空间向量的数量积(教学设计)
人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思
人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思教学目标通过本节课的学习，学生应该掌握以下知识： - 理解空间向量的数量积运算 - 掌握空间向量的数量积运算的定义和性质 - 熟悉空间向量的数量积运算的计算方法 - 能够应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学内容1.空间向量的数量积概念和定义2.空间向量的数量积运算的性质3.空间向量的数量积运算的计算方法4.应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学重点•掌握空间向量的数量积运算的定义和性质•熟悉空间向量的数量积运算的计算方法教学难点•理解空间向量的数量积运算的概念•应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学方法•讲授法•提问法•实验法教具准备•平面直角坐标系•立体直角坐标系•白板和笔教学过程导入（5分钟）教师通过提问学生上一次课所学的知识，引出本节课所要学习的内容。
讲授（40分钟）1. 空间向量的数量积概念和定义•向量的数量积又叫点积，用符号 $\\vec a \\cdot \\vec b$ 表示，它是两个向量的数量乘积与它们夹角余弦的乘积。
•数量积可以计算向量的模长，夹角余弦，方向余弦等。
•数量积也可以表示两个向量共线或者垂直的关系。
2. 空间向量的数量积运算的性质•交换律：$\\vec a \\cdot \\vec b = \\vec b \\cdot \\vec a$•结合律：$(\\lambda\\vec a) \\cdot \\vec b = \\lambda(\\vec a \\cdot \\vec b) = \\vec a \\cdot (\\lambda \\vec b)$•分配律：$\\vec a \\cdot (\\vec b + \\vec c) = \\vec a \\cdot \\vec b + \\vec a \\cdot \\vec c$•数量积为零的条件：向量相互垂直3. 空间向量的数量积运算的计算方法•模长法：$\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| |\\vec b| \\cos \\theta$，其中 $\\theta$ 为两个向量间夹角。
新版高中数学《1.1.2 空间向量的数量积运算》教学设计
1.1.2空间向量的数量积运算 教学设计(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法、几何意义、性质及运算律2.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；通过投影向量概念的学习培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养二、教学重难点1.重点：空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法2.难点：空间向量的数量积的几何意义，运算律的证明三、教学过程1.类比平面向量，探究空间向量数量积的相关概念和性质1.1两个非零空间向量的夹角问题1：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置（动态演示空间向量平移过程）【定义】已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→ = a ，OB → = b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 规定：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉= π2时，a ⊥b .【互动练习】（1）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉成立吗？（2）〈a ，b 〉= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .（3）〈a ，b 〉= 0时,a 与b 方向 ; 〈a ，b 〉= π时,a 与b 方向 .1.2 两个非零空间向量的数量积【定义】已知两个非零向量a ，b ，则|a| |b| cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即 a ·b = |a| |b| cos 〈a ，b 〉.规定：零向量与任意向量的数量积都等于零.问题2：根据上述定义我们不难发现，空间向量数量积的定义和平面向量数量积定义一致，那么空间向量数量积的性质是否与平面向量中的一致呢？【预设的答案】一致【互动练习】（1）两个向量的数量积是数量还是向量？（数量，它的大小与两个向量的长度及其夹角有关.）（2）0 ·a = （选择0还是0）. 零向量与任意向量的数量积为0.（3）对于两个非零向量a ，b ，a ⊥b ⟺ a ·b = （判断垂直关系）（4）a ·a ＝_____或|a |＝a ·a （求模长）（5）若a ，b 同向，则 a ·b ＝_______；若反向，则a ·b ＝_______.（6）|a ·b | ____ |a |·|b |（7）若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝_______.【设计意图】平面向量中关于数量积的性质可以直接类比到空间向量中来，从学生的口中叙述出来，一是为了巩固，也能让学生体会空间向量数量积定义与平面向量数量积定义的相通之处.【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →.【解】(1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.1.3 空间向量的数量积的几何意义问题3:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a 向向量b 的投影有什么意义？【预设的答案】将两空间向量平移至同一平面，转化为平面向量问题，找出投影向量.在空间中，由于向量a 与向量b 是自由向量，将向量a 与向量b 平移到同一平面内α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量：||cos ,b c a a b b=<>追问: 空间中，向量a 能否向一条直线l 作投影？向量a 能否向一个平面β作投影？图1动态演示向量a 向向量b 投影注：图3中向量a 与投影向量的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角【设计意图】投影向量概念的提出是为了让学生体会空间向量数量积的几何意义；另外，空间向量向直线投影、向平面投影也为后续学生对空间向量与空间角间的关系形成初步认识.1.4 空间向量的数量积的运算律问题4: 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？【预设的答案】结合律；交换律；分配律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ), λ∈R 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c追问：你能否证明上述运算律？【教师分析】证明前两条运算律，可以将向量a 与向量b 平移至同一个平面当中，则证明过程与平面向量中的证明方法无异；证明分配律时则涉及到三个不共面的向量.分配律的证明：,,OA a OB b BC c ===令, 'OC OA OC 向投影，投影向量为,OC OA θ记与的夹角为()OA OB BC OA OC ∴=⋅+=⋅左边||||cos OA OC θ=|||'|OA OC ='OB OA OB 向投影，投影向量为,1OB OAθ记与的夹角为 ''BC OA B C 同理，向投影，投影向量为,2BC OAθ记与的夹角为 OA OB OA BC ∴=⋅+⋅右边12||||cos ||||cos OA OB OA BC θθ=+|||'||||''|OA OB OA B C =+ ||(|'||''|)OA OB B C =+|||'|OA OC ==左边图2动态演示向量a 向直线l 投影 图3 动态演示向量a 向平面β投影2. 对比思考，深入了解思考问题1: 对于三个均不为0的数a ，b ，c ，若ab=ac ，则b=c.对于非零向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？分析：由a ·b ＝a ·c ，有a·(b －c )＝0. 从而有b ＝c 或a ⊥(b －c ).追问：能否从几何意义的角度举出反例？思考问题2: 向量有除法吗？分析：向量没有除法. 追问：ak 的结果唯一吗？ 思考问题3: 向量数量积满足结合律吗？分析：两个向量的数量积为一个实数，(a ·b )c 和a (b ·c )分别表示与向量c 和向量a 共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律！【设计意图】通过三个问题的思考 ，与数字运算进行对比，深刻体会向量运算与数字运算的区别所在；学会用数形结合的思想解决问题，了解向量是与几何密切相关的工具.四、课堂小结（1）空间向量夹角的定义及范围；（2）空间向量数量积运算的定义、性质及几何意义；（3）空间向量数量积运算的运算律及简单计算.五、课后思考【变式训练1】例1条件不变,如何求AB →·CD →的值?【解】AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.【设计意图】感受向量数量积的逆用，数量积运算的结果可以推导出夹角及位置关系. 思考：（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？。
向量的数量积教学设计
向量的数量积教学设计向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的任何一个物理量，例如力、速度、加速度等。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，本篇文章将从定义、性质、应用等方面对向量的数量积进行详细介绍。
一、定义向量的数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积再求和的结果。
假设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示向量A和B之间的夹角。
二、性质1.数量积具有交换律，即A·B=B·A。
2.数量积具有分配律，即(A+B)·C=A·C+B·C。
3.数量积具有结合律，即k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数。
4.若向量A与向量B的数量积为0，则称A与B垂直或正交。
5.若向量A与向量B的夹角为锐角，则它们的数量积为正数；若夹角为钝角，则数量积为负数。
三、应用1.求向量的模长利用向量的数量积可以求向量的模长，|A|=√(A·A)。
2.求向量的夹角利用向量的数量积还可以求向量之间的夹角，cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中θ为夹角。
3.求向量的投影利用向量的数量积和向量的模长可以求出一个向量在另一个向量上的投影，投影的大小为|A|cosθ，方向与另一个向量相同。
4.判断向量之间的关系利用向量的数量积可以判断两个向量之间的关系，若A·B>0，则向量A和向量B同向；若A·B<0，则向量A和向量B反向；若A·B=0，则向量A和向量B垂直或正交。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，它具有重要的应用价值。
无论是在物理学、工程学、计算机科学等领域，都有着广泛的应用。
因此，学习向量的数量积是非常有必要的。
空间向量的数量积运算教案
空间向量的数量积运算教案一、教学目标1. 知识目标：了解空间向量的概念和数量积运算的定义；掌握空间向量数量积的计算方法；理解空间向量数量积的几何意义。
2. 能力目标：能运用数量积的性质解决实际问题；能够运用向量的数量积计算向量的长度和夹角；能够通过数量积判断向量的垂直和平行关系。
3. 情感态度目标：培养学生对数学的兴趣和热爱；培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生学会合作、分享以及互相帮助的品质。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念和性质；（2）空间向量数量积的定义和计算；（3）向量数量积的几何意义。
2. 教学难点：（1）利用数量积计算向量的长度和夹角；（2）判断空间向量的垂直和平行关系。
三、教学过程1.导入新课通过一个实际问题引入，例如：有一个空间中的物体用向量表示力，物体受力的情况如何影响其运动？引导学生思考并激发学生学习的兴趣。
2.概念讲解介绍空间向量的概念和性质，讲解向量的数量积的定义和性质，并通过具体的例子加深学生对概念的理解。
3. 数量积的计算方法（1）介绍向量数量积的计算公式；（2）讲解向量数量积的几何意义，如何通过数量积计算向量的长度和夹角。
4.练习与实践为了帮助学生更好地掌握数量积的计算方法，老师可以设计一些简单的计算练习题，并让学生进行练习，在练习中体会数量积的计算方法和几何意义。
5. 垂直和平行关系的判断介绍如何利用数量积判断向量的垂直和平行关系，通过具体的实例让学生掌握判断方法。
6. 课堂讨论让学生结合实际问题进行讨论和分享，提高学生自主探究和解决问题的能力。
7. 拓展与应用将向量数量积与实际问题相结合，引导学生解决实际问题，拓展学生的应用能力。
8. 归纳总结总结本节课的重点内容，强调向量数量积在几何问题中的应用，并巩固学生对相关概念的理解。
9. 作业布置布置相关的作业，让学生巩固所学内容，并在课后检查学生的作业情况。
四、教学反思通过本节课的教学，学生能够掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法，能够运用数量积解决实际问题，提高了学生的数学运算能力和应用能力。
〖2021年整理〗《空间向量的数量积运算》优秀教案
空间向量的数量积运算陈菊仙一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值． （二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律． 2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题． （三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律． 2．空间向量的模长公式和夹角公式． 3．空间向量数量积在立体几何中的应用． （四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积，记作a b ⋅． 零向量与任何向量数量积为0．特别地，a a ⋅=><a a a a ,cos ||||2||a =．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||； ②若a ，b a b ⊥⇔a b ⋅0=；③==a ||；④若a ，b 为非零向量，则>=<b a ,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量a ，b 满足：3||=a ，2||=b ，a b ⋅6-=，则>=<b a ,（ ） A ．0B ．3πC ．2πD ．π【知识点】空间向量的夹角公式． 【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯，∴>=<b a ,π． 【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式． 【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（ ） A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴B C AB 11⋅)()(11CB C C BB AB +⋅+=C C BB CB AB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ， 故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0． 【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ． 【知识点】空间向量的模长．【解题过程】=21||AC 2121)(AA AD AB AC ++=112122222AA AD AA AB AD AB AA AD AB ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85． 【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ． 【知识点】空间向量的模长．【解题过程】222)(||BD AB CA CD CD ++==BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++． 二课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）共线向量定理的两种表达形式； （3）共面向量定理的两种表达形式． 2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★ ●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a ，b 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备． ●活动② 巩固理解，深入探究 同样的，那数量积的定义呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner roduct ），记作a b ⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=． 【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义． ●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答）①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入． 探究二 探究空间向量数量积的性质★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答）①若e 为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>；（解释：1||=e ，转化为投影） ②若a ，b 为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=；（解释：,cos022a b ππ<>==，）③||a ==（解释：,0cos 01a b <>==，） ④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式）⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=，可用于证明空间向量垂直；第③条，||a =长公式；第④条，,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础． 探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=；②a =||22a b b a =； ④22||4||9)23()23(b a b a b a -=-⋅+．正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律． 【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；a ，b 不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确． 【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律． 【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．CB BA ⋅2 B ．BD AD ⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<BD AD ， 所以><=⋅BD AD BD AD BD AD ,cos ||||22223cos2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算． 【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ） A ．0 B ．21 C ．22 D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<c a b a ，且||||c b =． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅3cos ||||3cos||||ππb a c a -=0|)||(|||21=-=b c a ， 所以0,cos =>=<BC OA BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长． 【答案】A ．同类训练 已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为 60，其模都为1，则|2|c b a +-等于（ ） A ．5 B ．5 C ．6 D ．6 【知识点】空间向量的模长公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∴2|2|c b a +-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|c b a +-5=．【思路点拨】先计算b a ⋅，c b ⋅，a c ⋅，再利用模长公式展开计算． 【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线的方向向量a ，同时取向量PA ，OA ，∵OA l ⊥，∴0=⋅OA a ．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅PO a ． 又∵=⋅PA a )(OA PO a +⋅0=⋅+⋅=OA a PO a ，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量PA 用PO ，OA 来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥． 【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ． 【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ． ∵m 与n 相交，∴向量m ，n 不平行，由向量共面的充要条件知， 存在唯一的有序实数对),(y x ，使n y m x g +=．∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥． ∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量g 表示为m ，n 的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度． 3 课堂总结 知识梳理（1）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥． （2）已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner roduct ），记作a b ⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，a a ⋅=><a a a a ,cos ||||2||a =．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ，②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||a ==；④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛． （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(b a b a ⋅=⋅ B ．||||||b a b a ≤⋅C ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅D ．若)(c b a -⊥，则0=⋅=⋅c a b a 【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】对于A 项，><=⋅b a b a b a ,cos )(222222b a ≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅c b a ，所以c a b a ⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】B ．2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-b b a )2(（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||==b a ，>=<b a , 60，∴=⋅-b b a )2(22b b a -⋅0||60cos ||||22=-=b b a ． 【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则． 【答案】B ．3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅CD AB （ ） A ．2-B ．2C ．32-D ．32【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=⋅CD AB )(AC AD AB -⋅AC AB AD AB ⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=． 【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+)()(AC AB DA DC DA DB -⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形． 【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO +=，则AB 与AC 的夹角 为 ． 【知识点】空间向量的夹角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AO +=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,AC > 90=． 【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角． 【答案】 90．6．已知a ，b ，c 中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||c b a ++的值． 【知识点】向量模长公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵2||c b a ++a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||c b a ++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23||=a ，4||=b ，b a m +=，b a n λ+=，43,π>=<b a ，若n m ⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵n m ⊥，∴0=⋅n m ，即⋅+)(b a 0)(=+b a λ，则0)1(22=⋅+++b a b a λλ，即043cos234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ．【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a CA =．b CB =，c CC =1，1||||||===c b a ，∴0=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∵BM c +=，AN c +=，∴BM ⋅AN 432=+=c ， 又∵26||=BM ，25||=AN ，∴BM <cos ⋅>AN ANBM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将BM 与AN 用a ．b ，c 表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a BA =，b BC =，c BB =1，m b a ==||||，n c =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=c a +-=，=1BC c b +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)(c a )(c b +2c b a +⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴C A AB 11⋅⋅+-=)(c a )(1BC AB A A ++⋅+-=)(c a )(b a c +--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥．【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用a ，b ，c 表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，c AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设BC n BB m BO +=1，则)(a b n c m BO -+=c m b n a n ++-=，而BO AB AO +=c m b n a n ++-=)1(，∴11AA AO O A -=c m b n a n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅c O A ，0)(1=-⋅a b O A ， ∴])1()1[(c m b n a n -++-0=⋅c ，])1()1[(c m b n a n -++-0)(=-⋅a b ，解得43=m ，21=n ，BO +=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将BO 表示为BC n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||b a m b a m ⋅=⋅)()(λλ；③a c b c b a ⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为a 与b 的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量a ，b 满足2||=a ，2||=b ，且a 与a b -2互相垂直，则>=<b a , ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵a 与a b -2互相垂直，∴a 0)2(=-⋅a b ，即022=-⋅a b a ，∴2=⋅b a ，∴22,cos =>=<b a b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用． 【数学思想】转化思想【解题过程】∵BD BC ⋅)()(AB AD AB AC -⋅-=2AB AD AB AB AC AD AC +⋅-⋅-⋅=02>=AB ，∴0,cos >>=<BD BC BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角．【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵DB CD AC AB ++=，∴CD DB CD AC CD AB ⋅++=⋅)(12==CD ，故21,cos =>=<CD AB CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出CD AB ⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵CD BD AB CA ++=，∴2CD 2)(BD AB CA ++=CA BD BD AB AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将CD 拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与PA 1所成角的大小为 ． 【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵P A C B 11⋅()(1AD AD AA +⋅+-=2AD =1=，由题意得211==C B PA ，则21,cos 11=>=<P A C B P A C B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出P A C B 11⋅．【答案】 60．。
§3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
§3.1.3 空间向量的数量积运算一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律； (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。
3.情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。
二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。
三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系； 四．教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。
学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。
（幻灯片4） 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。
性质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2： 这个性质是求向量模的依据。
思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。
空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。
只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。
（幻灯片5--8）（幻灯片10）=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
空间向量的数量积运算》教学设计
空间向量的数量积运算》教学设计教学设计3.1.3 空间向量的数量积运算整体设计本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。
传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。
用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
课时分配：1课时教学目标知识与技能：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法：1.运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义。
情感、态度与价值观：1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2.培养学生空间向量的应用意识。
重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。
教学难点：1.空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。
教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝FC′，如何确定BE，FD的夹角？活动设计：教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式。
设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。
空间向量数量积运算教案
空间向量数量积运算教案一、教学目标1. 理解空间向量数量积的定义及物理意义。
2. 掌握空间向量数量积的运算律及性质。
3. 能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 重点：空间向量数量积的运算律及性质。
2. 难点：运用空间向量数量积解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过复习平面向量数量积的定义及性质，引出空间向量数量积的定义及性质。
2. 新课讲解：通过实例讲解空间向量数量积的运算律及性质，并给出证明过程。
3. 示范与探究：通过例题示范，让学生了解如何运用空间向量数量积解决实际问题，并引导学生探究多种解法。
4. 课堂练习：让学生自己动手完成课堂练习，巩固所学知识。
5. 归纳小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、示范、探究、练习。
2. 教学手段：PPT演示、板书、实物模型。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：完成相关练习题，教师现场指导。
2. 作业：布置相关练习题，让学生在家中复习巩固所学知识。
3. 评价方式：通过作业、小测验等方式评价学生的学习情况。
六、辅助教学资源与工具1. 教学PPT：用于展示教学内容。
2. 黑板与粉笔：用于板书重要内容。
3. 实物模型：用于演示空间向量的运算过程。
4. 教学软件：用于计算和演示空间向量的运算结果。
七、结论本节课学习了空间向量数量积的定义及性质，掌握了其运算律及多种解法，能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
在以后的学习中，需要进一步巩固和拓展所学知识，提高自己的解题能力。
八、教学反思本节课的教学内容比较抽象，需要学生具备一定的空间想象能力，因此在教学过程中需要注重培养学生的空间想象能力。
同时，还需要加强对空间向量数量积的应用的讲解，让学生更加了解其在实际问题中的应用。
在教学方法和手段上，需要进一步探索和创新，提高学生的学习积极性和参与度。
空间向量的数量积运算教案
空间向量的数量积运算----教案【学习目标】知识目标：掌握空间向量夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质及运算律;了解空间向量数量积的几何意义。
能力目标：培养和发展学生的推理论证能力、逻辑思维能力、空间想像能力和几何直观能力；情感目标：让学生在经历由平面向空间推广的过程中，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，感受理性思维的力量，提高数学素养【教学重点】空间向量的数量积的概念、性质及运算律【教学难点】在空间几何体中，找准路径，利用数量积解决一些实际问题一、自主学习：阅读课本90页1. a 与b 的数量积定义 向量a ，b 夹角记作 a b ∙= 夹角的范围是2.00a ∙= 还是00a ∙= 为什么? 向量a 与b 垂直，则a b ∙=3.（ a ）2=4.设平面向量a ，b ，c 和实数λ，则平面向量的数量积满足下列运算律①a b ∙ = (交换律)②)a b λ∙ （= (交换律)③()a b c +∙ = （分配律）（注意)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a 是不相等即没有结合律二、合作交流：在立体几何中证明 线与线;线与面 垂直有很多种方法你能说出一种方法吗？ 直线a ⊥ba ⊥α 既然我们学习了向量，证明 线与线;线与面垂直也能用向量的方法请写出垂直的原理 线与线垂直线与面垂直三、教师精讲例2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m ,n 是平面 α 内的两条相交直线,如果 ⊥m , ⊥n ,求证: ⊥ .四、巩固练习：OABC OB OC AOB AOC OA BCθ=∠=∠=⊥1、已知空间四边形，，，求证：五、课堂小结 ：空间向量数量积可以解决的立体几何问题：1）线段的长（两点间的距离）；（ a ）2= （︳a ︳）2 2）证明垂直问题； 3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；六课后作业;98第五题七、课后反思：A CB l l l α0;a b a b ⊥⇔⋅= cos ,a b a b a b ⋅<>=。
高中数学_空间向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
空间向量的数量积运算教学目标知识与技能1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法2.掌握两个空间向量的数量积的概念和性质以及计算方法和运算律。
3.掌握两个空间向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法1.运用类比方法，体会向量的数量及运算由平面向空间转化的过程。
2.引导学生借助空间几何体理解空间向量的数量积运算情感态度与价值观1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、合作自学能力。
2.培养学生空间向量的应用意识重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律，几何意义2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用教学难点：用向量的方法解决立体几何中的垂直、距离、夹角等问题解决方法：1.深化理解空间向量的数量积的概念2.互助探究，增强合作意识教学过程：一、新课导入回顾平面向量的数量积运算，通过提问的方式回忆知识平面向量的数量积运算：1）两个向量的夹角的定义：如图，已知平面两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b . (1)规定：0≤,a b ≤π （2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,a b =,b a（3）,a b =0时，a 与b 同向；,a b =π时，a 与b 反向（4）如果,a b =2π，则称a 与b 垂直，记为a ⊥b 2）数量积公式：a b •=a b cos ,a b三个重要性质：（1）2a =2a 即a =2a （求线段的长度）（2）a ⊥b ⇔a b •=0（垂直的判断）（3）cos ,a b =a ba b •（求角度）二、新课讲授类似地，我们可以定义空间向量的数量积运算：1） 两个空间向量的夹角的定义：如图，已知空间两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b .（1）规定：0≤,a b ≤π（2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,a b =,b a（3）,a b =0时，a 与b 同向；,a b =π时，a 与b 反向（4）如果,a b =2π，则称a 与b 垂直，记为a ⊥b 2）数量积公式：a b •=a b cos ,a b三个重要性质： （1）2a =2a 即a =2a （求线段的长度）（2）a ⊥b ⇔a b •=0（垂直的判断） （3）cos ,a b =a ba b •（求角度） 以上结论说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题3）空间向量的数量积的几何意义 数量积a b •等于a 的长度与b 在a 方向上的投影b cos ,a b 的乘积。
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计教学目标：知识与技能目标：知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标：1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力.2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标：1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.教辅工具：多媒体课件教学程序设计：一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义0,,,a b a b b a π≤〈〉≤〈〉〈〉规定:这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且＝ba b a b a ⊥=〉〈互相垂直，并记作：与则称如果,2,π,,,,,a b O OA a OB b a AOB a b b ∠〈〉==如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则角叫做向量与的夹角，记作：bABC思考：正三角形ABC 中，,______AB BC 〈〉=度120aOABab2）两个向量的数量积〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量几何意义： a与b的数量积b a⋅等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影|b |cos ,a b 〈〉的乘积.A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉大于0等于0小于0类比平面向量，说说的几何意义。
a b ⋅①两个向量的数量积是数量，而不是向量.〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量③非零向量④⑤cos ,a b a b a b⋅〈〉=2）两个向量的数量积a b ⊥0a b ⇔⋅=2a a =几个重要结论：②规定：00a ⋅=3)空间向量的数量积满足的运算律1)()()a b a b λλ⋅=⋅3()(a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅）分配律）2)(a b b a ⋅=⋅交换律）量的数量积定义及几何意义等.对个的结论主让例题与练习分析二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa-=⋅==2.10,0,0()2)()()()3)()4)()a b ca b a ba b c a b ca b a c b cka b k ba⋅===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅==对于空间中任意向量,和，请判断下列说法的对错：）若则若，则若，则135××××ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD⋅⋅⋅⋅)4()3()2(11 .3）（计算：的中点。
人教版高中数学《空间向量的数量积运算》 公开课教案
§3.1.3空间向量的数量积运算公开课教案教学目标: 知识目标：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；②运用公式解决立体几何中的有关问题。
能力目标：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
情感目标：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；②通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
教学重点：空间向量数量积公式及其应用。
教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。
教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。
授课过程：1.引入:”夹角与长度是两个最基本的几何量，而数量积公式是解决这两个问题的主要工具”.现在，请你类比平面向量的数量积公式，归纳出与空间向量的数量积的相关知识，完成下表。
2.新知归纳：（学生分小组自行探索填表，教师总结）OABaab b(1).两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,a b,总可以在空间中任取一点O ,,,OA a OB b ==使从而可知AOB a b ∠ 角为向量与的夹角，,a b 〈〉 记作：, 0,a b π≤〈〉≤范围：,,a b b a 〈〉〈〉＝, ,,2a b a b a b π〈〉=⊥ 特别的:时则称与互相垂直，并记作：注意:,,,OA OB OA OB OA OB π<->=<->=-<>而cos ,,,cos ,a b a b a b a b a b a b a b 〈〉⋅⋅=〈〉叫做空间两向量的数量积，记作：即(2)空间向量的数量积的几何意义:c o s ,.a ba ab a b a b ⋅〈〉数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 (3)空间向量的数量积的主要性质:设,a b是两个非零向量①0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,a ba b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时2,a a a a ⋅== 特别地或用于计算向量的模③cos ,a ba b a b⋅〈〉=⋅用于计算向量的夹角(4)空间向量数量积满足的运算律①交换律:a b b a ⋅=⋅ ; ②对数乘的结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅③分配律:()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅αlAO P3.巩固与应用:22222.10,0,0()2),()3)()()4),()5)()a b a b a b a c b c p q p q k a b k a b p q p q p q ⋅===⋅=⋅=⋅=⋅⋅==+⋅-=- 练习 1判断下列命题真假：）若则则则2.,,2,________.a b a b a b ==⋅=已知则所夹的角为4,3,5,90,60,(1),,;(2)(3)例1.已知在平行六面体中,表示求的长;求异面直线与所成角的余弦值.ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA AB AD AA AC AC AC BA ''''-=='''=∠=︒∠=∠=︒'''''[析]：明确应用向量方法解决空间问题的基本方法。
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
教学设计1：3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．三.抽象概括1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|若反向，则a·b＝－|a|·|b|特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a|·|b|(4)|a·b|≤|a|·|b|应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．四.例题分析及练习[例1]如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1) OA·OB；(2) EF·BC；(3)( OA＋OB)·(CA＋CB)．[思路点拨]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析](1)正四面体的棱长为1，则|OA|＝|OB|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，OB〉＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝1 2.(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF 平行且等于12AC ，于是E EF ·BC ＝|EF ||BC |cos 〈EF ，BC 〉 ＝12|CA |·|BC |cos 〈AC ，BC 〉 ＝12×1×1×cos 〈CA ，CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA ＋OB )·(CA ＋CB )＝(OA ＋OB )·(OA －OC ＋OB －OC ) ＝(OA ＋OB )·(OA ＋OB －2OC )＝OA 2＋OA ·OB －2OA ·OC ＋OB ·OA ＋OB 2－2OB ·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算． 训练题组11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA ·ACB ．2AD ·BDC ．2FG ·CAD ．2EF ·CB解析：2BA ·AC ＝－2 AB ·AC ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD ·BD ＝2DA ·DB ＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG ·CA ＝AC ·CA ＝－a 2，2EF ·CB ＝BD ·CB ＝－BD ·BC ＝－12a 2.答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC ·1ED ； (2) BF ·1AB .解：如图所示，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC ·1ED ＝BC ·(1EA ＋11A D )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF ·1AB ＝(1BA ＋1A F )·(AB ＋1AA )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA ·AC ，再由夹角公式求cos 〈1BA ，AC 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA ＝BA ＋1AA ＝BA ＋1BB ，AC ＝BC －BA ，且BA ·BC ＝1BB ·BA ＝1BB ·BC ＝0，∴1BA ·AC ＝－2BA ＝－1.又|AC |＝2，|1BA |＝1＋2＝3， ∴cos 〈1BA ，AC 〉＝1BA ·AC|1BA ||AC |＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：训练题组23．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：设〈AB ，CD 〉＝θ，∵AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝|CD |2＝1，∴cos θ＝AB ·CD |AB ||CD |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE 与BF 所成角的余弦值．解：如图，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE ＝12(a ＋b )，BF ＝12c －b ，|OE |＝|BF |＝32，∴OE ·BF ＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.∴cos 〈OE ，BF 〉＝OE ·BF |OE |·|BF |＝－23.∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1和BD 1用已知向量AB ，AD ，AA 1 表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1＝AB ＋AD ＋AA 1，∴|AC 1|2＝AC 12＝(AB ＋AD ＋AA 1)2 ＝AB 2＋AD 2＋AA 12＋2(AB ·AD ＋AB ·AA 1＋AD ·AA 1)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1|＝6，即对角线AC 1的长为 6. 同理，|BD 1|2＝BD 12＝(AD ＋AA 1－AB )2＝AD 2＋AA 12＋AB 2＋2(AD ·AA 1－AB ·AA 1－AD ·AB )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.∴|1BD |＝2，即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离． 训练题组35.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC ＝PA ＋AB ＋BC ，∴PC 2＝PA 2＋AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＋2PA ·AB ＋2PA ·BC ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144， ∴|PC |＝12. 答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0，同理，AC ·BA ＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ，CD 〉＝60°或120°.又BD ＝BA ＋AC ＋CD ，∴BD ·BD ＝|BA |2＋|AC |2＋|CD |2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD＋2AC ·CD ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD 〉＝⎩⎨⎧4 〈BA ，CD 〉＝60°，2〈BA ，CD 〉＝120°，∴|BD |＝2或2，即B ，D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB ·CD ＝0，AC ·BD ＝0，再证明AD ·BC ＝0.[精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB ·CD ＝0，AC ·BD ＝0. ∴AD ·BC ＝(AB ＋BD )·(AC －AB ) ＝AB ·AC ＋BD ·AC －AB 2－AB ·BD ＝AB ·AC －AB 2－AB ·BD＝AB ·(AC －AB －BD )＝AB ·DC ＝0. ∴AD ⊥BC ，从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明． 训练题组47．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0； 反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点． 求证：OG ⊥BC .证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG ＝12(OM ＋ON )＝12[12OA ＋12(OB ＋OC )]＝14(a ＋b ＋c )，BC ＝c －b ，∴OG ·BC ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC ，即OG ⊥BC . 五.课堂小结与归纳1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算． 六.当堂训练1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13 C ．4 D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AC ·AD －AC ·AB －AB ·AD ＋AB 2＝AB 2>0.同理，可证CB ·CD >0，DB ·DC >0. ∴三角形的三个内角均为锐角． 答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC 2＝(AB ＋AD ＋1AA )2＝AB 2＋AD 2＋1AA 2＋2AB ·AD ＋2AB ·1AA ＋2AD ·1AA ＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60° ＝50＋20＋15＝85， ∴|1AC |＝85. 答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB ＝AB ＋1BB ，1BC ＝1BB ＋BC .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB ·AB ＝0，1BB ·BC ＝0.又△ABC 为正三角形， ∴〈AB ·BC 〉＝π－〈BA ·BC 〉＝π－π3＝2π3.∵1AB ·1BC ＝(AB ＋1BB )·(1BB ＋BC )＝AB ·1BB ＋AB ·BC ＋1BB 2＋1BB ·BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋1BB 2 ＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB ·1BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋1BB 2＝1BB 2－1. 又|1AB |＝AB 2＋1BB 2＝2＋1BB 2＝|1BC |，∴cos 〈1AB ，1BC 〉＝1BB 2－12＋1BB 2＝12，∴|1BB |＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解：设AB ＝a ，AD ＝b ，AA '＝c ， 则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF ＝ED ＋DF －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G ＝'C C ＋CG ＝－c －14a ，∴EF ·'C G ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF |＝32，|'C G |＝174，cos 〈EF ，'C G 〉＝EF ·'C G |EF ||'C G |＝5117， 所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH ＝FB ＋BC ＋'CC ＋'C H ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164， ∴FH 的长为418.。
数学空间向量的数量积与向量积教案
数学空间向量的数量积与向量积教案导言：数学中的向量是一种重要的概念，它具有方向和大小，在解决实际问题中起着重要的作用。
本教案将重点介绍数学空间向量的数量积与向量积的概念、性质和应用，并通过具体的案例进行讲解，帮助学生加深对这两个概念的理解和运用能力。
一、数学空间向量的数量积1. 数学空间向量的定义数学空间中的向量可以表示为有序的数对、数三元组或数四元组。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)。
数量积是两个向量的乘积，表示为a·b，其结果是一个标量。
2. 数量积的计算方法设a=(a₁, a₂, a₃)和b=(b₁, b₂, b₃)为数学空间中的向量，则其数量积a·b的计算方法为a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。
3. 数量积的性质- 交换律：a·b=b·a- 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为标量- 零向量：零向量与任意向量的数量积都为04. 数量积的几何意义数量积的计算结果等于向量a在向量b上的投影长度与向量b 的模长的乘积。
二、数学空间向量的向量积1. 数学空间向量的定义向量积又称为叉乘，是两个向量的乘积，其结果是一个新的向量。
设向量a和b在空间中的夹角为θ，向量a和b的向量积表示为a×b，其方向满足右手法则。
2. 向量积的计算方法设a=(a₁, a₂, a₃)和b=(b₁, b₂, b₃)为数学空间中的向量，则它们的向量积a×b的计算方法为a×b=(a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)3. 向量积的性质- 交换律：a×b=-(b×a)- 结合律：(ka)×b=a×(kb)=k(a×b)，其中k为标量- 零向量：向量a与自身的向量积为零向量4. 向量积的几何意义向量积的模长等于以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于向量a和向量b所在的平面。
空间向量的数量积运算教学设计(曹良华)
《空间向量的数量积运算》教学设计与反思一、教学内容解析向量是一种重要的数学工具，是沟通代数（数）和几何（形）的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.对实数的研究经验告诉我们：只要引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A 版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
二、教学目标设置根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.2.经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.三、学生学情分析学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值.难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”.四、教学策略分析王家瑾教授提出的师生课堂互动模型，对教学的启示是在教学中教师、学生和教学内容之间必须建立联系，形成互动，达成协调，才能共同达到最佳状态，取得满意的教学效果。
《空间向量数量积的运算》的教学设计
能力提升20分钟思考：典例分析例1 如图3-1-10所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为A1B的中点，F为A1D1的中点．计算：（1）BC→·ED1→；（2）BF→·AB1→.小结1、应用数量积公式求空间向量数量积的两个关键点例2 (1)已知空间四边ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)(2)如图3-1-11所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，求证：PA⊥BD.交流问题，给每一个学生表现个人的机会。
学生板演3、4，注重步骤。
学生完成鼓励学生先尝试分析。
学生展示应用整合，强化新知教师补充知识点归纳不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。
不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获.通过典型例题让学生理解本节的知识点)(,b)3)()()()2)(,1.1bkakacbacbacbabba==•⋅⋅=⋅⋅=•=⋅则则若）判断真假：知识小结2分钟布置作业小结2、数量积证明空间垂直的实用性例3.如图所示，已知P A⊥平面ABC，∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC等于.小结3、求两点间的距离或长度的方法（向量法）例4 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求直线OA与BC所成角的余弦值．四、课堂小结通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、求两直线所成角.五、作业全品P41 1～12题学生总结归纳所学知识作业：将所学知识进一步巩固培养学生总结归纳的能力使不同的学生得到不同的锻炼作业可以反映学生对本节知识的掌握程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（四）展示环节
（五）用自己喜欢的方式总结本课知识点
作
业
教
学
反
思
教
学
过
程
教
学
过
程
（一）独学环节
1.空间向量的夹角:
2.空间向里的数量积:
3.空间向量的数量积的运算律:
问题1:
对于三个均不为0的数a,b,c，若ab=ac，则b=c。对于向量a,b,c，由a.b=a.c，能得到b=c吗？如果不能，请举出反例。
问题2：
对于三个均不为0的数a,b,c，若ab=c，则b=c/a。对于向量a,b，若a.b=k，能不能写成b=k/a吗？也就是说向量有除法吗？
问题3:
对于三个均不为0的数a,b,c，有(ab)c=a(bc)。对于向量a,b,c，(a.b)c=a(b.c)成立吗？向量的数量积满足结合律么？
.
(二)对学环节
问题4:空间向量数量积的运算
已知正四面体OABC的棱长为a，求：
(1)
(2)
（三）群学环节（小组探究命题的应用）
问题5.利用空间向量的数量积证明垂直关系
教学设计
主备人：李亚飞备课人：
课题
空间向量的数量积运算
课型
新授课
时间
课时
课时
教
学
目
标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算律.
3.会用空间数量积的运算解决立体几何中的简单问题．
教
学
重
点
会用空间数量积的运算解决立体几何中的简单问题．
教பைடு நூலகம்
学
难
点
会用空间数量积的运算解决立体几何中的简单问题．