线性代数真题选择题

线性代数真题选择题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020二、选择题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则*A 等于（ C ） (A)a . (B)1a. (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解1*n A A-=.2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ）(A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A rn A =<⇒的行秩r n A =<⇒的行向量组的最大无关组含r 个行向量.选(A).3.(1988—Ⅰ,Ⅱ)n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（ D ） (A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++≠.(B)12,,,s ααα中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s ααα中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出. (D)12,,,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.【考点】向量组线性相关的性质.解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D). 对(A):“存在”改为“任意”就正确.对(B):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中任意两个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关.对(C):123100,,012ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中1α不能由23,αα线性表示,但123,,ααα线性相关. 4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设A 是n 阶方阵,且A 的行列式0A =,则A 中（ ）(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合. 【考点】向量组线性相关的判别定理.解0A =()R A n A ⇔<⇒的列(或行)秩n A <⇒的列(或行)向量组线性相关.选(C).5.(1989—Ⅳ)设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有（ ）(A)A B A B +=+. (B)AB BA =.(C)AB BA =. (D)111()A B A B ---+=+.【考点】矩阵的性质. 解AB A B BA ==.选(C).6.(1989—Ⅴ)设n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则0Ax =有非零解的充分必要条件是（ ）(A)rn =. (B)r n <. (C)r n ≥. (D)r n >.【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 齐次线性方程组110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解的充分必要条件是()R A n <.选(B).7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解（一般解）必是（ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++. (B)1211212()2k k ββααα++-+. (C)1211212()2k k ββαββ-+++. (D)1211212()2k k ββαββ++-+.【考点】非齐次线性方程组解的结构.解 112,ααα-线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故112,ααα-是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系;又121222A A Ab ββββ++==,故122ββ+为Ax b =的一个特解;由非齐次线性方程组解的结构,知选(B). 对(A):122ββ-为0Ax =的解.对(C):12ββ+为2Ax b =的解,且122ββ-为0Ax =的解.对(D):112,αββ-不一定线性无关.8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组12,,,s ααα线性无关的充分条件是（ ）(A)12,,,s ααα均不为零向量.(B)12,,,s ααα任意两个向量的分量不成比例.(C)12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.(D)12,,,s ααα中有一部分向量线性无关.【考点】向量组线性无关的性质.解 向量组12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.选(C).对(A):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦均不为零向量,但123,,ααα线性相关. 对(B):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中任意两个向量的分量不成比例,但123,,ααα线性相关.对(D):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中1α线性无关. 9.(1990—Ⅴ)设A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则（ ）(A)1*n A A-=. (B)*A A =. (C)*nA A=. (D)*1A A -=.参考1.(1987—Ⅰ,Ⅱ). 选(A). 10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有（ ） (A)ACB E =. (B)CBA E =. (C)BAC E =. (D)BCA E =.【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.解 由()EABC A BC ==知BC 是A 的逆矩阵.选(D).11.(1991—Ⅳ)设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一是（ ） (A)1nAλ-. (B)1A λ-. (C)A λ. (D)nAλ.【考点】特征值的性质.解 选(B).****()()()AAxx A Ax A x A x A x A x x λλλλ=⇒=⇒=⇒=.12.(1991—Ⅴ)设,A B 为n 阶方阵,满足等式AB O =,则必有（ ）(A)A O =或B O =. (B)A B O +=. (C)A O =或B O =. (D)A B O +=.【考点】矩阵的性质. 解 选(C).00AB O AB A B =⇒=⇒⋅=.13.(1991—Ⅴ)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是（ ）(A)若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解. (B)若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解. (C)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解. (D)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解 选(D).Ax b =有无穷多个解()()()R A R B n R A n ⇒=<⇒<⇒0Ax =有非零解.对(A):如1212120200x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩仅有零解,但1212120201x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩无解.对(B):如12120220x x x x +=⎧⎨+=⎩有非零解,但12120222x x x x +=⎧⎨+=⎩无解.对(C):Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.14.(1992—Ⅰ,Ⅱ)要使12100,121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为（ ）(A)[]211-. (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. (D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【考点】齐次线性方程组解向量的定义. 解 选(A). 【注意】只需验证[]12,A O ξξ=.15.(1992—Ⅳ)设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ）(A)A 的列向量线性无关. (B)A 的列向量线性相关. (C)A 的行向量线性无关. (D)A 的行向量线性相关.【考点】齐次线性方程组解的理论,矩阵的秩及向量组的线性相关性. 解0Ax =仅有零解()R A n ⇔=A ⇔的列秩n A =⇔的列向量线性无关.选(A).16.(1992—Ⅴ)设11,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于（ ）(A)11A B --+. (B)A B +. (C)1()A A B B -+. (D)1()A B -+.【考点】逆矩阵的性质. 解 选(C).11111111(())()()A A B B B A B A AB E A A B --------+=+=+=+.或1111111()[()]()()()()A B A A B B E B A A B B B A B A B B E -------++=++=++=.17.(1992—Ⅴ)设12,,,m ααα均为n 维向量,那么,下列结论正确的是（ ）(A)若11220m m k k k ααα+++=，则12,,,m ααα线性相关.(B)若对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有11220m m k k k ααα+++≠,则12,,,m ααα线性无关.(C)若12,,,m ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有11220m m k k k ααα+++=.(D)若120000m ααα⋅+⋅++⋅=,则12,,,m ααα线性无关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解 选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.18.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知12324,369Q t P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为3阶非零矩阵,且满足PQ O =,则（ ） (A)6t=时P 的秩必为1. (B)6t =时P 的秩必为2.(C)6t ≠时P 的秩必为1. (D)6t ≠时P 的秩必为2.【考点】矩阵的秩及其性质.解 ()()31()3()PQ O R P R Q R P R Q =⇒+≤⇒≤≤-.当6t =时,()11()2()R Q R P R P =⇒≤≤⇒=1或2,则(A)和(B)都错; 当6t≠时,()21()1()1R Q R P R P =⇒≤≤⇒=.选(C).【注】(1)()()m s s n A B O R A R B s ⨯⨯=⇒+≤.(2)m s s nA B O ⨯⨯=,则B 的列向量组为m s s n A x O ⨯⨯=的解向量.19.(1993—Ⅳ)n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）(A)充分必要条件. (B)充分而非必要条件. (C)必要而非充分条件. (D)既非充分也非必要条件. 【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件). 解 选(B).20.(1993—Ⅴ)若12312,,,,αααββ都是四维列向量,且4阶行列式1231,,,m αααβ=,1223,,,n ααβα=,则4阶行列式32112,,,()αααββ+等于（ ）(A)m n +. (B)()m n -+. (C)n m -. (D)m n -.【考点】矩阵的运算及行列式的性质. 解 选(C).3211232113212,,,(),,,,,,αααββαααβαααβ+=+12311223,,,,,,n m αααβααβα=-+=-.21.(1993—Ⅴ)设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵211()3A -有一特征值等于（ ） (A)43. (B)34. (C)12. (D)14. 【考点】特征值的性质. 解213A 有一特征值21433λ=,则211()3A -有一特征值34.选(B). 22.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（ ） (A)12233441,,,αααααααα++++线性无关. (B)12233441,,,αααααααα----线性无关. (C)12233441,,,αααααααα+++-线性无关.(D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.【考点】判别向量组线性相(无)关的方法. 解 对(A):12342341()()()()αααααααα+++=+++,则12233441,,,αααααααα++++线性相关.对(B):12233441()()()()αααααααα-+-=----, 则12233441,,,αααααααα----线性相关.对(D):12233441()()()()αααααααα+-+=----, 则12233441,,,αααααααα++--线性相关.故选(C). 或对(A):12233441123410011100[,,,][,,,]01100011αααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,10011001110001010110001100110000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以12233441(,,,)34R αααααααα++++=<,则12233441,,,αααααααα++++线性相关.同理可讨论(B),(C),(D).【注意】判别向量组线性相(无)关的常见方法如下. (1)用定义:一般对抽象的向量组.理论根据:n 维向量组12,,,m ααα线性相(无)关⇔齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解(只有零解).(2)用向量组的秩:对具体的向量组直接求秩;对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来.理论根据: 向量组12,,,m ααα线性相(无)关⇔()(())R A m R A m <=.(3)用相关理论推导. (4)特殊情形: 若向量组12,,,m βββ可由12,,,m ααα线性表示,且12,,,m ααα线性无关时,设[][]1212,,,,,,m m K βββααα=,则向量组12,,,m βββ线性相(无)关⇔()(())R K m R K m <=.23.(1994—Ⅳ)设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则( ) (A)1rr >. (B)1r r <. (C)1r r =. (D)r 与1r 的关系依C 而定.【考点】矩阵秩的性质. 解 1()()()r R B R AC R A r ====.选(C).【注】设,P Q 为可逆矩阵,则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===.24.(1994—Ⅴ)设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( )(A)必有一个等于零. (B)都小于n . (C)一个小于n ,一个等于n . (D)都等于n .【考点】矩阵秩的性质.解 ()()AB O R A R B n =⇒+≤;又()1,()1(,)R A R B A O B O ≥≥≠≠,则(),()R A n R B n <<.选(B).25.(1994—Ⅴ)设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==45(1,2,2,0),(2,1,5,10)αα=-=,则该向量组的最大线性无关组是( )(A)123,,ααα. (B)124,,ααα. (C)125,,ααα. (D)1245,,,αααα.【考点】具体向量组的最大线性无关组的求法.解 1234510312103121302101101[,,,,]2172500010421401000000T T T T TA ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则向量组的最大线性无关组是124,,ααα.选(B). 【注意】(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向量组的线性相关性不变; (2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变.26.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设1112132122232122231112131313233311132123313010,,100,001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则必有（ ） (A)12APP B =. (B)21AP P B =. (C)12PP A B =. (D)21P P A B =.【考点】初等变换与初等矩阵的关系. 解 B 可将A 的第一行加到第三行,再将A 的第一行与第二行交换得到.故选(C).【注】在矩阵的左(右)边乘以一个初等矩阵,相当于对矩阵作相应的初等行(列)变换.27.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵m n A ⨯的秩为(),m R A m n I =<为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是( ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足0BA =,则0B =.(D)A 通过初等行变换,必可以化为()m I O 的形式.【考点】向量组线性无关的判别,矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.解 选(C).0T T BA A B O =⇒=.由()T R A m =,则齐次线性方程组T A x O =只有零解,即T B 的列向量全为零,故T B O B O =⇒=.28.(1995—Ⅴ)设n 维行向量11(,0,,0,)22α=,矩阵,2T T A I B I αααα=-=+,其中I 为n 阶单位矩阵,则AB 等于( )(A)0. (B)I -. (C)I . (D)T I αα+.【考点】矩阵的运算.解 选(C).29.(1996—Ⅰ,Ⅱ)四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）(A)12341234a a a a b b b b -. (B)12341234a a a a b b b b +.(C)12123434()()a a b b a a b b --. (D)23231414()()a a b b a a b b --.【考点】行列式的计算.解 选(D).将行列式按第一行展开. 30.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设n 阶矩阵A 非奇异,*A 是A 的伴随矩阵,则( )(A)1**()n A AA -=. (B)1**()n A A A +=. (C)2**()n AAA -=. (D)2**()n A AA +=.【考点】矩阵运算的性质.解 选(C)..*1****1111()()()A A A A A A A A A A -----=⇒==211nn A A A A A A-=⋅⋅⋅=.31.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设有任意两个n 维向量组1,,m αα和1,,m ββ,若存在两组不全为的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则( )(A)1,,m αα和1,,m ββ都线性相关.(B)1,,m αα和1,,m ββ都线性无关.(C)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关. (D)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.【考点】向量组线性相(无)关的定义. 解 由111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,得111111()()()()m m m m m m k k O λαβλαβαβαβ+++++-++-=,所以1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.选(D).32.(1997—Ⅰ)设111122232333,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则三条直线 0(1,2,3)i i i a x b y c i ++==（其中220,1,2,3i i a b i +≠=）交于一点的充分必要条件（ ） (A)123,,ααα线性相关. (B)123,,ααα线性无关. (C)秩123(,,)R ααα=秩12(,)R αα. (D)123,,ααα线性相关，12,αα线性无关.【考点】齐次线性方程组解的理论.解 三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组111222333000a xb yc a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有惟一解12123(,)(,,)2R R ααααα⇔=-=1212123123123(,)2,(,,)2(,,)2,,R R R ααααααααααααα=⇔⎧⇔⎨-=⇔=⇔⎩线性无关；线性相关.33.(1997—Ⅲ,Ⅳ)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )(A)122331,,αααααα++-(B)1223123,,2ααααααα++++(C)1223312,23,3αααααα+++(D)123123123,2322,355ααααααααα++-++-解 参考22.(1994—Ⅰ,Ⅱ).选(C).34.(1997—Ⅲ)设,A B 为同阶可逆矩阵,则( )(A)AB BA = (B)存在可逆阵P ,使1P AP B -=(C)存在可逆阵C ,使TC AC B = (D)存在可逆阵P 和Q ,使PAQ B =【考点】矩阵等价,合同,相似的判别. 解,A B 为同阶可逆矩阵,则,A B 都与同阶的单位矩阵等价,从而,A B 等价.故选(D).【注意】两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.如果不是同型矩阵,则必要性不成立. 35.(1997—Ⅳ)非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r ,则( )(A)rm =时,方程组Ax b =有解. (B)r n =时,方程组Ax b =有惟一解. (C)m n =时,方程组Ax b =有惟一解. (D)r n <时,方程组Ax b =有无穷多解.【考点】线性方程组解的理论.解 选(A).()()()()m R A R B m R A R B m =≤≤⇒==.36.(1998—Ⅰ)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---（ ）(A)相交于一点. (B)重合. (C)平行但不重合. (D)异面. 【考点】空间两条直线位置的判别.解 设111333(,,),(,,),Pa b c Q a b c ==11212122232323(,,),(,,)s a a b b c c s a a b b c c =---=---.由1212121223232312313131[,,]0,,a a b b c c s s QP a a b b c c s s QP a a b b c c ---=---=⇒---共面,则两直线共面.又111121212222232323333333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则12,s s 不平行,即两直线不平行.选(A).37.(1998—Ⅱ)设A 是任一(3)n n ≥阶方阵,*A 是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有*()kA =（ ）(A)*kA . (B)1*n kA -. (C)*n k A . (D)1*k A -.【考点】伴随矩阵的定义. 解 *1*()n kA k A -=(由伴随矩阵的定义得到).选(B).或由**1*()()()()n n n kA kA kA E k A E k AA kA k A -====看出.38.(1998—Ⅲ)齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0B ≠使得0AB =,则( )(A)2λ=-且0B =. (B)2λ=-且0B ≠. (C)1λ=且0B =. (D)1λ=且0B ≠.【考点】矩阵的性质,齐次线性方程组解的理论.解0,00AB B Ax =≠⇒=有非零解01A λ⇒=⇒=.若0B ≠,由0AB =得0A =,矛盾.故选(C).39.(1998—Ⅲ)设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a aa A aa a aa a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,如果矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( ) (A)1. (B)11n -. (C)1-. (D)11n -. 【考点】含参数的矩阵的秩的讨论. 解 ()01R A n A a <⇒=⇒=或11n-.当1a =时,显然()1R A =.故选(B). 40.(1998—Ⅳ)若向量组,,αβγ线性无关;,,αβδ线性相关,则( ) (A)α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示 (C)δ必可由,,αβγ线性表示. (D)δ必不可由,,αβγ线性表示.【考点】向量组线性相(无)关的性质.解 ,,αβγ线性无关,有,αβ线性无关;又,,αβδ线性相关,得δ必可由,αβ线性表示,也必可由,,αβγ线性表示.选(C). 41.(1999—Ⅰ)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则（ ）(A)当m n >时,必有行列式0AB ≠. (B)当m n >时,必有行列式0AB =.(C)当nm >时,必有行列式0AB ≠. (D)当n m >时,必有行列式0AB =.【考点】矩阵秩的性质.解 ()min{(),()}min{,}R AB R A R B m n ≤≤.选(B).42.(1999—Ⅱ)记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x xx x x ---------------为()f x ,则方程()0f x =的根的个数为（ ）(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.【考点】行列式的计算.解121()111122212223()5(1)333245354435743r r r x x x x x f x xx x x x x x xx x x -÷-----=-=--------.选(B).43.(1999—Ⅲ,Ⅳ)设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):121,,,m ααα-线性表示,记向量组(Ⅱ):121,,,,m αααβ-,则( )(A)m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示. (B)m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示. (C)m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示. (D)m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示. 【考点】向量组的线性表示的定义及其判别.解 方法一: 若m α可由(Ⅰ)线性表示,则121121121121(,,,)(,,,,)(,,,,,)(,,,,)m m m m m m R R R R αααααααααααβαααβ----===与β不能由121,,,m ααα-线性表示,矛盾,则m α不能由(Ⅰ)线性表示.故(C),(D)错.且121121(,,,,)(,,,)1m m m R R ααααααα--=+,由β不能由121,,,m ααα-线性表示,则121121(,,,,)(,,,)1m m R R αααβααα--=+.所以 121121(,,,,)(,,,,)m m m R R αααβαααα--=121121(,,,,,)(,,,,,)m m m m R R ααααβαααβα--==,则m α可由121,,,,m αααβ-线性表示.故选(B).方法二:β可由向量组12,,,m ααα线性表示.若m α可由121,,,m ααα-线性表示,则β可由向量组121,,,m ααα-线性表示,矛盾.故(C),(D)错.β可由向量组12,,,m ααα线性表示,则存在一组数11,,,m m k k k -,使得1111m m m m k k k βααα--=+++,其中0mk ≠.若0m k =,则β可由向量组121,,,m ααα-线性表示,矛盾.m α可由121,,,,m αααβ-线性表示.故(A)错.选(B). 44.(1999—Ⅲ)设,A B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( )(A)E A E B λλ-=-.(B)A 与B 有相同的特征值和特征向量. (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t ,tE A -与tE B -相似.【考点】矩阵相似的性质. 解 选(D).A 与B 相似,存在可逆矩阵P ,使得1P AP B -=,则1111()()tE B tE P AP P tE P P AP P tE A P -----=-=-=-,即tE A -与tE B -相似. 对(A):E A E B A B λλ-=-⇒=.对(B):A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 对(C):A 与B 不一定能对角化.45.(2000—Ⅰ)n 维列向量组1,,()m m n αα<线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为（ ）(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示. (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示. (C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价.(D)矩阵1(,,)m A αα=与矩阵1(,,)m B ββ=等价.【考点】向量组线性相(无)关的判别. 解 选(D). (A)是充分非必要条件.(1) (A)是充分条件:111(,,)(,,)(,,)m m m m R R m R m ααββββ=≤≤⇒=.(2) (A)是非必要条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,001ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示.(B)是既非必要也非充分条件.(1) (B)是非必要条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,001ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,但12,ββ不能由12,αα线性表示.(2) (B)是非充分条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,000ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.12,ββ可由12,αα线性表示,但12,ββ线性相关.(C)是充分非必要条件.(1) (C)是充分条件:11(,,)(,,)m m R R m ββαα==.(2) (C)是非必要条件:如12100,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,12100,001ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示,则12,αα与12,ββ不等价.(D)是充分必要条件.向量组1,,m ββ线性无关111(,,)(,,)(,,)m m m R m R R m ββααββ⇔=⇔==()()R A R B A B ⇔=⇔→.46.(2000—Ⅲ,Ⅳ)设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且秩(A )=3,123(1,2,3,4),(0,1,2,3),T T C ααα=+=表示任意常数,则线性方程组Ax b =的通解x =( )(A)11213141C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (B)10213243C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (C)12233445C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (D)13243546C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的结构. 解 选(C).()30R A Ax =⇒=的基础解系含4()1R A -=个解向量ξ.可取1232()(2,3,4,5)T ξααα=-+=.47.(2000—Ⅲ)设A 为n 阶实矩阵,T A 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):0Ax =和(Ⅱ):0T A Ax =,必有( )(A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解, (Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解. (B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解. (C)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解, (Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解. (D)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解, 但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解. 【考点】0Ax =与0T A Ax =解的关系.解 选(A). 【注意】0Ax =与0T A Ax =同解.事实上(1)0()()0T T Ax A A x A Ax =⇒==,即0Ax =的解是0T A Ax =的解;(2)00()000TT T T AAx x A Ax Ax Ax Ax Ax =⇒=⇒=⇒=⇒=,即0T A Ax =的解是0Ax =的解.48.(2001—Ⅰ)设1111400011110000,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则A 与B （ ）(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似. 【考点】实对称矩阵的对角化. 解 选(A).A 为实对称矩阵且A 的特征值为4,0,0,0.【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相似于对角矩阵.49.(2001—Ⅲ,Ⅳ)设11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,14131211242322213433323144434241a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,10001010000101000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中A 可逆,则1B -=( )(A)112A P P -. (B)112P A P -. (C)112P P A -. (D)121P A P -.【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.解 选(C).B 由A 的第二列与第三列交换,再将第一列与第四列交换得到,则112112B AP P B PP A --=⇒=. 50.(2001—Ⅲ)设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TA αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩(A ),则线性方程组( ) (A)Ax α=必有无穷多解. (B)Ax α=必有惟一解.(C)00TA x y αα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦仅有零解. (D)00TA x y αα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦必有非零解. 【考点】线性方程组解的理论.解 秩0TAαα⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩(A )1n n ≤<+,则00TAx y αα⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦必有非零解.选(D).51.(2002—Ⅰ)设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a zb i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（ ）【考点】线性方程组解的理论.解 方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无穷多解.选(B).【注意】(1)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==相交于一点111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有惟一解;(2)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a zb i ++==相交于直线111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有无穷多解;(3)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==无交点111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩无解.52.(2002—Ⅱ)设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） (A)12312,,,k αααββ+线性无关. (B)12312,,,k αααββ+线性相关.(C)12312,,,k αααββ+线性无关. (D)12312,,,k αααββ+线性相关.【考点】向量组线性相(无)关与线性表示之间的关系. 解 令0k =,则1232,,,αααβ线性无关,(B)错;1231,,,αααβ线性相关,(C)错.令1k=,若12312,,,k αααββ+线性相关,则2β能由123,,ααα线性表示,(D)错.选(A).53.(2002—Ⅲ)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则线性方程组()0AB x =( )(A)当nm >时仅有零解. (B)当n m >时必有非零解.(C)当m n >时仅有零解. (D)当m n >时必有非零解.【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论. 解 ()min{(),()}R AB R A R B n ≤≤,又AB 为m 阶方阵.选(D).【注意】(1)()min{,}m n R A m n ⨯≤;(2)()min{(),()}R AB R A R B ≤.54.(2002—Ⅲ)设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵.已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵1()T P AP -属于特征值λ的特征向量是( )(A)1Pα-. (B)T P α. (C)P α. (D)1()T P α-.【考点】矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量的定义.解11,()()T T T A P AP P A P αλα--==,从后式看出要利用前式,必须消去1()T P -,即在α的前面乘以TP .选(B). 或11()()[()]()T T T T T T T PAP P P A P P P A P αααλα--===.【注意】在做选择题及填空题时,要有意识地培养“只求目的,不择手段”.55.(2002—Ⅳ)设,A B 为n 阶矩阵,**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵A O C OB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则C 的伴随矩阵*C =( )(A)**A A O O B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (B)**B B O O A A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)**A B O OB A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)**B A O OA B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【考点】伴随矩阵的性质. 解 方法一:根据*AA A E =验证.选(D).(此方法在解决这类问题时一般较麻烦).方法二:若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A O B A O C C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 56.(2003—Ⅰ,Ⅱ)设向量组Ⅰ: 12,,,r ααα可由向量组Ⅱ:12,,,s βββ线性表示,则（ ）(A)当rs <时,向量组Ⅱ必线性相关. (B)当r s >时,向量组Ⅱ必线性相关.(C)当r s <时,向量组Ⅰ必线性相关. (D)当r s >时,向量组Ⅰ必线性相关.【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系.解 1212(,,,)(,,,)r s R R s αααβββ≤≤.选(D).57.(2003—Ⅰ)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为m n ⨯矩阵,现有4个命题:①若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ). ②若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解. ③若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ). ④若秩(A )=秩(B ),则0Ax =与0Bx =同解.以上命题正确的是（ ）(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 【考点】线性方程组解的理论.解 若0Ax =的解均是0Bx =的解,则0Ax =的基础解系必是0Bx =的基础解系的一部分,故0Ax =的基础解系所含解向量个数必小于0Bx =的基础解系所含解向量个数,即()()()()n R A n R B R A R B -≤-⇒≥.则①对,从而③也对.选(B).或直观地判别结论.若0Ax =的解均是0Bx =的解,则0Ax =所含限制条件不少于0Bx =所含限制条件,从而0Ax =所含独立方程个数必不少于0Bx =所含独立方程个数,故()()R A R B ≥.①对. 【注意】(1)()R A =线性方程组0Ax =所含独立方程个数; (2)()R B =线性方程组0Ax b =≠所含独立方程个数.此题的后面解法又是“不择手段”,读者在考试中做选择题和填空题时稍加运用,可以提高考试的效率和得分率.这里要说明的,所谓“不择手段”是在对数学理论的直观理解的基础上,而不是记忆上. 58.(2003—Ⅲ)设12,,,s ααα均为n 维向量,下列结论不正确的是( )(A)若对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有11220s s k k k ααα+++≠,则12,,,s ααα线性无关.(B)若12,,,s ααα线性相关,则对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,有11220s s k k k ααα+++=.(C)12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s .(D)12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.【考点】向量组的线性相(无)关. 解 选(B).59.(2003—Ⅳ)设矩阵001010100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.已知矩阵A 相似于B ,则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )(A)2. (B)3. (C)4. (D)5. 【考点】相似矩阵的性质. 解 (2)()(2)()4R A E R A E R B E R B E -+-=-+-=.选(C).【注】 (1)若A 与B 相似,则111(0)k A l E k +≠与222(0)k A l E k +≠相似;(2)相似矩阵有相同的秩.60.(2004—Ⅰ,Ⅱ)设A 是三阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（ ）(A)010100101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B)010101001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C)010100011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D)011100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【考点】初等矩阵与初等变换的关系.解 010100011100011100001001001Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 61.(2004—Ⅰ,Ⅱ)设,A B 为满足AB O =的任意两个非零矩阵,则必有（）(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.【考点】向量组线性相(无)关的判别. 解0AB O Ax =⇒=有非零解,则A 的列向量组线性相关;0T T T AB O B A O B x =⇒=⇒=有非零解,则T B 的列向量组(即B 的行向量组线性相关).选(A). 62.(2004—Ⅲ,Ⅳ)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有( )(A)当(0)A a a =≠时,B a =. (B)当(0)A a a =≠时,B a =-.(C)当0A ≠时,0B =.(D)当0A =时,0B =.【考点】矩阵等价的性质. 解A 与B 等价,则()()R A R B =.选(D).63.(2004—Ⅲ)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*A O ≠,若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系( )(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量. 【考点】A 的秩*A 的秩的关系,线性方程组解的理论.解**()1()1A O R A R A n ≠⇒≥⇒=-或n .若()R A n =,则Ax b =有惟一解,所以()1R A n =-.选(B).2005(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是 (A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B 2006(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP2007(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 2008(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2009(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)120023103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D)111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B AO ⎛⎫ ⎪⎝⎭(B)**23O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭(C)**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭2010(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则 (A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B (D)秩(),n =A 秩()n =B(6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭20115、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A=（ ）A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。