正弦定理解三角形

利用正弦定理解三角形

利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：

1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。

2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。

例题设计一：

已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。

（1）∠A＝60°∠B=45° a＝10

（2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10

（1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2

（2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a===

b===

这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。

习题设计一：

设计意图：巩固当堂内容

已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.

解：∵，∴a＝，∠B＝180°-

（∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，

∴ b＝＝20sin75°=20×=5+5.

例题设计二：

已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）

（1） a=3 b=4 ∠A＝30°

（2） a=b＝6 ∠A＝120°

（3） a=2 b=3 ∠A＝45°

（1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理

知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A，

∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°；

当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°，

c＝＝≈5.7；

当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，

c＝＝≈1.2。

2）由正弦定理得，sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理知∠B范围为：0°＜B＜60°，∴∠B=45°，

∴∠C=180°-∠B-∠C=15°，再由正弦定理得：

c=＝≈2.2。

（3）由正弦定理得：sinB===＞1，与

矛盾，∴无解。

这三道例题均选自教材，使学生明确在三角形中，已知两边和其中一边的对角时，这样的三角形是不唯一的，可能出现两解，一解或无解的情况。学会用分类讨论思想去解决问题。

习题设计二：

设计意图：巩固当堂内容，规范解题步骤。

1、在△ABC中b=10,c=,∠C=60°，求∠B、∠A及a。

解：在△ABC中，b=10,c=,，∴∠B<∠C=60°,由正弦定理得

sinB=,∴∠B＝45°, ∠A=180°-（∠B+∠C）=75°, ∴a=

2、在△ABC中，已知a=,b=,∠B＝45°,求∠A、∠C和c。

解：由正弦定理，得sinA=。

∴∠A＝60°或120°.

当∠A＝60°时，∠C＝180°-（∠A+∠B）=75°，

c=.

当∠A＝120°时，∠C＝180°-（∠A+∠B）=15°，

c=.

故∠A＝60°，∠C＝75°，c＝或

∠A＝120°，∠C＝15°，c=.

例题设计三：

根据下列条件，判断解三角形时是否有解，若有解，有几个解。

（1）a=, b=, ∠A=120°；

（2）a=60, b=48, ∠B=60°；

（3）a=7, b=5, ∠A=80°；

（4）a=14, b=16, ∠A=45°.

解法一：理解透正弦定理，从解答中即可判断。

（1）∵∠A＝120°，由＝，得sinB===，只有一个值。∴有一解。

（2）由＝得sinA===＞1，与

0＜sinA≤1矛盾，∴无解。

（3）由＝得sinB＝=＜1，又∵b＜a,

∴∠B＜80°，∴有一解。

（4）由＝得sinB=＜1，又b＜a，∴∠B＞∠A，

∴∠B有一锐角值和一钝角值，即有两解。

使学生明确若有一个为钝角，则是一解或无解，若无钝角则是一解或两解，然后可由大边对大角来具体判断解的情况。

解法二：是从几何作图看：能否作出符合条件的三角形。

下图为在△ABC中，已知a、b和∠A时，解三角形的各种情况：

（1）当∠A为锐角时：

a＜bsinA 无

解 a＝bsinA 一解

bsinA＜a＜b 两解 a≥

b 一解

（2）当∠A为直角或钝角时：

a≤b 无解a＞

b 一解

通过上述方法可得：

（1）∵∠A＞90°，且a＞b,∴有一解，即这样的三角形是唯一的。

（2）∵asinB=60×=30, b=48,∴b＜asinB,无解。即不存在这样的三角形。

（3）∵a=7，b=5，∠A＝80°，∴a＞b，有一解。即这样的三角形是唯一的。

（4）∵bsinA=16×=8,a=14,∴bsinA＜a＜b，有两解。即符合条件的三角形有两个。

让学生总结出：

1、三角形有唯一的条件：

（1）、已知三角形的两角和一条边。

（2）、已知a、b、∠A，解三角形时，若∠A为钝角或直角，且a＞b时，有唯一解；若∠A为锐角，且a b时，有唯一解；当a＝bsinA时有唯一解。

2、三角形有两解的条件：

已知a、b、∠A解三角形时，若∠A为锐角，且bsinA＜a＜b时，有两解。

3、三角形无解的条件：

已知a、b∠A解三角形时，且a＜bsinA时无解；若∠A为钝角或直角时，则a≤b时无解。

培养学生总结归纳能力、合作意识与自主探究精神，学会用数形结合思想来解决问题。

习题设计三：

已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。

（1）a=10， b=20，∠A＝80°；

（2）a=2，b=6，∠A＝30°.

解：（1）a=10,b=20,a＜b，∠A＝80°＜90°，讨论如下：

∵bsinA=20·sin80°＞20·sin60°＝10，∴a＜b·sinA.