《三角形的三条重要线段》练习题课件教学文稿
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三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
三角形中的三条重 要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
2021年秋沪科版八年级上册数学习题课件：13.1.3三角形的3条重要线段(共30张PPT)
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知识点 3 三角形的中线
6．已知D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那 么下列说法中不正确的是( D ) A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE
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7.已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和
△BCD的周长的差是( A )
返回
11.如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC 自B向C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于E， CF⊥AD交AD延长线于F，则BE＋CF的值( C ) A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
点拨 12题 返回
点拨:
由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD得
1 2
•AB•BC＝
则图中阴影部分的面积是( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
点拨 13题 返回
点拨: 设△ABC的边BC上的高为h，△AGH的边GH上的高为
h1，△CGH的边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2， B所S12 D△G以HAHBSGC·阴＝h是影1＋平＝12 12B行14 ×GC四·H(h12 边·＝hB2形1C＝6·，，h12 )且GS＝阴HB影14 ·D(＝Sh＝△1S＋A14△BhBCA2＝GC)H＝，＋ 4.12故所SG△选以HCG择G·HhH＝.B因＝. 为BD四＝边返14 回形BC.
解： 因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以S△ABC＝
1 2
×AD×BC＝
1 2
×BE×AC.
因为AD＝8，AC＝10，BC＝13，
所以8×13＝BE×10. 所以BE＝10.4.
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知识点 2 三角形的角平分线
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是( D )
秋沪科八级上册数学三角形中三条重要线段(优秀文档PPT)
知1－讲
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，
△ADE，△BCD，△BCE，△BDE．其中面积
为1的有△ABC，△ADE，△BCE，△ACD.
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
(1)三角形的面积与高是密不可分的，只要涉及三角
形的面积就要联想到高，因为三角形的面积等于
导引：“作一边上的高”可看作“过一点(这边所对角 的顶点)作已知直线(这边所在直线)的垂线”． 按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图， 顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注 意AB， BC边上的高在三角形的外部，作高时 先延长AB与CB.
解：如图所示．
知1－讲
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高 的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤： 一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、 二找(移动三角尺使另一条直角 边通过要作高的顶点)、三画线 (画垂线段)，如图.
2. 位置图例： (1)锐角三角形：三条高都在三角 形内部，其交点也在三角形内部(如图)．
(2)直角三角形：一条高在三角形内部，
两条高在三角形边上，其交点为直
角顶点(如图1)．
图1
(3)钝角三角形：一条高在三角形内部，
两条高在三角形外部，其交点在三
角形外部(如图2)．
图2
知1－讲
3．表达方式：
知1－讲
导引：利用三角形的面积公式及等积原理求解．
解：(1)S△ABC＝
1BCAD1448(cm 2).
2
2
因为S△ABC＝
1ACBE15BE,
2
三角形中三条重要线段ppt课件
什么组织贯穿于植物体的根、茎、叶？
输导组织。
周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC各边的长．
解：设AB＝x
cm，则AD＝DC＝
1 2
x
cm.
①若AB＋AD＝12
cm，即x＋
1 2
x＝12，则x＝8，即AB＝
AC＝8 cm，所以DC＝4 cm，故BC＝15－4＝11(cm)，
显然此时三角形存在，所以三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm.
保＿护＿组织
肌＿肉＿组织
不 结同 构点
营＿养＿组织 输＿导＿组织
结＿缔＿组织 神＿经＿组织
层 次
无＿系＿统，由＿＿器直接官构成植 有八大＿＿系，统由＿＿构系成统动
物体。
物体。
相 由受精卵分裂、分化发育而来。由细胞构成组织，由不同
同 点
组织构成器官。
保护组织分布在植物体的哪些部位？
主要分布在植物体各器官的表面。
(2)△ACE和△ABE的周长的差．
解：因为AE是△ABC的中线，所以BE＝CE，所以 △ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB ＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm)，即△ACE和 △ABE的周长的差是1 cm.
14．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的
答案显示
1．三角形的角平分线：三角形中，一个角的__平__分__线______ 与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形 的角平分线．
2．三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边 ___中__点___的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线 的_垂__线__段___叫做三角形的高线，也叫做三角形的高．
输导组织。
周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC各边的长．
解：设AB＝x
cm，则AD＝DC＝
1 2
x
cm.
①若AB＋AD＝12
cm，即x＋
1 2
x＝12，则x＝8，即AB＝
AC＝8 cm，所以DC＝4 cm，故BC＝15－4＝11(cm)，
显然此时三角形存在，所以三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm.
保＿护＿组织
肌＿肉＿组织
不 结同 构点
营＿养＿组织 输＿导＿组织
结＿缔＿组织 神＿经＿组织
层 次
无＿系＿统，由＿＿器直接官构成植 有八大＿＿系，统由＿＿构系成统动
物体。
物体。
相 由受精卵分裂、分化发育而来。由细胞构成组织，由不同
同 点
组织构成器官。
保护组织分布在植物体的哪些部位？
主要分布在植物体各器官的表面。
(2)△ACE和△ABE的周长的差．
解：因为AE是△ABC的中线，所以BE＝CE，所以 △ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB ＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm)，即△ACE和 △ABE的周长的差是1 cm.
14．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的
答案显示
1．三角形的角平分线：三角形中，一个角的__平__分__线______ 与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形 的角平分线．
2．三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边 ___中__点___的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线 的_垂__线__段___叫做三角形的高线，也叫做三角形的高．
七年级数学下册第9章 第2课时三角形的三条重要线段作业课件新版华东师大版
8 若ED＝2 cm，则BC＝( )cm.
知识点2：三角形的角平分线
3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错D误的是( ) A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
1
C．∠3＝∠ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
4．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则∠C1A＝D （
∵AE为△ABCD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，EF是
△BDE的角平分线吗？说说你的理由．
EF是△BDE的角平分线，理由如解下：：∵EF∥AD， ∴∠BEF＝∠BAD，∠FED＝∠EDA.又∵DE∥AC， ∴∠EDA＝∠DAC， ∴∠FED＝∠DAC.又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC，∴∠BEF＝∠DEF， ∴EF平分∠BED.又∵点F为BD上的点， ∴线段EF为△BED的角平分线．
的面积是2，那C么△ABC的面积为(
)
A．12 B．14 C．16 D．18
13．如图，在△ABC中，AB＝5 cm，AD是BC边上的中线，
若△ABD的周长比△ADC的周长大2 3cm，则AC＝( )cm.
14．如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线．已知AD＝5 cm，EC＝2 cm，
求△ABE和△AEC的面积．
)；
(3)在△FECE中F ，EC边上的高是( ) ； (4)若AB＝CD＝4 cm，AE＝5 cm，则△AEC的面积＝10 cm2，CE＝5(
) cm.
9．如图，已知△ABC，根据要求画图： (1)画BC边上的高； (2)画角平分线CD；
(3)将△ABC分成面积相等的两部分． 画图略(提示：三角形的中线等分解其：面积)．
知识点2：三角形的角平分线
3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错D误的是( ) A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
1
C．∠3＝∠ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
4．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则∠C1A＝D （
∵AE为△ABCD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，EF是
△BDE的角平分线吗？说说你的理由．
EF是△BDE的角平分线，理由如解下：：∵EF∥AD， ∴∠BEF＝∠BAD，∠FED＝∠EDA.又∵DE∥AC， ∴∠EDA＝∠DAC， ∴∠FED＝∠DAC.又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC，∴∠BEF＝∠DEF， ∴EF平分∠BED.又∵点F为BD上的点， ∴线段EF为△BED的角平分线．
的面积是2，那C么△ABC的面积为(
)
A．12 B．14 C．16 D．18
13．如图，在△ABC中，AB＝5 cm，AD是BC边上的中线，
若△ABD的周长比△ADC的周长大2 3cm，则AC＝( )cm.
14．如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线．已知AD＝5 cm，EC＝2 cm，
求△ABE和△AEC的面积．
)；
(3)在△FECE中F ，EC边上的高是( ) ； (4)若AB＝CD＝4 cm，AE＝5 cm，则△AEC的面积＝10 cm2，CE＝5(
) cm.
9．如图，已知△ABC，根据要求画图： (1)画BC边上的高； (2)画角平分线CD；
(3)将△ABC分成面积相等的两部分． 画图略(提示：三角形的中线等分解其：面积)．
三角形的三条重要线段PPT课件
04
典型例题分析与讲解
中线相关例题分析
解题思路
利用中线性质，将AD与AB、 AC的长度联系起来，通过不等 式求解。
解题思路
通过构造平行线，利用中线与 平行线的关系证明三线交于一 点。
例题1
已知三角形ABC中，D为BC中 点，AD为中线，求AD的长度 范围。
知识点
中线定义及性质，三角形不等 式。
知识点
绘制锐角三角形、直 角三角形和钝角三角 形
利用不同颜色或线型 区分三条线段，增强 视觉效果
在每个三角形中标出 角平分线、中线和高 线
测量和比较不同类型三角形中各条线段长度
使用测量工具（如直尺、量角 器等）测量各条线段的长度
比较同一三角形中不同线段长 度，观察规律
比较不同三角形中相同类型线 段的长度，分析差异原因
02
三角形中的三条重要线段
中线定义及性质
01
02
03
定义
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
性质
三角形的中线平分三角形 的面积，即三角形的面积 被中线分为两个相等的部 分。
应用
中线常用于解决与三角形 面积、重心有关的问题。
角平分线定义及性质
Байду номын сангаас定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做角的平分线。
距离和高度差。
03
日常生活
在日常生活中，许多物品的形状和结构都与三角形及其线段有关，如自
行车支架、相机三脚架等。了解这些性质有助于我们更好地理解和利用
这些物品。
THANKS
感谢观看
04
例题2
在三角形ABC中，角A的平分线AD与 BC交于点D，求证：三角形ABD与三 角形ACD的面积之比等于BD/CD。
三角形的三条重要线段PPT教学课件
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
参 出 微 理 。 千 古
详 勘 。 正 欲 于 此
徐 公 之 美 ， 细 细
邹 忌 将 己 之 美 、
思考问题：
从文中看，齐威王最终能使 齐国“战胜于朝廷”，达到 “大治”的原因是什么？这给 我们带来什么启示？请结合你 的生活体验，简要谈谈你的看
⑤宫妇左右莫不私王（国君旁边的近臣）
⑥邹忌讽齐王纳谏 （委婉劝说）
⑦能谤讥于市朝（公开指责）
⑧今齐地方千里 （土地方圆
）
（二）辨析下列句子中红色字的含义
• 1.我孰与城北徐公美. 谁
• 孰视之
仔细
• 2.吾妻之美我者,私我也. 以…为美
• 徐公不若君之美也. • 3.宫妇左右莫不私我也.
美丽 偏爱
A
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
O
1
答： ∠BOC =90 ° + 2 ∠A
B
C
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴
∠OBC=
1 2
∠ABC， ∠OCB=
1
1 ∠ACB
2
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = 2 （∠ABC+ ∠ACB）
= 1（180 ° － ∠A ）= 90 ° － 1∠A
垂直
⑥垂于心B(C三于条D高,A的E是交角点平）分线
B
A
ED
C
例1 如图：△ABC中，∠A=90°AB=AC=BE，E是
BC上一点，DE⊥BC，如果BC=10cm，那么△DEC
2019年年秋沪科版八年级上册数学习题课件：1313三角形的3条重要线段共30张PPT语文
13.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和 AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数.
解： 在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－
30°=90° 因为AE是△ABC的角平分线，所以
∠BAE＝
1 2
∠BAC=45°.
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知识点 3 三角形的中线
6．已知D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那 么下列说法中不正确的是( D ) A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE
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7.已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和
△BCD的周长的差是( A )
2
D．CE是△ABC的角平分线
返回
5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交
AB于E，DF∥AB，DF交AC于F，图中∠1与∠2有
什么关系？为什么？ 解：∠1＝∠2.理由：因为DE∥AC，所
以∠1＝∠3.因为DF∥AB，所以
∠2＝∠4.因为AD是∠BAC的平分
线，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
解：设AB＝x
cm，则AD＝DC＝
1 2
x cm.
(1)若AB＋AD＝12 cm，即x＋12 x＝12，则x＝8.
即AB＝ AC＝8 cm，所以DC＝4 cm，故BC＝
15－4＝11(cm)，此时AB＋AC>BC, 所以三边
长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
解：(2)若AB＋AD＝15 cm，即x＋12 x＝15，则x＝10， 所以DC＝5 cm, 故BC＝12－5＝7(cm)，显然此 时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.综上所述，此三角形的三边长分别 为：8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
部编版八年级上册数学习题课件-三角形中三条重要线段
解：(答案不唯一)方案一：如图①，D、E、F分别为BC的 四等分点； 方案二：如图②，D为BC的中点，E为AD的中点； 方案三：如图③，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点．
16．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的
周长分为12 cm和15 cm两部分，求三角形各边的长．
解：设 AB＝x cm，则 AD＝DC＝12x cm. (1)若 AB＋AD＝12 cm，即 x＋12x＝12，则 x＝8.即 AB＝AC＝8 cm，所以 DC＝4 cm，故 BC＝15－4 ＝11(cm)，此时 AB＋AC>BC, 所以三边长分别为 8 cm，8 cm，11 cm.
解：∠1＝∠2. 理由：因为DE∥AC，所以∠1＝∠3. 因为DF∥AB，所以∠2＝∠4. 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
7．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下 列说法不正确的是( A ) A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．DE是△BCD的中线
(2)若 AB＋AD＝15 cm，即 x＋21x＝15，则 x＝10， 所以 DC＝5 cm, 故 BC＝12－5＝7(cm)，显然此时三 角形存在，所以三边长分别为 10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，此三角形的三边长分别为 8 cm，8 cm， 11 cm 或 10 cm，10 cm，7 cm.
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1 三角形中的边角关系 第3课时 三角形中三条重要线段
提示：点击 进入习题
核心必知
1 垂线段
2 顶点；中点
3 角的平分线
基础巩固练
1A 2D 3 DH；AE 4 5D
9.1.1认识三角形第2课时三角形的三条重要线段课件+2023—2024学年华东师大版数学七年级下册
答：如图，CF 是一条角平 分线；BE 是 AC 边上的中线；AD 是边 BC 上的高.
A
E F
DB
C
注意：画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中 线及高都要画成线段.
随堂练习
1. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是 ( A )
A. 中线
B. 角平分线
C. 高
D. 中位线
2. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若 CE = 9，则
S△EBD = S△ABD = ×8 = 4.
(2) 如图2，点 D、E、F 分别是 BC、AD、EC 的中点，若△ABC 的面 积为 16，求△BEF 的面积是多少？ 解：(2) 因为在△ABC 中，D 是 BC 边的中点， 所以 S△ABD = S△ABC = 8， 因为 E 是 AD 的中点， 所以 S△BED = S△ABD = 4， 同理得，S△CDE = 4，所以 S△BCE = 8， 因为 F 是 CE 的中点， 所以 S△BEF = S△BCE = 4.
课堂小结
1. 三角形的中线、角平分线和高的概念. 2. 不同形状的三角形的中线、角平分线和高的特点: (1) 三角形的三条中线、三条角平分线和三条高 (或所在直线) 分别相交 于同一点； (2) 直角三角形三条高的交点就是直角顶点； (3) 钝角三角形有两条高线位于三角形的外部. 3. 三角形的中线、角平分线和高与三角形周长、面积的关系.
锐角三角形
三角形 直角三角形
钝角三角形
按是否有边相等分
三角形
不等边 三角形
等腰 三角形
底和腰不相等 的等腰三角形
等边三角形
新知学习
问题 1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 ： 如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足 为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高.
A
E F
DB
C
注意：画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中 线及高都要画成线段.
随堂练习
1. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是 ( A )
A. 中线
B. 角平分线
C. 高
D. 中位线
2. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若 CE = 9，则
S△EBD = S△ABD = ×8 = 4.
(2) 如图2，点 D、E、F 分别是 BC、AD、EC 的中点，若△ABC 的面 积为 16，求△BEF 的面积是多少？ 解：(2) 因为在△ABC 中，D 是 BC 边的中点， 所以 S△ABD = S△ABC = 8， 因为 E 是 AD 的中点， 所以 S△BED = S△ABD = 4， 同理得，S△CDE = 4，所以 S△BCE = 8， 因为 F 是 CE 的中点， 所以 S△BEF = S△BCE = 4.
课堂小结
1. 三角形的中线、角平分线和高的概念. 2. 不同形状的三角形的中线、角平分线和高的特点: (1) 三角形的三条中线、三条角平分线和三条高 (或所在直线) 分别相交 于同一点； (2) 直角三角形三条高的交点就是直角顶点； (3) 钝角三角形有两条高线位于三角形的外部. 3. 三角形的中线、角平分线和高与三角形周长、面积的关系.
锐角三角形
三角形 直角三角形
钝角三角形
按是否有边相等分
三角形
不等边 三角形
等腰 三角形
底和腰不相等 的等腰三角形
等边三角形
新知学习
问题 1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 ： 如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足 为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高.
()三角形中三条重要的线段PPT课件
三角形中三条重要的线段
-
1
复习
三角形的概念
A
1.三角形:
由不在同一条直线上
的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形. B
C
组成三角形的线段叫做三角形的 边
相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点
相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角(角)
2.三角形的表示:
用“△”加上三个顶点的字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形
角形的内部,且它们相交于一 B
C
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
-
3
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 都
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
B
H
C
条在三角形的内部,另外两条
在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有
A.锐角三角形 B. 直角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
-
9
3.钝角三角形的高在三角形外的数目有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
-
10
4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形
C.直角三角形
D. 周长相等的三角形
-
11
∠BAD=∠DAC=
1 2
∠BAC;
B
DA
C
2.三角形的中线的表示法: (1)AE是△ABC的中线; (2)AE是△ABC中BC边上的中线;
(3)如果AE是△ABC的中线,那么
BE=EC=
1 2
BC;
3.三角形的高的表示法:
B
E
C
A
(1)AF是△ABC的高;
-
1
复习
三角形的概念
A
1.三角形:
由不在同一条直线上
的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形. B
C
组成三角形的线段叫做三角形的 边
相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点
相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角(角)
2.三角形的表示:
用“△”加上三个顶点的字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形
角形的内部,且它们相交于一 B
C
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
-
3
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 都
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
B
H
C
条在三角形的内部,另外两条
在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有
A.锐角三角形 B. 直角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
-
9
3.钝角三角形的高在三角形外的数目有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
-
10
4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形
C.直角三角形
D. 周长相等的三角形
-
11
∠BAD=∠DAC=
1 2
∠BAC;
B
DA
C
2.三角形的中线的表示法: (1)AE是△ABC的中线; (2)AE是△ABC中BC边上的中线;
(3)如果AE是△ABC的中线,那么
BE=EC=
1 2
BC;
3.三角形的高的表示法:
B
E
C
A
(1)AF是△ABC的高;
(课件)三角形中三条重要的线段
在直角三角形中，高同时也是直角三角形的斜边。
三角形有三条高，分别对应三个顶点。
高在几何问题中的应用
在求解三角形面积时，高是一个 重要的参数。
在解决与三角形相关的几何问题 时，高常常与其他线段、角等元
素一起使用。
高可以用于证明某些几何定理， 如塞瓦定理等。
高与其他线段的联系
在特定条件下，高可以转化为其他线段，如直角三角 形中的高可以转化为斜边上的中线。
垂线与三角形的关系
垂足
垂线与对边相交的点称为垂足。
三角形的高
从顶点垂直到对边的线段被称为三角形的高。
垂线在几何问题中的应用
面积计算
利用垂线可以计算三角形的面积，通 过将底边与对应的高相乘再除以2。
三线合一
直角三角形中的勾股定理
在直角三角形中，斜边的垂线将直角 三角形分为两个小的直角三角形，可 以利用勾股定理进行证明和应用。
(课件)三角形中三条 重要的线段
目 录
• 三角形的中线 • 三角形的角平分线 • 三角形的垂线 • 三角形的中位线 • 三角形的高的性质
01
三角形的中线
定义与性质
定义
连接三角形一边的中点和相对顶 点的线段称为三角形的中线。
性质
中线将三角形分为面积相等的两 部分，且中线长度为对应底边的 一半。
中线与三角形的关系
中位线将三角形划分为两个等腰三角 形。
中位线将三角形划分为两个相似的小 三角形。
中位线在几何问题中的应用
利用中位线定理求三角形的边长 。
利用中位线定理证明三角形中的 一些性质。
利用中位线定理解决一些几何问 题，如面积问题、角度问题等。
05
三角形的高的性质
高与三角形的关系
三角形有三条高，分别对应三个顶点。
高在几何问题中的应用
在求解三角形面积时，高是一个 重要的参数。
在解决与三角形相关的几何问题 时，高常常与其他线段、角等元
素一起使用。
高可以用于证明某些几何定理， 如塞瓦定理等。
高与其他线段的联系
在特定条件下，高可以转化为其他线段，如直角三角 形中的高可以转化为斜边上的中线。
垂线与三角形的关系
垂足
垂线与对边相交的点称为垂足。
三角形的高
从顶点垂直到对边的线段被称为三角形的高。
垂线在几何问题中的应用
面积计算
利用垂线可以计算三角形的面积，通 过将底边与对应的高相乘再除以2。
三线合一
直角三角形中的勾股定理
在直角三角形中，斜边的垂线将直角 三角形分为两个小的直角三角形，可 以利用勾股定理进行证明和应用。
(课件)三角形中三条 重要的线段
目 录
• 三角形的中线 • 三角形的角平分线 • 三角形的垂线 • 三角形的中位线 • 三角形的高的性质
01
三角形的中线
定义与性质
定义
连接三角形一边的中点和相对顶 点的线段称为三角形的中线。
性质
中线将三角形分为面积相等的两 部分，且中线长度为对应底边的 一半。
中线与三角形的关系
中位线将三角形划分为两个等腰三角 形。
中位线将三角形划分为两个相似的小 三角形。
中位线在几何问题中的应用
利用中位线定理求三角形的边长 。
利用中位线定理证明三角形中的 一些性质。
利用中位线定理解决一些几何问 题，如面积问题、角度问题等。
05
三角形的高的性质
高与三角形的关系
三角形中的三条重要线段课件演示文稿
三角形中的三条重要线段课件 演示文稿
第一页，共13页。
（优选）三角形中的三条重要 线段课件
第二页，共13页。
三角形的角平分线的定义
总结：以前所学的“角平分线”是一条射线
。
A
“三角形的角平分线”
还是射线吗?
在三角形中，一个内角的 平分线与它的对边相交，这个
角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线。 B
第七页，共13页。
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
回顾思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
一 5 6 7 8 9 10
第八页，共13页。
三角形的高
从三角形的一个顶点
A F
DB
C
结论：钝角三角形的三条高所
E
在直线交于一点 O
第十三页，共13页。
将你的结果与同伴进行交流.
三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高 都在三角形的内部。
第十页，共13页。
直角三角形的三条高交于直角顶点.
A
. D
B
C
第十一页，共13页。
折、画钝角三角形的三条高 有交点吗？
A
F
DB
C
E
第十二页，共13页。
合作探究
向它的对边 所在直线作垂线，
顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形的高线，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
A
D
C
A
第九页，共13页。
B
D
第一页，共13页。
（优选）三角形中的三条重要 线段课件
第二页，共13页。
三角形的角平分线的定义
总结：以前所学的“角平分线”是一条射线
。
A
“三角形的角平分线”
还是射线吗?
在三角形中，一个内角的 平分线与它的对边相交，这个
角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线。 B
第七页，共13页。
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
回顾思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
一 5 6 7 8 9 10
第八页，共13页。
三角形的高
从三角形的一个顶点
A F
DB
C
结论：钝角三角形的三条高所
E
在直线交于一点 O
第十三页，共13页。
将你的结果与同伴进行交流.
三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高 都在三角形的内部。
第十页，共13页。
直角三角形的三条高交于直角顶点.
A
. D
B
C
第十一页，共13页。
折、画钝角三角形的三条高 有交点吗？
A
F
DB
C
E
第十二页，共13页。
合作探究
向它的对边 所在直线作垂线，
顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形的高线，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
A
D
C
A
第九页，共13页。
B
D
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11．(2017·河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等 两部分的是( A )
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
12．(导学号27094122)如图，已知在正方形网格中，每个小方格都是边 长为1的正方形，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，且以 A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则满足条件的点C的个数是( C )
解：因为AD为△ABC的中线， 所以BD＝CD. 因为△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm, 所以(AB＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝2 cm， 所以AC＝AB－2＝5－2＝3 (cm)．
15 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， DE∥AB ， DF∥AC ， EF 交 AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明； 如果不是，请说明理由．
(3)在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连结FD、FE，得到 △DEF(如图③)．若阴影部分的面积为S3，则S3＝__6_a_(用含a的代数式 表示)．
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到 △DEF(如图③)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现， 扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的__7__倍．
解：因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠EAD＝∠FAD. 因为DE∥AB，DF∥AC, 所以∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD， 所以∠EDA＝∠FDA, 即DO是∠EDF的角平分线．
16．(导学号27094124)有一块三角形优良品种试验基地，如图所示， 由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四 块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图并说明作法)．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．(导学号27094123)如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E、 F分别为AD、BE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则图中阴影部分△CEF的 面积是__2__cm2.
14．已知AD为△ABC的中线，AB＝5 cm，且△ACD的周长比 △ABD的周长少2 cm，则AC的长度是多少？
3．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，若S△ADE＝1， 则S△ABC＝4____.
知识点2：三角形的角平分线 4．如图所示，AD是△ABC的角平角线，AE是△ABD的角平分 线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( A ) A．20° B．30° C．45° D．60°
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD、CE是 △ ABC的 角 平 分 线， 则∠ DAC＝ ___3_0_°___ ， ∠ BCE ＝ ___4_0_°____ ， ∠ACB＝____8_0_°____．
七年级下册数学（华师版）
第9章 多边形
9．1 三角形
1．认识三角形 第2课时 三角形的三条重要线段
知识点 1：三角形的中线 1．若 AD 是△ABC 的中线，则下列结论中错误的是( A ) A．AD 平分∠BAC B．BD＝DC C．BD＝21BC D．BC＝2DC
2．如图，在△ABC中，D、E、F、G是边BC上的五等分点， 即BD＝DE＝EF＝FG＝GC，则AD是_______△__A_B__E的中线， AE是_______△__A_D_F__、__△__A的B中G 线．
知识点3：三角形的高 6．三角形的一条高是一条( C ) A．直线 B．垂线 C．垂线段 D．射线 7．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( A )
8．下列说法错误的是( D ) A．三角形的三条高可能相交于外部一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
9．如图，AD、CE是△ABC的两条高，若AD＝9，CE＝8，AB＝10. (1)Βιβλιοθήκη △ABC的面积； (2)求BC的长．
解：(1)S△ABC＝12AB·CE＝40. (2)因为 S△ABC＝12BC·AD， 所以 80＝9BC，即 BC＝890.
易错点：不会判断三角形的高而导致出错 10．如图，填空： (1)在△ABC中，BC边上的高是_A_B__； (2)在△AEC中，AE边上的高是_C__D_； (3)在△FEC中，EC边上的高是_F_E__； (4)若AB＝CD＝3 cm，AE＝4 cm，则S△AEC＝__6__cm2，CE＝ __4__cm.
解：方案一：如图①，在BC边上取点D、E、F，使BD＝DE＝EF＝FC， 连结AD、AE、AF. 方案二：如图②，取BC的中点D，连结AD，分别取DC、AD的中点E、 F，连结AE、BF. 方案三：如图③，取BC的中点D，再取CD的中点E及AB的中点F，连 结AD、AE、DF.
17．(导学号27094125)探索：在如图①至图③中，△ABC的面积为a. (1) 如 图 ① ， 延 长 △ ABC 的 边 BC 到 点 D ， 使 CD ＝ BC ， 连 结 DA. 若 △ACD的面积为S1，则S1＝__a__(用含a的代数式表示)； (2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC， AE＝CA，连结DE.若△DEC的面积为S2，则S2＝____ (2用a 含a的代数式 表示)；
应用：去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年 准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩 展成△DEF，第二次由△DEF扩展成 △MGH(如图④)．求这两次扩展 的区域(即阴影部分)的面积共为多少平方米．
解：扩展一次后得到的△ DEF的面积是原来三角形的面积的7倍． 则图④中阴影部分的面积为(72－1)×10＝480(m2)．