线性代数 5-6 第5章6讲-正交相似(2)

例2 设三阶实对称矩阵A 的特征值是1, 2, 3 ；矩阵A 的属于特征值1, 2 的特征
向量分别是1 (1, 1,1)T ,2 (1, 2, 1)T .
(1) 求A 的属于特征值3 的特征向量; (2) 求矩阵A.
解 (1) 设A 的属于特征值3 的特征向量为 3 (x1, x2, x3)T
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第六讲 实对称矩阵及其对角化(2)
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本讲内容
01 实对称矩阵的特征值与特征向量 02 实对称矩阵的正交相似对角化(2)
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
性质5.6
(1) 实对称矩阵A 的特征值一定为实数；
(2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
1 0 0
1 1 1
(2) P1AP 0 2 0，其中P 1 2 0
0 0 3
1 1 1
1 0 0 矩阵A P 0 2 0 P1
0 0 3
1/ 3 1/ 3 1/ 3
1 0 0
13 2 5
P 1
1/
6
1/ 3 1/ 6
可见 A P 0
2
0
P 1
1 6
2
10
2
1/ 2 0 1/ 2
p1 (1,1,1)T ，求A.
1 1 1
6
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P
1
AP
3
.
1 0 1
3
则 A PP1，
1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0 1
0
0
1
1 0 0
1 3
1 3
1
3
0 0
1 0
1 3
0 1
1 1
1
0
2
0
1 0
1 1
0 1
3
1 1
3
1 2
3
0 0
1 0
0 1
1 3
1 3
2 3 1 3
1 3
2
3
10
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
1 1
即
x1
x2
x3
0，得基础解系为
p2
1
,
p3
0
，
0
1
1 1 1
6
4 1 1
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P 1 AP
3
.
故A
1
4
1 .
1 0 1
3
1 1 4
9
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为
3 0 0
设A 0 1 2，求一个正交矩阵P，使P1AP . 0 2 1
1
0
1
0
当1
2
3，基础解系 1
0 , 0
2
1，单位化得p2 1
0，p3 0
1 2
；
1
当3 1时，解方程组( A E) X 0，
4 0 0 1 0 0
0
2
0
A E 0 0
2 2
2 0 2 0
设三阶实对称矩阵A的特征值是1, 2, 3 ；矩阵A 的属于特征值1, 2 的特征向量分别是
1 (1, 1,1)T ,2 (1, 2, 1)T .(1) 求A 的属于特征值3 的特征向量; (2) 求矩阵A.
同解方程组
x1 x2
x3 0
得其基础解系为(1, 0,1)T .
因此A 的属于特征值3 的特征向量为3 k(1, 0,1)T (k为任意非零常数).
因为对于实对称矩阵, 属于不同特征值的特征向量相互正交,
所以1T3 0
和
T
23
0,
即x1, x2 , x3是齐次线性方程组
x1x1 2
x2 x2
x3 x3
0 0
的非零解.
1
1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
1 1
1
0
1 0
0 1
1
0
同解方程组
x1 x2
x3 0
7
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
1 0
1 0
0
3
1
1
2
1
1
4
3 3 3
11
实对称矩阵的正交相似对角化(2) 例4 设A 是3 阶实对称矩阵，且A2 2A 0，若A 的秩为2，则A 相似于 ______ .
解 由A2 2A 0得 2 2 0 ( 2) 0，故A的特征值为0 或 2.
又A 为实对称矩阵，所以A 可相似于对角阵，且r( A) r() 2，
0 0 3
5 2 13
8
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
例3 设3 阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 与特征值6 对应的特征向量为 p1 (1,1,1)T ，求A.
解 设 x1, x2 , x3 T 为A 的属于特征值3 的特征向量，
由于A为实对称矩阵，所以 x1, x2 , x3 T 与p1 (1,1,1)T 正交，
1 0
1，得基础解系 3
0
1， 1
单位化得
p3
1 2 1
;
2 5
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0
设A 0
1
2
，求一个正交矩阵P，使P
1
AP
.
0 2 1
0
1
令P p1, p2, p3
1 2
0
1 2
0
0
1 2
，
1
2
1
则P 1AP
=
PT
AP
=
3
3
6
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
2
于是
=
2
0
12
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
1 1 1 1
例5
设A为三阶实对称矩阵，A
p1 (1,1,1)T ，求A.
1 1 1
6
令P p1, p2, p3 1 1
0
，则P
1
AP
3
.
1 0 1
3
1 1 1
1 1 1
3
3
3
P 1
1 3
2 3
1 3
1
1
2
3 3 3
1
1
1 6
0
0
3
3
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4
1
1
故A PP1 1 1
0
0
3
0
1 3
2 3
1 3
1
4
1 .
(3) 设A是n 阶实对称矩阵， 是A 的r 重特征值,则对应 恰有r 个线性无关的特征向量.
定理5.4 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
1
P1AP
2
，其中1，2，
，n
为A
的n
个特征值.
n
3
实对称矩阵的正交相似对角化(2)
3 0 0 例1 设A 0 1 2，求一个正交矩阵P，使P1AP .
0 2 1
3 0 0
解 | A E | 0 1 2 32 1，
0 2 1
所以1 2 3，3 1. 当1 2 3，解方程组( A 3E) X 0，
0 0 0 0 1 1
1
0
A 3E 0 2
2
0
0
0
得基础解系 1 0 , 2 1；
0 2 2 0 0 0
0
1
4
实对称矩阵的正交相似对角化(2)