高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 抛物线教案(含解析)-高三全册数学教案
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第八节 抛物线
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;
(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等; (3)定点不在定直线上.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y 2=2px
(p >0)
y 2=-2px
(p >0)
x 2=2py
(p >0)
x 2=-2py (p >
0)
p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y =0 x =0
焦点 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫p 2,0 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-p 2
,0 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0,p 2 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0,-p 2
离心率 e =1
准线方程 x =-p
2
x =p 2
y =-p 2
y =p 2
范围 x ≥0,y ∈R
x ≤0,y ∈R
y ≥0,x ∈R
y ≤0,x ∈R
开口方向 向右
向左 向上
向下
焦半径 (其中
P (x 0,y 0))
|PF |=x 0+p
2
|PF |=
-x 0+p
2
|PF |=y 0+p
2
|PF |=-y 0+p
2
1.(2018·杭州七校联考)抛物线C :y =ax 2
的准线方程为y =
-1
4
,则其焦点坐标为________,实数a 的值为________. 解析:由题意得焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0,14,抛物线
C 的方程可化为x 2
=1a y ,由题意得-14a =-1
4
,解得a =1. 答案:⎝
⎛⎭⎪⎫0,14
1
2.焦点在直线2x +y +2=0上的抛物线的标准方程为________.
答案:y 2
=-4x 或x 2
=-8y
3.(教材习题改编)抛物线y =4x 2
的焦点坐标为__________;准线方程为____________.
解析:抛物线的标准方程为x 2
=1
4y ,所以焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0,116,
准线方程为y =-1
16
.
答案:⎝
⎛⎭⎪⎫
0,116
y =-1
16
1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线.
2.抛物线标准方程中参数p 易忽视,只有p >0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离,否则无几何意义.
3.抛物线的标准方程的形式要注意,根据方程求焦点坐标或准线方程时,要注意标准形式的确定.
[小题纠偏]
1.平面内到点(1,1)与到直线x +2y -3=0的距离相等的点的轨迹是( )
A .椭圆
B .双曲线
C .抛物线
D .一条直线
答案:D
2.抛物线8x 2
+y =0的焦点坐标为________. 解析:由8x 2
+y =0,得x 2
=-18
y .
∴2p =18,p =1
16,∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-132.
答案:⎝
⎛⎭⎪⎫
0,-132
考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1.(2019·温州十校联考)设抛物线C :y =14x 2
的焦点为F ,直
线l 交抛物线C 于A ,B 两点,|AF |=3,线段AB 的中点到抛物线
C 的准线的距离为4,则|BF |=( )
A.7
2 B .5 C .4
D .3
解析:选B 抛物线C 的方程可化为x 2
=4y ,由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4,可得|AF |+|BF |=8,又|AF |=3,
所以|BF |=5.
2.已知M 是抛物线x 2
=4y 上一点,F 为其焦点,点A 在圆C :(x +1)2
+(y -5)2
=1上,则|MA |+|MF |的最小值是( )
A .4
B .5
C .6
D .7
解析:选B 依题意,由点M 向抛物线x 2
=4y 的准线l :y =-1引垂线,垂足为M 1(图略),则有|MA |+|MF |=|MA |+|MM 1|,结合图形可知|MA |+|MM 1|的最小值等于圆心C (-1,5)到y =-1的距离再减去圆C 的半径,即等于6-1=5,因此|MA |+|MF |的最小值是5,故选B.
[由题悟法]
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ,y )到焦点F 的距离|PF |=|x |+p 2或|PF |=|y |+p
2
.
[即时应用]
1.如图,设抛物线y 2
=4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.|BF |-1|AF |-1
B.|BF |2
-1|AF |2
-1