高中数学必修五综合检测：第一章 解三角形

第一章 学业质量标准检测

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( B ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解

[解析] ∵b sin A ＝100×2

2

＝502<80， ∴b sin A

2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )

A ．12

B ．1

C ． 3

D ．2

[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为1

2bc sin A

＝3，故选C ．

3．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为10 km 和20 km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东15°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏西75°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( B )

A ．10 5 km

B ．107 km

C ．10 3 km

D ．30 km

[解析] 在△ABC 中，∠ACB ＝15°＋90°＋(90°－75°)＝120°.已知AC ＝10km ，BC ＝20km ，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°＝102＋202－2×10×20×(－1

2)＝

700，∴AB ＝107.故选B ．

4．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( C ) A ．1

B ．5

C ．1

D ．1

[解析] 当x 为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧

3

x 2>32＋2

2，∴13

当3为最大边时⎩

⎪⎨

⎪

⎧

1x 2＋22，∴1

∴x 的取值范围是：1

5．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C

2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则

△ABC 一定是( C )

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C

2

，

∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos[180°－(A ＋B )]＝12＋1

2cos(A ＋B )，

∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝1

2，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ． 6．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为6

2

，则它的顶角是( A ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30°

D ．15°

[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝

62.两边平方得sin2B ＝1

2

，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ． ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝1

2，

∴A ＝30°或150°.

7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( A )

A ．725

B ．－725

C ．±725

D ．2425

[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝4

5，∴cos C ＝cos2B

＝2cos 2B －1＝7

25

.

8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →

＋33

cGC

→

＝0，则角A ＝( D )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

[解析] 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB →＋

33cGC →

＝0中，

即(b －a )GB →＋(33

c －a )GC →

＝0，

因为GB →，GC →

不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧

b －a ＝033

c －a ＝0，

即⎩⎨⎧

b ＝a ，

c ＝3a ，

故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3

2，

因为0

9．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( A )

A ．①②

B ．①④

C ．①②③

D ．③④

[解析] ①c sin B

所以有两解的有①②，故选A ．

10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为3

2

，则这个三角形的面积为( B )

A ．15

4

B ．1534

C ．2134

D ．3534

[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°， 设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝

3

2

，∴α＝120°， 由余弦定理，得

(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，