单级倒立摆的模糊控制

内蒙古科技大学智能控制概论结课作业题目：单级倒立摆的模糊控制学生姓名：***学号：**********专业：测控技术与仪器班级：10-2班指导教师：***目录目录 (1)第一章绪论 (2)1.1 倒立摆系统的重要意义 (2)1.2 倒立摆系统的控制方法 (2)第二章一级倒立摆的建模 (3)第三章模糊控制器的建立 (8)3.1 在MTALAB中的fuzzy控制器的建立与封装 (8)3.2 一级倒立摆在MTALAB中simulink仿真结果及分析 (10)第四章总结 (13)参考文献 (14)第一章绪论1.1 倒立摆系统的重要意义倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。

在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。

迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的控制稳定。

倒立摆主要有：有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的：倒立摆系统己成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。

同时倒立摆研究也具有重要的工程背景：如机器人的站立与行走类似双倒立摆系统；火箭等飞行器的飞行过程中，其姿态的调整类似于倒立摆的平衡等等。

因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

1.2 倒立摆系统的控制方法自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：（1）倒立摆系统的稳定控制的研究（2）倒立摆系统的自起摆控制研究而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。

第二章一级倒立摆的建模系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入和输出之间的关系。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示。

图2.1 倒立摆系统各参数符号含义如下：M小车质量单位：Kg ；m摆杆质量单位：kgb小车摩擦系数单位：N/m/sec1摆杆转动轴心到杆质心的长度单位：mI摆杆惯量单位：kgF加在小车上的力单位：Nx小车位置单位：kgψ摆杆与垂直向上方向的央角（ψ=θ-Π）单位：radθ摆杆与垂直向下方向的央角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 单位：rad 图2.2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和助小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

矢量定义如图2-2所示，图示方向为矢量正方向。

图2.2 小车与摆杆的受力分析倒立摆的数学模型分析：根据图2.2所示的倒立摆系统简图，设计和分析其模糊控制器。

下面给出了该系统的微分方程（Kailaith ，1980；Craig ，1986）()()()t u m dt d ml +=+-τθθsin lg 222 （1）这里m 是摆杆的质量，l 是摆长，θ是从垂直方向上的顺时针偏转角，τ=u （t ） 为作用于杆的逆时针扭矩u （t ）是控制作用,t 是时间，g 是重力加速度常数。

假设dt d x x θθ==21,为状态变量，有等式（1）给出的非线性系统的的状态空间表达式为： 21x dt x d =()()()()t u ml x l g dt x d 2121sin -=从所周知，当偏转角θ很小时，有sin （θ）=θ，这里所测得θ用弧度表示。

由此式可将状态空间表达式线性化，并得:21x dt x d =()()()22121t u ml x g x d -=若所测1x 用度表示，2x 用每秒度表示，当取l=g 和m=()2180g π时，线性离散时间状态空间表达式可用矩阵查分方程表式：()()()k x k x k x 2111+=+()()()()k u k x k x k x -+=+2121在此问题中，设上述两变量的论域为 221≤≤-x 和s rad x s rad 552≤≤-,则设计步骤为第1步:首先，对1x 在其论域上建立三个隶属度函数，即如图 1所示的正值（P ）、零（Z ）和负值（N ）。

然后，对2x 在其论域上亦建立3个隶属度函数，即图2所示的正值（P ）、零（Z ）和负值（N ）。

图2.3 输入1x 的分区图2.4输入2x 的分区第2步:为划分控制空间（输出），对()k u 在其论域上建立5个隶属度函数，()2424≤≤-k u ，如图3（注意，图上划分为7段，但此问题中只用了5段）。

图2.5输出u 的分区第3步:用表1所示的3*3规则表的格式建立9条规则（即使我们可能不需要这么多）。

本系统中为使倒立摆系统稳定，将用到θ和dt d θ。

表中的输出即X1X2P Z N P PB P Z Z P Z N NZNNB表1模糊控制规则表第4步:我们可用表1中规则导出该控制问题的模型。

并用图解法来推导模糊运算。

假设初始条件为()101=x 和 ()s rad x 402-=然后，我们在上例中取离散步长30≤≤k ，并用矩阵差分方程式导出模型的四部循环式。

模型的每步循环式都会引出两个输入变量的隶属度函数，规则表产生控制作用u(k)的隶属度函数。

我们将用重心法对控制作用的隶属度函数进行精确化，用递归差分方程解得新的1x 和2x 值为开始，并作为下一步递归差分方程式的输入条件。

分别为1x 和2x 的初始条件。

从模糊规则表（表1）有If(1x =P)and(2x =Z),then(u=P) If(1x =P)and(2x =N),then(u=Z) If(1x =Z)and(2x =Z),then(u=Z)If(1x =Z)and(2x =N),then(u=N)表示了控制变量u 的截尾模糊结果的并。

利用重心法精确化计算后的控制值为u=-2。

在已知u=-2控制下，系统的状态变为()()()3001211-=+=x x x ()()()()10001212-=-+=u x x x依次类推，可以计算出下一步的控制输出u(1)。

模糊控制器能够满足倒立摆的运动控制。

第三章模糊控制器的建立3.1 在MTALAB中的fuzzy控制器的建立与封装在命令窗口中输入：fuzzy然后回车可得出如下图3.1所示：图3.1 模糊控制器设置界面然后对其各个变量进行设置其步骤如下图3.2：图3.2 输入输出量设置对输入变量X1进行设置如下图3.3所示：图3.3 X1的隶属度函数编辑图变量X2的设置如下图3.4所示：图 3.4 X2的隶属度函数编辑图输出量如图3.5所示。

图3.5u的隶属度函数编辑图模糊规则控制表的设置如下图3.6所示：图3.6 模糊规则输入界面3.2 一级倒立摆在MTALAB中simulink仿真结果及分析最终在MATLAB中的搭建出来的框图如下图3.7：图 3.7单级倒立摆在MTALAB中simulink仿真的框架图主要的状态空间模块的参数设置如下图3.8：图 3.8通过（fuzzy)模糊控制模块，可以和包含模糊控制器的fis文件联系起来，还可以随时改变输入输出论域，隶属度函数以及模糊规则。

仿真结果如下图3.9和图3.10。

图 3.9分析如下：从图3.9仿真图中可以看出，仿真时间大概在1秒左右趋于平衡，但是图中曲线最终稳定在-2.3左右，而不是在0附近稳定，说明仿真参数可能没有设置合适，但是本人水平有限，没有找到原因，但大致猜想，曲线应该最终稳定于0附近。

图 3.10分析如下：图3.9从图3.10仿真图中可以看出，仿真时间大概也在1秒左右趋于平衡，图中曲线最终稳定在0.3左右，接近于0附近稳定，基本实现了仿真预期效果。

第四章总结从仿真结构来看，采用模糊模型，可以获得良好的控制精度和响应速度。

主要完成了两个任务:一是在Matlab7.0的Simulink环境下建立了倒立摆系统的仿真模块，并采用位置模糊控制器控制的方法建立了一级倒立摆系统；二是对一级倒立摆系统进行了模糊控制的仿真试验，主要分析了模糊控制器的各个参数对仿真的影响，从而筛选出一组比较适合的参数，通过仿真实现对一级倒立摆的稳定控制。

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