取 0、1两个值,故n个变量所有可能的 0-1组合数有 2n个。
在现实生活中,很多问题都可以转换成 0-1规划问题,比如席位分配问题、排序问题、资源配置问题等,而对于 0-1规划的问题,目前最普遍的解法就是枚举法,即检查变量取值为 0或 1的每一种组合,比较目标函数值以求得最优解。
在此基础上人们采用了隐枚举法、遗传算法、动态规划法等方法,虽然在一定程度上加快了求解速度、缩短了问题的解决时间,但这些方法都是基于串行计算来实现的,只能当变量较小时来达到优化的目的。
但是当n较大时,比如:当n=64时,264≈1.845×1019,以每秒解决 107种状态的速度,则需要5.85×104年,用串行计算根本是不可能的。
并行计算能同时使用多种计算资源解决计算问题,能快速解决大型且复杂的计算问题,是当前世界上主要用于解决大规模、高精度问题的方法,它能解决很多串行计算不能解决的问题。
目前国内外对用并行算法来解决0-1规划问题的研究并不多,基于 0-1规划问题在生活中的重要性以及并行算法的高效性,本文对用并行隐枚举法来解决 0-1规划的问题进行了一定的探讨。
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例析0-1整数规划及隐枚举法的应用
自主招生近年来成为各大高校又一招纳人才的举措,面试在自主招生中扮演着越来越重要的角色,考生面试的成绩不容忽视。
因此如何确定面试专家的分配方案,使录取工作真正公平合理的进行,是各大高校积极考虑的问题。
本文通过采用0-1整数规划及隐枚举法建立相关模型,较好地解决了这一问题。
1 预备知识简介
1.1 线性规划[1]
在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划,而线性规划则是数学规划的一个重要分支。
若在线性规划模型中,变量限制为整数,则为整数线性规划。
0-1整数规划是整数规划中的特殊情形,它的变量仅取0或1。
合理地引用0-1规划能够容易且高效率地求解相关问题。
1.2 隐枚举法[2]
隐枚举法是Balas E在1965年提出的,是求解0-1规划问题的一种有效方法。
它只检查一部分变量组合,在这过程中根据已有信息自动舍弃许多不可能成为最优解的组合,求得最优解,从而大大减少了工作量。
隐枚举法只需比较目标函数在小部分组合点上的取值大小,就能求得最优解和最优值。
2 问题描述与建模
2.1 问题描述
某高校采用通过专家面试的方式进行自主招生,经过初选合格进入面试的考生有N人,拟聘请老师M人进行面试。
每位学生要分别接收“面试组”每位老师的单独面试,每个面试组由4名老师组成。
已知要求面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同。
试求在考生数N已知的条件下,聘请老师数M至少应为多大,才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位面试老师相同。
2.2 数学建模
该问题是一个单目标规划问题,解决的是满足一定约束条件要求,计算在给出一定的学生人数下,所需要教师的最少人数。
根据实际情况分析,一般面试学生的个数要远大于教师的个数。
因为教师人数较少,容易进行分组(即按照约束条件将教师每4人分成一组),满足约束条件的情况下,所能组合的最大组数目即可面试学生的最大人数[3～4]。
因此,我们改变优化变量,当教师数目M一定的情况下最多可面试的学生个数,即求max N。
(1)设代表第j个老师面试第i个学生,表示第j个老师不面试第i个学生,表示第j个老师面试第i个学生,用数学语言表达即:
(为0-1变量)。
(2)每个学生只能接受四名老师面试,转化成数学表达式为:。
(3)任意两位学生的“面试组”不能有两个老师相同的情形,转化为如下数学表达式:≤1;,其中k表示第k个老师,、是0-1变量[5]。
通过以上3步的模型准备,可建立如下单目标规划模型:
由于是未知数,所以没有办法使用常规的优化算法求出具体的值。
这里采用近似求解法,即运用隐枚举法求得变量取值为0、1的最优组合,从而得到最优的分配方案[6～7]。
即通过列举一定的值,求出相应的最优的值,然后通过曲线拟合的方法求出和的近似表达式,从而求出考生数为时,至少需要聘请的老师数。
列举值,求相应的最优的值的算法由以下步骤实现:
第一步:首先对M位教师每四人一组进行组合,求出所有组合项为,把所有项按递增方式排列成序列;
第二步:从第一项开始,逐次扫描后面所有项,如果后面项同第一项有两个或超过两个数字相同的就将其删除,这样形成了一个新的序列;
第三步:从的第二项开始,逐次扫描后面所有项,如果后面项同第二项有两个或超过两个数字相同的就将其删除,这样形成了一个新的序列,然后从的第三项开始,逐次扫描后面所有项,如果后面项同第三项有超过两个数字相同的就将其删除,这样形成了一个新的序列,依次类推,直到搜索完成。
最后,通过编程实现该算法,将得到的数据进行拟合,即可得到和的近似表达式。
3 结语
通过0-1规划、计算机搜索、隐枚举法的综合运用,不仅能很好地解答学生面试的问题,而且随着聘用面试老师M和参加面试学生N的值的增大,该方法能够得到较大范围的推广与应用。
在实际操作中,需要充分考虑面试中其他因素来重新建模,并根据实际中的具体情况设计相应的面试流程,从而可以较好地实现面试工作的均衡性和公平性。
参考文献
[1] 赵静,但琦.数学建模与数学实验(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003,6.
[2] 陈理荣.数学建模导论[M].北京:北京邮电大学出版社,1999.
[3] 曹华林,邵常磊,连加俊.学生面试问题[J].科技信息,2007,34:27～28.
[4] 吴值明,邹贇波,康兴挡.学生面试问题[J].数学的实践与认识,2007,37(14):138～140.。