第五章 高等代数二次型

二次型
Hale Waihona Puke Baidu
§1 二次型及其矩阵表示
对于二次型的矩阵表示方法，需注意如下几点： (1) 由于 aij=aji，故 A 为对称矩阵； (2) 矩阵 A 中 aii 为 xi2 项的系数，aij 为交叉项 xi xj 系数的一半； (3) n 元二次型 f
一一对应
n 阶对称矩阵 A
定义：一个只含有平方项的 n 元二次型
称为由向量 x1，x2，…，xn 到 y1，y2，…，yn的一个线性替换。令
x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn )
则线性替换可以表示为 x=Cy。若系数矩阵 C 的行列式 |C|≠0，则称 该线性替换是非退化的。
二次型
§1 二次型及其矩阵表示
二次型
n
§1 二次型及其矩阵表示
若在 n 元二次型中令 aij=aji，由于 xi xj=xj xi，则二次型可表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
n
若记
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a2n x2 xn a nn xn
2
称为数域 P 上的一个n元二次型，简称为二次型。 注意： (1) 二次型就是 n 元二次齐次多项式； (2) 交叉项的系数采用2aij，主要是为了矩阵表示的方便。
二次型 正定矩阵
§4 正定二次型
定义：如果实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx 是正定的，则称实对称矩阵 A 为正定矩阵。 定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是它与单位矩阵合同。 定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是存在非奇异矩阵 C，使得 A=C'C 推论：正定矩阵的行列式大于零。 推论：正定矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为正定矩阵。
f ( x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1 x3
2、 化二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) xi2
i 1
n
1i j n
x x
i
j
为标准型。
二次型
§3 唯一性
§3 唯一性
标准型中的系数不是唯一确定的。例如：对二次型
2x1x2 6x2 x3 2x1 x3
做线性替换
x1 1 1 3 w1 x2 1 1 1 w2 x 0 0 1 w 3 3
得到标准型
2 2 2w12 2w2 6w3
二次型
进一步做替换
§3 唯一性
1 0 w 1 1 w 0 2 2 w 3 0 0
二次型
直接利用矩阵的元素来判断它的正定性。 定义：n 阶实对称矩阵 A=(aij) 的左上角的 k 阶子式
§4 正定二次型
a11 a21 ak 1
a12
a1k
a22 a2 k , k 1, 2, , n ak 2 akk
称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子式。 定理：实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx 正定的充要条件是矩阵 A 的各阶
2 2 2 定理：实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) d1 x1 是正定二次型 d2 x2 dn xn
的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。 定理：非退化的线性替换不改变二次型的正定性。 定义：n 元实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 正定的充要条件是它的正惯性指数 为n。
得到另一个标准型
0 y1 0 y2 1 y3 3
1 2 2 2 2 y y 2 y3 2 3
2 1
合同不改变矩阵的秩。
共同点：标准型中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的。
二次型 复数域上的二次型
§3 唯一性
定理：任意一个秩为 r 的复系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性 替换化为复规范型：
a1n x1 a2 n x2 , x x ann n
其中 aij=aji，i，j=1，2，…，n，则二次型可用矩阵的乘积表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xAx
其中 A 称为该二次型的矩阵，A 的秩称为该二次型的秩。
问题：二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型？ 定理：二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。 问题：二次型的矩阵经过非退化线性替换后会发生怎样的变化？具有
怎样的关系呢？
定义：设 A，B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵，若在数域 P 上存在可逆
的 n 阶方阵 C ，使得
B C AC ,
则称矩阵 A 和 B 是合同的。
2 2 f ( x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x2 dn xn
称为标准二次型，或标准型。 n 元标准二次型 f 一一对应 n 阶对角矩阵
行列式
例题 1、 写出下列二次型的矩阵 （1） （2）
2 f ( x1 , x2 ) 2 x12 6x1 x2 5x2
§4 正定二次型
(2) 若 B 是 n×m 阶实矩阵，且 B 是列满秩的，则 B'AB 也是正定的。
二次型 二次型的分类
§4 正定二次型
定义：设实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) ，若对于任意一组不全为零的实数
c1, c2 ,, cn 都有
(1)
(2) (3) (4) (5)
f (c1 , c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是正定的。
二次型
§2 标准型
§2 标准型
用配方法化二次型为标准型
定理：数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为 标准型。
用合同法化二次型为标准型
定理：数域 P 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。
行列式
例题 1、 化下列二次型为标准型
§1 n阶行列式的定义
（1）
（2）
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x2 8x2 x3 5x3
§1 n阶行列式的定义
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x2 3x2 x3 7 x3
2、 写出下列对称矩阵的二次型
0 0 1 （1） 0 1 0 1 0 0
1 1 2 （2） 1 2 3 2 3 3
2 z12 z2 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
§3 唯一性
1 1 0 0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。 问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1 , c2 ,, cn 都有 f (c1 , c2 ,, cn ) 0 。
2 x x 2 y 2 x 2
2 y, 2 2 y, 2
在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：
x 2 y 2 1 4 9
二次型
§1 二次型及其矩阵表示
§1 二次型及其矩阵表示
二次型的概念及其矩阵表示
定义：一个系数在数域 P 上的 x1，x2，…，xn 的二次齐次多项式
二次型 实数域上的二次型
§3 唯一性
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性 替换化为实规范型：
2 2 2 z12 z2 z 2 z z p p1 r
而且这个规范型是唯一的。
定义：实二次型 f 的规范型中，正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数；
x x cos y sin y x sin y cos
在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：
ax2 cy2 f
这是一个只含有平方项的标准方程。
二次型
考察方程：
13 2 10 13 2 x xy y 1 72 72 72
该方程表示 xy 平面上怎样的一条二次曲线？ 将 xy 坐标系逆时针旋转 π/4 ,即令
2 1 3、 写出二次型 f ( x1 , x2 ) x 3 1 x 的矩阵。
二次型 二次型的线性替换
定义：系数在数域 P 中的一组关系式：
§1 二次型及其矩阵表示
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
是正定的。 3、 判别二次型
f ( x1, x2 ,, xn ) xi2 xi xi 1
i 1 i 1
n
n 1
是否正定。
二次型
4、 若矩阵 A 是列满秩的，则 A'A 为正定矩阵。 5、 设 A 为 n 阶正定矩阵，证明： (1) 对任意 n 阶矩阵 B，秩(B'AB)=秩(B) 。
顺序主子式全大于零。
二次型
例题 1、 判别二次型
§4 正定二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 5x12 x2 5x3 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。 2、 当 t 取什么值时，二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) x12 x2 5x3 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
负平方项的个数 r-p 称为 f 的负惯性指数；它们的差 p-(r-p) 称为
f 的符号差。
二次型
推论：任意一个实对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
§3 唯一性
1 1 1 1 0 0
二次型
第五章 二次型
二次型
二次型就是二次齐次多项式。 在解析几何中讨论的有心二次曲线， 当中心与坐标原点重合时，其一般方程为：
ax2 2bxy cy2 f
方程的右端就是关于 x，y 的一个二次齐次多项式。为了便于研究 这个二次曲线的几何性质，通过选取合适的角度θ，把坐标轴作逆 时针旋转，则相应的坐标变换为：
f (c1, c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是半正定的。
f (c1, c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是负定的。
f (c1, c2 ,, cn ) 0 ，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是半负定的。 f (c1 , c2 ,, cn ) 不确定，则称 f (c1 , c2 ,, cn ) 是不定的。
因此，经过非退化的线性替换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是
合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。
二次型
合同是矩阵之间的一种等价关系，具有： 反身性：矩阵 A 与自己合同；
§1 二次型及其矩阵表示
对称性：若矩阵 A 与 B 合同，则矩阵 B 与 A 合同； 传递性：若矩阵 A 与 B 合同，矩阵 B 与 C 合同，则 A 与 C 合同； 合同的基本性质： 性质1：对称矩阵只能与对称矩阵合同。 性质2：合同矩阵具有相同的秩。 问题：使得矩阵 A 和 B 合同的可逆矩阵 C ，是否唯一？