菲涅耳公式 折反射定律
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Chapter 1
1.1
微分形式 （1-1）
传导电流密度 的单位为安培/米2(A/m2)，自由电荷密度 的单位为库仑/米2(C/m2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）
（1-2）
麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。
综上所述，S波及P波的反射系数和透射系数的表达式为：
上面左边的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，Fresnel公式还可以写成右边的形式。
2.3
2.3.1
（1）反射系数和透射系数
①两个透射系数ts和tp都随着入射角 增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，ts和tp都大于零，即折射光不发生相位突变。
现假设介质界面为xOy平面，入射面为xOz平面，则在一般情况下可将透射波场表示为
上式可改写为
这是一个沿着z方向振幅衰减，沿着界面x方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正确性：只有 取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上存在的倏逝波。
倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面处传播，不进入第二媒质部。因而全反射时Rs=1、ts≠0和Rp=1、tp≠0并不违反能量守恒定律。
入射波
反射波
折射波
界面两侧的总电场为：
由电场的边界条件 ，有
欲使上式对任意的时间t和界面上 均成立，则必然有：
（1-5）
（1-6）
可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。
（1-7）
由于 可以在界面选取不同方向，上式实际上意味着矢量 和 均与界面的法线 平行，由此可以推知， 、 、 与 共面，该平面称为入射面。由此可得出结论：反射波和折射波均在入射面。
上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得
（1-8）
又由于 ， ， ，得
（Baidu Nhomakorabea-9）
2.2
折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel公式来描述。
电场 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s’分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p’分量。
由于最初的反射光行波和折射光行波r、t正逆抵消。则另外第二、第三象限的光束也抵消，得到斯托克斯倒逆关系，即：
整理后，得
r、t为从n1介质到n2介质入射时的反射和折射系数；r'、t'为从n2到n1介质入射时的反射和折射系数。
由折射定律可知，
把 所对应的入射角称为全反射临界角，用 表示。即 。
因此分 和 两种情况来讨论。
（1）当 时
此时 ，可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1<n2的情形完全相同。
对于s分量来说，当 时， ，说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于p分量来说，在 围， ，说明有半波损失，而在 围， ，说明无半波损失。
因此，在n一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。
当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？
当把ts、tp的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发现ts、tp都不等于零，亦即光疏媒质有折射光波。在发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层（约为光波波长）围，这个波叫倏逝波。
注意 ，所以必然是 ，说明布儒斯特定律依然有效，同时也说明无论是n1>n2还是n1<n2的情形，布儒斯特定律都成立。
ts和tp均大于1，且随着 的增大而增大，但是这不意味着透射率T大于1以及T必然随 的增大而增大。
（2）当 时
因为全反射临界角满足 。由该式可见，当 时，会出现 的现象，这显然是不合理的。此时折射定律 不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式 。
这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失）。
当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：
从而有：
类似还有 ，
可以定义反射率R和透射率T为：
，
注意：入射光波的s分量(p分量)只对折射率、反射率的s分量(p分量)有贡献。
由于 在实数围不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而 始终是实参量，为此应将 写成如下的虚数形式：
有关 取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数
并且有
式中， ，是二介质的相对折射率； 、 为反射光与入射光的s分量、p分量光场振幅大小之比。 、 为全反射时，反射光中的s分量、p分量光场相对入射光的相位变化。由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定：
如果入射波中s和p分量的强度比为α， ，则有：
和
即 和 分别是 、 和 、 的加权平均。但是仍然有：
正入射时，s分量和p分量的差异消失。若用R0和T0表示此时的反射率和透射率，则有：
以及
利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小( )的反射率和透射率。
2.3.2
这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。
（1）电场强度矢量 的切向分量连续， 为界面的法向分量。
（2） 为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时， =0，此时 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。
（3） 为界面上的自由电荷面密度。
（4）磁感应强度矢量 的法向分量在界面上连续。
Chapter 2
2.1
光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为
1.2
由于两介质分界面上在某些情况下场矢量 、 、 、 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell’s equations，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。
积分形式 （1-3）
得边界条件为 （1-4）式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）：
（2）反射率和透射率
上图中 为波的横截面面积， 为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为 ，则每秒入射到界面上 面积的能量为
又由光强表达式 ，上式可写成
类似地，反射光和折射光的能量表达式为
于是反射率和折射率分别为
类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp：
与 之间、 与 之间均存在‘互补’关系，即：
具体性质参看《物理光学与应用光学》P38
2.4 Stocks
Stokes' reversible relation可以导出不同介质两侧折射系数、反射系数的关系。
如上左图所示，假设入射光束的振幅为A，相应反射光束与折射光束为Ar，At。再设一束振幅为Ar的光束逆向传播（上右图中蓝色光束Ar）相应反射和折射分别是Arr、Art；再设一束振幅为t的光束逆向传播（上右图中橙色光束At），相应反射和折射分别为At r'、At t'。
（2-1）
在界面上磁场的切向分量连续：
注意 ，如图所示。所以同理有
（2-2）
非磁性各向同性介质中 、 的数值之间的关系：
那么式（2-1）整理为
（2-3）
联立式（2-1）（2-3）可得
（2）单独存在p分量的情形
首先规定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。
根据 、 的边界条件得：
再利用 、 的数值关系以及正交性，得到
首先研究入射波仅含‘s’分量和仅含‘p’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。
（1）单独存在s分量的情形
首先规定：电场和磁场的s分量垂直于纸面，
向外为正，向为负。
在界面上电场切向分量连续：
另外由式（1-5）、（1-6），可得
②rs始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s分量振动方向始终与入射波s分量相反，既存在π相位突变（又称半波损失）。
③对于rp，它的代数值随着入射角 单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。由公式
，当 时有 ，即 ，又由折射定律
，联立可得此时入射角为布儒斯特角 。布儒斯特定律容：如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；反射角与折射角互为余角。
1.1
微分形式 （1-1）
传导电流密度 的单位为安培/米2(A/m2)，自由电荷密度 的单位为库仑/米2(C/m2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）
（1-2）
麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。
综上所述，S波及P波的反射系数和透射系数的表达式为：
上面左边的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，Fresnel公式还可以写成右边的形式。
2.3
2.3.1
（1）反射系数和透射系数
①两个透射系数ts和tp都随着入射角 增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，ts和tp都大于零，即折射光不发生相位突变。
现假设介质界面为xOy平面，入射面为xOz平面，则在一般情况下可将透射波场表示为
上式可改写为
这是一个沿着z方向振幅衰减，沿着界面x方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正确性：只有 取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上存在的倏逝波。
倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面处传播，不进入第二媒质部。因而全反射时Rs=1、ts≠0和Rp=1、tp≠0并不违反能量守恒定律。
入射波
反射波
折射波
界面两侧的总电场为：
由电场的边界条件 ，有
欲使上式对任意的时间t和界面上 均成立，则必然有：
（1-5）
（1-6）
可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。
（1-7）
由于 可以在界面选取不同方向，上式实际上意味着矢量 和 均与界面的法线 平行，由此可以推知， 、 、 与 共面，该平面称为入射面。由此可得出结论：反射波和折射波均在入射面。
上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得
（1-8）
又由于 ， ， ，得
（Baidu Nhomakorabea-9）
2.2
折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel公式来描述。
电场 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s’分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p’分量。
由于最初的反射光行波和折射光行波r、t正逆抵消。则另外第二、第三象限的光束也抵消，得到斯托克斯倒逆关系，即：
整理后，得
r、t为从n1介质到n2介质入射时的反射和折射系数；r'、t'为从n2到n1介质入射时的反射和折射系数。
由折射定律可知，
把 所对应的入射角称为全反射临界角，用 表示。即 。
因此分 和 两种情况来讨论。
（1）当 时
此时 ，可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1<n2的情形完全相同。
对于s分量来说，当 时， ，说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于p分量来说，在 围， ，说明有半波损失，而在 围， ，说明无半波损失。
因此，在n一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。
当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？
当把ts、tp的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发现ts、tp都不等于零，亦即光疏媒质有折射光波。在发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层（约为光波波长）围，这个波叫倏逝波。
注意 ，所以必然是 ，说明布儒斯特定律依然有效，同时也说明无论是n1>n2还是n1<n2的情形，布儒斯特定律都成立。
ts和tp均大于1，且随着 的增大而增大，但是这不意味着透射率T大于1以及T必然随 的增大而增大。
（2）当 时
因为全反射临界角满足 。由该式可见，当 时，会出现 的现象，这显然是不合理的。此时折射定律 不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式 。
这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失）。
当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：
从而有：
类似还有 ，
可以定义反射率R和透射率T为：
，
注意：入射光波的s分量(p分量)只对折射率、反射率的s分量(p分量)有贡献。
由于 在实数围不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而 始终是实参量，为此应将 写成如下的虚数形式：
有关 取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数
并且有
式中， ，是二介质的相对折射率； 、 为反射光与入射光的s分量、p分量光场振幅大小之比。 、 为全反射时，反射光中的s分量、p分量光场相对入射光的相位变化。由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定：
如果入射波中s和p分量的强度比为α， ，则有：
和
即 和 分别是 、 和 、 的加权平均。但是仍然有：
正入射时，s分量和p分量的差异消失。若用R0和T0表示此时的反射率和透射率，则有：
以及
利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小( )的反射率和透射率。
2.3.2
这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。
（1）电场强度矢量 的切向分量连续， 为界面的法向分量。
（2） 为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时， =0，此时 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。
（3） 为界面上的自由电荷面密度。
（4）磁感应强度矢量 的法向分量在界面上连续。
Chapter 2
2.1
光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为
1.2
由于两介质分界面上在某些情况下场矢量 、 、 、 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell’s equations，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。
积分形式 （1-3）
得边界条件为 （1-4）式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）：
（2）反射率和透射率
上图中 为波的横截面面积， 为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为 ，则每秒入射到界面上 面积的能量为
又由光强表达式 ，上式可写成
类似地，反射光和折射光的能量表达式为
于是反射率和折射率分别为
类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp：
与 之间、 与 之间均存在‘互补’关系，即：
具体性质参看《物理光学与应用光学》P38
2.4 Stocks
Stokes' reversible relation可以导出不同介质两侧折射系数、反射系数的关系。
如上左图所示，假设入射光束的振幅为A，相应反射光束与折射光束为Ar，At。再设一束振幅为Ar的光束逆向传播（上右图中蓝色光束Ar）相应反射和折射分别是Arr、Art；再设一束振幅为t的光束逆向传播（上右图中橙色光束At），相应反射和折射分别为At r'、At t'。
（2-1）
在界面上磁场的切向分量连续：
注意 ，如图所示。所以同理有
（2-2）
非磁性各向同性介质中 、 的数值之间的关系：
那么式（2-1）整理为
（2-3）
联立式（2-1）（2-3）可得
（2）单独存在p分量的情形
首先规定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。
根据 、 的边界条件得：
再利用 、 的数值关系以及正交性，得到
首先研究入射波仅含‘s’分量和仅含‘p’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。
（1）单独存在s分量的情形
首先规定：电场和磁场的s分量垂直于纸面，
向外为正，向为负。
在界面上电场切向分量连续：
另外由式（1-5）、（1-6），可得
②rs始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s分量振动方向始终与入射波s分量相反，既存在π相位突变（又称半波损失）。
③对于rp，它的代数值随着入射角 单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。由公式
，当 时有 ，即 ，又由折射定律
，联立可得此时入射角为布儒斯特角 。布儒斯特定律容：如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；反射角与折射角互为余角。