高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义：解析几何(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义

第十五讲 解析几何一（教师版）

从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.

所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

一、知识精讲

1.点到直线的距离 ：

d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

2.圆的四种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+⎧⎨=+⎩.

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若

d =

d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.

4.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

①0<∆⇔⇔>相离r d ; ②0d r =⇔⇔∆=相切; ③0>∆⇔⇔<相交r d .

其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

5.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.

6.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b

y a x ⇒渐近线方程：22

220x y a b -=⇔

x a

b

y ±

=. (2)若渐近线方程为x a

b

y ±

=⇔

0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2

2

22b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，

焦点在x 轴上，0<λ，

焦点在y 轴上）.

7.

直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =

1212||||AB x x y y ==-=-（1122(,),(,)A x y B x y

1.三角形四心的坐标

设ABC ∆三边的长度分别为a,b,c ，三个顶点A 、B 、C 的坐标分别记为(,)A A x y 、

(,)B B x y 、(,)C C x y ，则重心G 、内心I 、垂心H 、外心O 坐标分别为,33A A x y G ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

∑∑、

,A A ax ay I a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、cos cos ,cos cos A A ax ay A A H a a A A ⎛

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、sin 2sin 2,sin 2sin 2A A x A y A O A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑。 2.直线系

若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合111222()()0a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。特别的，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即为

1110a x b y c ++=。对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.

又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。

3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.

►备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d ，圆半径为r ，则这个定值为22d r -.

①当定点在圆内时，220d r -＜，22d r -等于过定点的最小弦的一半的平方； ②当定点在圆上时，22=0d r -；

③当定点在圆外时，220d r -＞，22d r -等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把22d r -称为定点对于圆的幂.

4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．

►对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．

5.各曲线的定义：PF P F PH P l PH ⎧⎫⎪⎪

⎨⎬⎪⎪⎩⎭

=1， 为定点， 是到定直线的距离，

（1）椭圆：{}121212222P PF PF a a F F F F a +=， ＞，、为定点， 为正常数，； （

2

）双曲线：

{}

1

2121

2

-2

22P

P F P F a a

=

， ＜，、为定点， 为正常数，

； （3）抛物线：PF P F PH P l PH ⎧⎫⎪⎪

⎨⎬⎪⎪⎩⎭

=1， 为定点， 是到定直线的距离，

． 6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为一个常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．

当01e ＜＜时，曲线是椭圆；当1e ＞时，曲线是双曲线；当1e =时，曲线是抛物线．这个定点F 叫做曲线的焦点，定直线l 叫做曲线的准线，定点F 到定直线的距离P 叫做焦参数． 7.圆锥曲线的标准方程：

（1）椭圆：22221(0)x y a b a b +=＞＞，22

221(0)y x a b a b +=＞＞；

（2）双曲线：22221x y a b -=，22

221x y a b

-=（0a b ＞0，＞）；

（3）抛物线：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-（p ＞0）． ►备注：比值e 叫圆锥曲线的离心率，其中c e a

=。 三、典例精讲

例1．（2011复旦）椭圆22

12516

x y +

=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是（ ）。

（A ）11 （B （C ） （D ）9

►分析与解答：由平面几何知识，椭圆22

12516

x y +

=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆

22(6)1x y +-=圆心为'O ，(5cos ,4sin )P θθ是椭圆上的点，则