随机信号分析(第3版)第五章 习题答案

于是，
RY (τ ) =
1 cos ω0τ + 1/ 3 2(1 + ω0 2 R 2C 2 )
5.5 5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系
Y (t ) = ∫
t
t −T
X (τ )dτ
式中，T 为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为
4 S X (ω ) 2 ⎛ ωT ⎞ sin ⎜ ⎟ ω2 ⎝ 2 ⎠ （提示： Y (t ) = X (t ) ∗ h(t ) ，而 h(t ) = u (t ) − u (t − T ) ，是矩形方波。 ）
5.2 若平稳随机信号 X (t ) 的自相关函数 R X (τ ) = A 2 + Be −|τ | ，其中，A 和 B 都是正 常数。又若某系统冲击响应为 h(t ) = u (t )te− wt 。当 X (t ) 输入时，求该系统输出的均值。 解： 因为 E 2 [ X ] = RX ( ∞ ) = A2 所以 E [ X ] = ± A = ± A 。
5.1
求题图 5.1 中三个电路的传输函数（不考虑输出负载） 。
R C
R C2
C1 R1
C1
题图 5.1
R2
C2
解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 H ( jω ) =
1/ jωC 1 = R + 1/ jωC 1 + jω RC 1/ jωC2 1 + jω RC1 = R / jωC1 + 1/ jωC2 1 + jω R ( C1 + C2 ) R + 1/ jωC1
5 −aτ e 。 于 是， 2a
5 2a
5.12 5.13
功率谱为 N 0 2 的白噪声作用到 | H (0) |= 2 的低通网络上，网络的等效噪声带宽
为 2MHz。若噪声输出平均功率是 0.1 瓦，求 N 0 的值。 解： 由 N 0 BN H ( 0 ) = 0.1 得， N 0 = 5.14 5.15 5.16
− at
u (t ) 的系统上，求
2 1 5 ，所以 SY (ω ) = 5 H ( jω ) = 2 jω + a ω + a2
而 输 出 过 程 的 自 相 关 函 数 RY (τ ) =
2 E⎡ ⎣Y ( t ) ⎤ ⎦ = RY ( 0 ) =
1 2π
∫
∞
−∞
SY (ω ) e jωτ d ω =
{
}} = 1/ 3 + 1/ 2 cos (ω τ )
0
可见 X (t ) 是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出
π 1 2 ⎧ 2π ⎫ SY (ω ) = S X (ω ) H ( jω ) = ⎨ δ ( ω ) + [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] ⎬ × 2 2 ⎩ 3 ⎭ 1 + (ω RC ) π 2π = δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) ] + δ (ω ) 2 2 2 [ 2(1 + ω0 R C ) 3
Y ( t1 ) 相互独立，则 E[X ( t1 ) Y ( t1 )] = RXY (0) = 0 。而
RXY (τ ) = RX (τ ) ∗ h (−τ ) = h ( −τ )
因此， h(t ) 要满足 h ( 0 ) = 0 。
5.11 若功率谱为 5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为 h(t ) = e 系统的均方值与功率谱密度。 解：由题知： H ( jω ) =
H( jω) =
1/ jωC 1 = R +1/ jωC 1+ jωRC
↔
h(t) =
1 −t / RC e u(t) RC
然后，计算 X (t ) 的均值与自相关函数，
mX = E [ X (t ) ] = 1/ 2 R X (t , t + τ ) = E
{{ X
0
+ cos [ω0 t + Φ ]} X 0 + cos ⎡ ⎣ω0 ( t + τ ) + Φ ⎤ ⎦
第二个图中系统地传输函数 H ( jω ) =
第三个图中系统地传输函数
R2 / jωC2 R2 + 1/ jωC2 R2 + jω R1R2C1 H ( jω ) = = R1 / jωC1 R / jωC2 R1 + R2 + jω R1R2 ( C1 + C2 ) + 2 R1 + 1/ jωC1 R2 + 1/ jωC2
⎡ ∞ h (ξ ) X ( t − ξ ) d ξ ⎤ = E ⎡ X ( t ) ⎤ ∞ h ( ξ )d ξ = ± A ∞ te − wt dt = ± A E⎡ Y t ⎤ = E ( ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫−∞ ∫0 ⎢ ⎥ ⎣ ∫−∞ ⎦ w2
5.3 5.4 若输入信号 X (t ) = X 0 + cos(ω 0 t + Φ ) 作用于正文图 5.2 所示 RC 电路， 其中 X 0 为[0,1] 上均匀分布的随机变量， Φ 为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且 X 0 与 Φ 彼此独立。求输出信 号 Y(t)的功率谱与相关函数。 解：首先我们求系统的频率响应 H ( jω ) 。根据电路分析、信号与系统的知识，
2
0.1
BN H ( 0 )
2
=
0.1 = 1.25 ×10 −8 （瓦/Hz） 6 2 × 10 × 4
已知平稳随机信号的相关函数为
1 ⎧ 2 σ X (1 − α | τ |), τ ≤ ⎪ ⎪ α （1） RX (τ ) = ⎨ 1 ⎪0, τ> ⎪ α ⎩
求它们的矩形等效带宽。
（2） RX (τ ) = σ X e
2
−α |τ |
解： （1）因为 RX (τ ) 是三角函数，所以，由几何图形易知， Beq = （2） S X (ω ) =
∞
α 2
∫
0
−∞
RX (τ ) e − jωτ dτ =
2σ X 2α ω2 +α 2
1 所以 Be (ω ) RX ( 0 ) ασ 2 X α dω = = = S X (ω 0 ) 2 S X ( 0 ) 4σ 2 X 4
RX (τ ) = δ (τ ) ， 输出信号为 Y (t ) 。 试问系统 h(t ) 要具备什么条件， 才能使随机变量 X (t1 ) 与 Y (t1 )
互相独立。 解： 由于输入信号 X (t ) 是均值为零的平稳高斯随机信号， 所以通过线性时不变系统后 Y (t ) 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且 X (t ) 和 Y (t ) 是高斯联合平稳过程。如果 X ( t1 ) 与
SY (ω ) =
解：因为 Y (t ) =
∞
∫
t
t −T
X (τ )dτ 所以 Y (t ) = X (t ) ∗ h(t ) h(t ) = u (t ) − u (t − T )
− jωt
而 H ( jω ) =
∫ h ( t )e
−∞ 2
dt =
2sin (ωT / 2 ) − jω / 2 e ω
所以 H ( jω )
⎛ ωT ⎞ 4 sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = ω2
2
所以 SY (ω ) = S X (ω ) H ( jω ) =
4 S X (ω ) 2 ⎛ ωT ⎞ sin ⎜ ⎟ ω2 ⎝ 2 ⎠
5.7 5.8 5.9 5.10 若线性时不变系统的输入信号 X (t ) 是均值为零的平稳高斯随机信号， 且自相关函数为