高考数学 第五章 第三节 等比数列课件 文 北师大版
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案
第3讲 等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编 等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编 由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编 在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题． 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一 求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二 求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法 一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0， 所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________． 【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)． 由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14， 所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， 所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。
高中数学北师大版必修5 1.3 教学课件 《等比数列》(数学北师大必修5)
1 11
（1）
24
（2） 1
24
1 1…
8 16
8 16 …
（3） 3，9，27，81，……；
（4） 1 , 1 , 1 , 1 , ; 2 4 8 16
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q= 1 2
q= 2
q= 3
q=- 1 2
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等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
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等比数列
an a1q n1
am a1qm1
可得
an a1 qn1
an amqnm
等比数列的通项公式还可以写成
指数型的函数
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第一章 · 数列
第三节 等比数列
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第一讲 等比数列
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复习回顾： 请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等
差中项 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列 的公差。 公差通常用字母 d表示.
an a1 (n 1)d
an a1q n1
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等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根据等比数列
的定义得到
高考数学一轮复习 5.3等比数列课件 文
问题探究3：如何推导等比数列的通项公式和前n项和公 式？
提示：等比数列从定义到通项公式的形式和推导都可以看 作是等差数列对应的问题的运算升级，等比数列的通项公式的 推导可以利用累乘法或数学归纳法．
等比数列前n项和公式的推导可使用“错位相减法”，推导 过程如下：
设Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， (1－q)Sn＝a1(1－qn)． 当q≠1时，Sn＝a111－－qqn；当q＝1时，显然Sn＝na1.
(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝ __a_1_·q_n_－_1__.
3．等比中项 若__G_2_＝__a_·_b_，那么G叫做a与b的等比中项．
问题探究1：b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 提示：必要不充分条件．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·__q_n_－_m___，(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)， 则__a_k_·a_l_＝__a_m_·a_n____. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， a1n，{an2}，{an·bn}，bann仍是等比数列．
第
五
数列
章
第三节
等比数列
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基础
知识回顾
1．等比数列的定义
如果一个数列___从__第__二__项___起__，__后__项__与__相__邻___前__项__的__比____ __是__一__个__确__定 ___的__常__数__(_不__为__零__)__，那么这个数列叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的_公__比____，通常用字母__q____表示
高考数学一轮复习 第5章第3节 等比数列课件 文 新课标
• (3)如果数列{an}和{bn}都是等比数列，那 么{anbn}是 等比数列．
• 7．等差数列与等比数列的比较：
• (1)相同点：
• ①强调的都是每一项与它前一项 系．
的关
• ②结果必须都是 常 数．
• ③数列都由公差、首项或公比、首项确定．
可以用aann≥ ≥aann－ ＋11， 或aann≤ ≤aann－ ＋11， ， 也可以转化为函数最值
问题或利用数形结合法．
• 7．数列求和的方法有公式法、倒序相加 (乘)法、错位相减法、裂项相消法、分组 转化法、归纳法．
• 8．通项公式的求解方法有观察法、构造 等差或等比数列法、猜测归纳法、累加法、 累积法、待定系数法及公式法．
• 2．运用等比法是理解和掌握两类数列的定义、通项公 式及中项公式、前n项和公式的重要方法．判定一个数 列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需根据定义 证明
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
北师大版高中数学必修 -等比数列 PPT完美课件ppt1
北师大版高中数学必修《等比数列》P PT完美 课件pp t1(完 美课件)
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了. 追问1：国王一共应该给他多少颗麦粒？ 1 2 22 23 263
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ① Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
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回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ① Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
追问2：如何计算？ 1 2 22 23 263
首项：1 公比：2
共64项
追问3：如何求一个等比数列的前n 项的和？
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高中数学课件-1-3-1-2等比数列的性质及应用 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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(5)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为 lgq 的等差数列．
(6)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an， ap成 等比 数列．
(7)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0.
第一章 数列
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等比数列与指数函数的关系．
提示：(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1，可以整理为
100
lg ∴x＝
8 －lg lg1208＝lg
2－3lg 2 7＋lg 2－1
＝0.8425－13＋×00.3.3001100－1＝01.1.049671≈7.51(年)．
故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数
将超过1 000万人．
第一章 数列
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提高篇 03
第一章 数列
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(已知lg 2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg7＝0.845 1) 【答案】 2012
第一章 数列
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【解析】 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1
000万人，则80·(1＋40%)x＝1 000，
即75x＝1 80000，∴lg75x＝lg1 80000，
请 做：巩固篇04
（点击进入）
高中数学北师大版必修五《等比数列》课件
2•四1,级1,1，…，1；
• 五级
31, 2, 4,8,12,16, 20；
4 a, a2 , a3,……，an.
2024/11/14
5
单击此处编辑母版标题样式
q • 单击此问处题编提辑出母：版已如文知何本一写样个出等式它比的数通列项的公首式项？ a1和公比 ，
• 二级
q a • 首三级项是 • 四级
• 二级
• 三级
a , q, n, a ①• 四级 • 1五级
四个元素中可知三求一 n
②涉及多个已知条件时，可根据通项公式列方程组解决.
2024/11/14
8
单击此处编辑母版标题样式 16
●
14
（1）an 2n1 ：1，
2，4，8，16，…
5 4.
（2）an
1 2
n1
：1,
1 2
,
1 4
,
1 8
11
单击作此业：处课编本P辑30 ，母A版组1标，2题，3样，4式，6
• 单击（1此）“处生编态辑中国母，版绿色文中本国样”是式中国梦的重要组成部分。目前我国森林覆盖面积约
• 二级占国土面积的12%，处于较低水平，估计到2030年森林面积要在现有基础上
• 三翻级一番（即到达24%），生态环境明显改良。要实现上述目标，从2013年 到•20四3级•0年五森级林覆盖面积年平均增长率至少要为多少？
8
• 单击此处7 编辑●母版●文●本样●式 ● ● ● ● ● ●
• 二级 6
• 三级
•45四级• 五等级 比数列的图象4
3 （4）an 1 n1 ：1，-1，1，-1，1，-1，
2 1，…
1●
●
●
北师大版高中数学必修五：1.3.1等比数列课件
等比数列的概念
研究上述数列的特征及变化规律，可以发现什么？
可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第2项起， 每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数.
等比数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的比都等于同一个常数.那么这个 数列叫作等比数列，称这个常数叫作等比数列的 公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义
下面我们再看几个例子，考察等比数列的共同特征.
（1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面
条，拉伸、捏合、再拉伸、捏合，如此反复几次，就拉
成了许多根细面条.
这样捏合8次后可拉出多少根细面条？
第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根，故有
第2次捏合成 第3次捏合成 …… 第8次捏合成
（3）因为 所以该数列不是等比数列； （4）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比 数列；当a=0时，它不是等比数列.
等比数列的通项公式 已经知道了一个数列是等比数列，并且知道
它的第一项 和公比q,怎样写出它的通项公式？ 设这个等比数列是
由等比数列的定义可以知道：
从而，
由此可归纳出 an a1q n1.
在这个公式里，如果令n=1,那么
由此可知， 也可以用这个公式来表示，所 以这个公式就是所要求的通项公式，这就是说：
首项为 ,公比为q 的等比数列的通项公式是
例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3
项的和是12，求它的第8项的值.
解 设等比数列的首项为 知，得
,公比为q,则由已
① ②
将①式代入②式，得
2.在等比数列{an}中：
(1)若a4＝27，q＝-3，求a7； (2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q； (3)若a5-a1＝15，a4-a2＝6，求a3.
数学：1.3.1等比数列 (北师大版 必修5)
教学方法教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．3 q= 1时，{a n }为常数。
2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … …)0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系[范例讲解]课本P57例1、例2、P58例3 解略。
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第一章 数列
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1.数列
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1.1数列的概念
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北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章 数列 1.1数列的概念 习题1—1 2.1等差数列 习题1—2 3.1等比数列 习题1—3 习题1—4 复习题一 第二章 解三角形 1.1正弦定理 习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
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习题1—1
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2.等差数列
高中数学 1.3.1等比数列教学课件 北师大版必修5
A.
1 8
B.
1 2
C.
1 4
D.1
课后练习
练3.已知{an}是等比数列，且an＞0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,那
么a3+a5的值等于（ A ）
A.6
B.12
C.18
D.24
练4.写出等比数列5，-15，45,……的第5项 ? 405
练5.已知a3 =-9,q=-3,则a1 =__-__1___，a7=___-_7_2_9__。
a2q a1q2
a4 a3
q a4
……
a3q
a1q3
归纳等比数列的通项公式可得：
an a1q n1
通项公式的推导：
方法二：等差数列 an
叠加法
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d
……
+） an an1 d
an a1 (n 1)d
方法二: 等比数列 an
a2 q
(4) 1，2，4，6，3，4； 不是
(5) 5, 0, 5, 0, 5, 0；
(6)1, x, x2 , x3, x4.
不是
①当x≠0时，是,公比 q= x ②当x=0时，不是
课堂范例讲解
例1.已知数列 an的通项公式为 an 3，2试n 问
这个数列是等比数列吗？
解：因为当n≥2时，
an an1
就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。
a2 a3 a4 a5 an q
a1 a2 a3 a4
a n1
课堂概念辨析：
判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。
(1) 3，6，12，24，48； 是,q=2
高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第五章 第三节等比数列及其前n项和精讲课件 文
解析(jiě xī)：(1)由等比中项的性质知a3a13＝a5a11＝3，又a3＋a13＝4，
∴a3，a13是方程(fāngchéng)x2－4x＋3＝0的两根，解得a3＝ 3，a13＝1或a3＝1，a13＝3，
(2)由已知得q＝2，a1q2－a1＝6，解得a1＝2.
∴an＝2×2n－1＝2n，
第五页，共32页。
变式探究
(tànjiū)
1．(1)(2012·南宁适应性测试)已知数列(shùliè){an}是正项等比 数列(shùliè)，若a2＝2,2a3＋a4＝16，则数列(shùliè){an}的通 项公式an＝( )
A．2n－2 B．22－n C．2n－1 D．2n
(2)(2012·泉州四校联考)数列(shùliè){an}满足a1 ＝1，log2an＋1＝ log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是
是首项为 ，公比为 的等比数列(shùliè)
第十四页，共32页。
【例3】 数列(shùliè){an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1 ＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列(shùliè)；
(2)设cn＝
，求证：{cn}是等比数列(shùliè)．
(2)由 当n≥2时，
＝an＋1得，
第二十八页，共32页。
两式相减得：n≥2时， ＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)． 又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝ ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋ ＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.
第二十九页，共32页。
是等比数列(děnɡ bǐ shùliè)，
新课程2021高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列及其前n项和课件
解析 由 a24＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得 q＝a11＝3.∴S5＝13×1－1－3 35＝ 121 3.
3．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝32，S3＝92. (1)求数列{an}的通项公式；
解 (1)①当公比 q＝1 时，∵a3＝32，S3＝92， ∴an＝32；
nn＋1 此时 Tn＝2· 2 ＝n(n＋1)． 综上所述，Tn＝2n 或 Tn＝n(n＋1)．
1.等比数列基本运算中的两种常用数学思想
等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 方程的思想 求二”，通过列方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而
解．如举例说明 2
分类讨论 的思想
2.(2020·滨海新区期中)已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七 项的积为 512，且这三项分别减去 1,3,9 后成等差数列.
(1)求{an}的首项和公比； 解 (1)根据等比数列的性质，可得 a3·a5·a7＝a53＝512，解得 a5＝8. 设数列{an}的公比为 q，则 a3＝q82，a7＝8q2， 由题设可得q82－1＋(8q2－9)＝2×(8－3)＝10， 解得 q2＝2 或12.
∴an＝3＋6－1n.
等比数列的判定方法 (1)定义法：若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n 1＝q(q 为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．如举例说明(2). (2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则 数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常 数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
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a4+a7=2,a5a6=-8，则a1+a10=( )
(A)7 (B)5
(C)-5 (D)-7
（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3, a6=2S5+3,则此数列的公比q=___________. （3）（2012·辽宁高考）已知等比数列｛an｝为递增数列， 且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1，则数列｛an｝的通项公式an=_____.
第三节 等 比 数 列
1.等比数列及其相关概念
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的_前__一__项_的 比都等于___同__一__个常数
公比
等比数列定义中的_常__数__叫作等比数列的公比，常 用字母q表示(q≠0)
公式表示
{an}为等比数列⇔ 数）
a n1 an
q
（n∈N+，q为非零常
【拓展提升】 1.等比数列基本运算方法 （1）使用两个公式，即通项公式和前n项和公式. （2）使用通项公式的变形：an=amqn-m(m,n∈N+). 2.等比数列前n项和公式的应用 在使用等比数列前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1， 若能，应分q=1与q≠1两种情况求解.
【规范解答】（1）选D.方法一：设数列{an}的公比为q.由题
意，aa11qq34 aa11qq56a21,q3得a1q6
或
8,
a
1
q
a 1 q
3 6
2, 4,
解得
a q
1 3
1,
或
2,
a
1
8,
q
3
1 2
.
a
1
q
a 1 q
3 6
4, 2，
当
a q
1 3
1时, ，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】选A.由 a4 q3 可64得q8=2.
a1
8
2.在等比数列{an}中，a1=1，公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5，则 m=( )
(A)9
(B)10
(C)11
(D)12
【解析】选C.am=qm-1，a1a2a3a4a5=q10，所以qm-1=q10， 所以m=11.
【解析】（1）错误.q=0时{an}不是等比数列. （2）错误.G为a,b的等比中项⇒G2=ab；反之不真，如 a=0,b=0,G=0. （3）错误.. 答案：（1）× （2）× （3）× （4）×
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为( )
3
【解析】选C.由 a514a2 q解3得2q3， 数列{q ana12 n. +1}仍是
a等1a2 比数a2a列3 ，其首ana项n1 是a［ 811 a1 2 =(故1 1 48)选，n］ C 公.33 比2为1 14 4 . n所， 以, 4
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 S 6 3 ， 则 S 9 =( )
（2）由题意知，a6-a5=2(S5-S4)=2a5,
∴a6=3a5,即
a a
6 5
3.
答案:3
（3） a5 2a10, a1q42a1q9,
∴a1=q,∴an=qn,
∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an(1+q2)=5anq,
∴2(1+q2)=5q, 解得q=2或q 12（舍去），∴an=2n. 答案：2n
a 1 (1 q n ) a 1 a n q
(2)当公比q≠1时,Sn=___1__q___=___1 __q___.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）满足an+1=qan（n∈N+，q为常数）的数列{an}为等比数 列.( ) （2）G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( ) （3）如果{an}为等比数列，bn=a2n-1+a2n，则数列{bn}也是等比 数列.( ) （4）如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数 列.( )
an
a1
项，1 为1 公比的等比数列，则其前5项和为
q2
故选C．
1
(1 )5 2
31，
1 1 16
2
4.已知{an}是等比数列，a2 2,a5 14，则a1a2+a2a3+…+anan+1= ()
(A)16(1-4-n)
(B)16(1-2-n)
(C) 32 (1 4 n )
3
(D)32 (1 2 n )
【思路点拨】（1）根据a4+a7=2，a5a6=-8,列方程组求出首 项 和公比的三次方，根据通项公式计算即可，或者根据等比数 列的性质求解. （2）两式相减，利用S5-S4=a5可求. （3）根据a52=a10,2(an+an+2)=5an+1列方程求出首项和公比， 再代入等比数列通项公式得出结果.
3.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且
9S3=S6，则数列 { 1 } 的前5项和为( )
(A) 1 5 或5
a n (B) 3 1 或5
8
16
(C) 3 1
(D) 1 5
16
8
【解析】选C.∵9S3=S6，∴q≠1，∴
91q3 即1q6，
1q 1q
1+q3=9，解得q=2，由等比数列的性质{ 知1 } 是以1 1为首
2
当
a q
1 3
8,
时 1，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×
2
［1(1)3］＝－7. 2
综上，a1＋a10＝－7.故选D.
方法二：因为{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8，又 a4+a7=2，所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.根据等比数列性质， a1,a4,a7,a10也成等比数列.若a4=4,a7=-2，得a1=-8,a10=1， a1+a10=-7；若a4=-2,a7=4，得a10=-8,a1=1，仍有 a1+a10=-7，综上选D.
等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a,G,b成等比数 列，那么称G为a，b的等比中项，且有G=____a _b _
2.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为 _a_n_=_a_1q_n_-_1(_a_1_≠__0_,_q_≠__0_)_.
3．等比数列的前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=_n_a_1.
S3
S6
(A)2 (B) 7 (C) 8 (D)3
3
3
【解析】选B.设数列{an}的公比为q ,则
S6 1 q3 S3
S3
S3
＝1＋q3＝3⇒q3＝2,
于是
S S9 611q3q3q6
1247. 12 3
考向 1 等比数列的基本运算
【典例1】（1）（2012·新课标全国卷）已知{an}为等比数列，