细说“穿针引线法”

★032 细 说 穿 针 引 线 法

江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300

“穿针引线法”，又称“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。适用于分析可分解的多项式函数、可分解的分式函数的符号情况，进而用于解相应高次不等式，研究相应函数的单调性。

如果一个n 次多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=⋅+⋅+

+⋅+可分解为:

()()()()12

12()i k r r

r

r

n i k f x a x x x x x x x x =⋅-⋅-⋅-⋅-

其中1212,

,()0i k k i x x x r r r n x f x r <<

<++

+==叫作的重根，n a 是最高次数项系

数，可正也可负，以后每个因子内x 的系数均化为“1”——这一点很重要。

做好如上工作后，那么，我们可以用“穿针引线法”来分析其符号情况。

第1步，标根：在数轴上从左到右依次标出12k x x x ，，， （在标的时候注意区别“空心”与“实心”） 第2步，确定入口：最高次数项系数0n a >时，从数轴的右上．

方入， 0n a <时，从数轴的右下．

方入； 第3步，确定出口：接第2步，用自由曲线自右向左依次连向各根所在点，注意“奇重根穿

过去，偶重根弹出来”。

第4步：读图：数轴上方线条所覆盖的x 范围表示()0f x >，数轴下方线条所覆盖的x 范围表示()0f x <，每个根处()0f x =

实例1:求下列不等式的解集

2(1)3(3)(1)(2)0x x x +--≥

解:见右图1,得解集为(,3]{1}[2,)-∞-⋃⋃+∞ 注意：这时所有零点是“实心”的

2(2)(3)(1)(2)0x x x -+--≥

解: 见右图2，得解集为[3,2]- 注意：这时所有零点是“实心”的.

2(3)(3)(1)(2)0x x x +--<

解: 见右图3，得解集为(3,1)(1,2)-⋃ 注意：这时所有零点是“空心”的.

2

(3)(1)

(4)

0(2)x x x +-≥-

解: 见右图4，得解集为(,3][1,2)(2,)-∞-⋃⋃+∞

这一点很重要，尤其是在分析

导函数符号情况时用得上。

实例2:求解某些绝对值不等式（只作等价转换，画图求解过程略） （1）.解不等式()()2110x x --<

解：原不等式等价于()()()()21211021102x x x x x ⎛

⎫--<⇔-+-> ⎪⎝

⎭

答案：1121x x x ⎧⎫

-<<>⎨⎬⎩⎭

或

（2）.解不等式

22

012

x x x -<--

解：原不等式等价于()()()()

22224

001243x x x x x x x +--<⇔<---+

答案：{}242x x x <<<-或-3<

变式练习 解不等式2560x x -+< ， 答案()()3,22,3--

实例3:求函数单调区间、极值

（1）求函数2()86ln f x x x x m =-++的单调区间和极值

解： 2'

62862(1)(3)

()28(0)x x x x f x x x x x x

-+--=-+=

=> '()f x 的符号情况如右图5（x>0

∴ ()f x 的增区间为0,1]∞（，[3,+）

()f x 的减区间为1,3（）

()(1)7f x f m ==-+极大值，()(3)15ln 3f x f m ==-++极小值

（2）求函数2

16()f x x x

=

-的单调区间 解： 32'

222

2

2

162(8)2(2)(24)

()22(2)[(1)3](0)

x x x x f x x x x x x x x x -+-+-+=--==

-+-+=≠

2

(1)30x -+>

'()f x ∴的符号情况2

2(2)

x x

+由

确定，略右图6. ∴ ()f x 的增区间为2∞-（－，）

，()f x 的减区间为[2,0-∞），（0,+） '()f x 的符号情况图6