等腰直角三角形的旋转
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)
4、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都Байду номын сангаас等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．
2、如图， 和 都是等边三角形， ，试说明： （综合全等和勾股定理）
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
5、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD。其中正确的有（）
（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：① ；② ；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．（1）如图1，若点P为正方形ABCD边上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H．求证： ．
A 3个B 4个C 5个D 6个
等腰直角三角形
等腰直角三角形等腰直角三角形是指一个三角形的两条边相等，并且其中一个角度为90度。
它是几何学中的常见图形，具有一些独特的性质和特点。
下面将从不同的角度来探究等腰直角三角形的性质和应用。
首先，我们可以从等腰直角三角形的定义开始讨论。
等腰直角三角形由两条长度相等的边和一个90度的直角所构成。
根据直角三角形的性质，直角的两边相互垂直。
而等腰直角三角形的两条边又相等，因此我们可以得出结论：在等腰直角三角形中，直角的两边相互垂直且相等。
其次，等腰直角三角形还满足勾股定理。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于斜边两边的平方和。
由于等腰直角三角形的两个直角边相等，那么我们可以得出：等腰直角三角形的直角边的平方等于等腰直角三角形斜边的平方的一半。
这一性质可以方便地用于解决一些与等腰直角三角形有关的问题。
在几何学中，等腰直角三角形的性质具有广泛的应用。
首先，等腰直角三角形被广泛应用于建筑和工程中的测量和布局。
在建筑设计中，往往需要根据一些特定的角度和尺寸来进行设计，而等腰直角三角形正好满足这些要求。
例如，在设计房屋的墙面、地面和天花板时，常常需要考虑到直角和相等的边。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们准确地测量和布局，确保建筑物的结构和比例符合要求。
此外，等腰直角三角形还在数学中有着重要的地位。
它是许多其他几何形状的基础，例如正方形和长方形。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们理解和推导这些几何形状的性质和定理。
例如，我们可以通过将一个等腰直角三角形分成两个直角三角形，来证明正方形的对角线相等。
这种推理和证明方法在数学中起着重要的作用，有助于培养逻辑思维和推理能力。
此外，等腰直角三角形还有一些有趣的性质。
例如，等腰直角三角形的两个直角边的长度不一定是整数，也可能是无理数。
这一性质在数学中有着重要的地位，与勾股定理和平方根的概念有关。
等腰直角三角形还可以通过平移和旋转等变换产生其他形状，例如正方形和正五边形。
这种变换性质在几何学中起着重要的作用，有助于研究和理解不同形状之间的关系。
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华）
等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形之间的旋转问题（精华）等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形之间的旋转问题（精华）1、图（1）中，C点为线段AB上⼀点，△ACM，△CBN是等边三⾓形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2）C点为线段AB上⼀点，等边三⾓形ACM和等边三⾓形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3）C点为线段AB外⼀点，△ACM，△CBN是等边三⾓形，AN与BM相等吗？说明理由．2、如图（1）所⽰，点C为线段AB上⼀点，△ACM、△CBN是等边三⾓形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针⽅向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成⽴，说明理由．3、如图，已知△ABC是等边三⾓形，E是AC延长线上⼀点，选择⼀点D，使得△CDE是等边三⾓形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三⾓形．（根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；⼜△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三⾓形；）1、（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个⼤⼩不等的等边三⾓形，且有⼀个公共顶点C，连接AF 和BE．（1）线段AF和BE 有怎样的⼤⼩关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转⼀定的⾓度，得到图B，（1）中的结论还成⽴吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC 绕点C旋转⼀定的⾓度，请你画⼭⼀个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成⽴吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．（3）此⼩题图形不惟⼀，如图第（1）中的结论仍成⽴．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，⼤⼩不等的等边三⾓形ABC和等边三⾓形CEF有且仅有⼀个公共顶点C，则以点C 为旋转中⼼，任意旋转其中⼀个三⾓形，都有AF=BE．2、如图，ADC ?和BCE ?都是等边三⾓形，ο30=∠ABC ，试说明：222BC AB BD +=（综合全等和勾股定理）3、△DAC, △EBC 均是等边三⾓形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三⾓形（4）MN ∥BC4、已知：如图1，点C 为线段AB 上⼀点，△ACM ，△CBN 都是等边三⾓形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 为等边三⾓形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针⽅向旋转90 O ，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两⼩题的结论是否仍然成⽴（不要求证明）．5、如图所⽰，已知△ABC 和△BDE 都是等边三⾓形。
旋转第二篇：两个等腰直角三角形
旋转试题篇：抓基本图形，看变化接着上一篇旋转，这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。
如图，△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形，△ABC固定不动，△ADE绕顶点A顺时针旋转。
不难想象，△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示：D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上，且长度不变。
图甲图乙在旋转的过程中，我们发现，△ADE的位置可以大致分为三种情况：情况①：一边在△ABC内一边在△ABC外，如图1所示：情况②：一边在△ABC上，如图2所示：情况③：两边都在△ABC外，如图3所示：图1图2图3这三种情况，几何题中，是很常见的，且贯穿整个初中。
请看题：一、对接情况①的常考题。
【题1】⑴问题发现：如图⑴，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE。
填空，∠AEB的度数为；线段AD,BE之间的数量关系为；⑵拓展探究如图⑵，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。
请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。
【题2】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．二、对接情况②的常考题。
【题3】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF；⑴求证：Rt△ABE≌Rt△CBF;⑵若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。
【题4】如图所示，H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中，正确的有。
三、对接情况③的常考题。
【题5】如图①，已知△ABC，以△ABC的边AB、AC为边，分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE。
一个等腰直角三角形中的旋转全等
一个等腰直角三角形中的旋转全等1、（2007年成都）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
(!)求证：BF=AC；(2)求证：CE=12 BF；(3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。
2、在△ABC中，AD⊥BC, BE⊥AC, D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD。
求证：BH=AC。
3、（2006年辽宁沈阳）.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE 相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.(不需要证明)。
(1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB 于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．6、在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC，AM⊥BD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF的形状，并加以证明。
7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．8、如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点D、E是直线AC上的两个动点，且AD=CE，AM⊥BD 垂足为M，延长AM交BD于N，直线BD交直线NE于F。
中考数学压轴题分析：等腰直角三角形与动点轨迹问题
中考数学压轴题分析：等腰直⾓三⾓形与动点轨迹问题本⽂内容选⾃2021年郴州中考数学⼏何压轴题。
题⽬以等腰直⾓三⾓形的旋转为背景，涉及动点轨迹问题，以及等腰三⾓形的存在性问题。
题⽬难度⼀般，不过问法⽐较典型，值得研究。
【中考真题】（2021·郴州）如图1，在等腰直⾓三⾓形中，，点，分别为，的中点，为线段上⼀动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针⽅向旋转得到，连接，．（1）证明：；（2）如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时为等腰三⾓形？【分析】（1）由旋转的性质得到边⾓等量关系，再根据SAS证明全等即可。
（2）①由图2可以发现△AEH≌△AFG，由于∠HAG=90°，若要证明∠HFG=90°，只需得到四边形AHFG对⾓互补即可。
由于全等可以得到∠AHE=∠AGF，结论易得。
②当△AGQ为等腰三⾓形时，需要进⾏分类讨论。
需要分3种情况，但是由于点H在线段EF上运动，且不与点E、F重合，那么只需分为两种情况讨论即可。
即类型⼀：当AQ=GQ时，∠AQG=90°。
还有类型⼆：当AG=GQ时，∠GAQ=∠GQA=75°。
【答案】（1）证明：如图1，由旋转得：，，，，，；（2）①证明：如图2，在等腰直⾓三⾓形中，，，点，分别为，的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，；②分两种情况：如图3，时，，，，，，，，，，，四边形是正⽅形，，，，当的长度为时，为等腰三⾓形；如图4，当时，，，，，，当的长度为2时，为等腰三⾓形；综上，当的长度为或2时，为等腰三⾓形．。
等腰直角三角形旋转问题的分类探析
等腰直角三角形旋转问题的分类探析
等腰直角三角形旋转可以分为内旋转和外旋转这两种类型。
内旋转是指三角形以坐标原点为中心点，把三角形以某一角为基准，以顺时针或者逆时针
方向旋转，这种旋转属于位置之内不改变三角形的形状以及三个边的长度。
外旋转是指三角形不以坐标原点为中心点，而是将三角形的顶点向外或者向内三角形旋转，形成新的三角形。
这种方式可以改变三角形的形状，改变三个边的长度。
两种旋转方式会产生不同的解法。
因为长方形旋转中有三角形和它的对边，那么可以推导
出对应的三角形的边长。
这就是内旋转的解决方案。
外旋转的解决方案则更为复杂，因为
在旋转之后，三角形的形状和边长都发生了改变，需要先把改变后的三角形按照已有信息
重新拟合并进行外旋转解决方案，从而确定新三角形的顶点坐标。
从上面可以看出，等腰直角三角形旋转分为内旋转和外旋转两种类型，其中内旋转需要利
用已有信息，推导出三角形的边长；而外旋转需要把改变后的三角形按照已有信息重新拟
合并进行外旋转，从而确定新三角形的顶点坐标。
基础训练(二)等腰直角三角形的旋转
基础训练（二）等腰直角三角形的旋转[直角对直角]1、如图1，在等腰Rt△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若将△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置。
（1）点M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，连接MN、PM、PN，判断△PMN的形状；（2）将△ADE绕A点在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，说明S△PMN的最大面积。
2、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D、E分别为AB、AC的中点。
若Rt△ADE绕A 点逆时针旋转，得到△ADE，如图1，设旋转角为α（0<α<180°），记BD与CE交于P。
（1）探求BD、CE的数量关系和位置关系；（2）如图2，CE=2时，求α；[锐角对锐角]1、已知等腰直角三角形△ABC与△DEC中，CE=DE，AB=AC，∠CED=∠CAB=90°。
（1）将△DCE绕C点旋转至如图1位置，N是BD中点，试探求EN与AN的关系并证明；（2）如图2，M是CD的中点，BE交AM于F，求AM与BE的数量关系。
2、等腰直角三角形△ABC与△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，连接EC、BF，点D为BF中点，连接CD。
（1）如图1，当点E落在AB边上时，探求线段EC与CD的数量关系，并证明；（2）将△AEF绕点A顺时针旋转至图2位置，探求线段EC与CD的数量关系，并证明。
如图1，△ABC与△DCE均为等腰Rt△，∠BAC=∠DCE=90°，点O为DE中点，连AD，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连AF。
（1）当D在线段AC上时，如图1，判断线段AF与AO的数量关系和位置关系；（2）若AB=4，CE=2，在图1的基础上，将△CED绕C点继续逆时针旋转到某一位置如图2，此时平行四边形ABFD 为菱形，求AF的长度。
如图，AB垂直平分CD于O，AB=BC，E是BC延长线上一点，F为DB延长线上一点，连接AE、AF，∠EAF=∠EBF。
双等腰直角三角形旋转定值问题探究_熊猛(1)
D F，(1)设F点的坐标是(x，y)，求x、y之间的关系;( 2) 求线段DF 的最小值．( 3) 求 F 点经过的路径的长．图6 图7七、反思解题改善教学高效课堂常见于课堂容量大，教师分析、讲解高位切入、云端行走，把学生的质疑、分析、修改、反思寄希望于课下或者同一节课辗转题目之间时的时间缝隙，这样的做法恰恰忽视了数学“逻辑关联、前后一致”的本质，久而久之，学生的深层次的逻辑思维能力、逻辑严谨性没有培养起来，解题总是停留在刻意模仿的阶段( 形式运算阶段) ，与“培养学生走上社会所需要的各种能力”的数学教育理念大相径庭．通过研究以上变式题目使笔者深深体会到欲通过一道“孤立”的难题培养学生的各方面的能力不可小觑，教师的引导要脚踏实地，一步一个脚印，帮助学生按照知识源、方法论与解题需求关联性的远近程度排列并串联起来，方是题目解法的自然生成，也能够体现题目在培育人的逻辑思维完善性、严谨性等方面的重要价值．此外，教学时可详尽剖析各知识源的异同点和使用条件、特征与范围，以提高学生的辨析与应用能力［1］．总之，尊重教育教学规律、尊重学生的数学现实、尊重数学学科的特点，步步为营、环环相扣才能够释放出解题的精彩，流露出切实的学生本位，让学生获得对于他生命成长有意义的东西．参考文献:［1］刘华为．从教“怎样做”到教“怎样想”［J］．中学数学教学参考:中旬，2016(6):26 －28．［1．山东省淄博市周村区王村中学(255300)2．山东省淄博市周村区第三中学(255300)］双等腰直角三角形旋转定值问题探究■熊猛摘要: 等腰直角三角形是特殊的等腰三角形( 有一个角是直角) ，也是特殊的直角三角形( 等腰) ，因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质( 如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等) ．旋转问题中的定值问题的解决，一般思路是从特殊到一般，化动为静．本文对双等腰直角三角形中的旋转定值问题进行探究，以期读者通过本专题的思考，2D E2．图1 图2学会抓住基本图形及基本数量关系解决问题．关键词: 双等腰直角三角形; 旋转; 定值旋转问题中有一个非常经典的数学问题:等腰直角△A B C中，D为B C的中点，E 为A B边上一动点，∠E D F=90°，交A C于点F．我们可以得出很多结论，比如:①A E =C F;②D E =D F;③C F2+B E2=解决这个问题的策略很简单，连结AD，证明△A D E ≌△C D F，上面的结论很容易得出．对这个问题，我们可以做如下的简单变化．变式1:等腰直角△A B C中，D为B C的中点，△EDF 是以点D 为顶点的等腰直角三角形，连结BE、A F，△E D F绕点D旋转过程中，B E 和A F有何关系?实质上通过A D，证明△BD E ≌△A D F，很容易得作者简介: 熊猛( 1972 －) ，男，四川巴中人，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究槡 槡槡图3 图4 出问题结论: 相等且互相垂直． 如果我们再做如下变化呢?变式 2: △A B C 与 △E F G 是等腰直角三角形，D 为斜边 B C 、 GF 的中点， 连 结 AF 、CE ， 问 △EFG 绕点D 旋转过程中，A F 与图9 图10 形，G 为 A C 、D E 的中点，连结 C D 、B F ，问 C D 与 B F 有何关系?本题同样可以根据上述分析问题的方式，可以联想到解决该问题的关键与 BG 、FG 这两条连线有关，事实上，两等边三角形两条中线与边的高之间有如下关CE 有何关系?解决这个问题，似乎难度就图5 系: B G = 3 C G ，F G = 3 D G ，从而B GCG = FG DG = 槡3 ， 而 上来了，作图准确的情况下，很容易看出 AF 与CE 的关系是相等且互相垂直． 当然，我们在解决这个问题时， 我们可以分两个步骤思考:步骤 1: 特殊情况( 存在好些种特殊情形)∠AGD = ∠FGD = 90°，图11 图12 则∠A G D + ∠B G D = ∠F G D + ∠B G D ，即 ∠B G F= ∠C G D ，所以 △B G F ∽ △C G D ，图6 图7 第二步: 对这些特殊情形的 所以BF CD= B G= 3 ． 若证 B F ⊥ C D ，只需延长C D CG分析，我们可以看出上述两种情形都与 AD 、DE 相关，因此一般情形下，我们连结 AD 、DE ，就很容易发现△A D F ≌ △C D E ． 从而可 证得结论: AF 与 CE 的关系是相 图8 等且互相垂直．我们再对变式 2 进行变式:变式3: △A B C 与 △E F G 是等腰直角三角形，D 为斜边 B C 、G F 的中点，连结 A E 、C G ，问 △E F G 绕点 D 旋转过程中，A E 与 C G 有何关系? 对这个问题的变式，我想大家很容易就可以分析出 △A D E ≌ △C D G ，从而推出结论． 再将变式 2 中的 “等腰直角三角形”改为“等边三角形”，就可以改变成如下的问题:变式 4: 如图 11，△A B C 与 △D E F 均为等边三角交 B F 于点 M ，通过相似，可有 ∠G B F = ∠G C D ，加上一对对顶角，从而 ∠B MC = ∠B G C ，则B F ⊥CD ． 我们还可对顶点的位置做如下变式:变式5: 如图13，△A B C 与△A D E 是等腰直角三角形，连结 BD ，C E ，判断 BD 与C E 的关系．图13 图14 分析: 很容易证明到: △A DB ≌ △A E C ，则 BD = C E ，∠A DB = ∠A C E ，因此∠ABC + ∠BCE + ∠ACE = ∠ABC + ∠BCE + ∠A DB = 90°，从而BD ⊥ C E ． 我们还可以发现，双等腰直角三角形问题与斜边·6·上的中线有关联，因此我们又可以有如下的变式．变式6:如图15，△A B C与△A D E 是等腰直角三角形，F、G分别为E D、B C的中点，试判断C E 和F G的数量关系．看是不是更容易了．变式8:如图19，已知△A B C和△A D E 都是等腰直角三角形，A为它们的公共直角顶点，把△A D E 绕点A 顺时针旋转α角( 0 ＜α＜90°)，点M 是BE 的中点，连分析: 如图16，ACAG= AEAF= 槡2 ，结A M、C D，判断A M与C D的关系．∠EAF = ∠CAG = 45°，所以∠CAE = ∠FAG，所以△CAE ∽ △FAG所以CEFG= AEAF= 槡2 ．图19 图20分析: 本题是一道难度颇大的问题，但在变式5中，已经得到BD =CE 这个结论，可以给我们启发，作B C、C D中点，连结M G、N G，则根据中位线定理，易得MG = NG，且MG ⊥ NG，从而容易得到△AMG ≌图15 图16如果将一等腰直角三角形的顶点绕一锐角顶点变换，可做如下变化．变式7:如图17，△A B C与△D C E 是等腰直角三角形，F、G分别为E D、B C的中点，连结A E，F G．若A C= 2C E，若A E =3，求F G的长．图17 图18分析:连结C F，根据以上题目的分析，很容易想到:△CNG，实际上是△AMG 绕点G 旋转了90°得到△C N G，因此A M=C N= 1 C D，垂直关系也很容易得2出了．到这里:我们再来总结回顾双直角三角形绕点旋转问题，一方面，主要用到以下等腰三角形的重要结论: ① 两条直角边相等; ② 斜边上的中线等于斜边的一半; ③ 三线合一; ④ 等腰直角三角形三边比例为1 ∶ 1∶ 槡3 ; 另一方面，解决双等腰直角旋转问题中定值问题，先从特殊到一般，关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．第三，在解题过程中要善于总结，抓住基本图形及基本数量关系解决同类问题．参考文献:AC =CE 而=C G=2，∠A C G=∠E C F=45°，从CF［1］吕小文．双等腰直角三角形”模型的探究与应用［J］．学苑教育，2015(9):45．［2］吴国庆．例谈旋转中的双等腰直角三角形［J］．△A C E ∽△G C F，因此A E =A C=槡2 ，所以F G=中小学数学:初中版，2016(7 －8):66 －67．槡2 AE =3 槡2 ．GF CG［广东省深圳市龙岗中学( 518116) ］2 2事实上:如图，△A B C与△D C E 是等腰直角三角形，F、G分别为E D、B C的中点，连结A E，F G．则一定会有: AEFG= 槡2 ．到这里，我们再来解决一道综合性更大的问题，看·7·槡2 C G槡2 C F。
中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定
中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等，(2)对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角;(3)对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。
常见的几种模型旋转类型题目举例1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求正方形ABCD面积。
3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
旋转中的最值问题方法
旋转中的最值问题方法一、三角形旋转中的最值问题。
题目1：在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC=√(2)，将ABC绕点C逆时针旋转角α(0^∘<α<90^∘)得到A'B'C，连接A'B。
求A'B的最小值。
解析：1. 因为ABC绕点C旋转得到A'B'C，所以CA = CA'=√(2)。
2. 在A'CB中，根据余弦定理：A'B^2=A'C^2+BC^2- 2A'C· BC·cos(∠ A'CB)。
3. 由于∠ A'CB=∠ ACB+α = 90^∘+α，A'C = AC=√(2)，BC=√(2)。
4. 则A'B^2=2 + 2-2×√(2)×√(2)cos(90^∘+α)=4 + 4sinα。
5. 因为0^∘<α<90^∘，当sinα = 0（即α = 0^∘）时，A'B^2取得最小值4，所以A'B的最小值为2。
题目2：已知等边三角形ABC的边长为2，点D是边BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACE。
求线段DE的最大值。
解析：1. 因为ABD绕点A逆时针旋转得到ACE，所以AD = AE，∠ DAE=∠ BAC = 60^∘，所以ADE是等边三角形。
2. 点D是边BC的中点，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，根据勾股定理可得AD=√(3)。
3. 因为ADE是等边三角形，所以DE = AD=√(3)，DE的最大值就是√(3)。
题目3：在ABC中，AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘，将ABC绕点A旋转，得到AB'C'。
求BC'的最大值。
解析：1. 由余弦定理可得BC=√(AB^2)+AC^{2-2AB· AC·cos∠ BAC}- 把AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘代入可得：BC=√(9 + 16-2×3×4×frac{1){2}}=√(13)。
专题四：Y型旋转
旋转模型：Y 型旋转模型I ：等边三角形的“Y ”字型旋转内“Y ”线“Y ”外“Y ”模型II ：等腰直角三角形的“Y ”字型旋转内“Y ”线“Y ”外“Y ”P费马点概念：在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点称为三角形中的费马点． 【典例规范】请写出思路和简要过程：例1（1）如图2-1，P 是等边ABC △内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC △的边长和∠APC ．（2）如图2-2，在等边ABC △中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则θ为多少度？（3）如图2-3，ABD △是等边三角形，在ABC △中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？AB C PABPCAC BD图2-1 图2-2 图2-3例2（1）如图3-1，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =PB 1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．（2）如图3-2，已知在ABC △中，AB AC =，90BAC =︒∠，点D 是BC 上的任意一点，探究：BD ，CD 与AD 的关系，并证明你的结论．（3）如图3-3，四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD △和直角CBD △，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．ABD AB C D图3-1 图3-2 图3-3PDC BA例3如果△ABC 的三个内角均小于120°,是否存在一点P ，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和（即PA+PB+PC ）为最小,如果存在，请写出点P 的具体位置。
A BC P【举一反三自主练习】请写出思路和简要过程：1. (1) 如图，P 是等边ABC △内部一点 ，PC =1，PA =√3，PB =2，求∠APC 和∠BPC 和∠APC ． (2) 如图，P 是等边ABC △内部一点 ，PC =1，PA =1，PB =√2，求∠BPC ．（3）如图，在等边ABC △中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则θ为多少度？AB C PABC PABPC2.（1）如图，四边形ABPC 中，AP ，BC 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠BPC=120°，PC=2，PB=4．求PA 的长.（2）如图，四边形ABPC 中，AP ，BC 是对角线，△ABC 是等腰三角形且∠BAC=120°．∠BPC=60°，PC=4，PB=2．求PA 的长.（3）如图，四边形ABCD 中，AP ，BC 是对角线，△ADC 是等腰直角三角形且∠BDC=90°，∠BAC=90°，AB=4，AC=2．求AD 的长.（4）如图，四边形ABCD 中，AP ，BC 是对角线，△ADC 是等腰直角三角形且∠BDC=90°，∠BAC=90°，AB=4，AC=2．求AD 的长.（5）如图，四边形ABPC 中，AP ，BC 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠BPC=30°，PC=3，PB=4．求PA 的长.3.（1）如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作Rt ADE △，90AED ∠=︒，连接OE ，6DE =，OE =求AE 的长= ． （2）如图，以Rt ABC △的斜边BC 为一边在ABC △同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果4AB =，AO =AC 的长=．（3）如图，ABC △为等边三角形，以AB 为对角线作矩形ADBE ，点E 在ABC △内部，连接EC ，若150BEC =︒∠，1EC =，则ABC △的边长为____ ___．（4）已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当45APB ∠=︒时，求AB = ，PD 的长= ．AEB CD OB FC AOEPDABC4.背景资料：在已知△ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”． 如图①，当△ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在△ABC 内部，此时∠APB =∠BPC =∠CP A =120°，此时，P A +PB +PC 的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求∠APB 的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌△ABP ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A ，PB ，PC 转化到一个三角形中，从而求出∠APB =（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，∠ABC =30°，点P 为Rt △ABC 的费马点，连接AP ，BP ，CP ，求P A +PB +PC 的值．拓展应用（3）①如图④，△ABC 三个内角均小于120°，在△ABC 外侧作等边三角形ACB '，连接BB '.求证：BB '过△ABC 的费马点P ，且BB '=P A +PB +PC .②已知三村庄A ，B ，C 构成了如图⑤所示的△ABC （其中∠A ，∠C 均小于120°），AB =3 km ，BC =4 km ，∠B =30°，现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小. 求输水管总长度的最小值.5.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ENB △≌△；（2）①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； （3）当AM BM CM ++1+时，求正方形的边长．ENM BCDA。
诺把一个斜边长为两厘米 的 等腰直角三角形绕其直边所在直线旋转一周 则所形成的
诺把一个斜边长为两厘米的等腰直角三角形绕其直边所在
直线旋转一周则所形成的
根据给出条件，当一个斜边长为两厘米的等腰直角三角形绕其直边所
在直线旋转一周时，将会形成一个椭圆。
它的形状就如一个甜甜圈，
中间有一个小的开口，两边的斜边自然形成了两个半圆形。
首先，以旋转一周的等腰直角三角形的右直角为中心，开始旋转，右
上角先向右转，直转到与初始时位置重合，由于已完成一个周期，三
角形也就完成了一周的旋转。
在旋转的过程中，等腰直角三角形的斜边一直沿着旋转的方向，改变
着弧度的方向，这样三角形的边会一点点伸长，最后在原来的基础上，斜边就变成了一条曲线，并且恰好形成了一个圆弧。
当旋转的距离等于斜边的长度，也就完成了一周的旋转，如此，在原
等腰直角三角形的基础上，斜边就形成了一个圆弧形，两段直线也就
形成了一整个椭圆形，这样就将一个斜边长为两厘米的等腰直角三角
形绕其直边所在直线旋转一周，所形成的椭圆就完成了。
通过这个椭圆形，我们可以看出，斜边绕过360度旋转，椭圆形变化
原来的角度，再加上原本的两条直线，使原本具有等边角的三角形变
成了一个椭圆形，椭圆轮廓是由旋转的三角形的斜边和两条原本的直
线组成的，这也表明了旋转三角形的重要性，它是形成椭圆的关键。
中考重点等腰直角三角形中的定角及定线旋转问题
中考重点等腰直角三角形中的定角及定线旋转问题中心思想正方形的一组邻边和一条对角线形成了一个等腰直角三角形，正方形对角线相交形成四个全等的等腰直角三角形，这些等腰直角三角形绕着公共点旋转时，就出现了典型的定角（直角）旋转问题，旋转过程中会涉及全等或相似，另外某条定线（射线或直线）绕端点旋转45°也可转化成等腰直角三角形的旋转和翻折问题，下面的分析的重点是：强化共角共边的相似模型以及两定点形成的线段旋转45°的模型的运用，归纳解题方法。
原题再现沈阳市和平区2019-2020学年度上学期期末24题追根溯源【试题来源】北师大版九上数学习题1.8联系拓广第 4 题：4.如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形ABCD 的边长相等，在正方形′′′绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论.【课程标准】（1）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；（2）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形具有矩形和菱形的一切性质破解前提破解策略原题延伸总结一道题带给我的思考就是无论用什么方法，只要解决了就是好方法，如果你非得找寻简单做法，那就要知道自己擅长什么解法，你掌握了几种方法模型，我们都说方法贵精不贵多，如果你全身心对待一道题，就会有你意想不到的好处，另外作为试题的分析者，深深体会到命题者的精心设计，让我受益匪浅，我虽然很认真去分析，但也只是提出了一些局限性的见解，不足之处，请大家批评指正！。
专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ． 则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】 由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ， 即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】 根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒， 根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论： 如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。
双等腰直角三角形旋转问题
双等腰直角三角形旋转问题《双等腰直角三角形旋转的奇妙世界》我觉得数学里有好多特别神奇的东西，就像双等腰直角三角形旋转这个问题，可有趣啦。
咱们先来说说等腰直角三角形是啥样的吧。
等腰直角三角形呀，就像是一个规规矩矩的小角落，它有两条边是一样长的，就像两个小伙伴手拉手一样，然后还有一个直角呢，这个直角就像是一个站岗的小士兵，站得笔直笔直的。
我每次看到等腰直角三角形，就感觉它特别对称，特别好看。
那两个等腰直角三角形凑在一起，再让它们旋转起来，那就更不得了啦。
想象一下，有两个这样的三角形，它们就像两个小舞者。
当我们开始让它们旋转的时候，就好像是一场独特的舞蹈表演开始了。
我和我的同桌有一次讨论这个双等腰直角三角形旋转的事儿呢。
我跟他说：“你看啊，这两个三角形一转，肯定会有好多特别的情况。
”我的同桌一开始还不太明白，他就说：“这有啥特别的呀，不就是两个三角形在转嘛。
”我急得直跺脚，我说：“你可不能这么想呀。
你想啊，如果把这两个等腰直角三角形看作是两个小机器人，它们在旋转的过程中，肯定会有一些特定的位置关系，就像小机器人在执行特定的任务一样。
”我又接着给他讲：“你看，当其中一个等腰直角三角形绕着某个点旋转的时候，它和另外一个等腰直角三角形的边呀，角呀，就会产生各种各样的联系。
比如说，它们的斜边可能会在某个时候重合，这就像是两条小路突然合并成了一条大路一样神奇。
”我的同桌好像有点开窍了，他眼睛亮了起来，说：“哦，我好像有点懂了，那它们的直角边呢？”我兴奋地说：“直角边就更有趣啦。
有时候，一个三角形的直角边会和另一个三角形的直角边平行，这就像两根铁轨一样，整整齐齐的。
”在这个双等腰直角三角形旋转的过程中，我们还可以发现很多和面积有关的事情呢。
我在做数学题的时候就发现，当它们旋转到特定的角度时，所形成的图形的面积会有一些奇妙的变化。
这就好比是搭积木，不同的搭法会有不同的占地面积一样。
你要是问我怎么发现的，那可真是费了我不少脑细胞呢。
等腰直角三角形旋转证明
问题一：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点D 、E 分别在AC 边和AB 边上，连接EC ，点M 为EC 的中点，连接BM 和DM 。
试探究BM 和DM 的关系，并加以证明。
变式1 ：如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转︒45，其余条件不变，上述结论还成立吗？变式2 ：如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒90，其余条件不变，上述结论还成立吗？变式3 ： 当△ADE 绕点A 逆时针方向旋转30°时，连BE ，若BE ∥AC ，求 ABAE的值问题二：如图1，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连AD ，BE ，F 为线段AD 的中点，连CF 。
如图，当D 点在BC 上时，试探究线段BE 与CF 的关系．ADEB MCADE BMCADEBMCABCDE变式1：如图2，把△DEC 绕C 点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明．如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．变式2：如图3，把△DEC 绕C 点顺时针旋转45°，若∠DCF=30°，直接写出CGBG的值。
课后巩固已知∠ACD=90°，MN 是过点A 的直线，AC=DC ，DB⊥MN 于点B ，如图（1）．易证BD+AB=CB ，（1）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明． （2）MN 在绕点A 旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= ，CB= ．。
中考数学教学指导：等腰直角三角形旋转问题的分类探析
等腰直角三角形旋转问题的分类探析等腰直角三角形在旋转变换下的探究性问题，是近几年中考数学命题的热点，其探究过程常与三角形的全等和相似、勾股定理、正方形的性质以及函数方程等知识有关，是一类对能力要求较高的问题。
现以中考试题为例，具体归纳为以下几种类型进行分析. 一、90°角绕直角顶点旋转例1 .在Rt ABC ∆中，90,4,,A AC AB D E ∠=︒==分别是边,AB AC 的中点.若等腰Rt ADE ∆绕点A 逆时针旋转，得到等腰11Rt AD E ∆，设旋转角为(0180)αα<≤︒，记直线1BD 与1CE 的交点为P .(1)如图1，当90α=︒时，线段1BD 的长等于 ，线段1CE 的长等于 ;图1 图2(2)如图2，当135α=︒时，求证:11BD CE =，且11BD CE ⊥;(3)求点P 到AB 所在直线的距离的最大值(直接写出结果).解(1)(2)当135α=︒时，Rt ADE ∆ 旋转135°到11Rt AD E ∆， 1111,135AD AE D AB E AC ∴=∠=∠=︒.1,A B A C D A B =∴∆ ≌1E AC ∆,又‘:L1=L2，1111,BD CE D BA E CA ∴=∠=∠.又12∠=∠ ，90CPB CAB ∴∠=∠=︒,即11BD CE ⊥;(3)最大值二、90°角绕斜边中点旋转例2 将一副三角尺如图3摆放(在Rt ABC ∆中，90,60ACB B ∠=︒∠=︒;在Rt DEF ∆中，90,45EDF E ∠=︒∠=︒，点D 为AB 的中点,DE 交AC 于点P ,DF 经过点C .)(1)求ADE ∠的度数;(2)如图3，将DEF ∆绕点D 顺时针方向旋转角(060)αα︒<<︒，此时的等腰直角三角尺记为DE F ''∆, DE '交AC 于点M ,DF '交BC 于点N ，试判断PM CN 的值是否随着α的变化而变化?如果不变，请求出PM CN 的值;反之，请说明理由.图3解 (1)由题意，知CD 是Rt ABC ∆中斜边AB 上的中线，AD BD CD ∴==.在BCD ∆中，BD CD =且60B ∠=︒， BCD ∴∆为等边三角形，60BCD BDC ∴∠=∠=︒,180180609030ADE BDC EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. (2)PM CN的值不会随着α的变化而变化，理由如下: APD ∆ 的外角MPD ∠303060A ADE =∠+∠=︒+︒=︒,60MPD BCD ∴∠=∠=︒.在MPD ∆和NCD ∆中，60,MPD BCD PDM CDN α∴∠=∠=︒∠=∠=,MPD ∴∆∽NCD ∆,PM PD CN CD∴=. 又由(1)知AD CD =,PM PD PD CN CD AD∴==. 在APD ∆中，30A ADE ∠=∠=︒, ∴在等腰APD ∆中，3PD AD ==, PM PD PD CN CD AD ∴===三、45°角绕直角顶点旋转例3 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF CEF ∠=∠=︒.(1)将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90°,得到ABG ∆(如图4).求证: AEG ∆≌AEF ∆;(2)若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M 、N (如图5)，求证:222EF ME NF =+;图4 图5(3)将正方形改为长与宽不等的长方形，若其余条件不变(如图6)，请你直接写出线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系.图6解 (1)ADF ∆ 绕着点A 旋转90°到ABG ∆,,90,AF AG FAG ∴=∠=︒ 45GAE FAG EAF EAF ∴∠=∠-∠=︒=∠,AE AE AGE =∴∆ ≌AFE ∆.(2) ADF ∆绕着点A 旋转90°到ABG ∆,如图7，得DF BG =.图7ABCD 是正方形，,90,BC DC C ABC ADC ∴=∠=∠=∠=︒9045,90CFE CEF CEF BEM MBE NDF ∴∠=︒-∠=︒=∠=∠∠=∠=︒,45,CE CF DFN CFE BEM ∴=∠=∠=︒=∠,BE DF BG ∴==BEM ∴∆≌,,,45,DFN MG ME FN ME MG MGE BEM ∆=∴==∠=∠=︒180454590,GME ∴∠=︒-︒-︒=︒222GE MG ME ∴=+.AGE ∆ ≌,,AFE EF GE ∆∴=222EF FN ME ∴=+.四、45°角绕斜边中点旋转例 4 如图8 ,ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，L 90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合.将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1)如图8，当点Q 在线段AC 上，且AP AQ =时，求证: BPE ∆≌CQE ∆.(2)如图9，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证:BPE ∆∽CEQ ∆;并求当9,2B P a C Q a ==时，P 、Q 两点间的距离(用含a 的代数式表示).图8 图9解 (1)略.(2)连结PQ (如图10).ABC ∆ 和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，45B C DEF ∴∠=∠=∠=︒ .图10 ,B E Q E Q CC ∠=∠+∠ 即,BEP DEF EQC C ∠+∠=∠+∠4545,BEP EQC ∴∠+︒=∠+︒BEP EQC ∴∠=∠,BPE ∴∆∽CEQ ∆,BP BE CE CQ∴=. 9,,,2BP a CQ a BE CE === 92a BE BE a ∴=，即BE CE ==，BC ∴=，sin 453,AB AC BC a ∴==⋅︒=32AQ CQ AC a ∴=-=，2PA AB BP a =-=. ∴在Rt APQ ∆中，52PQ a ===.。
等腰直角三角形的旋转
A B CC A B D(备用图）C A BD2.(1)2.(1)如图如图1， △ACB 和△和△DCE DCE 均为等腰直角三角形，∠均为等腰直角三角形，∠ACB=ACB=ACB=∠∠DCE=90DCE=90°，求证：△°，求证：△°，求证：△ACD ACD ACD≌△≌△≌△BCE. BCE.(2) (2) 如图如图2，将图1中△中△DCE DCE 绕点C 逆时针旋转n °(0(0＜＜n ＜45)，使∠，使∠BED=90BED=90BED=90°，°，°，又作△又作△又作△DCE DCE 中DE 边上的高CM CM，，请完成图2，并判断线段CM CM，，AE AE，，BE 之间的数量关系，并说明理由．之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，在正方形ABCD 中，中，CD=CD=5，若点P 满足PD=1PD=1，且∠，且∠，且∠BPD=90BPD=90BPD=90°，请直接写出点°，请直接写出点A 到BP 的距离．的距离．EDC B A （图1） （图2） （图3） 等腰等腰直角三角形直角三角形的旋转的旋转1.1.如图，△如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB=5AB=5AB=5，，AC=3AC=3，以，以BC 为边作等腰Rt Rt△△BCD BCD，连接，连接AD AD，把△，把△，把△ACD ACD 绕D 点，逆时针方向旋转9000，得到△得到△EBD EBD EBD。
（1）画出△）画出△EBD EBD EBD；； （（2）当BC=4时，连接AE AE，求△，求△，求△ABE ABE 的面积；的面积；（3）当BC 的长度发生变化时，请直接写出AD 长的取值范围。
．．（直接填写结果）（直接填写结果）4.4.在等腰在等腰Rt Rt△△ABC 和等腰Rt Rt△△A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。
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（图1） （图2） （图3）
等腰直角三角形的旋转
1.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，以BC 为边作等腰Rt △BCD ，连接AD ，把△ACD 绕D 点，逆时针方向旋转900
，得到△EBD 。
（1）画出△EBD ； （2）当BC=4时，连接AE ，求△ABE 的面积；
（3）当BC 的长度发生变化时，请直接写出AD 长的取值范围。
(
备用图）
2.(1)如图1， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：△ACD ≌△BCE.
(2) 如图2，将图1中△DCE 绕点C 逆时针旋转n °(0＜n ＜45)，使∠BED=90°，又作△DCE 中DE 边上的高CM ，请完成图2，并判断线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在正方形ABCD 中，CD=5，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．
3.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt△AD 1E 1，如图(2)，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．
（1）求证：BD 1= CE 1； （2）当∠=1CPD 2∠1CAD 时，求1CE 的长；
（3）连接PA,PAB ∆面积的最大值为 ．（直接填写结果）
4.在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。
(1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是 ；位置关系是 。
(2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。
(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值是 。
B P E 1B
C E
D D 1A
1
11
1图1。