高考导数题的解题技巧绝版

高考导数题的解题技巧

绝版

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

导数题的解题技巧

导数命题趋势：

（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.

（2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．（2007年北京卷）()f x '是31

()213

f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是

．

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若

M P,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

综上可得M P 时,

1.a ∴> 考点2 曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.（2007年湖南文）已知函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各

有一个极值点．

（I ）求24a b -的最大值；

（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点

A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

思路启迪：用求导来求得切线斜率.

解答过程：（I ）因为函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一

个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是

2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++--，

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，

所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则

1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321

()3

f x x x x =--．

解法二：同解法一得21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++--

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）． 当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．

设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛

⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，则

当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

a

h =⨯++

=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321

()3

f x x x x =--．

例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=