2016考研数学定积分二重积分三重积分以及曲线曲面积分的联系和区别
二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
二重积分三重积分曲线积分曲面积分二重积分二重积分的概念二重积分是微积分中的重要概念之一，它是对二元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
二重积分可以看作是对一个平面区域的面积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
二重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小面积元素加权求和的方式进行。
二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法。
在直角坐标系下，二重积分可以通过将区域分割成小矩形，计算每个小矩形的面积乘以函数值的和来近似计算。
在极坐标系下，可以通过将区域分割成小扇形，计算每个小扇形的面积乘以函数值的和来近似计算。
二重积分的应用二重积分在物理学、统计学、经济学等领域有广泛的应用。
在物理学中，二重积分可以用来计算平面分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在统计学中，二重积分可以用来计算二维随机变量的概率密度函数。
在经济学中，二重积分可以用来计算两个变量之间的相关性。
三重积分三重积分的概念三重积分是对三元函数在一个有界闭区域上的积分运算。
它可以看作是对一个空间区域的体积进行加权求和，其中权重由函数值决定。
三重积分的计算可以通过分割区域，将区域内的小体积元素加权求和的方式进行。
三重积分的计算方法三重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的体积法和柱面坐标系下的体积法。
在直角坐标系下，三重积分可以通过将区域分割成小立方体，计算每个小立方体的体积乘以函数值的和来近似计算。
在柱面坐标系下，可以通过将区域分割成小柱体，计算每个小柱体的体积乘以函数值的和来近似计算。
三重积分的应用三重积分在物理学、流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三重积分可以用来计算空间分布的物理量，如电荷密度、质量分布等。
在流体力学中，三重积分可以用来计算流体的质量、动量和能量等。
在电磁学中，三重积分可以用来计算电场和磁场的分布。
曲线积分曲线积分的概念曲线积分是对向量场沿曲线的积分运算。
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系作者：李雪峰
来源：《文理导航·教育研究与实践》 2018年第12期
【摘要】定积分、重积分、曲线与曲面积分是积分学的重要组成部分，它们之间有着千丝万缕的联系。
本文将重点阐述曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系。
【关键词】曲线积分；曲面积分；定积分；重积分；关系从定义上看，它们都是通过“大化小，常代变，近似和，取极限”这四步得到一个特殊和式极限的形式，而这一形式可以统一写成：
前面我们分别介绍了第一类曲线积分与定积分，第二类曲线积分与定积分、二重积分，第一类曲面积分与二重积分，第二类曲面积分与二、三重积分的关系。
而书中又介绍了两类曲线积分之间的关系和两类曲面积分之间的关系，还有斯托克斯公式又说明了曲线与曲面积分的关系。
综上所述，充分说明了虽然曲线、曲面积分与定积分、重积分它们有着不同的定义、积分域与计算方法，但同时又有着密不可分的关系。
它们之间的转化真是妙趣无穷。
【参考文献】
[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）下册[M].北京：高等教育出版社，2007。
曲线积分和曲面积分
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。
最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。
该定义可以统一形式给出：从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。
以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。
因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。
表面积分的形式如下：\ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。
两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。
）。
最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。
求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。
因此，它也生动地称为通量。
在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。
然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积
浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积
定积分与二重积分、三重积分等概念紧密相关，都涉及到求体积的问题，通过积分计算就可以得出结果。
下面让我们从定积分和二重积分三重积分来进行简单介绍：
一、定积分
定积分是在一定范围内，通过积分函数求出曲线下函数图形及其不等式的面积、曲面及其不等式的体积，称为定积分。
定积分的求解可采用分段积分法、蒙特卡洛法等方法来进行。
二、二重积分和三重积分
二重积分是指两个变量 x 和 y 的变化范围，在范围上内分别做积分。
三重积分则是三个变量 x、y、z 的变化范围，在范围上同时进行积分，通过二重积分或三重积分，可以求出曲面上这个不等式的体积。
三、求体积
利用定积分、二重积分、三重积分求出曲面下给定的不等式的体积，最常用的方法是将曲面拆分成四储较小的子面，由定积分在每个子面上求出面积，然后将子面的面积累加起来就是原曲面的体积。
或者采用蒙特卡洛法准确地求体积，其原理是对给定的曲面，随机地采样得到若干个点，根据点在曲面上不同位置，以其重心为原点绘制出一个小三角形，根据三角形的面积可以求出曲面的体积。
综上，定积分、二重积分、三重积分都是求体积的机制，它们都有一定的特点，可以根据不同的实际情况，来选择较适合的方法来求取曲面的体积。
积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质
积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义和性质CH 19 积分(二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分)的定义和性质1(重积分的概念n(1) 定义:二重积分表示一种类型和式的极限,limf(,,,),,，三重积分表f(x,y)d,,iii,,,,0,1iDnf(x,y,z)dV示,limf(,,,,,),v,其值均取决于被积函数的对应规则和积分区,iiii,,,,,0,1iD域，而与积分变量的记号无关。
连续是可积的充分条件，二者的不同点是:二重积分的被积函数是定义在平面区域上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域上的三元函数。
D,f(x,y),0z,f(x,y)(2) 几何与物理意义:当时，表示以曲面为曲顶，以为Df(x,y)d,,,D,,f(x,y)f(x,y,z),0底的柱体体积，或表示以面积密度的平面薄片的质量。
当，D,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV表示体密度的空间立体的质量。
,,,,D(3) 性质:重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。
2(第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义(1) 由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为n,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1ilf(x,y)ll其中函数在曲线上有定义切有界，是对的任意分割下的段的长度，i,SS,0ii,,max{,S}。
i1,i,n(2) 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念，其定义简记为n,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1iln,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il,ll ，的意义同前，，为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与的方向有关。
,x,yii3(两类曲面积分的定义(1) 由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为nf(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i,f(x,y,z)其中在曲面上有定义，是的任意分割下第块的面积(，)i,S,,S,0ii ,,max{,S的直径}。
三重积分和曲线曲面积分的关系
三重积分和曲线曲面积分的关系【主题】三重积分和曲线曲面积分的关系在数学领域中，三重积分和曲线曲面积分是两个重要的概念，它们在微积分和数学物理等领域都有着广泛的应用。
今天，我将带领大家深入探讨三重积分和曲线曲面积分之间的关系，通过对其深度和广度的全面评估，让我们更加深入地理解这一主题。
1. 三重积分的概念及应用三重积分是对三维空间内某一区域上的函数进行积分运算，用于计算立体图形的体积、质量等物理量。
它的数学表达式为∭f(x, y, z) dV，其中 f(x, y, z) 为被积函数，dV 为微元体积。
在实际应用中，三重积分广泛应用于物理学、工程学和地质学等领域，如计算物体的质心、密度分布等。
2. 曲线曲面积分的概念及应用曲线曲面积分是对向量场沿曲线或曲面进行积分的运算，用于计算流量、功率等物理量。
曲线曲面积分包括第一类曲线曲面积分和第二类曲线曲面积分，分别用于不同类型的计算。
在物理学、电磁学和流体力学等领域，曲线曲面积分被广泛应用于计算场量的环量、通量等。
3. 三重积分和曲线曲面积分的关系通过对三重积分和曲线曲面积分的概念进行深入理解，我们可以发现它们之间的内在联系。
在数学上，三重积分可以视为曲面积分的一种特殊情况，通过将三维空间内的体积划分为无穷小的微元，可以将三重积分转化为曲面积分的形式进行计算。
这种关系在物理学和工程学中具有重要意义，可用于求解复杂体系的物理量。
4. 个人观点和理解在我看来，三重积分和曲线曲面积分之间的关系是微积分学习中一个非常有趣且深刻的命题。
通过掌握它们之间的联系，我们可以更加灵活地运用数学工具来解决实际问题，提高问题求解的效率和准确度。
深入理解三重积分和曲线曲面积分的关系也有助于提升数学思维和抽象思维能力，对于培养学生的数学素养具有重要作用。
总结回顾通过本文的全面讨论，我们对三重积分和曲线曲面积分的关系有了更加深入的理解。
我们从简到繁地介绍了它们的概念和应用，并探讨了它们之间的内在联系。
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
二重积分与三重积分
二重积分与三重积分积分是微积分中的一项重要内容，它在求解曲线、曲面或立体的面积、体积以及求解某些重要物理量时发挥着重要的作用。
在本文中，我们将介绍二重积分和三重积分的概念、计算方法以及应用。
一、二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
它的计算方法可以通过将给定区域分割为许多小区域，并在每个小区域上计算函数值的累加来实现。
表示二重积分的一种常见形式是：∬f(x,y)dA其中f(x,y)是被积函数，dA是面积元素。
为了计算二重积分，我们可以使用直角坐标系或极坐标系进行变换，并选择合适的积分顺序，例如先对y进行积分再对x进行积分。
具体计算步骤可以参考积分换元法、定积分和累加的相关知识。
二重积分在几何学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
例如，通过计算一个平面图形所占的面积可以使用二重积分来解决；在物理学中，通过计算质点在区域上的分布情况可以得到质量、重心等物理量。
二、三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算。
与二重积分类似，三重积分的计算方法也可以通过将给定区域分割为许多小区域，并在每个小区域上计算函数值的累加来实现。
表示三重积分的一种常见形式是：∭f(x,y,z)dV其中f(x,y,z)是被积函数，dV是体积元素。
为了计算三重积分，我们可以使用直角坐标系或柱坐标系、球坐标系进行变换，并选择合适的积分顺序，例如先对z进行积分再对y进行积分最后对x进行积分。
三重积分在几何学、物理学、天文学等领域都有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过计算一个立体图形的体积来应用三重积分；在物理学中，通过计算电荷密度在区域上的分布情况可以得到电量、质心等物理量。
综上所述，二重积分和三重积分在数学和实际应用中都具有重要的地位。
通过适当选择变量的次序和合适的坐标系进行转换，我们可以有效地计算和应用二重积分和三重积分。
在实际问题中，我们常常需要对更高维度的积分进行求解，这也是进一步拓展积分概念和技巧的研究方向。
1二重积分`三重积分`第一类曲线积分`第一类曲面积分的概念
重积分§1. 二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念1． 对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2． 设有一质量分布不均匀的半圆弧cos ,sin (0)x r y r θθθπ==≤≤，其线密度a ρθ=(a 为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m 的质点的引力．3． 计算球面三角形2222x y z a ++=，0,0,0x y z >>>的围线的重心坐标．设线密度1ρ=．4． 求均匀球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对z 轴的转动惯量．5． 求均匀球面z =(0,0,)x y x y a ≥≥+≤的重心坐标．6． 求密度0ρρ=的截圆锥面cos ,sin ,(02,0)x r y r z r b r a ϕϕϕπ===≤≤<≤≤对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当0b →时，结果如何？§2. 积分的性质1. 证明有界闭区域上的连续函数必可积．2. 设Ω是可度量的平面图形或空间立体，,f g 在Ω上连续，证明： (1) 若在Ω上()f P ≥0，且()f P 不恒等于0，则()0f P d ΩΩ>⎰；(2) 若在Ω的任何部分区域'Ω⊂Ω上，有''()()f P d g P d ΩΩΩ=Ω⎰⎰，则在Ω上有()()f P g P ≡．3. 设()f x 在[a,b]可积，()g y 在[c,d]可积，则()()f x g y 在矩形区域D ＝[a,b]×[c,d]上可积，且()()()()b dacDf x gy dxdy f x dx g y dy =⎰⎰⎰⎰．4. 若(,)f x y 在D 上可积，那么(,)f x y 在D 上是否可积？考察函数1, (,)1, x y f x y x y ⎧=⎨-⎩若，是有理数,若，至少有一个是无理数,在[0,1]×[0,1]上的积分． 5. 设[][]0,10,1D =⨯，1, (,)0, x f x y x ⎧=⎨⎩是有理数，是无理数，证明(,)f x y 在D 上不可积．§1. 二重积分的计算1． 将二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为不同顺序的累次积分：(1) D 由x 轴与222(0)x y r y +=>所围成； (2) D 由,2y x x ==及1(0)y x x=>所围成； (3) D 由33,2,1y x y x y ===和2y =围成； (4) {}(,)1D x y x y =+≤． 2. 计算下列二重积分： (1)(2)Dy x dxdy -⎰⎰，[][]3,51,2D =⨯；(2) cos()Dx y dxdy +⎰⎰，[]0,0,2D ππ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦； (3)22x y Dxye dxdy +⎰⎰，[][],,D a b c d =⨯；(4)1Dxdxdy xy +⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯． 3. 改变下列累次积分的次序： (1)2230(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(2) 221(,)dx f x y dy ⎰；(3)2113(3)2001(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰．4. 设(,)f x y 在所积分的区域D 上连续，证明(,)(,)b xb baaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰．5. 计算下列二重积分： (1) m kDx y dxdy ⎰⎰ (,0m k >),D 是由22(0),2py px p x =>=围成的区域；(2) ,Dxdxdy D ⎰⎰是由20,sin ,0y y x x ===和x =(3) ,DD ：22x y x +≤； (4) ,D xy dxdy D ⎰⎰：222x y a +≤；(5) (),Dx y dxdy D +⎰⎰由,1,0,1xy e y x x ====所围成；(6) 22,Dx y dxdy D ⎰⎰由2,0,2,2x y x x y x ====+所围成； (7) ,x yDe dxdy D +⎰⎰是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形； (8)sin ,Dnxdxdy D ⎰⎰由2,4y x y x ==和4y =所围成．6. 求下列二重积分： (1) 2110y x I dx e dy -=⎰⎰；(2) 21120y xI dx x edy -=⎰⎰；(3) 220sin yI y x dx =．7. 改变下列累次积分的次序： (1) 11000(,,)xx ydx dy f x y z dz -+⎰⎰⎰； (2) 22110(,,)x y dx dy f x y z dz +⎰⎰⎰； (3) 21101(,,)x ydx dy f x y z dz --⎰⎰⎰；(4)111(,,)dx f x y z dz -⎰．8. 求下列立体之体积：(1) V 由2222222,2x y z r x y z rz ++≤++≤所确定； (2) V 由222,,2z x y y x z ≥+≥≤所确定；(3) V 是由坐标平面及2,3,4x y x y z ==++=所围成的角柱体． 9. 用极坐标变换将(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为累次积分：(1) D ：半圆222,0x y a y +≤≥； (2) D ：半环 2222,0a x y b x ≤+≤≥； (3) D ：圆 22x y ay +≤ (0)a >； (4) D ：正方形 0,0x a y a ≤≤≤≤． 10. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ,D⎰⎰ D ：22224x y ππ≤+≤； (2) (),Dx y dxdy +⎰⎰D 是圆22x y x y +≤+的内部； (3) 22(),Dx y dxdy +⎰⎰ D 由双纽线222222()()(0)x y a x y x +=-≥围成； (4),Dxdxdy ⎰⎰D 由阿基米德螺线r θ=和半射线θπ=围成；(5),Dxydxdy ⎰⎰D 由对数螺线r e θ=和半射线0,2πθθ==围成．11. 在下列积分中引入新变量,u v ，将它们化为累次积分： (1) 2201(,),xxdx f x y dy --⎰⎰若,u x y v x y =+=-；(2) (,)bxa xdx f x y dy βα⎰⎰(0,0a b αβ<<<<)，若,yu x v x==；(3)(,)Df x y dxdy⎰⎰，其中D ＝({},0,0x y x y ≤≥≥，若44cos ,sin x u v y u v ==；(4)(,)Df x y dxdy⎰⎰，其中D ＝(){},,0,0x y x y a x y +≤≥≥ (0a >)，若,x y u y u v +==．12. 作适当的变量代换，求下列积分： (1)22(),Dx y dxdy +⎰⎰D 是由441x y +=围成的区域；(2) (),Dx y dxdy +⎰⎰D 由22224,9,4,9y x y x x y x y ====围成； (3) ,Dxydxdy ⎰⎰ D 由2,4,,2xy xy y x y x ====围成．§3. 三重积分的计算1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) 222,,0z xy x y a z =+==；(2) 2220,z z x y R ==+=； (3) 球面2222x y z a ++=与圆柱面22x y ax +=（0a >）的公共部分；(4) 2222222222221,x y z x y z a b c a b c ++=+= (0z >)；(5) 22222,24949x y x y z z =+=+； (6)22,z x y z x y =+=+．2. 求曲线222222x y xyab c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围成的面积．3. 用柱坐标变换计算下列三重积分：(1)222()Vxy dxdydz +⎰⎰⎰，V 由曲面22,4,16z x y z z =+==围成；(2)3Vdxdydz ⎰⎰⎰, V 由曲面22222229,16,,0x yx y z x y z +=+==+≥ 围成． 4.用球坐标变换计算下列三重积分： (1)(),Vx y z d x d y d z ++⎰⎰⎰ V ：2222R x y z ++≤；(2) 5V dxdydz ⎰⎰⎰, V 由2222x y zz ++=围成；(3) 2Vx dxdydz ⎰⎰⎰，V 由222222,8x y z x y z +=++=围成． 5.作适当的变量代换，求下列三重积分：(1) 22Vx y zdxdydz ⎰⎰⎰，V 由2222,,,,,x y x y z z xy c xy d y x y x a b αβ++======围成的立体，其中0,0a b αβ<<<<； (2) 2Vx yzdxdydz ⎰⎰⎰，V 同(1)； (3)4Vy dxdydz ⎰⎰⎰，V 由22,x az x bz == (0,0z a b ><<)，,x y x y αβ== (0αβ<<)以及(0)x h =>围成；(4) V ⎰⎰⎰，V 由2222221x y z a b c++=围成；(5)120dx dz ⎰．6.求下列各曲面所围立体之体积：(1) 22222,2(),,z x y z x y y x y x =+=+==；(2) 221x y z a b c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,0,0,0,0,0x y z a b c ≥≥≥>>>)．7. 计算下列三重积分：(1) (),Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰ V ：2222xy z a ++≤；(2) ,V zdxdydz ⎰⎰⎰ V 由曲面22,1,2z xy z z =+==所围成；(3) 4(1),Vx dxdydz +⎰⎰⎰V 由曲面222,2,4x z y x x =+==所围成； (4)3,Vxyzdxdydz ⎰⎰⎰ V 是由曲面2221,0,0,0x y z x y z ++====围成的位于第一卦限的有界区域； (5)23,Vxy z dxdydz ⎰⎰⎰ V 由曲面,,0,1z xy y x z x ====所围成；(6) cos(),Vy x z dxdydz +⎰⎰⎰ V 是由0,0y y z ===及2x z π+=所围成的区域．§4. 积分在物理上的应用1．求下列均匀密度的平面薄板的质心：(1) 半椭圆22221,0x y y a b+≤≥；(2) 高为h ，底分别为a 和b 的等腰梯形； (3) (1cos )(0)r a ϕϕπ=+≤≤所界的薄板； (4) 2,2(0)ay x x y a a =+=>所界的薄板． 2．求下列密度均匀的物体的质心：(1) 221,0z x y z ≤--≥；(2) 由坐标面及平面21x y z +-=所围成的四面体； (3) 22,,0,0,0z x y x y a x y z =++====围成的立体； (4)222(0)z x y z =+≥和平面z h =围成的立体；(5) 半球壳22222,0a x y z b z ≤++≤≥． 3．求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1) 边长为a 和b ，且夹角为ϕ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量； (2) 2,1y x y ==所围平面图形关于直线1y =-的转动惯量．4．求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1) 22,1,1,0z x y x y x y z =++=±-=±=关于z 轴的转动惯量； (2) 长方体关于它的一棱的转动惯量；(3) 圆筒2222a x y b ≤+≤，h z h -≤≤关于x 轴和z 轴的转动惯量． 5．设球体2222x y z x ++≤上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量．6．求均匀薄片222R ,0x y z +≤=对z 轴上一点(0，0，c )(c >0)处单位质点的引力．求均匀柱体222,0x y a z h +≤≤≤对于(0，0，c ) (c >h )处单位质点的引力．。
曲线积分和二重积分的区别
曲线积分和二重积分的区别
一般从几何意义上说，二重积分求的是曲面下方和xy平面围成的区域的代数体积。
就如同一元的定积分是曲线和坐标轴围成的曲边梯形的代数面积一样。
而曲面积分，顾名思义，曲面上的积分，不论第一型第二型，都是曲面上做的积分，具体的说，曲面本身就是一个“弯曲的”空间，在这个空间上有他的标架，你在这里面求积分。
这个曲面你“拉直”一些（数学上是做适当的参数变换，表示成适当的参数形式），变成“平直”的空间（也就是变成regular form），最后可以化成一个重积分进行计算。
其实这样看过来，重积分就是一种特别的第一型曲面积分，这个曲面是“平直”的欧式空间而已。
题主问二重积分，那就想象一块平直的板子，每一点处的密度由题主所说的二元函数决定，这个函数就是这块板子的密度函数，这个二重积分就是这块板子的重量。
第一型曲面积分那就是更一般，在一块儿弯弯曲曲的板子上做积分。
第二型曲面积分，那是对向量值函数的积分了。
考研三重积分与一型线面积分笔记
2.dS>0 3.f(x,y,z)是一一个伪三元——f(x,y,z(x,y))
第一一型曲线积分：1.概念2.性质.3.对称性4.计算.5.技巧应用用 1.概念：物理理意义，以f（x，y，z）为线密度的（平面面）空间光滑曲线的质量量 注意 1.第一一型曲线积分是定积分的推广广，定积分定义（积分区域）在“直线段” 而而第一一型曲线积分定义在“曲线段” 2.ds>0，ds具体意义，弧微分。 3.f(x,y)是一一个伪二二元，f(x,y(x)) 2.性质：类比比二二重积分，三重积分（7个，这里里里只写第一一个） ! 求空间曲线的⻓长度（弧⻓长） 3.对称性：普通对称性，轮换对称性 4.计算（牢记：将边界方方程带入入）3种方方法——直接化成定积分，对称性，形心心公式逆用用 直接化成定积分（因其是定积分推广广的）主要是一一投二二代三计算 计算弧微分ds有空间曲线（参数式，对于空间曲线，只能求参数式）与平面面曲线（一一般式，参数式，极 坐标式） 5.技巧应用用： ! 注意将边界方方程带入入被积函数中（因其积分区域为边界） " 普通对称性与轮换对称性 # 形心心公式逆用用 Note：注意，若曲线是空间曲线，则要将其化成参数式，才能用用一一投二二代三计算
先一一后二二投影穿线法，先二二后一一平行行行截面面法（主要适用用于1.如只含有z的f（z）2.截面面为椭圆，圆，三⻆角 形，好求面面积） " 柱坐标 （说白白了了，就是直⻆角坐标的极坐标化）：投影区域极坐标化（先一一后二二投影穿线法） 截面面区域极坐标化 （先二二后一一平行行行截面面法）注意x，y，z的转化，dv的转化，定限注意区分投影区域与截面面区域 # 球坐标： 一一个过程（组合拳），——定三个变量量上下限， 两个记忆——x，y，z的转化与dv的转化 6.技巧应用用 $ 对称性 1.普通对称性与轮换对称性 % 形心心公式逆用用 & 平移变换——将偏心心球化成关于坐标面面对称的标准球 注：1.二二重积分与三重积分的积分区域不不仅是边界还有内部，故无无法把积分区域带入入。 2.直⻆角坐标中先二二后一一平行行行截面面法的适用用于1.如只含有z的f（z）2.截面面为椭圆，圆，三⻆角形，好求面面积 3.柱面面坐标的适用用：1.积分区域为旋转体，如柱体，锥体，旋转抛物体 2.被积函数，出现两个平方方和 （x2+y2） 4.球面面坐标的适用用：1.积分区域为球体，锥体或其一一部分2.被积函数为三个平方方和 5.注意一一个三重积分的常用用公式
二重积分与三重积分区别
二重积分与三重积分区别都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。
一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f2(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]2 dθ = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤φ≤ b、最大范围：0 ≤φ≤π{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r2sin2φ drdφdθ所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。
2016考研数学定积分二重积分三重积分以及曲线曲面积分的联系和区别
2016考研数学：定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分的
联系和区别
定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的重点内容，下面文都考研数学老师帮大家总结一下各种积分的概念和计算方法，便于大家复习时深刻理解它们之间的联系和区别。
定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分它们的定义都是经过分割、近似、求和、去极限四步最后归结为一个特定结构和式的极限值，定义可以用统一形式给出：。
积分学小结——二重积分、三重积分,线积分、面积分
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）
x d x d y d z
x d x
0 1
1 (1 x ) 2
0
0
1 x 2 y
dz
(1 x 2 y )d y
1 1 1 2 3 ( x 2 x x )d x 4 0 48
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , z z.
O
1 x2 x
Y－型区域为：
c yd D ( x, y ) y 1 ( y) x y 2 ( y)
y
特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.
d
x=y1(y)
x=y2(y)
c
x
y
y 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
L
计
f ( x , y )ds
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系
积分是微积分学中最基础的概念，它涉及数学定义、计算方法以及引入空间等概念。
积分可以分为定积分和变积分，其中定积分主要围绕计算定义域中某函数的固定曲线或曲面的线长或面积，而变积分则涉及重积分的概念。
定积分所涉及的概念即是求定义域[a, b]中某函数f(x)在定义域上某条具体曲线或曲面（例如圆、椭圆等）的线长或面积，注意此时函数f(x)已被给定，而无需进行求解和求导等运算，并且可以采用特定的定积分算法（例如梯形积分、抛物积分等）来实现计算。
变积分涉及的概念则和变量多变，其通常指在定义域[a, b]上求函数f(x)的一阶、二阶及其他阶的重积分，通过计算f(x)对x的导数和次导数等，最终算求函数在定义域上某条曲线或曲面的线长或面积。
此外，变积分也可以把问题转化为定积分，从而采取特定的定积分算法实现计算。
从上文概述中可以看出，定积分主要围绕求某函数在定义域中某特定曲线或曲面上的线长或面积，而变积分则涉及函数f(x)的重积分，把求解的问题转化到求解定积分的问题上。
最后，由于重积分可以被视作是定积分的一种特殊形式，因此可以将二者统一起来，将积分一般化到定积分和变积分之间。
积分定积分曲线积分二重积分三重积分曲面积分
设各分点对应参数为 对应参数为
ti t i 1
点 ( i , i ) 即 ( i ,i ) ( ( i ), ( i ))
si
2 2 (t ) (t ) d t
2 2 ( i ) ( i ) t i ,
2 2 2 a k M d s L的质量 L
设重心坐标为 ( x , y , z )
有
2 1 2 2 a a k cos t d t 0 0 M
2 1 2 2 a a k sin t d t 0 0 M 2 1 2 2 k a k t d t 0 M
4R 2 2 R cos R d l 0 3
z
i k
i
c
i 1
k
f i ( x , y ) d s ci f i ( x , y ) d s
i 1 L
2. 若曲线 L 由曲线段 L1 , L2, …, Lk首尾相接而成，
且
Li
f ( x , y ) d s i = 1, 2, …, k 都存在，则 L f ( x , y ) d s
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
b
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
x
0 1
y
y x2
B(1 , 1)
二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
二重积分什么是二重积分？在数学中，二重积分是对一个平面区域上的函数进行求和的一种方法。
这个平面区域可以由直线、曲线或者其他形状所围成。
二重积分可以用来计算平面上的面积、质心、质量等物理量。
二重积分的定义设有一个函数f (x,y )定义在一个闭区域D 上，闭区域D 可以用x =a 和x =b 两条垂直于x 轴的直线以及曲线y =g 1(x )和y =g 2(x )来围成。
那么，函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分可以表示为：∬f D(x,y )dA其中，dA =dxdy 表示微元面积。
二重积分的计算迭代法我们可以通过迭代法来计算二重积分。
具体步骤如下：1. 首先确定x 的取值范围，即确定x =a 和x =b 。
2. 对于每个固定的x 值，在该范围内确定y =g 1(x )和y =g 2(x )。
3. 将函数f (x,y )进行展开，并将其乘以微元面积dA =dxdy 。
4. 对于每个x 值，将得到的函数表达式进行积分，即计算∫f g 2(x )g 1(x )(x,y )dy 。
5. 将上一步得到的结果进行积分，即计算∫∫f g 2(x )g 1(x )b a (x,y )dydx 。
极坐标法在某些情况下，使用极坐标法可以简化二重积分的计算。
具体步骤如下： 1.将x =rcosθ和y =rsinθ代入函数f (x,y )。
2.将微元面积dA =dxdy =rdrdθ代入函数f (r,θ)。
3.确定r 的取值范围和θ的取值范围。
4.将函数f (r,θ)乘以微元面积dA =rdrdθ。
5. 对r 和θ进行相应的积分。
计算平面区域的面积二重积分可以用来计算平面区域的面积。
设有一个闭区域D，则该区域的面积可以表示为：S=∬dDA其中，dA=dxdy表示微元面积。
计算质心质心是一个物体在空间中平衡的位置。
对于一个平面区域，质心可以通过二重积分来计算。
设有一个闭区域D，则该区域的质心可以表示为：x‾=1S∬xDdAy‾=1S∬yDdA其中，S=∬dDA表示区域D的面积。
二重积分和曲线曲面的关系
二重积分和曲线曲面的关系
在数学中，二重积分和曲线曲面之间存在着密切的关系。
二重积分是曲线或曲面上函数的平均值的推广，而曲线曲面则是在三维空间中描述函数变化的对象。
对于一个平面曲线，可以使用一重积分来计算其长度、弧长等性质。
一重积分是对曲线上函数的积分，表示函数在曲线上的加权累积。
例如，如果要计算曲线上一段距离为Δs的弧长，可以将弧长元素ds表示为函数f(x)对x的积分：
Δs = ∫ ds = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx
其中，dy/dx表示曲线的斜率。
而对于一个曲面，如一个闭合曲面或一个简单曲面，可以使用二重积分来计算其面积、体积等性质。
二重积分是对曲面上函数的积分，表示函数在曲面上的加权累积。
例如，如果要计算曲面上一片面积为ΔA的面积，可以将面积元素dA表示为函数f(x, y)对x和y的积分：
ΔA = ∬ dA = ∬ √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy
其中，(∂z/∂x)和(∂z/∂y)表示曲面在x和y方向的斜率。
因此，可以看出二重积分和曲线曲面之间存在着紧密的联系，二者都是对函数在一定区域上的累积性质的描述。
同时，通过二重积分可以计算曲线和曲面的长度、面积、体积等性质。
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2016考研数学：定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分的
联系和区别
定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的重点内容，下面文都考研数学老师帮大家总结一下各种积分的概念和计算方法，便于大家复习时深刻理解它们之间的联系和区别。
定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分它们的定义都是经过分割、近似、求和、去极限四步最后归结为一个特定结构和式的极限值，定义可以用统一形式给出：。