正弦定理解三角形

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解三角形(1)---正弦定理

解三角形(1)---正弦定理【定理推导】如图1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：（1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？（2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？如图1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c==,则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==。

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况）如图1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin abAB=，同理可得sin sin cbCB=，从而sin sin abAB=sin cC=思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+则()j AB j AC CB ⋅=⋅+ ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA C证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===，同理：sin b B =2R ，sin cC＝2R同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC==类推：当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美（一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1：利用正弦定理公式原型解三角形题型2：利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3：三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题：例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

正弦定理、解三角形

解三角形[前言]1.三角形的构成要素是三条边与三个角，所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用，却只关注边且为不三角形，即根据已知条件求边的长短与角的大小；等关系，没有体现角；多数情况中，该性质作为判求解的方法，不再是传统意义上的尺规测量，而是段三角形构成的条件；借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用，尽管同时涉及角长度，正是“解铃还须系铃人”；与边，但体现的是不等关系；④⑤⑥这几条性质不能推广，针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质，常见的可概括为以下几条：角形适用；①内角和定理：三个内角相加之和为180°； ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题，往往不在 ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解三角形的范畴③大角对大边，小边对小角；综括上述性质的特征：④勾股定理：a 2+b 2=c 2；解三角形所采用的性质必须满足四点要求：(1)对 ⑤在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半所有的三角形均适用；(2)必须为等式；(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形角的参与；(4)必须有边的参与.满足四点要求的性三条边相等，三个角相等；质有正弦定理与余弦定理，即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，斜边长为外接圆的直径； 3.所谓角已知，不见得已知角的度数，凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之弦值、余弦值、正切值已知，即为角已知；在解三和等等；角形中，求角的大小，也不见的求角的度数，可以比较上述性质：是角的某一个三角函数值，原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用，但只体现了角不囿于锐角或者特殊角. 的关系，不能解决有关边的问题；[正弦定理]1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sinA =b sinB =c sinC 其中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形，同理可证. 2.几何意义：对任意一个∆ABC 中，均有：对于任意一个三角形，对边与对角正弦的比值是三角形外接圆的直径，借助于正弦定理可求三角形外接圆的半径. 3.正弦定理的变形：正弦定理建立了对角与对边间的关系，通过正弦定理可实现角与边的转换. 使用该变形，可将边转化为角，已知条件随之体现为角与角间的关系；处理角间的关系，需要与内角和定理、两角和差公式、二倍角公式等配套应用.使用该变形，可将角转化为边，已知条件也转化为边与边间的关系；处理边间的关系，往往应用余弦定理.4.一些常见的结论：①在∆ABC 中，三内角A 、B 、C 间有以下关系： sinA =sin (B +C) sinB =sin (A +C) sinC =sin (A +B)cosA =−cos (B +C) cosB =−sin (A +B) cosC =−cos (A +B)②在∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 与对边a 、b 、c 间有以下关系：sinA:sinB:sinC =a:b:c a+b+c sinA+sinB+sinC =2R ②根据内角和定理求第三角.需分两种情况：其一若已知角与所求角以具体的度数形式表示，则第三角也以度数形式表示大小；其二，若已知角与所求角至少有一个以三角函数值的形式表示，则第三角也将以三角函数值的形式表示，优先选择求第三角的正弦值，同时需要借助两角和差公式； ③再结合正弦定理求出第三边的长度.【例1】(2018∙南通市高三二调)在∆ABC 中，已知AB =1，AC =√2，B =45°，则BC 的长为_________. 解析：由正弦定理可得：ABsinC =ACsinB 即1sinC =√2sin45° 所以sinC =12因为C ∈(0°，180°) 所以C =30°或150°当C =150°时，B +C =195°>180°(舍去) 所以C =30° A =105° 由正弦定理得：AC sinB =BCsinA =2 所以BC =2sin105°=√6+√22【例2】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且A =π4，a =6，b =8，则c =( )A.4√2−2或4√2+2B.4√2−2C.4√2+2D.4 解析：由正弦定理可得：a sinA=b sinB即sinB =2√23∵ sin 2B +cos 2B =1 ∴cosB =±13当cosB =13时，∵A +B +C =π∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4+√26由正弦定理可得：a sinA =csinC即c =6√2sinC =4√2+2 当cosB =−13时，∵A +B +C =π ∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4−√26由正弦定理可得：a sinA =c sinC√2sinC √2题型二两角一边解三角形已知条件为两角一边模式，采用正弦定理解三角形；相较与两边一角解三角形(存在对角对边关系)，难度要低些，且只有一组解. ①利用内角和定理求出第三角.分两种情况，若已知两角的度数，所求为第三角的度数；若已知两角的三角函数值，所求为第三角的三角函数值，优先考虑角的正弦值，若为余弦值或正切值，需利用同角三角函数关系式转化为正弦值，注意，作为内角，其正弦值一律取正； ②根据正弦定理，求出余下两边的长度. 【例3】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，cosC =513，a =1，则b =____________.解：∵ cos 2A +sin 2A =1且cosA =45∴sinA =35 或sinA =−35(舍)同理可得：sinC =1213∵A +B +C =π ∴sinB =sin (A +C)即sinB =sinAcosC +cosAsinC =6365 由正弦定理可得： asinA=bsinB 故b =2113 答案：2113题型三角边互换思想的应用利用内角和定理及诱导公式、两角和差公式消角；消角时尽量选择相对独立的角. 【例4】[2016∙高考全国卷乙]∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (acosB +bcosA ) =c ，求角C .解析：由正弦定理可知：a =2RsinA ，b =2RsinB c =2RsinC ∵ 2cosC (acosB +bcosA )=c ∴2cosC (sinAcosB +sinBcosA )=sinC 即2cosCsin (A +B )=sinC ∵A +B +C =π ∴sin (A +B )=sinC∴2cosCsinC =sinC ∵sinC >0(内角的正弦值为正) ∴cosC =12 故C =π3【例5】已知∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，asinA +csinC −√2asinC =bsinB ,求角 B .解析：角边互换中，若将边化为角，则次数将为二次，正弦定理中次数为1，余弦定理中次数为二次，选择将角化边使用余弦定理解题.由正弦定理知：sinA =a2R ，sinB =b2R ，sinC =c2R ∵asinA +csinC −√2asinC =bsinB∴ a 2+c 2−√2ac =b 2 即a 2+c 2−b 2=√2ac∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =√2ac2ac =√22∴B =π4Cb a h aA D B一种情况是将高逆时针旋转所得∆ABC一种情况是将高顺时针旋转所得∆ADC④若角A的对边大于角A的邻边即a≥b>bsinA，只有一解，如图所示：b h aA另外一种情况如虚线表示，已将角A由内角变为外角不合题意故舍去.当角A为钝角时，若角A的对边大于邻边则有一解否则无解.【例6】不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a=5，b=4，A=120°；(2)a=7，b=14，A=150°；(3)a=9，b=10，A=60°.解析：(1)∵A为钝角且a>b∴ 满足条件的三角形只有一个；(2)∵A为钝角且b>a∴根据大角对大边应有B>A一个三角形中不会有两个钝角故无解；(3)角A所对的高h=bsinA=10sin60°=5√3∵5√3<a<b ∴ 满足条件的三角形有两个.【模拟练习】1在∆ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2ccosA+a=2b，则角C=____________.2在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c;若acosB+bcosA=csinA，则∆ABC的形状为_________.3.在∆ABC中，a=3，b=2√6，B=2A，则C=____.4.已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且√3ac =cosA+2sinC，则角A=________.5.在∆ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=√2，则∠C的值为________.6.[江苏省苏锡常镇四市2018届调研]设三角形∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−bb，则cosA=_________.。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。

如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

解三角形

A.5( 6 2 ) B.5( 6 2 )
C .10( 6 2 ) D.10( 6 2 )
典例:
例1：在△ABC中，∠B=450，AC= cosC= 2 5
5
（1）求BC边的长
10 ，
（2）记AB的中点为D，求中线CD的长度
例2：
在ABC中，m

(cos
C
,

sin
C
),n

(cos
（4）余弦定理的变式：cos C a2 b2 c2 2ab
（5）三角形面积公式：SΔ

1 ah
2
,
SΔ

1 ab sinC
2
（6）在△ABC中，易推出： ① sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),
tanA=-tan(B+C)
② sin A cos B C , cos A sin B C ,
解斜三角形
知识要点归纳
（1）正弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
（3）正弦定理的变式：
a=2RsinA b=2RsinB
sin A a sinB b
2R
2R
c=2RsinC.
sinC c 2R
a : b : c sin A: sinB : sinC
基础训练: 1、在△ABC中, 若A 600，a 4 3,b 4 2
则B=
。
2、在△ABC中, a=6,b= 6 3 ,A=300
则边c=
。
3、在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2:3:4, 则CosB=_________

(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。

二、正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在△ABC 中， R Cc B b A a 2sin sin sin ===。

（外接圆圆半径）在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)(4)三角函数的恒等变形。

(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（6）(边化角公式）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（7）(角化边公式） ::sin :sin :sin a b c A B C =（8）sin sin sin (9),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === （10）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abcR C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径），（∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinCa=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2- 2﹒a ﹒b=a 2+b 2- 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2.►变式训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．►变式训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．CABa cb【当堂训练】1、在三角形ABC 中, 如果B A cos sin =, 那么这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形或钝角三角形2、在△ABC 中，“︒A>30”是“1sinA>2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、在△ABC 中，已知B=30°, ，那么这个三角形是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4、设A 是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≥3 B ．a ＞－1 C ．－1＜a ≤3 D ．a ＞05、在△ABC 中，a,b,c,分别是三内角A 、B 、C 所对的边，若B=2A ，则b:a 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．()1,2C ．()1,1-D ．()0,16、在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A<B<C ，则cos cos A C 的取值范围是（） A ．11,24⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭7、在A B C ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和12c b =+A ∠和B tan 的值．8、已知ABC ∆的三边a 、b 、c 成等比数列，且cot cot A C +=，3=+c a ．（1）求B cos ；（2）求ABC ∆的面积．【家庭作业】一、填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________ 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABC Δ中，若2cos cos sin cos cos sin sin sin =+++B A B A B A B A ，那么三角形的形状为_______________4．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________ 5．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则=++++Csin B sin A sin c b a 6．在锐角ABC Δ中，若11-=+=t B tan ,t A tan ，则t 的取值范围是__________ 7．在ABC Δ中，若1222=-+Csin B sin Asin C sin B sin ，则=A ________________8．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是__________________ 9．(A)在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________(B) 已知A B C π++=，且sin cos cos A B C =⋅，则在cot cot tan tan B C B C ++、、s i nB+s i nC 及cos cos B C +中必为常数的有_________ 10．(A)在ABC Δ中，21==a ,c ，则C 的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是()2223,33,20a a a a a a ++++>，则三角形的最大角等于______________ 二、选择题11．在ABC Δ中，B cos A cos B sin A sin +=+是2πC =（） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在ABC Δ中，若543::C sin :B sin :A sin =则此三角形是（） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13．在ABC Δ中，若232222b A cosc C cos a =+，那么其三边关系式为（） A.c b a 2=+ B. b c a 2=+ C.a c b 2=+ D. b c a 322=+14．(A)在ABC Δ中，c ,b ,a 为三角形三条边，且方程02222=++-b a cx x 有两个相等的实数根，则该三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于x 的方程2cos cos 1cos 0x x A B C +⋅-+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC Δ是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形三、解答题15．在ABC Δ中，若22Acos C sin B sin =，试判断三角形的形状16．在ABC Δ中，若()()ac c b a c b a =+-++，求B 。

解三角形

石器时代2.5 http://www.shiqi.co/ 石器时代2.5
这一名称是英国考古学家卢伯克于1865年首先提出的，这个时代在地质年代上已进入全新世。石器时代只是个时间区段概念，石器时代并不代表那个时候的人类只会使用石器；据近代考古出土大量的文化遗存表明，几千年前的古人已经步入冶铸、稻作、制陶、纺织等文明时期。青铜、铁器为金属品，遗存几千年的较少；陶器、玉器可存时间长，出土的遗存较多。去！”明秀蹙眉道：“这怎么好？你看，要末搬到我那里去？”“四姐！”宝音感铭肺腑。“其实奶奶也未必会劝你换个地方养病，”明秀道，“毕竟以我愚见，病人似乎不宜挪床。但老太太这院子邻着湖，水气大是真的。你看罢，万一真要你换个院子，你不愿回你自己的，就尽管到我那里去得了。”按按宝音的手，“没事，自家姐妹，应该的。”这时候新药已经煎得，筱筱也把明秀的替换衣裙换过来了，明秀就在宝音屋中换了一身，没再坚持给宝音喂药。宝音自己喝药，少不得又是嫌苦、又是咳嗽、作态了一番。明秀反复劝慰，起身告辞了。明柯已把杨琴搬走。明柯看着小厮搬了杨琴，树影下略立一立，看见另一条路上，明蕙来了。明蕙看起来挺急的样子，埋头赶路，步伐匆匆，不像从前一边顾着姗姗的仪态、一边还四处瞟人。明柯考虑一下，没有躲起来，而是扬声道：“七妹妹！”“五哥！”明蕙赶紧的越过花径树影给他行礼，看看周围没杂人，敢直说，“我舅舅托我谢你，我那几个不争气的表兄弟多承您安置了！”“谢仪昨日就收到了。”明柯答礼，“妹妹何必这么客气。”明蕙陪笑。好容易见着明柯，她是想多寒喧几句，争奈又急着找明秀。明柯倒是看出她的急来了，有意还逗她几句，说了会儿宝音的病，才道：“我还有事，只好先走了。有空一定与七妹妹多聊聊。”明蕙如蒙大赦，辞别了，一径往明秀这儿来，丫头迎住她，抱歉的讲，四在更换衣裳，只好请七等等。明蕙便看看壁上挂的一幅时人新写的草字，认了一会儿，十四个字总算都认全了，乃是“疏枝亦可临江钓，高处唯能对佛言”，又去念署名，辨了半天只辨出一个“澹”字，底下又似“台”、又似“名”，铁画银勾，一派糊涂，便丢开了，扶着窗前芍药曲栏，去看檐下云石架上摆的青石盆子，却是几个月前用过的盂兰盆，这会儿里头不塞珍宝玩物了，洗涤干净，满满储一盆清水，水里养了两条筷子长的玉色鱼儿。旁边假山细泉泻下来，溅些银珠在青石盆里，一双鱼儿就齐齐翻了个水花。水花外，明蕙听见极细的衣履声，回头，明秀来了，月黄衫子，外罩赤针纹彩旋袄，下系浅绛罗裙，裙底蹑真红珠履，衬那亭亭玉立的身材，好不俊秀清丽。“四姐姐！”明蕙如见了九天仙女儿，赶紧上前迎住，满腔的话就待喷出来。“七妹七妹，叫你等久了吧？”明秀一脸温婉和无可奈何，“真真的对不住，偏叫你赶上这时候。”“四姐姐怎么这时候要换身衣裳呢？”明蕙只好把自己的事咽回去，先关心明秀。“前头去笙妹妹那儿了。”明秀道，“你听说了吧？她喀血了，当时还吐了大哥一身呢。”“难道她又吐姐姐身上了！”明蕙吃惊。第三十八章凭尽栏杆说元夜（5) “那倒不至于，”明秀摇头，“误把

三角函数的正弦定理

三角函数的正弦定理正文：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边或角的重要工具之一。

它是基于三角形中的正弦关系而推导得出的定理。

在本文中，我们将介绍三角函数的正弦定理的原理、公式及其应用。

1. 定理原理正弦定理的原理基于三角形中的正弦关系。

对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。

根据正弦关系，我们可以得到以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c2. 定理公式根据正弦定理的原理，我们可以推导出三角形的任意一边与其对应角的关系。

具体地，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC或者写成等价的形式：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，a、b、c分别代表三角形ABC的边长，A、B、C分别代表对应的内角。

3. 定理应用正弦定理在解决三角形中未知边或角的问题上起到了重要的作用。

通过运用正弦定理，我们可以根据已知条件求解未知量。

以下是几个应用正弦定理的例子：例一：已知三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60度，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin60 = 8/sin(180-60-60)解方程得到x ≈ 6.93cm，因此第三边长度约为6.93cm。

例二：已知三角形的两边长度分别为9cm和12cm，夹角为45度，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin45 = 12/sin(180-45-90)解方程得到x ≈ 9.9cm，因此第三边长度约为9.9cm。

通过以上例子，我们可以看到正弦定理在求解未知边长时的应用。

对于更复杂的问题，我们可以通过将已知条件代入公式进行计算。

总结：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边长或角度的重要工具。

通过使用该定理，我们可以通过已知条件求解未知量。

在实际应用中，我们可以运用正弦定理解决各种三角形相关的问题。

因此，熟练掌握正弦定理对于解题非常重要。

解三角形最全知识点总结

解三角形正弦定理要点1 正弦定理在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.要点2 解三角形三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题1.已知两角及一边解三角形，只有一解.2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.方法1:计算法.方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：要点3 正弦定理的变式CB A c b a sin :sin :sin ::)1(=RA aC B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )2(==++++=++=++=++A c C aB cC b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===B Cb A C ac A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===要点5 常用结论1．A ＋B ＋C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a<bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解个数无解一解两解一解一解无解（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===要点4 三角形的面积公式 Bac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆题型一解三角形例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝233，求B ；(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.题型二判断三角形解的个数(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围【解析】例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°sin30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×222＝32.又0°<A<180°，且a>b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝bsinAa＝233×322＝22.∵a ＝2＝323>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×323＝23>1.∴这样的角B 不存在．练习(1)A ． (2) B. (3)2<x<2 2题型三判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2tanA ，试判断△ABC 的形状．(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ；(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosCc.【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2sinAcosA.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2BsinAcosA.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由已知a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°，C ＝90°－B.由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝22(负值舍去)．∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．(3)由已知，得cosA sinA ＝cosBsinB.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．题型四正弦定理中的比例性质例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋csinA －2sinB ＋sinC.(2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ．【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3题型五三角形的面积公式例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长．(3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos .(4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝23.，∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解．①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2C ＝53，sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝16(5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×16(5＋23)＝5＋23；②当角C 为钝角时，cosC ＝－53，sinB ＝sin(150°－C)＝16(23－5)， ∴S △A B C ＝12acsinB ＝23－ 5.综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5.(2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.(3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.(4)因为cosB ＝2cos 2B2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45.所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余弦定理要点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=要点2 余弦定理的推论bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状是锐角三角形是锐角是钝角三角形是钝角是直角三角形是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A cb a∆⇒⇔+∆⇔⇔+>∆⇔⇔+=<222222222要点4 利用余弦定理可以解决的问题（1）已知两边和夹角解三角形（2）已知两边及一边的对角解三角形（3）已知三边解三角形题型一已知两边和夹角解三角形例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.【解析】方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3.∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A<180°，∴A ＝30°.题型二已知两边及一边的对角解三角形例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a.（2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形．【解析】（1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinBb＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二：由b<c ，B ＝30°，b>csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33×123＝32.∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.（2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2－22ccos45°， c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3.cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32.∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.题型三已知三边解三角形例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC.【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A<180°，∴A ＝120°.∴sinA ＝sin120°＝32. 由正弦定理，得sinC ＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314. 题型四判断三角形的形状例4 （1）在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．（2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC的形状．【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c.又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC，∴cosA ＝sinBsinC .∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC.∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．（2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝cb.由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc.即c 2＝b2＋c 2－a 2，∴a ＝b.又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)．又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B.又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab.即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12.而0°<C<180°，∴C ＝60°.又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．1．2 应用举例(第一课时)解三角形的实际应用举例要点1 基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．要点2 仰角和俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，要点3 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.要点4 方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°；正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．要点5 坡度坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值.要点6 测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinCsin（B＋C）①AC＝asin∠ADCsin（∠ACD＋∠ADC）②BC＝asin∠BDCsin（∠BCD＋∠BDC）③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB要点7测量高度的基本类型及方案类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝a1tan∠ACB－1tan∠ADBAB＝asin∠BDC×tan∠ACBsin（∠BCD＋∠BDC）题型一有关距离问题例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【解析】如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km.题型二测量高度例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m.题型三测量角度例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．【解析】如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.1．2 应用举例(第二课时)题型一有关面积问题三角形面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝12 ac sin B .(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )．(4),))()((c p b p a p p S ---=其中2cb a p ++=例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝12，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0<B<π2.∴sinB ＝55，cosB ＝255.又∵tanC ＝－2，∴π2<C<π.∴sinC ＝255，cosC ＝－55.则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵a sinA ＝b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35b 2·255＝1. 解得b ＝153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝2153. ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2＝25π12.（2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4. ①∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2－12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a.又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233题型二正余弦定理的综合问题例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.①求A 的大小；②求sinB ＋sinC 的最大值．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°.②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋12sinB ＝sin(60°＋B)．故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1.(2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理，得sinB ＝bc sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4.例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值；②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.(2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.题型三证明恒等式例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sinC.(2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2－b2c .(3)已知在△ABC 中，a 2＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B.【证明】 (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，两式相减，得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bccosA ＋2cacosB.∴a 2－b 2c 2＝acosB －bcosAc.由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ）sinC .(2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－b2c ＝右边．(3)方法一：∵a 2＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2A ＝sinB(sinB ＋sinC)，即sin 2A －sin 2B ＝sinBsinC. ∴cos2B －cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC.又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝b （c 2＋bc ）ac ＝b （b ＋c ）a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2＝b(b ＋c)，知a 2＝b 2＋c 2. ∴B ＝C ＝π4，A ＝π2，∴A ＝2B.。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

正弦定理三角形解的个数问题

正弦定理三角形解的个数问题1. 引言大家好，今天我们要聊的可是个既有趣又让人挠头的问题，那就是正弦定理在三角形解的个数上的奥秘。

听起来可能有点复杂，但别担心，我会把它说得通俗易懂。

正弦定理，简单说就是在一个三角形里，任意一边的长度与它对角的正弦值成比例。

想象一下，三角形就像我们生活中的各种关系，千变万化，却又有些固定的规则，今天就来看看这些规则背后的故事。

2. 正弦定理的基本概念2.1 正弦定理是什么？首先，正弦定理是个非常好用的工具。

当我们知道一个三角形的两边和一个角时，我们就能找到其他边和角。

是不是很酷？比如说，咱们有个三角形ABC，已知边a、b 和角C，这时候就可以用正弦定理来找出其他的边和角。

就像在拼图，先有几个关键的拼块，再把其他的慢慢拼上去，最后形成一个完整的图案。

2.2 为何解的个数很重要？那么，解的个数究竟有多重要呢？想象一下，你在计划一次旅行，手里有几种选择的路线。

每一条路线都能带你去不同的目的地，这就是三角形解的个数的重要性。

可能出现一个解、两个解，甚至没有解！每个解都代表了不同的可能性，仿佛生活中那些看似平常却充满变数的选择。

3. 解的个数分析3.1 一解、二解和无解的情况接下来，我们要深入探讨一下正弦定理带来的这些解的个数。

一开始，如果你有一个边和两个角，基本上可以确定出一个独特的解，没啥争议。

但是，假如你只有两个边和一个角，那就有点意思了。

有时候，你可能会得到两个解！就像是双胞胎，虽然看上去一样，却有着各自不同的命运。

再比如，如果你发现某个角的对边比其他边的长度大，那就可能没有解，简直像一场失落的约会，让人心碎。

3.2 三角形的不唯一性再往深了说，三角形的解并不总是那么简单。

想想你喜欢的电影，有时候结局不止一个！在正弦定理中，特别是在不规则的三角形中，解的个数可以变得复杂得多。

有时我们需要考虑三角形的内外角，甚至需要引入余弦定理来帮助我们。

这就像你在厨艺比赛中，突然发现你的秘方需要调配出两道菜，真是让人措手不及！所以，准备好应对各种情况，才能在这个数学的迷宫中游刃有余。

高考第30课正弦定理与解三角形

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第30课正弦定理与解三角形【自主学习】第30课正弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P7例1改编)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2b sin A，则角B=.【答案】π6【解析】由正弦定理，可得sin A=2sin B sin A，sin B=12.由B为锐角，得B=π6.2.(必修5P8练习1改编)在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，那么AC=.【答案】46【解析】利用正弦定理AC B sin =BCA sin ，得AC =46.3.(必修5P 11习题6改编)在△ABC 中，若a =2，b =3，C =π6，则△ABC 的面积为 .【答案】32【解析】S △ABC =12ab sin C =12×2×3×12=32.4.(必修5P 7例2改编)在△ABC 中，若a =43，c =4，C =30°，则角A = . 【答案】60°或120°【解析】由正弦定理sin a A =sin c C ，得sin A =sin a C c =14324⨯=32，所以角A =60°或120°.5.(必修5P 10练习5改编)在△ABC 中，若A =60°，a =3，则sin sin a bA B ++= .【答案】2【解析】由正弦定理sin a A =sin b B =2R ，得sin sin a b A B ++=2R =332=2.1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理：sin a A =sin b B =sin cC =2R (其中R 为△ABC 的外接圆的半径，下同).变式：(1)a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；(2)sin A =2a R ，sin B =2b R ，sin C =2cR ；(3)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)sin a A =sin b B =sin c C =sin sin sin a b cA B C ++++(合比性质).2.利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法. 如：已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时解的情况如下： ①若A 为锐角，则a <b sin A 无解a =b sin A 一解b sin A <a <b 两解a ≥b 一解②若A 为直角或钝角，则a ≤b 无解a >b 一解3.由正弦定理，可得三角形面积公式：S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =4abc R =12r (a +b +c )(r 为内切圆半径).4.三角形内角定理的变形：由A +B +C =π，知A =π-(B +C )，可得出： sin A =sin(B +C )，cos A =-cos(B +C ).而2A =π2-2B C +，有sin 2A =cos 2B C +，cos 2A =sin 2B C +.【要点导学】要点导学各个击破利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，已知b =a sin C ，c =a sin B ，试判断△ABC 的形状. 【思维引导】减少角或边的个数，本题可减少边a ；边角化为同一形式，如题中可把边化为角；高次可降次，如题中的单角化为倍角等.【解答】由b =a sin C ，c =a sin B ，得b c =sin sin CB .由正弦定理得sinsinBC=bc=sinsinCB，所以sin2B=sin2C.所以1-cos22B=1-cos22C，所以cos 2B=cos 2C.又B，C是三角形的内角，所以2B=2C，所以B=C.由b=a sin C，得sin B=sin A·sin C，所以sin A=1，所以A=π2，所以△ABC是等腰直角三角形.【精要点评】三角形形状的判断方向主要有等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形等；主要的判断方法是借助三角函数中的各个定理及运算公式，考查边角的等量关系等.变式在△ABC中，已知a=2b cos C，求证：△ABC为等腰三角形.【解答】因为a=2b cos C，所以由正弦定理，得2R sin A=4R sin B cos C，所以2cos C sin B=sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C.所以sin B cos C-cos B sin C=0，即sin(B-C)=0，所以B-C=kπ(k∈Z).又B，C是三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形.利用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，根据下列条件解三角形： (1)c =6，A =45°，a =2； (2)c =2，A =45°，a =2； (3)c =3，A =45°，a =2.【思维引导】三小题均属于“已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，要先求sin C .【解答】(1)因为c =6，A =45°，a =2，所以由sin a A =sin cC ，得sin C =32.所以C =60°或C =120°.当C =60°时，B =75°，b =sin sin c BC =006sin75sin60=3+1；当C =120°时，B =15°，b =sin sin c BC =006sin15sin60=3-1. (2)同(1)可得sin C =12，所以C =30°或C =150°.又因为C +A <180°，所以C =150°不符合要求.所以C =30°，B =105°，b =sin sin a B A =02sin105sin45=3+1.(3)同(1)可得sin C =324.因为324>1，所以此三角形无解.【精要点评】解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，也不可能无解；对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.例3(2015·湖南卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b tan A.(1)求证：sin B=cos A；(2)若sin C-sin A cos B=34，且B为钝角，求A，B，C.【思维引导】(1)由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sincosAA=sinsinAB，所以sin B=cos A；(2)根据两角和公式化简所给条件可得sin C-sin A cos B=cos A sin B=3 4，进而可得sin2B=34，结合所给角B的范围可确定角B的大小，进而可得角A的大小，由三角形内角和可得角C的大小.【解答】(1)由a=b tan A及正弦定理，得sincosAA=ab=sinsinAB，所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin A cos B=sin[180°-(A+B)]-sin A cos B=sin(A+B)-sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B =cos A sin B，所以cos A sin B=3 4.由(1)知sin B=cos A，因此sin2B=3 4.又因为B为钝角，所以sin B=3 2，故B=120°，由cos A=sin B=32知A=30°，从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述，A =30°，B =120°，C =30°.【精要点评】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；当以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.变式设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A -C )+cos B =1，a =2c ，求角C 的大小.【解答】由B =π-(A +C )，得cos B =-cos(A +C ). 于是cos(A -C )+cos B =cos(A -C )-cos(A +C ) =2sin A sin C ，由已知得sin A sin C =12. ①由a =2c 及正弦定理得sin A =2sin C . ②由①②得sin 2C =14，于是sin C =-12(舍去)或sin C =12. 又因为a =2c ，所以C =π6.利用正弦定理解三角形的面积问题例4 (2015·徐州、连云港、宿迁三检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C =13，sin A =2cos B .(1)求tan B 的值；(2)若c =5，求△ABC 的面积.【解答】(1)因为cos C =13，C ∈(0，π)，所以sin C =223.因为A +B +C =π，所以sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =13sin B +223cos B ，所以13sin B +223cos B =2cos B ，即13sin B =23cos B ，所以tan B =2. (2)由(1)知tan B =2，所以sin B =63，cos B =33. 由正弦定理得sin b B =sin cC ，所以b =63×5223=152.又因为sin A =2cos B =63，所以△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×152×5×63=524.变式 (2014·南京一调)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c =-3b cos A ，tan C =34.(1)求tan B 的值；(2)若c =2，求△ABC 的面积.【解答】(1)由正弦定理得sin C =-3sin B cos A ，即sin(A +B )=-3sin B cos A .所以sin A cos B +cos A sin B =-3sin B cos A . 从而sin A cos B =-4sin B cos A . 因为cos A cos B ≠0，所以tan tan AB =-4. ①又tan C =-tan(A +B )=tan tan tan tan -1A B A B +=34，将①变形代入得23tan 4tan 1B B +=34，解得tan B =12.(2)由(1)得sin B =55，tan A =-2，所以sin A =255，由tan C =34，得sin C =35.由正弦定理得a =sin sin c AC =252535⨯=453.所以△ABC 的面积为S =12ac sin B =12×453×2×55=43.1.(2015·福建卷)在△ABC 中，已知AC =3，A =45°，C =75°，则BC = . 【答案】2【解析】由题意得B =180°-A -C =60°，由正弦定理得sin AC B =sin BC A ，则BC =sin sin AC A B ⨯，所以BC =23232⨯=2.2.在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b .若2a sin B =3b ，则角A = .【答案】π3【解析】因为2a sin B =3b ，所以2sin A sin B =3sin B .因为sin B >0，所以sin A =32，又因为A 为锐角，所以A =π3.3.若sin A a =cos B b =cos Cc ，则△ABC 的形状是 .【答案】等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入所给等式，可得tanB =tanC =1，注意到A ，B ，C 是△ABC 的内角，所以B =C =π4，从而△ABC 是等腰直角三角形.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，B =π6，C =π4，则△ABC的面积为 . 【答案】1+3【解析】在△ABC 中，由正弦定理得c =sin sin b CB =22212⨯=22.又因为A =π-(B +C )=π-π6-π4=7π12，所以sin A =264+，S △ABC =12bc sin A =12×2×22×264+=3+1.5.(2015·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B =33，sin(A +B )=69，ac =23，求sin A 和c 的值. 【解答】在△ABC 中，由cos B =33，得sin B =63. 因为A +B +C =π，所以sin C =sin(A +B )=69，因为sin C <sin B ，所以C <B ，C 为锐角，cos C =539.因此sin A =sin(B +C ) =sin B cos C +cos B sin C=63×539+33×69=223.由sin a A =sin c C ，可得a =sin sin c AC =22369c =23c ，又ac =23，所以c =1.【融会贯通】融会贯通能力提升在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c cos B +b cos C =4a cos A .(1)求cos A 的值；(2)若△ABC 的面积是15，求AB ·AC 的值. 【思维引导】【规范答题】(1)利用正弦定理sin a A =sin b B =sin cC ，得sin C cos B +sin B cos C =4sin A cos A ，……………………3分所以sin(B +C )=4sin A cos A ，即sin A =4cos A sin A ，……………………5分因为sin A ≠0，所以cos A =14……………………………………7分(2)由(1)得sin A =154，…………………………………9分由题意得S △ABC =12bc sin A =15，……………11分所以bc =8，……………………………………………………12分所以AB ·AC =bc cos A =2…………………………………14分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第59~60页.【检测与评估】第五章解三角形第30课正弦定理与解三角形一、填空题1.在△ABC 中，A=60°，a =43，b =42，则角B 的大小为 .2.在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B<sin 2C ，则△ABC 的形状是 .3.(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a =2b ，则2222sin -sin sin B AA 的值为 .4.在△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2，c =3，A=45°，则角C= .5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sinBcosC+c sinBcosA=12b ，且a >b ，则角B= .6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b cos C+c cos B=2b ，则ab = .7.在△ABC 中，AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC 的面积等于 .8.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cosC+c cosB=a sinA ，则△ABC 的形状为 .二、解答题9.(2014·全国卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cosC=2c cos A ，tan A=13，求角B 的大小.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B-b cos A=35c ，求tan tan AB 的值.11.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C+3a sin C-b -c =0. (1)求角A 的大小；(2)若a =2，△ABC 的面积为3，求b +c .三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos -3cos cos A C B =3-c a b ，则sin sin CA 的值为 .13.在△ABC 中，已知A=π3，BC=3，则△ABC 的周长的最大值为 .【检测与评估答案】第五章解三角形第30课正弦定理与解三角形1. 45° 【解析】由正弦定理，可得sin a A =sin b B ，即sin B=sin b Aa =22，注意到内角和为180°，且a>b ，所以B=45°.2. 钝角三角形3. 72 【解析】由正弦定理及3a=2b 得2222sin -sin sin B A A =2222-b a a =22232-2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2229-2a aa =72.4. 60°或120° 【解析】在△ABC 中，由正弦定理可得sin a A =sin cC ，即02sin45=3sin C ，解得sin C=32，所以C=60°或120°.5. π6 【解析】由正弦定理及a sin B cos C+c sin B cos A=12b ，得sin B (sin A cos C+sin C cos A )=12sin B ，即sin 2B=12sin B ，故sin B=12.又因为a>b ，所以A>B ，B=π6.6. 2 【解析】利用正弦定理，将b cos C+c cos B=2b 化简得sin B cos C+sin C cos B=2sin B ，即sin(B+C )=2sin B.因为sin(B+C )=sin A ，所以sin A=2sin B ，利用正弦定理化简得a=2b ，故ab =2.7. 32或34 【解析】由正弦定理有sin AC B =sin ABC ，得sin C=32，即C=60°或120°，则A=90°或30°，所以△ABC 的面积为32或34.8. 直角三角形【解析】由b cos C+c cos B=a sin A 结合正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A ，即sin A=1，所以A=90°.9. 由题设及正弦定理得3sin A cos C=2sin C cos A ，故3tan A=2tan C.因为tan A=13，所以tan C=12，所以tan B=tan[180°-(A+C )]=-tan(A+C )=tan tan tan tan -1A CA C +=-1. 因为B ∈(0，180°)，所以B=135°.10. 由a cos B-b cos A=35c 及正弦定理得 sin A cos B-sin B cos A=35sin C ，即sin A cos B-sin B cos A=35sin(A+B )，即5(sin A cos B-sin B cos A )=3(sin A cos B+sin B cos A )，即sin A cos B=4sin B cos A ，因此tan A=4tan B ，所以tan tan AB =4.11. (1) 由正弦定理及已知得sin A cos C+3sin Asin C=sin B+sin C ⇔sin A cos C+3sin A sin C=sin(A+C )+sin C ⇔3sin A-cos A=1⇔sin(A-30°)=12⇔A=60°或180°(舍去).(2) S=12bc sin A=3⇔bc=4. a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇔b+c=4.12. 3 【解析】由正弦定理sin a A =sin b B =sin cC ，得cos -3cos cos A C B =3-c a b =3sin -sin sin C A B ，即(cos A-3cos C )sin B=(3sin C-sin A )·cos B ，化简可得，sin(A+B )=3sin(B+C )，又知A+B+C=π，所以sin C=3sin A ，因此sin sin C A =3.13. 9 【解析】由正弦定理得sin AB C =sin AC B =sin BCA =3πsin3=23，所以AB=23sin C ，AC=23sin B ，所以△ABC 的周长y=AB+AC+BC=23(sin B+sin C )+3=22π3sin sin -3B B ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+3=6sin π6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+3.因为0<B<2π3，所以π6<B+π6<5π6，所以12<sinπ6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，所以y max =9.。

解三角形正弦定理

考点：1.余弦定理.
26．
【解析】
试题分析：因为，所以，由余弦定理可得，又因为，所以 .
考点：余弦定理.
27．5
【解析】由正弦定理，知，解得BC＝5 (海里)．
28．
【解析】
试题分析：因为2asinB＝ b，所以
或，又由于△ABC为锐角三角形所以 .
考点：正弦定理的应用.
29．3
【解析】
考点：正余弦定理
2．A
【解析】
试题分析：，则角等于，故选A.
考点：余弦定理
3．B
【解析】
试题分析：由得
考点：正弦定理解三角形
4．D
【解析】
试题分析：根据正弦定理有，解得，所以或，因为，所以，因此都符合题意，故选D.
考点：正弦定理.
5．D
【解析】
试题分析：由变形为
或或，三角形为等腰三角形或直角三角形
A． B． C． D．
7．若，且，那么是
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
8．在中， , , ,则 =（）
A． B．或
C． D．或
9．在中，，，则此三角形一定是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
10．在△ABC中，内角所对的边分别是，已知a=7，，则的值是
试题解析：（Ⅰ）△ABC中，∵ ，∴sinB= = ，又 A= ，
∴
= ．…………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．由正弦定理知：，∴ ，
∴ ．…………………12分
考点：正余弦定理解三角形
37．（1）（2）或

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。

如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

三角形的正弦定理

三角形的正弦定理三角形的正弦定理是解决三角形问题中的一种重要定理，它为我们计算三角形的边长和角度提供了一种有效的方法。

在本文中，我们将详细介绍三角形的正弦定理，并通过实例来加深对该定理的理解。

三角形的正弦定理可以表示为：在一个三角形ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，其对应的正弦值为sinA、sinB、sinC，则有以下关系式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （其中R为三角形外接圆的半径）接下来，我们通过一个具体的实例来演示如何应用正弦定理解决三角形问题。

例题：已知三角形ABC，边a = 3 cm，边b = 4 cm，角C = 60°，求边c和角A、B的度数。

解题步骤：1. 根据正弦定理，得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

2. 已知边a = 3 cm，边b = 4 cm，角C = 60°，将这些已知条件代入等式中，得到以下等式：3/sinA = 4/sinB = c/sin60°。

3. 根据等式，可以得到sinA = 3sin60°/c，sinB = 4sin60°/c。

4. 根据三角函数的性质，sinA和sinB的取值范围为[-1,1]，代入已知条件，可以得到1/2 ≤ c/3 ≤ 2/√3，即1.732 ≤ c ≤ 6。

5. 根据等式c/sin60° = 3/sinA = 4/sinB，可以得到c = (4sin60°)/sinB = (3sin60°)/sinA。

6. 将已知条件代入等式，计算得到c ≈ 5.2 cm。

7. 根据等式a/sinA = c/sinC，可以得到sinA = (a*sinC)/c ≈ 0.519，通过查表或计算器，可以得到角A ≈ 31.9°。

8. 同样地，根据等式b/sinB = c/sinC，可以得到sinB = (b*sinC)/c ≈ 0.692，通过查表或计算器，可以得到角B ≈ 44.1°。

正弦定理、余弦定理及解三角形

正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sincos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22abB ，a sinC ＝c sin A2.三角形面积公式：S △ABC ＝12 ah (h 表示边a 上的高) ；S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；S △ABC ＝abc4R；S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．三角形解的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，三角形解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sinA <a <b a ≥ba >b解的个数一解两解一解一解典例剖析题型一利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝________.答案 59解析在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59. 变式训练在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案 23解析在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.解题要点如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．题型二利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.变式训练在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ . 答案 4或5解析设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.解题要点如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．题型三综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.解题要点解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于________. 答案 2 2解析 A ＝180°－30°－15°＝135°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 22＝212，即a ＝2 2.3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________. 答案 3＋1 解析A ＝π－(B ＋C )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝7π12，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则a ＝b sin Asin B ＝2sin7π12sin π6＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×22＝3＋1.4．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.课后作业一、填空题1．(2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32且b<c，则b等于________.答案 2解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.2．已知△ABC，a＝5，b＝15，A＝30°，则c＝________.答案 25或 5解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________. 答案 5解析由题意知，23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，即cos 2A ＝125，又因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，由余弦定理知72＝b 2＋62－2b ×6×15，即b 2－125b －13＝0，即b ＝5或b ＝－135(舍去).4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________. 答案直角三角形解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A＞0，∴sin A＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为________.答案19解析∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a ＝1，b＝3，则c＝________.答案 2解析由正弦定理asin A＝bsin B得：1sin A＝3sin B，又∵B＝2A，∴1sin A＝3sin2A＝32sin A cos A，∴cos A＝32，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝12＋(3)2＝2.7．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝________.。

正弦定理解三角形

正弦定理解三角形
正弦定理是一种用于解决三角形问题的数学定理。

它是三角形中最基本的定理之一，也是解决三角形问题的重要工具之一。

正弦定理的表述为：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形的三边长，A、B、C分别为三角形的三个角度，则有：
a / sinA =
b / sinB =
c / sinC
其中，a / sinA表示以a为底边的角A的正弦值，b / sinB表示以b为底边的角B的正弦值，c / sinC表示以c为底边的角C的正弦值。

正弦定理可以用于求解三角形中的各种问题，包括求角度、边长等。

同时，它也是其他三角函数定理的基础之一。

熟练掌握正弦定理对于学好三角学和解决相关问题非常重要。

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三角形的正弦定理

三角形的正弦定理三角形的正弦定理是解三角形问题中常用的一个重要定理，它建立了三角形内外角和边长之间的关系。

在本文中，我将详细介绍三角形的正弦定理的表达方式、应用场景以及一些相关的例题。

三角形的正弦定理可以用以下的数学表达式来表示：对于任意一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，而对应的内角分别为A，B，C，那么根据正弦定理，我们有：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示边长，而A、B、C分别表示对应的内角。

三角形的正弦定理可以帮助我们解决各种三角形问题，比如已知三角形的两个角度和一个边长，我们可以利用正弦定理来求解三角形的其他边长。

下面，我将通过几个具体例子来说明正弦定理的应用。

例题一：已知一个三角形的两个角度和一个边长分别为A=30°，B=45°，a=10cm，求该三角形的其他两边长度。

解析：根据正弦定理，我们有a/sinA = b/sinB，将已知值代入得到10/sin30° = b/sin45°，通过求解这个等式我们可以得到b的值。

同时，还可以用正弦定理求解出c的值。

例题二：已知一个三角形的三个边长分别为a=5cm，b=7cm，c=8cm，求该三角形的三个内角。

解析：根据正弦定理，我们可以通过三个等式来求解三个内角，即a/sinA = b/sinB = c/sinC。

将已知值代入得到5/sinA = 7/sinB = 8/sinC，通过这三个等式我们可以求解出A、B、C的值。

正弦定理在解决实际问题中具有广泛的应用。

例如，在测量不便的情况下，我们可以利用正弦定理通过测量一个三角形的边长和一个角度来计算其他边长；在工程建设中，正弦定理可以帮助工程师计算三角形的边长以及各个内角的大小，进而帮助设计合适的工程方案。

总结起来，三角形的正弦定理是解三角形问题中常用的重要定理。

通过正弦定理，我们可以利用已知条件来求解三角形的其他边长或内角。