新华师大版九年级数学上册4.4《两个三角形相似的判定(3)》导学案
数学九年级北师大版4.3《探索三角形相似的条件3》导学案教学设计
C ADE 《探索三角形相似的条件3》导学案设计者:九年级数学组 班级 : 姓名:课时:2课时学习目标:1. 复习和回顾三角形相似的判别条件,达到系统记忆。
2. 掌握三角形相似的判别条件(2)一、课前自主预习1、整理三角形相似的判别条件:2、如右图,添加一个条件使得△ABC 与△ADE 相似,你添加的条件是 ,请说明理由。
二、合作探究画△ABC 与△DEF ,使,AB 和DE 、AC 和DF 、BC 和EF 的比值都等于给定的值k 。
设法比较∠A 与∠D 的大小。
△ABC 与△DEF 相似吗? 结论: 的两个三角形相似。
三、课堂问题训练1、完成例32、 完成议一议。
(小组合作交流)四、当堂检测1、如图,已知,∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是( )。
A.AB AC AD AE = B. AB BC AD DE = C. ∠B=∠D D. ∠C=∠AED 第1题图 第2题图2、如图,AB •AE=AC •AD ,则△ADE ∽ ,∠D= 。
3、如图,四边形ABCD 为平行四边形,E 在CD 的延长线上,连接BE 交AD 于点F ,图中有几组相似的三角形,请你写出来,找出其中一组进行证明。
4、如图,P 为△ABC 中线AD 上的一点,且BD 2=PD •AD.求证:∠DAC=∠DCP五、课堂总结(本节课有何收获?)六、课后训练1 、已知△ABC 中,点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、B C 上的点,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC 。
2、如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点。
△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上ED 的延长线交AB 于点F 。
(1)求证:△ACB ∽△DCE ;(2)求证:EF ⊥AB 。
华师大版-数学-九年级上册- 相似三角形的判定(3) 导学案
§23.3.2 相似三角形的判定(3)一、知识回顾:前面,我们已经学习了一些识别两个三角形相似的方法,你知道有哪些吗?方法1:方法2:方法3: 二、探究新知在图23.3.13的方格上任画一个三角形,再画出第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论?大家的结论都一样吗?相似三角形判定方法三:如果一个三角形的 分别与另一个三角形的对应成比例,那么这两个三角形相似三、新知应用例1、 在△ABC 和△A ′B ′C ′中,已知:AB =6cm ,BC =8cm ,AC =10cm ,A ′B ′=18cm ,B ′C ′=24cm ,A ′C ′=30cm .试证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.四、练一练:1、依据下列各组条件,证明△ABC 和△A ′B ′C ′相似AB =10cm ,BC =8cm ,AC =16cm ,A ′B ′=16cm ,B ′C ′=12.8cm ,A ′C ′=25.6cm2、要做两个形状相同的 三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,请你想一想应该怎样选择材料可使这两个三角形相似?你选的材料唯一吗?3、已知△ABC 和△A ’B ’C ’,根据下列条件判断它们是否相似.(1) AB=12, BC=15, AC =24, A ’B ’=16,B ’C ’=20,A ’C ’=32图23.3.13(2) ∠A=45°,AB=12, AC=15∠A’=45°,A’B’=16,A’C’=20(3)∠B=∠B’=75°,∠C=50°,∠A’=55°。
华师大版九年级上册数学23.3.1相似三角形集体备课导学案
相似三角形集体备课导学案案例课题:相似三角形一、学习目标1.理解相似三角形的概念,掌握相似比的意义。
2.会按给出的相似比将一个三角形放大或缩小,了解两个三角形相似的条件。
3.会灵活运用相似三角形的性质和判定定理进行简单的计算和证明。
二、学习重难点重点:相似三角形的概念和相似比的意义。
难点:两个三角形相似的条件。
三、学习过程1.知识回顾(1)什么是相似多边形?两个多边形相似的条件是什么?(2)相似多边形的性质有哪些?2.自主学习(1)相似三角形的定义:如果两个三角形的三组对应边的比都相等,那么这两个三角形就是相似的。
这两个三角形称为相似三角形。
(2)相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例。
(3)相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形是相似的。
3.合作探究(1)如何将一个三角形放大或缩小?(2)两个三角形相似的条件是什么?如何证明两个三角形相似?4.达标检测(1)下列说法中正确的是( )A.各边对应成比例的两个多边形相似B.各角对应成比例的两个多边形相似C.如果两个多边形的所有对应边的比相等,那么这两个多边形相似D.如果两个多边形的所有对应角的比相等,那么这两个多边形相似5.课堂小结本节课学习了相似三角形的概念和相似比的意义,以及两个三角形相似的条件。
通过自主学习和合作探究,我们掌握了相似三角形的性质和判定定理的应用。
通过达标检测,我们巩固了所学知识并提高了解决问题的能力。
在今后的学习中,我们要善于运用所学知识解决实际问题,培养自己的数学思维和创新能力。
初中数学九年级上册北师大版:相似三角形的判定(3)(教案)
第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.3相似三角形的判定(3)教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.【过程与方法】经历相似三角形判定定理的推导过程,掌握相似三角形的判定方法.【情感态度】在探索相似三角形判定方法的活动中,提出问题与思考问题,体会化归思想.【教学重点】导出相似三角形的判定定理并会运用.【教学难点】相似三角形判定定理的运用.教学过程一、情境导入,初步认识回想一下,我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法?由此我们能否由全等的另一种方法(S.S.S)想到判定相似的新方法?【教学说明】学生猜测,并写出已知、求证.【归纳结论】三边对应成比例,两三角形相似.二、思考探究,获取新知证明:三边对应成比例,两三角形相似.【教学说明】在教师的指导下学生口述,教师板书,最后提示三个步骤:运动、预备定理、相似的传递性.三、运用新知,深化理解1.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1乙三角形木框的三边长分别为5(A)A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断2.如图,若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点,为使△ABC∽△PQR,则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的(C)A.甲点B.乙点C.丙点D.丁点3.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是(B)A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)4.在△ABC 和△A 1B 1C 1中,已知:AB=6cm ,BC=8cm ,AC=11cm ,A 1B 1=18cm ,B 1C 1=24cm ,A 1C 1=33cm.求证:△ABC ∽△A 1B 1C 1.分析:正确求得三条对应边的比,根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似.证明:∵AB=6cm ,BC=8cm ,AC=11cm ,A 1B 1=18cm ,B 1C 1=24cm ,A 1C 1=33cm ,∴111111 3. A B B C A C AB BC AC∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法:(1)排:将三角形的边按长短顺序排列;(2)算:分别计算它们对应边的比;(3)判:由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例.5.如图,已知 AB BC AC AD DE AE,∠BAD=20°,求∠CAE 的大小.分析:根据三边对应成比例得△ABC 与△ADE 相似,再利用相似三角形的性质解答.解:∵ AB BC AC AD DE AE,∴△ABC ∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE.又∠DAC 是公共角,∴∠CAE=∠BAD=20°.6.如图所示,在4×4的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC 与△DEF 是否相似,并证明你的结论.解:相似.证明:∵AB=2,BC=,AC=,EF=2,DE=.∴ AB BC AC DE EF DF∴△ABC ∽△DEF.7.如图为三个并列的边长相同的正方形,试说明:∠1+∠2+∠3=90°.分析:如图,运用勾股定理分别求出BE 、CE 、DE 的长度(用λ表示),求出△BEC 与△BDE 的三边之比,证明△BEC ∽△BDE ;借助三角形外角的性质即可解决问题.解:设每个小正方形的边长为λ,由勾股定理得:BE 2=λ2+λ2,CE 2=(2λ)2+λ2,DE 2=(3λ)2+λ2,∴λ,DE=∴22BE BD同理可求:22 BC EC BE ED ,∴ BE BC EC BD BE ED,∴△BEC ∽△BDE ,∴∠2=∠BED;∵∠1=∠BED+∠3,且∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°.四、师生互动、课堂小结引导学生自主完成以上例题.课后作业1.布置作业:教材“习题4.7”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.教学反思在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题,让学生体验到他们才是学习的主人,教师是他们平等的合作者.对于例题、练习,强调学生先独立思考,需要合作探索的内容让学生大胆动手操作.最后让学生自己小结,活跃了课堂气氛,做到全员参与,理清了知识脉络,强化了重点,培养了学生口头表达的能力.。
九年级数学上册 4_5 相似三角形判定定理的证明导学案(新版)北师大版
第五节 相似三角形判定定理的证明【学习目标】1、掌握两个三角形相似的判定方法;2、会运用三角形相似的条件解决的问题。
【学习重难点】重点:三角形相似的判定性质及其应用。
难点:三角形相似的判定和性质的灵活运用。
【学习过程】 模块一 预习反馈一、知识回顾:寻找相似三角形的思路(1)、横向三点定形法:分别观察所证线段比例式的分子和分母,它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字母是否分别为某三角形的三个顶点?要证EFBCBE AB =(2)、纵向三点定形法:与横向三点定形法一样,当横向定形行不通时,改用各个比的分子和分母进行定形.如要证EFDE BC AB =(3)、基本图形定形法1.(平截型)平行线型,即“A ”型或“X ”型如右图,DE∥BC,则有ΔADE∽ΔABC. 2.斜截型(1)等角对顶型(蝴蝶型):如右图,∠D=∠B,则有ΔADE∽ΔABC. (2).共角等角型:如右图,∠ADE=∠B,则有ΔADE∽ΔABC.B CADADCACDEAACDEDEE D A'B'C'ABC(3).共边等角型(套型)如图4,∠ACD=∠B,则有ΔACD∽ΔABC.这是最常见的、也是最难识别的相似三角形,由于在这两个三角形相似的背后存在着AB AD AC ⋅=2因此许多与比例中项有关的证明题大多以此为背景.3、母子型相似:如图:∠B AC=900,AD ⊥BC,则有 ∽ ∽ 射影定理:(1)_____________(2)_______________(3)______________二、自主学习:相似三角形判定定理的证明 1、三角形相似的判定定理1:两角分别 的两个三角形相似。
如下左图所示,在△ABC 和△A’B’C’中,∠A=∠A ’,∠B ’ =∠B 。
猜想:△ABC 与△A’B’C’是否相似探究:在A ’B ’上截取 A ’D=AB ,过点D 作DE ∥B ’C ’交A ’C ’于点E , ∴△A’DE ∽ ,∠A ’DE=∠B ’ 又∠B ’ =∠B ,∴∠A ’DE=∠B ,又∵∠A ’ =∠A ,A ’D=AB ∴ ≌△ABC ,∴△ABC∽△A’B’C’归纳:(1) 对应相等,两个三角形相似;用几何语言描述:∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA 'B'C'2、三角形相似的判定定理2:两边 且 相等的两个三角形相似。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法;2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理;3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律,发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入,初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢?问题2如果△ABC与△A1B1C1相似,能类似于两个三角形全等,给出一种相似表示方法吗?△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ,那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗?问题3 如何判定两个三角形相似呢?【教学说明】通过上述三个问题的设置,既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识,又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾,教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究,获取新知问题1 如图,任意画两条直线l 1,l 2,再画三条与l 1,l 2相交的平行线l 3,l 4,l 5分别度量AB ,BC ,DE ,EF 长度,则EFDEBC AB 与相等吗?呢?与DF DE AC AB 呢?与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形,测出所截各条线段的长度(尽可能准确些),然后求出相应比值的近似值,便于作出说明.教师巡视,发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形,帮助他们分析,找出原因,尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果,形成感性认知.最后,教师可综合大多数同学的认知,给予总结,得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明,只需形成感性认识.为了便于记忆,上述定理的结论可使用下面形象化的语言,如:.等全下全下,全上全上,上下上下,下上下上==== 问题 2 如图,当l 1//l 2//l 3时,在(1)中是否仍有呢?,,AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在(2)中是否仍有呢?,,DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2,教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明,不可继续用测量方法得到,这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组,小组讨论,相互交流,形成认识,最后教师再与全 班同学一道分析,得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得到的对应线段的比相等.问题3 如图,在△ABC 中,DE// BC ,DE 分别交AB 、AC 于D 、E ,则△ABC 与△ADE 能相似吗?为什么?问题4如图,已知DE//BC,DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E,则△ADE与△ABC能相似吗?为什么?【教学说明】将全班学生分成两组,分别完成问题3、4的探究,教师应先给予点拨,突破难点(即添加辅助线,达到两个三角形的三边的比能相等的目的),然后学生自主完成,锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知,深化理解1.如图,DE//BC,EF//AB,请尽可能多地找出图中的相似三角形,并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点,E 为AD 中点,连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. (1) 求AC EG 的值;(2)求CF EG 的值;(3)求FCAF的值.3.如图,已知在△ABC 中,DE//BC ,AD=EC ,BD=1cm ,AE=4cm ,BC=5cm , 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成,也可合作完成,在练习中加深理解.教师巡视指导,及时点拨.在完成上述题目后,教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解:△ADE ~△ABC ,△CEF ~△CAB, △ADE ~△EFC. 2.解:(1)∵EG//AC ,∴△DGE ~△DCA ,∴21==DA DE AC EG . (2)∵EG//AC ,E 是AD 的中点,∴G 是CD 的中点,即CG=DG.又D 是BC 的中点,∴BD=CD ,∴BG=3CG ,BC=4CG ,∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ~△BFC,∴43==BC BG FC FG . (3)过D 点作DH//CF ,交BF 于H.易得DH=AF ,∴21==FC DH FC AF . 3.解:∵DE//BC ,∴ECAEDB AD =,又AD=CE ,∴AD 2=4,∴AD=2,∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ~△ABC ,∴)(cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动,课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识? 2.你还有哪些疑惑?【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识,重点应关注哪些内容,还有什么地方不太明白,及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发,遵循学生的理解认知能力,由浅入深、逐步推进,激发学生自主探究的学习热情,培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定(1)一、新课导入 1.课题导入问题1:我们学过哪些判定两个三角形全等的方法?问题2:类比上面这些方法,猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些? 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标(1)能用符号表示两个三角形相似,能确定它们的相似比、对应边和对应角.(2)能叙述平行线分线段成比例定理及其推论,并能结合图形写出正确的比例式.(3)能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点:平行线分线段成比例定理及其推论. 难点:正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导(1)自学内容:教材P29~P30思考上面的内容. (2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理,并完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲:①三个角相等,三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似,记作△ABC ∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′的相似比为k,△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等,对应边成比例.③完成教材P29探究:a.如图1,量一量,算一算,ABBC与DEEF相等吗?BCAB与EFDE呢?ABAC与DEDF呢?BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得:∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF,BCAB=EFDE,ABAC=DEDF,BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE):BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中,会出现图2和图3两个基本图形:在这两个图形中,把DE看成平行于△ABC的边BC的直线,截其他两边(如图1)或其他两边的延长线(如图2),于是可得推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.即:∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC,ADAB=AEAC,BDAB=CEAC.2.自学:结合自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:能否正确理解“对应线段”,尤其是在推论的两个图形中.②差异指导:根据学情,指导学生结合图形理解“对应线段”.(2)生助生:小组交流、研讨.4.强化(1)分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等(强调“对应”).1.自学指导(1)自学内容:教材P30思考~P31.(2)自学时间:6分钟.(3)自学方法:学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明,并完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲:①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1,作EF∥AB).证三个角相等:∠A公共,由DE∥BC可得∠ADE=∠B,∠AED=∠C.证三条边成比例:由DE∥BC可得ADAB=AEAC,由EF∥AB可得BFBC=AEAC.由DE∥BC,EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形,所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E,那么△ADE与△ABC 相似吗?能否给予证明?相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ,EF ∥BD ,∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形,∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3,△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形, ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4,DE ∥FG ∥BC ,找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ,易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学:结合自学指导进行自学. 3.助学 (1)师助生:①明了学情:看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导:根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. (2)生助生:小组交流、研讨. 4.强化(1)判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. (2)点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题,并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价:这节课你有什么收获?还有哪些不足?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时先给出相似三角形的定义,说明有关概念,明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分,因此在形成相似三角形的概念之后,主要安排学习比例线段,进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理,为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力,由浅入深,逐步推进.一、基础巩固(70分)1.(10分)如图,在△ABC中,DE∥BC, 且AD=3,DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC,其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图,DE∥BC,DF∥AC,则图中相似三角形一共有(C)A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图,DE∥BC,12ADDB,则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图,已知AB ∥CD ∥EF ,那么下列结论正确的是(A )5.(10分)如图,AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ,且AG=2,GD=1,DF=5,求BC CE .解:∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图,DE ∥BC.(1)如果AD=5,DB=3,求DE ∶BC 的值;(2)如果AD=15,DB=10,AC=15,DE=7,求AE 和BC 的长.解:(1)∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. (2)AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用(20分)7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ,AD ∥BC ,∠B=∠DCA.(1)写出对应边的比例式;(2)写出所有相等的角;(3)若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长.解:(1)BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由(1)中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3,DC=5. 三、拓展延伸(10分)8.(10分)如图,在△ABC 中,DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ,试证明:ADAB=DOCO.证明:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期4.4、探索三角形相似的条件导学案20
探索三角形相似的条件
【学习目标】
课标要求:
1 初步掌握两个三角形相似的判定条件
2、运用三角形相似的条件解决简单问题
目标达成:
1、掌握两个三角形相似的判定条件
2、运用三角形相似的条件解决简单问题
学习流程:
【课前展示】
1,三角形全等的判定方法
2,全等三角形的定义
【创境激趣】
今天大家一起来研究图形的形状相同,但大小不等时的情况。
【自学导航】
1、 89页做一做
【合作探究】
1、对应角相等,对应边也相等的两个三角形全等,你还记得三角形全等的其他判别条件吗?
2.你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件?
3.如果两个三角形有若干个角对应相等,那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似?
【展示提升】
典例分析知识迁移
例1 D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长
【强化训练】
1、90页随堂练习1,2
2、知识技能1,2
【归纳总结】
1、三角形相似的判定方法
2、判定的应用。
华师版九年级上册数学导学案-相似三角形的性质
相似三角形的性质一、学习目标经历探索相似三角形性质的过程,能运用性质进行有关的计算。
二、学习重点利用相似三角形的性质解决计算问题。
三、自主预习1.识别两个三角形相似的简便(判定)方法有哪些?2.如图:△ABC 、C B A '''∆是两个相似三角形,相似比为k ,根据前面所学的知识我们能得到的结论有:C四、合作探究任务一:1.想一想:我们知道相似的两个三角形,它们的对应边成比例,对应角相等。
如果两个三角形相似,那么对应边上的高有什么关系呢?2.如上图相似的两个三角形△ABC 、C B A '''∆中, BC 、C B ''边上的高AD 、D A '',那么图中相似三角形有 由此我们能得到________=''=''BA AB D A AD 。
3.证一证:通过上述计算,发现相似三角形对应高的比等于相似比。
对于这个结论的正确性,我们需要证明。
那么相似三角形面积的比又与相似比有什么关系呢? (根据题意,画出图形,并写出证明过程。
)归纳得到:相似三角形的面积比等于 。
任务二:1.议一议:同学们用上面类似的方法,得出:在上面的例题中,若AD 、D A ''分别是△ABC 、△C B A '''对应边BC 、C B ''边上的中线,AD 、D A ''的关系怎样呢?是角平分线呢?两个相似三角形的周长之比是什么?分别写出各自的推理过程。
(2) (1)C'B'A'D'DC BA归纳得到:相似三角形的对应角平分线之比等于 。
相似三角形的中线之比等于 。
相似三角形的周长之比等于 。
五、巩固反馈(当堂检测)★【基础知识练习】教材课后练习题。
★【提高拓展练习】1.如左下图:D 是△ABC 的边AB 上一点,过D 作DE ∥BC 交AC 于E ,已知AD :BD=3:2,ABC ∆BCED四边形则S:S= 。
九年级数学上册 4.4 两边一夹角判定两个三角形相似(第2课时)导学案 (新版)北师大版
两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1.理解并掌握三角形相似的判定定理:“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”.2.会运用三角形相似的判定方法解决简单问题.【学习重点】 掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用.情景导入 生成问题1.两角分别相等的两个三角形相似.2.下列说法中正确的个数是( C )①所有的等腰直角三角形都相似;②有一个角是80°的两个等腰三角形相似;③有一个角是100°的两个等腰三角形相似;④有一个角相等的两个等腰三角形相似.A .4B .3C .2D .13.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =6,D ,E 分别在AB ,AC 上,将△ADE 沿DE 折叠,使点A 落在点A′处,若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为( B )A .12B .2C .3D .4自学互研 生成能力知识模块一 探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容,然后解答下列问题:1.两角对应相等的两个三角形相似.3.如图,两个三角形中,其边长已在图上标注,那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形.根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.1.情境导入问题:(1)相似三角形的定义是什么? 三边成比例,三角分别相等的两个三角形相似.(2)判断两个三角形相似,你有哪些方法?方法1:通过定义(不常用);方法2:通过平行线(条件特殊,使用起来有局限性);方法3:判定定理1,两角分别相等的两个三角形相似.2.思考探究完成教材P 91页的做一做. 归纳结论:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.知识模块二 三角形相似判定定理2的应用1.自学自研教材P 91页的例2.2.完成教材P 92页的随堂练习.典例讲解:如图,已知△ABD∽△ACE.求证:△ABC∽△ADE.分析:由于△ABD∽△ACE,则∠BAD=∠CAE,因此∠BAC=∠DAE,再进一步证明BA AD =CA AE ,则问题得证.证明:∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD =∠CAE.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE =∠DAC+∠CAE,∴∠BAC =∠DAE.∵△ABD∽△ACE,∴AB AD =AC AE .在△ABC 和△ADE 中,∵∠BAC =∠DAE,AB AD =AC AE ,∴△ABC ∽△ADE.对应练习:1.下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD =AC ABB .∠B =∠ADEC .AE AC =DE BCD .∠C =∠AED2.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为CB 延长线上一点,E 为BC 延长线上一点,且满足AB 2=DB·CE.求证:△ADB∽△EAC.证明:∵AB=AC ,∴∠ABC =∠ACB,∴∠ABD =∠ACE.∵AB 2=DB·CE,∴AB CE =DB AB ,即AB CE =DB AC,∴△ADB ∽△EAC. 交流展示 生成新知1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.知识模块一 探索三角形相似的判定定理2知识模块二 三角形相似判定定理2的应用检测反馈 达成目标1.下列条件能判断△ABC 和△A′B′C′相似的是( C ) A .AB A ′B ′=AC A ′C ′ B .AB A′B′=AC A ′C ′且∠A=∠C′ C .AB BC =A ′B ′A ′C ′且∠B=∠A′ D .AB A ′B ′=AC A ′C ′且∠B=∠B′2.如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC 相似的是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )3.已知:如图,在△ABC 中,CE ⊥AB ,BF ⊥AC.求证:△AEF∽△ACB.证明:∵CE⊥AB,BF ⊥AC ,∴∠BFA =∠CEA=90°,∠A =∠A,∴△AEC ∽△AFB ,∴AE AC =AF AB ,∴AE AF =AC AB ,又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF ∽△ACB.课后反思 查漏补缺1.收获:________________________________________________________________________2.存在困惑:________________________________________________________________________。
初中数学初三数学上册《两个三角形相似的判定》教案、教学设计
a.引导学生通过观察动态变化的几何图形,发现相似三角形的特征。
b.组织学生分组讨论,让学生尝试总结相似三角形的判定方法。
c.教师总结并讲解相似三角形的判定方法,强调各个判定条件之间的联系。
3.实践应用:设计具有梯度、层次性的练习题,让学生运用相似三角形的判定方法解决问题,巩固所学知识。同时,注重以下方面:
a.练习题难度适中,使学生能够体验到解决问题的成就感。
b.精选典型案例,让学生在解决实际问题的过程中,深化对相似三角形判定方法的理解。
c.及时反馈,针对学生的错误,给予指导和纠正,帮助学生建立正确的几何思维。
4.学生互相交流解题心得,分享学习经验。
(五)总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学的内容,总结相似三角形的判定方法。
2.学生分享自己的学习体会,教师给予鼓励和肯定。
3.教师强调相似三角形在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣。
4.教师布置课后作业,要求学生在课后巩固所学知识,为下一节课的学习做好准备。
4.课堂小结:通过师生互动,引导学生总结本节课所学的内容,巩固知识体系。
5.课后拓展:布置富有挑战性的课后作业,让学生在课后继续思考、探索相似三角形的相关问题。
6.教学评价:采用多元化的评价方式,关注学生在课堂上的表现,包括知识掌握、动手实践、合作交流等方面。
7.教学策略:
a.注重启发式教学,激发学生的思考,引导学生主动探究相似三角形的判定方法。
b.运用信息技术,如多媒体、几何画板等,增强课堂教学的直观性、生动性。
c.创设良好的学习氛围,鼓励学生提问、质疑,培养学生的批判性思维。
新北师大版九年级数学上册4.4.探索三角形相似的条件导学案.doc
新北师大版九年级数学上册4.4.探索三角形相似的条件导学案学 习目 标 1.熟练掌握相似三角形的定义; 2.熟练掌握三角形相似的判定方法;3.能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。
. 重点:掌握相似三角形的判定定理难点:相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用知识链接:【回顾与思考】1.对应角相等,对应边也相等的两个三角形全等,你还记得三角形全等的其他判别条件吗?2.相似三角形的定义是什么?你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件? 【合作学习】合作1 同学们观察我们的直角三角尺,直观上看它们是什么关系?如果两个三角形有若干个角对应相等,那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似? 合作2 与同伴合作,两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α,∠B 和∠B ′都等于∠β,此时,∠C 与∠C ′相等吗?对应边的比C B BCC A AC B A AB '''''',,相等吗?这样的两个三角形相似吗?改变∠α,∠β的大小,再试一试.由此得到相似三角形的判定方法1:【例题学习】如图,D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点,DE ∥B C ,AB =7,AD =5,DE =10,求BC 的长。
备注(教师复备栏及学生笔记)备注(教师复【巩固训练】1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点,∠AED=∠C ,△ABC 与△ADE 相似吗?如果相似请写出证明过程AB C ED2、已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC ∽△ADE .(二) 【知识回顾】 1,如图,12∠=∠,添加一个条件使得ADE ∆∽ACB ∆ . 2,两个三角形有两边成比例,它们一定相似吗?如果增加一角相等,你能说出有哪几种可能的情况吗? ,【合作学习】1、(1)画△ABC 与△A ′B ′C ′,使∠A =∠A ′,B A AB ''和C A AC''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′(或∠C 与∠C ′)的大小,△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗? (2)改变k 值的大小,再试一试.判定方法2: 2.如果△ABC 与△A ’B ’C ’两边成比例,且其中一边所对的角相等,那么这两个三角形一定相似吗?由此你能得到什么结论? 备栏及学生笔记)备注(教师复备栏及学装订线21ED CB A结论:【例题学习】 例:如图,D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点,AE =1.5,AC =2,BC =3,且AD AB =34,求DE 的长.AB CE D(三) 【知识回顾】我们已经有哪些判别两三角形相似的方法? 【合作学习】画△ABC 与△A ′B ′C ′,使B A AB ''、C B BC ''和A C CA''都等于给定的值k . (1)设法比较∠A 与∠A ′的大小; (2)△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗?说说你的理由.改变k 值的大小,再试一试.判定方法3:例:如图在△ABC 和△ADE 中,AB AD =BC DE =ACAE ,∠BAD=20°,求∠CAE 的度数.生笔记备注(教师复备栏及学生笔记【巩固练习】1、如图,AB•AE=AD•AC ,且∠1=∠2,求证:△ABC ∽△ADE .2、依据下列条件,证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.AB =10 cm,BC =8cm,AC=16cm,A ′B ′=16cm,B ′C ′=12.8 cm ,A′C ′=25.6cm ,【拓展运用】如图△ABC 与△ADE 有公共点A ,∠DAB=∠CAE ,试添加一个条件,使△ABC ∽△ADE ,并加以证明.ABCDE【归纳小结】250°) EDF1.650°)4ABC3.2。
华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》教学设计3
华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》是学生在学习了三角形的性质、相等三角形、全等三角形的基础上,进一步研究相似三角形的性质。
相似三角形是中学数学中的重要内容,它在几何、代数等领域都有广泛的应用。
本节课的内容包括相似三角形的定义、性质及其应用。
通过本节课的学习,学生能够理解和掌握相似三角形的性质,并能够运用相似三角形解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了三角形的性质、相等三角形、全等三角形等知识,具备了一定的几何基础。
但是,对于相似三角形的性质,学生可能还比较陌生,需要通过实例和练习来理解和掌握。
此外,学生可能对于如何运用相似三角形解决实际问题还有一定的困难,需要教师的引导和启发。
三. 教学目标1.理解相似三角形的定义,掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。
2.相似三角形的判定。
3.运用相似三角形解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法,引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式,理解和掌握相似三角形的性质,并能够运用相似三角形解决实际问题。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关例题和练习题。
3.几何画板等教学工具。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过复习三角形、相等三角形、全等三角形的性质,引导学生思考:如果两个三角形的形状相同,但大小不同,我们如何来描述这两个三角形之间的关系?从而引入相似三角形的学习。
2.呈现(10分钟)利用PPT课件,呈现相似三角形的定义和性质,引导学生观察、思考,并总结出相似三角形的性质。
3.操练(10分钟)利用几何画板,让学生直观地观察相似三角形的性质,并引导学生进行实际操作,验证相似三角形的性质。
4.巩固(10分钟)出示一些相关例题和练习题,让学生运用相似三角形的性质进行解答,巩固所学知识。
北师大版九年级上册第四章4.4探索相似三角形的条件导学案
第四章图形的相似§4.4探索相似三角形的条件 知识点1.相似三角形判定定理1(1)相似三角形的定义相似三角形的定义:三角对应______,三边对应___________的两个三角形叫相似三角形. 相似三角形的表示方法:△ABC 与△DEF 相似,记作______________.(2)相似三角形判定定理1:____________________对应相等的两个三角形相似.(3)三角形相似常见图形⑴ 已知:DE ∥BC则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑵ 已知:∠B=∠AED 则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑶ 已知:∠ADC=∠ACB则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑷ 已知:AB ∥DE B EB则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑸已知:∠B=∠E则相似的三角形:______________________________,相等的角:____________________________________,成比例的边:___________________________________.⑹已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB于D互余的角:_______________________________相等的角:_____________________________________相似的三角形:_______________________________等积式:_______________________________.典型例题【例1】.如图,有三个三角形,其中相似的是()A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.(1)(2)(3)三个都相似【例2】如图10,口ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F,如果BEBC=23,那么BFDF=.B D【例3】.如图,E 是▱ABCD 的边CD 延长线上一点,连接BE ,交AC 于点O ,交AD 于F ,则图中的相似三角形(不包括全等)共有( )A .7对B .6对C .5对D .4对【例4】.如图,D 是△ABC 中BC 边上的一点,E 为AD 边上的一点,若∠DAC =∠B ,CD =CE .试说明△ACE ∽△BAD .【例5】.如图,在□ABCD 中,过点A 作AE 丄BC 于点,连接DE ,F 为线段DE 上一点,且∠AFE=∠B .(1)求证:△ADF ∽△DEC ;⑵若AB =8,AD =63,AF =43,求AE 的长.D知识点2.相似三角形的判定方法2两边______________且_________________的两个三角形相似【例1】 如图1,要使△ACD ∽△ABC ,需要补充的条件是( )A .B .C .DB AD CD ⋅=2 D .AB AD AC ⋅=2 【例2】. 如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 为CB 延长线上一点,E 为BC 延长线上点,且满足AB 2=DB· CE.求证:△ADB ∽△EAC.BC AB CD AC =AC BC AD CD =【例3】:如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,求证:△ADQ∽△QCP.【例4】. 如图,已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连接BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长;知识点3.相似三角形的判定方法3_______________________________的两个三角形相似【例1】. 如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )【例2】. 如图,在△ABC 和△ADE 中,AE ACDE BCAD AB==,∠BAD=20°,求∠CAE 的度数.【例3】. 如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)求证:△ACF∽△GCA;(2)求∠1+∠2的度数.【例4】已知:如图,AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点.求证:△DFE∽△ABC.综合题【例1】.下列各组三角形中,两个三角形能够相似的是( )A.△ABC中,AB=8,AC=4,∠A=105°,△A'B'C'中,A'B'=16,B'C=8,∠A'=100°B.△ABC中,AB=18,BC=20,CA=35,△A'B'C'中,A'B'=36,B'C'=40,CA'=70C .△ABC 和△A'B'C'中,有''''AB BC A B B C =,∠C =∠C' D .△ABC 中,∠A =42°,∠B =118°,△A'B'C',中,∠A'=118°,∠B'=15°【例2】.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是边BC 、AB 的中点,AD ,CE 相交于G .试说明13GE GD CE AD ==【例3】.如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,BF ⊥AC 于F ,试说明:(1)△ABF ∽△ACE .(2)△AEF ∽△ACB .【例4】.如图,在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D、E、F.(1) CA·CE与CB·CF相等吗?为什么?(2)连接EF,交CD于点O,线段OC、OF、OE、OD成比例吗?【例5】.已知如图,AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14.则在DB上是否存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与P、B、A为顶点的三角形相似,如果存在求出DP的长,如果不存在,说明理由.【例6】.如图△ABC中,AB=8,AC=6,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿BA方向向点A运动,同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发沿AC方向向点C运动,设运动时间为t(单位:秒),问t为何值时△ADE与△ABC相似.【例7】.如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,在x轴上有一点C,使B、O、C三点构成的三角形与△AOB相似,求此时点C的坐标.。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定(3)【知识与技能】1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三角形中特有的判定相似的方法.2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题.【过程与方法】在观察、动手探究等活动中,掌握判定三角形相似的方法,体会转化思想.【情感态度】经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的探究、交流能力和推理能力.【教学重点】掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法. 【教学难点】探究两个判定定理的过程及其证明方法.一、情境导入,初步认识观察展示教师用的大三角板(45°和45°) 及学生用小三角尺(45°和45°),请学生们观察这样的两个三角形相似吗?对应相等,这样的两个三角形相似吗?【教学说明】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1,2后,提出“还有没有其它的 方法来判定两个三角形相似呢?”,进而展示所准备好的三角尺,让学生获得感性认识,顺理成章地提出思考,激发学生求知欲望.二、思考探究,获取新知问题1 作△ABC 和△A ′B ′C ′,使∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,分别度量这两个三角形的边长,计算C A AC C B BC B A AB '''''',,的值,你有什么发现? 由此你能作出一个怎样的猜想?【教学说明】让全班同学动手画图,并按要求独立完成探索过程,获得结论后,与同伴交流;只要画图和测量尽可能准确,则会得到它们 的比值相等,从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论.教师巡视,对出现偏差的结论应予以帮助,查找问题,尽量让他们也能获得正确结论.问题2 如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,则△ABC ~△A ′B ′C ′吗?说说你的理由.【教学说明】教师应引导学生论证上述结论,在学生动笔前给予适当点拨,让学生能独立完成说理.在巡视时,对有困难的学生给予指导,并给出足够的时间,锻炼学生的合情推理能力.对应相等,那么这两个三角形相似.试一试如图,点D是AB边上一点,且∠ACD=∠B,试问:图中是否存在能够相似的二角形?如果存在,请指出来,并说明理由. 【教学说明】现学现用,巩固所学新知识.问题3对于直角三角形,我们知道“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形是全等的”,那么如果两个直角三角形中,有一条直角边与斜边的比对应相等,这样的两个直角三角形相似吗?【教学说明】教师应先与学生一道交流,找出两个直角三角形的已知条件有哪些(用图形和符号语言来表述),从这些条件到所探讨的结论之间还缺少什么条件,能否通过推理计算获得相应条件,从而引出利用勾股定理来探讨第三条对应边之间关系而获得结论.然后让学生独立完成,或相互交流获得论证过程.直角三角形相似的特殊判定方法:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.三、典例精析,掌握新知例1教材P35例2.例2如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB边上的高线.求证:(1)△ABC~△CBD;(2)CD2=AD•DB.【教学说明】例1可让学生自主探究,独立完成,再相互交流.例2则需师生共同探讨,利用直角三角形及高线定义找出图中能够相等 的角,从而获得相似的三角形有哪些,进而可解决问题.但它的证明过程仍可由学生自己完成,教师再挑选两至三份作业予以展示,共同评析,达到掌握本节知识的目的.四、运用新知,深化理解1.底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢?证明你的结论.2.如图,AD 、BE 是AABC 的高线,它们相交于点 F.求证:AF • DF=BF • EF.3. 如图,△ABC 中,CD 是边AB 上的高,且BD CD CD AD ,试求∠ACB 的大小.【教学说明】1,3两题分别应用本节的两种三角形相似的判定方法来获得结论,是对本节知识较好的理解与掌握的体现,而第2题则是用一般三角形相似的判定方法来解决直角三角形中的相似问题,具有代表性.这些练习可根据实际情况选做,要求学生自主完成或相互交 流来得到结论.在完成上述题目后,教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动,课堂小结1.本节学习两种判定三角形相似的方法,它们分别是什么?2.总结一下判定两个直角三角形相似的方法.【教学说明】釆用师生互动方式进行,教师设问,学生抢答,进行必要的知识梳理.1.布置作业:从P42〜44习题27.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时应强调学生自主探究的原则,让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用,本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法,教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中,应鼓励学生相互交流探讨,以提高学生的学习热情.27.2.1相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定(3)——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定一、新课导入1.课题导入情景:拿一个含30°角的三角尺,让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.问题1:你是怎么判定的?能用前面学习的判定定理判定它们相似吗?问题2:我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理,那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢?(板书课题)2.学习目标(1)知道两角分别相等的两个三角形相似;知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.3.学习重、难点重点:相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.难点:定理的证明.二、分层学习1.自学指导(1)自学内容:教材P35.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:仿照上课时探究1,2完成探究提纲.(4)探究提纲:①探究:与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′,使得∠A=∠A′,∠B=∠B′.a.操作判断:分别测量这两个三角形的边长,计算,,AB AC BC A B A C B C ''''''的值,你有什么发现?∠C=∠C′ 吗?由此你得到一个什么样的猜想?b.交流比较:把你的结果跟你周围的同学比较,你们的结论相同吗?c.归纳猜想:两角分别相等的两个三角形相似.d.推理证明:已知△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC ∽△A′B′C′.证明:在A′B′上截取A′D=AB,过D 作DE ∥B′C′交A′C′于点E.∵DE ∥B′C′,∴△A′DE ∽△A′B′C′.又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE ∥B′C′,AB=A′D,∴∠A′DE=∠B′=∠B.∴△ABC ≌△A′DE.∴△ABC ∽△A′B′C′.e.推理格式:∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴△ABC ∽△A′B′C′.②教材P35例2:如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E 是AC 上一点,AE=5,ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长.a.AB,AC,AE,AD 分别是哪两个三角形的边?这两个三角形相似吗?b.怎样证明这两个三角形相似?由此可以得到关于AB,AC,AE,AD 的一个怎样的比例式?c.写出你的解答过程.AB,AC 是△ABC 的边,AE,AD 是△AED 的边,这两个三角形相似.∵ED ⊥AB,∴∠EDA=90°,又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC.∴AD AE AC AB =.∴AD=·AC AE AB=4. ③如图,若∠B=∠AED ,则△ADE ∽△ACB 吗?为什么?△ADE ∽△ACB.理由:∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.④底角相等的两个等腰三角形相似吗?顶角相等的两个等腰三角形相似吗?证明你的结论.(相似,证明略)2.自学:学生参照自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.②差异指导:根据学情进行指导.(2)生助生:小组内相互交流、研讨.4.强化:∠A=∠A′,∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′.1.自学指导(1)自学内容:教材P36.(2)自学时间: 6分钟.(3)自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.(4)自学参考提纲:①由已知∠C=∠C′=90°,AB ACA B A C='''',能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗?为什么?(不能,∠C和∠C′并非对应两边的夹角)②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似,还差什么条件?AB BC A B B C=''''③能否像前面三个判定定理的证明一样,构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢?④如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高.求证:a.△ACD∽△ABC;b.△CBD∽△ABC.证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.∴∠ADC=∠ACB=∠CDB.a.在△ACD和△ABC中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.b.在△CBD和△ABC中,∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC.⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4,那么以3k和4k(k>0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗?为什么?(相似,理由:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)2.自学:学生参照自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:直角三角形相似判定定理的归纳与证明.②差异指导:根据学情进行指导.(2)生助生:生生互动交流、研讨.4.强化(1)直角三角形相似的判定方法.(2)点学生口答后,点3位学生板演,并点评.三、评价1.学生学习的自我评价:这节课你学到了些什么?有哪些收获和不足?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:从学习态度、参与程度、思维状况等方面进行评价.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时应以学生自主探究为原则,让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中,通过设计问题和启发、引导,让学生悟出学习方法和途径,培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用,难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法,教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中,应鼓励学生相互交流探讨,以提高学生的学习热情.一、基础巩固(70分)1.(10分)如图,当∠ADE=∠C(答案不唯一)时,△ABC∽△AED(填写一个条件).第1题图第2题图2.(10分)如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC ∽△EPD,则点P所在的格点为(C)A.P1B.P2C.P3D.P43.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠ABC的平分线交AC于点D,求证:△ABC∽△BDC.证明:∵AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.在△ABC和△BDC中,∠A=∠DBC,∠C=∠C.∴△ABC∽△BDC.4. (10分)如图,AD是Rt△ABC的斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD 的长.解:∵AD⊥BC,∠BAC=90°,∴∠ADB=∠CAB.∴△ABD∽△CBA,∴BD BA AB CB=,即4410BD=,BD=1.6(cm).5.(30分)从下面这些三角形中,选出相似的三角形.①、⑤、⑥相似,③、④、⑧相似,②和⑦相似.二、综合应用(20分)6.(20分)如图,△ABC中,D在线段BC上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16.(1)求证:△ABC∽△DAC;(2)求CD的长.(1)证明:∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.(2)解:∵△ABC∽△DAC,∴CD ACCA BC=,即8816CD=,∴CD=4.三、拓展延伸(10分)7.(10分)如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有(C)A.1条B.2条C.3条D.4条。
华师大版-数学-九年级上册- 相似三角形的性质 导学案
23.3.3 相似三角形的性质一、知识回顾:1、相似三角形的定义:2、如何判定两个三角形相似: 方法1:方法2: 方法3:3、相似三角形的特征:_______________________ 想一想: 它们还有哪些性质呢?一个三角形有三条重要线段:________________如果两个三角形相似,那么这些对应线段有什么关系呢?二、探索新知(1)△ABC ∽△A ′B ′C ′ 结论:相似三角形 比等于相似比. (2)△ABC ∽△A ′B ′C ′问题2: 结论:相似三角形 比等于相似比.(3)△ABC ∽△A ′B ′C ′ 问题3:结论:相似三角形 比等于相似比.总结:相似三角形的 、 、 的比等于相似比.练一练:1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为 ,对应角的角平分线的比为ACB A ′ B ′C ′ 21相似比为___________=''D A AD 对应高的比___________=''D A AD 对应中线的比___________=''D A AD 对应角平分线的比21相似比为21相似比为?D A AD D B A ABD C B BC 、D A AD 、k C B A ABC 等于什么能否得到由边上的高为分别其中相似比为如图问题'''''∆∆'''''''∆∆,,,,:1.______,,,,='''''∠∠'''''∆∆E B BE C B A ABC 、E B BE 、k C B A ABC则的角平分线分别为其中相似比为如图∽ ∽ .____,,,,='''''''''∆∆DA AD CB BC 、D A AD 、k C B A ABC 则边上的中线分别为其中相似比为如图∽ ∽2.两个相似三角形的相似比为0.25, 则对应高的比为 ,对应角的角平分线的比为 .3.两个相似三角形对应中线的比为,则相似比为 ,对应高的比为 . (4)问题4: 两个相似三角形的周长比会等于相似比吗? 图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形,它们都相似吗?(1) 1 (2)2 (3) 3(1)与(2)的相似比=_____ ,(1)与(2)的周长比=______(2)与(3)的相似比=______ , (2)与(3)的周长比=_____ _结论: 相似三角形的周长比等于____ __.(5)问题5:两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形,它们都相似吗?(1) (2) (3)(1)与(2)的相似比= ,(1)与(2)的面积比=______(2)与(3)的相似比= ,(2)与(3)的面积比=______结论:相似三角形面积的比等于相似比的 .练一练:1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于 .2.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为 ,对应角的角平分线的比为 ,周长的比为 ,面积的比为 .3.把一个三角形变成和它相似的三角形,(1)如果边长扩大为原来的5倍,那么面积扩大为原来的_______倍。
华师大版-数学-九年级上册-导学案-相似图形
相似图形学习目标1、探索并确认相似图形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例2、会利用相似多边形的特征解决一些简单的问题学习策略创设情境,让学生感受数学来源于生活,又服务于生活。
学习过程一.复习回顾:1、你还记得全等的图形吗?全等图形有什么性质?全等三角形呢?全等三角形有什么性质?能够完全____的图形叫做全等图形。
全等图形的形状和大小都 _______。
能够完全的两个三角形是全等三角形。
全等三角形的对应角 ______ ,对应边 _____ 。
2.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段A.b,C.d会成比例吗?3.两张相似的地图中的对应线段有什么关系?(都成比例)二.新课学习:认真看P57-58的内容,思考:通过观察、测量P58“图23.2.2”,发现∠A与∠A′,∠B与∠B′,∠C与∠C′,∠D与∠D′之间是什么关系?ABA′B′,BCB′C′,DCCD'',DAAD''之间又有什么关系呢?由上面我们可以猜想相似多边形有何特征?请通过观察、测量P58“图23.2.3”中的对应角大小、对应边的长度,找出它们的关系,能否验证上面的结论?三.尝试应用:1.矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中,已知AB=16cm,AD=10cm,A′D′=6cm,矩形A′B′ C′D′的面积为57cm2,这两个矩形相似吗?为什么?2.如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的,且C′D′⊥B′C′,根据图中的条件,求出未知的边x,y及角a。
四.自主总结:1、相似图形的概念2、相似多边形的概念和性质五.达标测试1、2、3、4、5、6、7、。
九年级数学上册 4.4 三角形相似的判定定理(第1课时)导学案 (新版)北师大版
探索三角形相似的条件第1课时三角形相似的判定定理1【学习目标】1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似.2.掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法,并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题.【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用.【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明.情景导入生成问题1.各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.2.已知,如图两个四边形相似,则∠α的度数是( A)A.87°B.60°C.75°D.120°自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容,然后完成下面的问题:1.相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,如△ABC与△DEF相似,记作△ABC∽△DEF,其中对应顶点要写在相同位置上,如A与D,B与E,C与F相对应.AB∶DE等于BC∶EF.2.两角对应相等的两个三角形相似.探究内容:现有一块三角形玻璃ABC,不小心打碎了,只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃,能成功吗?问题情景出现后,让学生充分发表自己的想法.1.动手实验:现在,已量出∠A=60°,∠B=45°,请同学们当一当工人师傅,在纸上作∠A=60°,∠B=45°的△ABC,剪下与同桌所做的三角形比较,研究这两个三角形的关系.你有哪些发现?在小组内交流.学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼,在小组合作基础上,讨论交流,可能得出下面结论:①这样的两个三角形不一定全等;②两个三角形三个角都对应相等;③通过度量后计算,得到三边对应成比例;④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.此时,教师鼓励学生大胆猜想,得出命题:猜想:两角对应相等,两三角形相似.归纳结论:两角分别相等的两个三角形相似.知识模块二相似三角形判定定理1的应用1.自学自研教材P89页的例1.2.完成教材P90页随堂练习.典例讲解:已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,求证:△ABC∽△BDC.分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°,又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°.在△ABC 和△BDC中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°,∴△AB C∽△BDC.对应练习:1.如图,E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F.若AB=5,AD=6,CF=2,求线段CE的长.解:设CE=x,证△ABE∽△FCE,由比例式求得CE=4.2.如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D、E分别在线段BC,AC上运动,在运动过程中始终保持∠ADE =60°,求证:△ABD∽△DCE.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∴∠BAD+∠ADB=120°.∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°.∴∠DAB=∠EDC.∴△ABD∽△DCE.交流展示生成新知1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用检测反馈达成目标1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( C)A.1对B.2对C.3对D.4对2.如图,D是直角三角形ABC直角边AC上的一点,若过D点的直线交AB于E,使得到的三角形与原三角形相似,则这样的直线有( B)A.1条B.2条C.3条D.4条3.如图,在矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1=S2+S3;(用“>”“=”或“<”填空)(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.解:△BCD∽△CFB,△BCD∽△DEC,△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC如:证明:∵∠EDC+∠BDC=90°,∠CBD+∠BDC=90°,∴∠CBD=∠EDC.又∵∠BCD=∠DEC=90°,∴△BCD∽△DEC.(答案不唯一)课后反思查漏补缺1.收获:________________________________________________________________________2.存在困惑:________________________________________________________________________。
2019-2020学年九年级数学上册 4.4 两个三角形相似的判定导学案3(新版)浙教版.doc
课题
4、4两个三角形相似的判定(一)
学习目标
掌握三角形相似的判定的预备定理:平行于三角形一边的直线的其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
掌握三角形相似的判定定理:有两个角对应相等的两个三角形相似,并能运用这个定理证明三角形相似。
(2)AF2=FE·FB.
如图4-4-15所示,已知⊙O的弦CD垂直于直径AB,点E在CD上,且EC=EB.
(1)求证:△CEB∽△CBD;
(2)若CE=3,CB=5,求DE的长.
【作业】见作业本(2)
【反思】说说你在这一节课中的收获与体会:
A.△DEC∽△ABCB.△ADE∽△BEA
C.△ACE∽△BEAD.△ACE∽△BCA
4.如图所示,AB∥CD∥EF,AD,BC相交于点O,找出图中的相似三角形,并说明理由.
5、如图4-4-11所示,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,
且∠EAF=∠C,
求证:(1)∠EAF=∠B;
说明:基本图形如图所示.
请用几何语言描述:
∵
∴
2、三角形相似的判定方法
定理1:________________相等的两个三角形相似.
说明:常见图形如图
请用几何语言描述:
∵
∴
知识运用
已知DE∥BC,AD=5,DB=3,BC=10,∠B=50°,
则∠ADE=_______,DE=_______.
3、如图∠1=∠2=∠3,则以下结论不正确的是()
重点难点
重点:三角形相似的判定定理:有两个角对应相等的两个三角形相似
难点:预备定理的证明是难点
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新华师大版九年级数学上册4.4《两个三角形相似的判定(3)》导学案
学习
目标
1.掌握三边对应成比例的两个三角形相似,了解它的证明过程
2.会运用上述定理判定两个三角形相似
重点
难点
重点:三边对应成比例的两个三角形相似。
难点:此定理的证明及例2的证明
【课前自学课堂交流】
【课前自学】
三角形相似的判定方法有:
1.
2.
3.
【课中交流】
证明:三边对应成比例的两个三角形相似(看书本p137)
让学生回忆两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似的证明过程
再分析此证明过程
1.判断图中的三角形是否相似
2.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
A
B
C
D
E
F
3.看p138例5后完成
已知:如图,在△ABC中,点F,O,G在BC边上,点E在AO上,
OF OE OG
OB OA OC
==. 求证:△EFG ∽△ABC.
4.△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,在方格纸内画△DEF,使△DEF∽△ABC,相似比为2:1,且顶点都在格点上。
若相似比为1:2呢?又该怎么画?
A
B
C
5.完成作业题2
6.完成课内练习1
7.完成作业题4
当堂
训练
作业本(1)
课后
作业。