高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
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3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标
1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。
2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1.空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2.坐标判断两个空间向量平行。
教学过程
1.情景创设: 平面向量可用坐标表示,空间向量能用空间直角坐标表示吗?
2.建构数学:
如图:在空间直角坐标系O xyz -中,分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量,对于空间任一向量a ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使a xi y j zk =++;有序实数组(x ,y ,z )叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作a =(x ,y ,z )。
在空间直角坐标系O -xyz 中,对于空间任意一点A (x ,y ,z ),向量OA 是确定的,容易得到
OA =xi y j zk ++。
因此,向量OA 的坐标为OA =(x ,y ,z )。 这就是说,当空间向量a 的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算,我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a =(123,,a a a ),b =(123,,b b b ),则
a +
b =(112233,,a b a b a b +++),
a -
b =(112233,,a b a b a b ---),
λa =(123,,a a a λλλ)λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为
a ∥
b (a ≠0)112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析:
例1:已知a =(1,-3,8),b =(3,10,-4),求a +b ,a -b ,3a 。
例2:已知空间四点A (-2,3,1),B (2,-5,3),C (10,0,10)和D (8,4,9),求证:四边形ABCD 是梯形。
例3:求点A (2,-3,-1)关于xOy 平面,zOx 平面及原点O 的对称点。 练习:见学案
小结:
作业:见作业纸
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课前预习学案
预习目标:1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系;
2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。
预习内容: 1、空间直角坐标系:(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;(2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫 .我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -,点O 叫原点,向量 都叫坐标向量. 叫坐标平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面;
2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点
A , ,使 ,有序实数组 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作 ,x 叫 ,y 叫 ,z 叫 .
提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标:1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系;
2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。
重点难点:空间向量的坐标表示
学习过程:
例1:已知a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求a+b,a-b,3a。
例2:已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形。
。
当堂检测:
1求点A(2,-3,-1)关于xOy平面,zOx平面及原点O的对称点
课后练习与提高:
1.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4,-4和7,则这向量的终点A的坐标是()
A、(-2,3,0)
B、(-1,3,5)
C、(3,-1,2)
D、(0,2,-2)
2.点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是()
A、(-2,7,1)
B、(-3,7,0)
C、(1,-7,0)
D、(1,2,5)