高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义：解析几何(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义第十五讲 解析几何一（教师版）从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

一、知识精讲1.点到直线的距离 ：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).2.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.4.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:①0<∆⇔⇔>相离r d ; ②0d r =⇔⇔∆=相切; ③0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.6.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y ==-=-（1122(,),(,)A x y B x y1.三角形四心的坐标设ABC ∆三边的长度分别为a,b,c ，三个顶点A 、B 、C 的坐标分别记为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y ，则重心G 、内心I 、垂心H 、外心O 坐标分别为,33A A x y G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑∑、,A A ax ay I a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、cos cos ,cos cos A A ax ay A A H a a A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、sin 2sin 2,sin 2sin 2A A x A y A O A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑。

2.直线系若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合111222()()0a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。

当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。

特别的，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即为1110a x b y c ++=。

对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。

3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.►备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d ，圆半径为r ，则这个定值为22d r -.①当定点在圆内时，220d r -＜，22d r -等于过定点的最小弦的一半的平方； ②当定点在圆上时，22=0d r -；③当定点在圆外时，220d r -＞，22d r -等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把22d r -称为定点对于圆的幂.4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．►对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．5.各曲线的定义：PF P F PH P l PH ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭=1， 为定点， 是到定直线的距离，（1）椭圆：{}121212222P PF PF a a F F F F a +=， ＞，、为定点， 为正常数，； （2）双曲线：{}121212-222PP F P F a a=， ＜，、为定点， 为正常数，； （3）抛物线：PF P F PH P l PH ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭=1， 为定点， 是到定直线的距离，． 6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为一个常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．当01e ＜＜时，曲线是椭圆；当1e ＞时，曲线是双曲线；当1e =时，曲线是抛物线．这个定点F 叫做曲线的焦点，定直线l 叫做曲线的准线，定点F 到定直线的距离P 叫做焦参数． 7.圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆：22221(0)x y a b a b +=＞＞，22221(0)y x a b a b +=＞＞；（2）双曲线：22221x y a b -=，22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）；（3）抛物线：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-（p ＞0）． ►备注：比值e 叫圆锥曲线的离心率，其中c e a=。

三、典例精讲例1．（2011复旦）椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是（ ）。

（A ）11 （B （C ） （D ）9►分析与解答：由平面几何知识，椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。

设圆22(6)1x y +-=圆心为'O ，(5cos ,4sin )P θθ是椭圆上的点，则|'|PO ===10≤=（当sin 1θ=-时取等号）。

故所求距离最大值为11.►注：或者考虑222(6)x y k +-=与2212516x y +=的相交情况，用判别式法解决。

例2．（2012“卓越联盟”）抛物线22y px =(0)p >，F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于(,0)D a ，0a >，||||m AF BF =+。

（1）证明：a 是,p m 的等差中项；（2）若3m p =，l 为平行于y 轴的直线，其被以AD 为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l 的方程。

►分析与解答： （1）设112(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义知1212||||22p pAF BF x x x x p +=+++=++。

又AB 中垂线交x 轴于(,D a，故2222112212122()()(2)()x a y x a y x x ax x y-+=-+⇒+--= 21212()y p x x -=-，因为21x x ≠，所以1222x x a p +-=-，1222x x a p +=-，故||||m AF BF =+= 122,2m px x p a p a +++=-=，a 是,p m 的等差中项。

（2）因为3m p =，所以2a p =。

设2(2,2)A p t p t ，(2,0)D p 。

圆心2'(,)O p pt pt +。

设直线l 的方程为x n =。

由于弦长为定值，故22R d -为定值，这里R 为圆的半径，d 为圆心'O 到l 的距离。

2222222222222221[(22)(2)]()[(1)]()34R d pt p pt p pt n p t t p pt n p t -=-+-+-=-+-+-=-2222222(23)(2)np npt n np p t np n ++-=-+-。

令2230np p -=，即32n p =时，22R d -为定值22293344p p p -=，故这样的直线l 的方程为32x p =。

例3．（2006复旦）已知抛物线2y ax =，直线12,l l 都过点(1,2)-且互相垂直。

若抛物线与直线12,l l 中至少有一条相交，求实数a 的取值范围。

►分析与解答：先看0a <的情形，如图13-8，显然，无论(1,2)-在抛物线2y ax =形内，还是在形外。

2y ax =与12,l l 始终至少有一条相交，故0a <符合题意。

若0a >，过(1,2)-作抛物线2y ax =的切线，设这两条切线的张角为θ。

若090θ<，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与2y ax =不相交，（如图13-9）；若090θ≥，则过(1,2)-的两条直线中，必有一条与2y ax =相交（如图13-10）。

图13-8 图13-9图13-10于是，原问题转化为如下一个问题：过(1,2)-作抛物线2y ax =的切线，这两条切线对抛物线的张角090≥。

设过(1,2)-的切线方程为(1)2y k x =--，由2,(1)2y a x y kx ⎧=⎨=--⎩，知220ax kx k -++=。

令2480k ak a ∆=--=。

设方程两根为12,k k ，则012901k k θ≥⇔≥-。

由韦达定理，81a -≥-，故18a ≤。

综上，a 的取值范围是1(,0)0,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦。