数学九年级上册 圆 几何综合单元测试卷(解析版)

数学九年级上册圆几何综合单元测试卷（解析版）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，

()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，

(1)求的值；

(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；

(3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣

2．

【解析】

试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；

（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；

（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过

（0，0）和（，）两点，

∴抛物线的一般式为：y=ax2，

∴=a（）2，

解得：a=±，

∵图象开口向上，∴a=，

∴抛物线解析式为：y=x2，

故a=，b=c=0；

（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，

又∵y=x2，则r=，

化简得：r=＞x2，

∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设P（a，a2），∵PA=，

作PH⊥MN于H，则PM=PN=，

又∵PH=a2，

则MH=NH==2，

故MN=4，

∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），

又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，

解得：a=0，

当AM=MN时，=4，

解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；

当AN=MN时，=4，

解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；

综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．

考点：二次函数综合题．

2．在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、 AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为

8．

（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；

（2）如图2，设AC=x ，ACO OBD S S =y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．

【答案】（1）2；（2）2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6． 【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC 的长.

(2)分别作OH ⊥AB ，DG ⊥AB ，用含x 的代数式表示△ACO 和△BOD 的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB ∥AD 和OA ∥BD 两种情况讨论.

【详解】

解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB=8，

∴OD ⊥AB ，AC=12

AB=4， 在Rt △AOC 中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴22AO AC -，

∴OD=5，

∴CD=OD ﹣OC=2；

（2）如图2，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x ，

∴CH=|x ﹣4|，

在Rt △HOC 中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴

∴CD=OD ﹣OC=5

过点DG ⊥AB 于G ，

∵OH ⊥AB ，

∴DG ∥OH ，

∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OC DG CD

=， ∴DG=OH CD OC ⋅

35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8

﹣x ）×（3

35）=32（8﹣

x ） ∴y=ACO OBD S S

=()323582x x -

（0＜x ＜8） （3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ，

则OF=AE ，

∴S=

12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5

， ∴75

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ， ∴AD=2AF=145

． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO=22DO DG -=

75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°， ∴AD=22AG DG +=6

综上得AD=

145或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

282558x x x x -+-（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6． 【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

3．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，

(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；

(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：

(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．