高二数学数学归纳法综合测试题

高二数学数学归纳法综

合测试题

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

选修2-2 2. 3 数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1

1)时，第一步应验证不等式( )

A ．1＋12

<2 B ．1＋12＋13

＜2 C ．1＋12＋13

＜3 D ．1＋12＋13＋14

＜3 [答案] B

[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1

＝13，故选B. 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a

(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )

A ．1

B ．1＋a ＋a 2

C ．1＋a

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

[答案] B

[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选

B.

3．设f (n )＝

1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) ＋12n ＋2 －12n ＋2

[答案] D

[解析] f (n ＋1)－f (n )

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2

. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得

( )

A ．当n ＝6时该命题不成立

B ．当n ＝6时该命题成立

C ．当n ＝4时该命题不成立

D ．当n ＝4时该命题成立

[答案] C

[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )

A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立

B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立

C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立

[答案] C

[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k ＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为() A．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1

D．f(n)＋n－2

[答案] C

[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证()

A．n＝1时命题成立

B．n＝1，n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

[答案] D

[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，

当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)

由2(k2－2)≥(k－1)2－4k2－2k－3≥0

(k＋1)(k－3)≥0k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使

m整除f(n)，则最大的m的值为()

A．30

B．26

C．36

D．6

[答案] C

[解析]因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.

9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n＝()

[答案] B

[解析]由S n＝n2a n知S n＋1＝(n＋1)2a n＋1

∴S n＋1－S n＝(n＋1)2a n＋1－n2a n

∴a n＋1＝(n＋1)2a n＋1－n2a n

∴a n＋1＝

n

n＋2

a n(n≥2)．

当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a1

3＝1 3

a3＝2

4a2＝

1

6

，a4＝3

5a3＝

1

10.

由a1＝1，a2＝1

3，a3＝1

6

，a4＝1

10

猜想a n＝2

n(n＋1)

，故选B.

10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

[答案] D

[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.

二、填空题

11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．

[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立

[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，

∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．

12．已知数列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n(n＋1)

，通过计算得S1＝

1

2，S2＝

2

3，S3＝3

4，由此可猜测S n＝________.