高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 抛物线教案(含解析)-高三全册数学教案

第八节 抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；
(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y 2＝2px
(p ＞0)
y 2＝－2px
(p ＞0)
x 2＝2py
(p ＞0)
x 2＝－2py (p ＞
0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y ＝0 x ＝0
焦点 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2
，0 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－p 2
离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p
2
x ＝p 2
y ＝－p 2
y ＝p 2
范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向 向右
向左 向上
向下
焦半径 (其中
P (x 0，y 0))
|PF |＝x 0＋p
2
|PF |＝
－x 0＋p
2
|PF |＝y 0＋p
2
|PF |＝－y 0＋p
2
1．(2018·杭州七校联考)抛物线C ：y ＝ax 2
的准线方程为y ＝
－1
4
，则其焦点坐标为________，实数a 的值为________． 解析：由题意得焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0，14，抛物线
C 的方程可化为x 2
＝1a y ，由题意得－14a ＝－1
4
，解得a ＝1. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫0，14
1
2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
答案：y 2
＝－4x 或x 2
＝－8y
3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2
的焦点坐标为__________；准线方程为____________．
解析：抛物线的标准方程为x 2
＝1
4y ，所以焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，116，
准线方程为y ＝－1
16
.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
0，116
y ＝－1
16
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．
3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．一条直线
答案：D
2．抛物线8x 2
＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2
＋y ＝0，得x 2
＝－18
y .
∴2p ＝18，p ＝1
16，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－132
考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2
的焦点为F ，直
线l 交抛物线C 于A ，B 两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线
C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )
A.7
2 B ．5 C ．4
D ．3
解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2
＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，
所以|BF |＝5.
2．已知M 是抛物线x 2
＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2
＋(y －5)2
＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2
＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.
[由题悟法]
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p
2
.
[即时应用]
1．如图，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.|BF |－1|AF |－1
B.|BF |2
－1|AF |2
－1
C.|BF |＋1|AF |＋1
D.|BF |2
＋1|AF |2
＋1
解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC |
|AC |
.由抛物线方程知其
焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1
.
2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y
2
＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A.355 B ．2
C.115
D ．3
解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2
＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|
5＝2.
考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；
(2)抛物线的对称性．
[题点全练]
角度一：求抛物线方程
1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2
＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝－12x B ．y 2
＝－8x C ．y 2＝－6x
D ．y 2
＝－4x
解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋
|BB 1|＝2⎝
⎛⎭⎪⎫
2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是
y 2＝－8x .
角度二：抛物线的对称性
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线
y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的
离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 B.32
C ．2
D ．3
解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ，
因为双曲线的离心率为2， 所以
1＋b 2a 2＝2，b
a ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x ，y 2
＝2px ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2p 3
，
y ＝23p 3.
由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p 3
＝3，
解得p 2
＝94，即p ＝32⎝ ⎛
⎭
⎪⎫p ＝－32舍去.
[通法在握]
求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的
几何意义来解决问题．
[演练冲关]
1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D 抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p 2＋y 21
2p ＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得
p ＝4.
2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )
A.3
2 B.23
C.43
D.34
解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.
在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝1
2
，由抛物
线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝2
1＋
12＝43，即|FP |＝4
3
.
考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.
(1)求抛物线C 1的标准方程；
(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点
D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．
解：(1)由题意，p
2＋3＝4，∴p ＝2，
所以抛物线C 1的标准方程为y 2
＝4x .
(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty ＋b ，
y 2
＝4x
消元化简得y 2
－4ty －4b ＝0，
Δ＝16t 2＋16b ＞0.
且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2
＋2b ， 所以D (2t 2
＋b,2t )，2t 2
＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.
所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2
－4t |
1＋t
2，
所以|AB|＝1＋t216t2＋16b＝41＋t22t－t2，
所以S△ABP＝1
2
|AB|d＝
1
2
×41＋t22t－t2
|2t2－4t|
1＋t2
＝
22t－t2·|2t2－4t|.
令m＝2t－t2，
则m∈(0,1]，且S△ABP＝4m3.
由函数单调性可知，(S△ABP)max＝4.
[由题悟法]
解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式．
[即时应用]
如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直
线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l
的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．
因为线段AB的中点在直线y＝2上，
所以直线l 的斜率存在，
设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，
y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝4x 1，
y 2
2＝4x 2，
得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，
所以2y 0k ＝4.
又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.
(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，
y 2＝4x ，
消去x ，得y 2
－4my －4＝0，
所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2
＋1)＞0. |AB |＝m 2
＋1|y 1－y 2| ＝m 2
＋1·y 1＋y 2
2
－4y 1y 2
＝m 2＋1·4m
2
－4×
－4
＝4(m 2＋1)．
所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，
所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2
＝4x B ．y 2＝－4x
C ．y 2
＝8x
D ．y 2
＝－8x
解析：选D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |
＝2p ，∴S △CAB ＝1
2×2p ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，
∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2
＝－8x ，故选D.
2．(2018·江山质检)在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )
A.1
2 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p
2＝5，解得p ＝2.
3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为
l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |
＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )
A.7π12
B.2π3
C.3π4
D.5π6
解析：选B 由抛物线y 2
＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0
－1－1
＝－3，
所以直线AF 的倾斜角为2π
3
.
4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2
＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )
A ．8
B ．23
C ．4 3
D ．83
解析：选B 法一：由题意可得p ＝
3，F ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π
3，由抛物线焦半径的
性质可知，|PF |＝p 1－cos θ＝31－cos
π3＝23，|Q F |＝
p
1＋cos θ
＝
3
1＋cos
π3
＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝1
2×4×3＝2 3. 法二：由题意可得
F ⎝
⎛
⎭
⎪⎪
⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝
3⎝
⎛
⎭
⎪⎪
⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x
联立，得⎝
⎛
⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2
－53x ＋94
＝0，设P (x 1，y 1)，
Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝83
3，
∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π
3.∴|MN |＝|P Q|sin
π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12
×4×3＝2 3. 5．已知点P 在抛物线y 2
＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为1
2
，则点P 到x 轴的距离为________．
解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2
＝4x 的准线方程为
x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的
距离，故x P
x P －－1＝1
2
，
解得x P ＝1，
所以y 2
P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A ．y ＝0
B ．x 2＋y 2
＝1 C ．x 2＝4y
D ．y 2
＝4x
解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2
＋y －12
＝|y ＋
1|，解得x 2
＝4y .
2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线
y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )
A. 3
B.32
C ．2
D ．3
解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2
－
433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－23
3，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，
所以m ＝3.
3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2
＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF |
|BF |
的值等于( )
A ．3
B.52
C ．2
D.32
解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝3
3
x ＋1，A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－
10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1
y 2＋1
＝
3＋1
13
＋1＝3. 4．已知P 为抛物线y ＝12x 2
上的动点，点P 在x 轴上的射影为
点M ，点A
的坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫
6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是(
)
A ．8
B.19
2
C ．10
D.212
解析：选B 依题意可知焦点F ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，12，准线方程为
y ＝－1
2
，
延长PM 交准线于点H (图略)．
则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－1
2，
|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－1
2，
即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝
6
2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172
－122
＝10.
所以|PM |＋|PA |≥10－12＝19
2
，故选B.
5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝3
2
(O 为坐标原点)，则
OM ·MF ＝( )
A ．－74
B.7
4
C.94
D ．－9
4
解析：选A 设M (m ，
2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0，
因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2
＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32
②，由①②
解得m ＝1
2，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
2
，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－7
4
.
6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2
＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.
解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．
所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－23
3－1＝－3，
所以∠MFO ＝2π
3.
答案：2π3
7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的
斜率的最大值为________．
解析：如图，由题可知
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0，设P 点坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
02p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
06p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 0
3y 206p ＋p 3＝
2
y 0p ＋2p y 0
≤2
22＝22，当且仅当y 20＝2p 2
时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为2
2
.
答案：2
2
8．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，
|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF
S △ACF
＝________.
解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |
＝3＝x 2＋p
2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 2
2＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝
－2
2，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2＝4x ，x ＝my ＋
5，
得y 2
－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，
所以y 1＝10，由y 21
＝4x 1，得x 1＝5
2
.过点A 作AA ′垂直于准线x
＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，
易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|
.又|BB ′|＝
|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝5
2＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372
＝6
7
.
答案：67
9．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝
x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB
交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .
(1)设A (x 0，x 2
0)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |
的值．
解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 2
0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 2
0.
(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 2
0， 所以AB
的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 02，0.
设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 0
2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋x 02，
y ＝x 2，
得m 2y 2
＋(mx 0－1)y ＋x 20
4
＝0.
因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，
得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 2
2＝x 2
04m 2.
所以y 2
2＝
1－mx 02
16m
4＝x 2012m
2， 解得mx 0＝－3±2 3.
所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 20
6±43
，
故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2
＝4x 和C 2：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．
解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1，p 2，
∵F 1F 2⊥OP ，
∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，
∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2
＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2
＝4x 得
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k
2，4k ，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，x 2
＝4y 得N (4k,4k 2
)，
从而|MN |＝1＋k
2
·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
4k 2－4k ＝1＋k
2
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k 2－4k ， 又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|
1＋k
2，
故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k
2·1＋k 2
·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝
21－k 1－k
3
k 2
＝
21－k
2
1＋k ＋k
2
k 2
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，
令t ＝k ＋1
k
(t ≤－2)，
则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，
当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．
即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2
＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l
交抛物线于B ，C 两点．
(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值； (2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．
解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，
代入x 2
＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2
－2pkx －2λp 2
＝0，
Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2
，
y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．
因为抛物线x 2
＝2py 的准线方程为y ＝－p
2，
所以点M
的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－p 2，
所以
MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2，y 2＋p 2，
所以
MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 2＋p 2
＝x 1x 2＋y 1y 2＋p 2(y 1＋y 2)＋p 2
4
＝－2λp 2＋λ2p 2
＋p
2[2p (k 2
＋λ)]＋p 2
4
＝p
2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，
当且仅当k ＝0，λ＝1
2
时等号成立．
(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2
，y 1y 2＝4p 2
， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .
设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，
与抛物线的方程x 2
＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2
)，
所以以OB 为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
－2pmx －2pm 2
y ＝0. 因为OB ⊥OC ，
所以直线OC 的方程为y ＝－1
m
x .
同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2
＋y 2
＋2p m x －2p
m
2y ＝0，
即m 2x 2＋m 2y 2
＋2pmx －2py ＝0，
将两圆的方程相加消去m ，得x 2
＋y 2
－2py ＝0， 即x 2
＋(y －p )2
＝p 2
，
所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2
＋|DO |2
＝4p 2
，
由|DA |2＋|DO |2
2≥⎝
⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22
， 得|DA |＋|DO |≤22p ，
当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .
2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2
＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22
＝2p ×1， 解得p ＝2.
故所求抛物线的方程是y 2
＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .
则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2
x 2－1(x 2
≠1)，
因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .
由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝4x 1，
①y 2
2＝4x 2，
②
所以
y 1－214y 21－1＝－y 2－2
14
y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．
所以y 1＋y 2＝－4.
由①－②得，y 2
1－y 2
2＝4(x 1－x 2)，
所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
＝－1(x 1≠x 2)．。