2013年高考数学选填压轴题(理科)含答案
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2013年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•湖北)在复平面内,复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)(2013•湖北)已知全集为R,集合,则A∩∁R B=()A .{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0≤x<2或x>4}D.{x|0<x≤2或x≥4}3.(5分)(2013•湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A .(¬p)∨(¬q)B.p∨(¬q)C.(¬p )∧(¬q)D.p∨q4.(5分)(2013•湖北)将函数的图象向左平移m(m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A .B.C.D.5.(5分)(2013•湖北)已知,则双曲线的()A .实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6.(5分)(2013•湖北)已知点A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D (3,4),则向量在方向上的投影为()A B C D7.(5分)(2013•湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A .1+25ln5B.8+25ln C.4+25ln5D.4+50ln28.(5分)(2013•湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()A .V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4D.V2<V3<V1<V49.(5分)(2013•湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X的均值E(X)=()A .B.C.D.10.(5分)(2013•湖北)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx ﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)()A B C D二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)11.(5分)(2013•湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示:(Ⅰ)直方图中x的值为_________;(Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.12.(5分)(2013•湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=_________.13.(5分)(2013•湖北)设x,y,z∈R,且满足:,则x+y+z=_________.14.(5分)(2013•湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式:三角形数,正方形数N(n,4)=n2,五边形数,六边形数N(n,6)=2n2﹣n,…可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=_________.15.(5分)(2013•湖北)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为_________.16.(2013•湖北)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为_________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•湖北)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积,求sinBsinC的值.18.(12分)(2013•湖北)已知等比数列{a n}满足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.19.(12分)(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F 分别是PA,PC的中点.(Ⅰ)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E﹣l﹣C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.20.(12分)(2013•湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(Ⅰ)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)(Ⅱ)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?21.(13分)(2013•湖北)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(Ⅰ)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.22.(14分)(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.(Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;(Ⅱ)证明:;(Ⅲ)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.(参考数据:.2013年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:将复数z=的分母实数化,求得z=1+i,即可求得,从而可知答案.解答:解:∵z====1+i,∴=1﹣i.∴对应的点(1,﹣1)位于第四象限,故选D.点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数z=的分母实数化是关键,属于基础题.2.(5分)考点:其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的性质可求得集合A,通过解一元二次不等式可求得集合B,从而可求得A∩C R B.解答:解:∵≤1=,∴x≥0,∴A={x|x≥0};又x2﹣6x+8≤0⇔(x﹣2)(x﹣4)≤0,∴2≤x≤4.∴B={x|2≤x≤4},∴∁R B={x|x<2或x>4},∴A∩∁R B={x|0≤x<2或x>4},故选C.点评:本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题.3.(5分)考点:复合命题的真假.专题:阅读型.分析:由命题P和命题q写出对应的¬p和¬q,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.解答:解:命题p是“甲降落在指定范围”,则¬p是“甲没降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则¬q是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)V(¬q).故选A.点评:本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.4.(5分)考点:两角和与差的正弦函数;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专三角函数的图像与性质.分析:函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于y轴对称,即可求出m的最小值.解答:解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin (x+),∴图象向左平移m(m >0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+),∵所得的图象关于y轴对称,∴m+=kπ+(k∈Z),则m的最小值为.故选B点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键.5.(5分)考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案.解答:解:双曲线的实轴长为2cosθ,虚轴长2sinθ,焦距2,离心率,双曲线的实轴长为2sinθ,虚轴长2sinθtanθ,焦距2tanθ,离心率,故它们的离心率相同.故选D.点评:本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题.6.(5分)考平面向量数量积的含义与物理意义.专题:平面向量及应用.分析:先求出向量、,根据投影定义即可求得答案.解答:解:,,则向量方向上的投影为:•cos<>=•===,故选A.点评:本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键.7.(5分)考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:令v(t)=0,解得t=4,则所求的距离S=,解出即可.解答:解:令v(t)=7﹣3t+,化为3t2﹣4t ﹣32=0,又t>0,解得t=4.∴由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5.故选C.点评:熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.8.(5分)考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确选项.解答:解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记λ为V1==.V2=12×π×2=2π,V3=2×2×2=8V4==;∵,∴V2<V1<V3<V4故选C.点评:本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法,正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键.9.(5分)考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:压轴题;概率与统计.分析:由题意可知:X所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36个小正方体涂有2面,③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面,④由以上可知:还剩下125﹣(8=36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列,利用数学期望的计算公式即可得出.解答:解:由题意可知:X所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,∴P(X=3)=;②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36个小正方体涂有2面,∴P (X=2)=;③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面,∴P(X=1)=.④由以上可知:还剩下125﹣(8+36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,∴P(X=0)=.X0123P故X的分布列为因此E(X)==.故选B.点评:正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.10.(5分)考点:利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:先求出f′(x),令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.解答:解:∵=lnx+1﹣2ax,(x>0)令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0..①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.②当a>0时,令g′(x)=0,解得x=,∵x,g′(x)>0,函数g(x )单调递增;时,g′(x )<0,函数g(x )单调递减.∴x=是函数g(x)的极大值点,则>0,即>0,∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即.∵,f′(x1)=lnx1+1﹣2ax1=0,f′(x2)=lnx2+1﹣2ax2=0.且f(x1)=x1(lnx1﹣ax1)=x1(2ax1﹣1﹣ax 1)=x 1(ax1﹣1)=﹣<0,f(x2)=x2(lnx2﹣ax2)=x2(ax 2﹣1)>=﹣.().故选D.点评:熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)11.(5分)考点:频率分布直方图.专题:图表型.分析:(I)根据频率分布直方图中,各组的频率之和为1,我们易得到一个关于x的方程,解方程即可得到答案.(II)由已知中的频率分布直方图,利用[100,250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到[100,250)的频率,利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答:解:(Ⅰ)依题意及频率分布直方图知,0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1,解得x=0.0044.(II)样本数据落在[100,150)内的频率为0.0036×50=0.18,样本数据落在[150,200)内的频率为0.006×50=0.3.样本数据落在[200,250)内的频率为0.0044×50=0.22,故在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.18+0.30+0.22)×100=70.故答案为:0.0044;70.点根据新高考服务于新教材的原则,作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点.对评:于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图.12.(5分)考点:程序框图.分析:框图首先给变量a和变量i赋值,然后对a是否等于4进行判断,不等于4,继续判断a是否为奇数,是执行路径a=3a+1,否执行路径,再执行i=i+1,依次循环执行,当a等于4时跳出循环,输出i 的值.解答:解:框图首先给变量a和变量i赋值,a=4,i=1.判断10=4不成立,判断10是奇数不成立,执行,i=1+1=2;判断5=4不成立,判断5是奇数成立,执行a=3×5+1=16,i=2+1=3;判断16=4不成立,判断16是奇数不成立,执行,i=3+1=4;判断8=4不成立,判断8是奇数不成立,执行,i=4+1=5;判断4=4成立,跳出循环,输出i的值为5.故答案是5.点评:本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满足条件执行循环,直到条件满足跳出循环.是基础题.13.(5分)考点:一般形式的柯西不等式;进行简单的合情推理.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:根据柯西不等式,算出(x+2y+3z)2≤14(x2+y2+z2)=14,从而得到x+2y+3z恰好取到最大值,由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=,由此即可得到x+y+z的值.解答:解:根据柯西不等式,得(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y 2+z 2)=14(x2+y2+z 2)当且仅当时,上式的等号成立∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,结合,可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=,可得x=,y=,z=因此,x+y+z=++=故答案为:点评:本题给出x、y、z 的平方和等于1,在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.抓住柯西不等式的等号成立的条件,是本题得以解决的关键.14.(5分)考点:归纳推理.专题:计算题.分析:观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得,把n=10,k=24代入可得答案.解答:解:原已知式子可化为:,,,,由归纳推理可得,故=1100﹣100=1000故答案为:1000点评:本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基础题.15.(5分)考点:与圆有关的比例线段;直角三角形的射影定理.专题:压轴题;选作题.分析:设圆O的半径为3x,根据射影定理,可以求出OD2=OE•OC=x2,CD 2=CE•OC=8x2,进而得到的值.解解:设圆O的半径OA=OB=OC=3x,答:∵AB=3AD,∴AD=2x,BD=4x,OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D,在△ABC中,由射影定理得:CD2=AD•BD=8x2,在△ODC中,由射影定理得:OD2=OE•OC=x2,CD2=CE•OC=8x2,故==8故答案为:8点评:本题考查的知识点是直角三角形射影定理,射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”.16.(2013•湖北)考点:参数方程化成普通方程;椭圆的简单性质;点的极坐标和直角坐标的互化.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程,再利用直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,从而得到c=b,又b2=a2﹣c2,消去b后得到关于a,c的等式,即可求出椭圆C的离心率.解答:解:直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程为x+y﹣m=0,它与x轴的交点坐标为(m,0),由题意知,(m ,0)为椭圆的焦点,故|m|=c,又直线l与圆O:ρ=b相切,∴,从而c=b,又b2=a2﹣c2,∴c2=2(a2﹣c2),∴3c2=2a2,∴=.则椭圆C的离心率为.故答案为:.点评:本题考查了椭圆的离心率,考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化,考查提高学生分析问题的能力.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)考点:余弦定理;正弦定理.专题:解三角形.分析:(I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;(II)由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a 2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出a .又由正弦定理得即可得到即可得出.解答:解:(Ⅰ)由cos2A﹣3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA﹣2=0,即(2cosA﹣1)(cosA+2)=0,解得(舍去).因为0<A<π,所以.(Ⅱ)由S===,得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故.又由正弦定理得.点评:熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.18.(12分)考点:数列的求和;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:(I)设等比数列{a n}的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可求a1,q,进而可求通项公式(Ⅱ)结合(I)可知是等比数列,结合等比数列的求和公式可求,即可判断解答:解:(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q ,则由已知可得解得故.(Ⅱ)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,从而.若,则是首项为,公比为﹣1的等比数列,从而故.综上,对任何正整数m,总有.故不存在正整数m,使得成立.点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19.(12分)考点:用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(I)直线l∥平面PAC.连接EF,利用三角形的中位线定理可得,EF∥AC;利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC.由线面平行的性质定理可得EF∥l.再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC.(II)综合法:利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC.连接BE,BF,因为BF⊂平面PBC,所以l⊥BC.故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角,即∠CBF=β.已知PC⊥平面ABC,可知CD是FD在平面ABC内的射影,故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.由BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF=α,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论;向量法:以点C为原点,向量所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角.解答:解:(Ⅰ)直线l∥平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC,又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以直线l∥平面PAC.(Ⅱ)(综合法)如图1,连接BD,由(Ⅰ)可知交线l即为直线BD,且l∥AC.因为AB是⊙O的直径,所以AC⊥BC,于是l⊥BC.已知PC⊥平面ABC,而l⊂平面ABC,所以PC⊥l .而PC∩BC=C,所以l ⊥平面PBC.连接BE,BF,因为BF⊂平面PBC,所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角,即∠CBF=β.由,作DQ∥CP,且.连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF,从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC 内的射影,故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.又BD⊥平面PBC ,有BD⊥BF,知∠BDF=α,于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得,从而.(Ⅱ)(向量法)如图2,由,作DQ∥CP,且.连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(Ⅰ)可知交线l即为直线BD.以点C为原点,向量所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有.于是,∴=,从而,又取平面ABC的一个法向量为,可得,设平面BEF 的一个法向量为,所以由可得.于是,从而.故,即sinθ=sinαsinβ.点评:本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力.20.(12分)考点:简单线性规划;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题:不等式的解法及应用;概率与统计.分析:(I)变量服从正态分布N(800,502),即服从均值为800,标准差为50的正态分布,适合700<X≤900范围内取值即在(μ﹣2σ,μ+2σ)内取值,其概率为:95.44%,从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0.(II)设每天应派出A型x辆、B型车y辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条件,列出目标函数,画出可行域求解.解答:解:(Ⅰ)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p0=(P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=(Ⅱ)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.由(Ⅰ)知,p0=P(X≤900),故P(X≤360x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查简单线性规划.本题解题的关键是列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.21.(13分)考点:直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;点到直线的距离公式.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分(Ⅰ)设出两个椭圆的方程,当直线l与y轴重合时,求出△BDM和△ABN的面积S1和S2,直接由面析:积比=λ列式求λ的值;(Ⅱ)假设存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出M 和N到直线l的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到,换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围.解答:解:以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为,.其中a >m>n >0,.(Ⅰ)如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则,,所以.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得y A=m,y B=n ,y D=﹣m,于是.若,则,化简得λ2﹣2λ﹣1=0,由λ>1,解得.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则.(Ⅱ)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k >0),点M(﹣a ,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.又,所以,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|﹣|AB|=(λ﹣1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是.将l的方程分别与C1和C2的方程联立,可求得根据对称性可知x C =﹣x B,x D=﹣x A,于是②从而由①和②可得③令,则由m>n,可得t≠1,于是由③可得.因为k≠0,所以k 2>0.于是③关于k有解,当且仅当,等价于,由λ>1,解得,即,由λ>1,解得,所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.点评:本题考查了三角形的面积公式,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,(Ⅱ)中判断λ的存在性是该题的难题,考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.22.(14分)考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等式的证明.专题:压轴题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)先求出函数f (x)的导函数f′(x),令f'(x)=0,解得x=0,再求出函数的单调区间,进而求出最小值为f(0)=0;(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,令代入并化简得,再令得,,即结论得到证明;(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,令,n分别取值81,82,83,…,125,分别列出不等式,再将各式相加得,,再由参考数据和条件进行求解.解答:解;(Ⅰ)由题意得f'(x)=(r+1)(1+x)r﹣(r+1)=(r+1)[(1+x)r﹣1],令f'(x)=0,解得x=0.当﹣1<x<0时,f'(x)<0,∴f(x)在(﹣1,0)内是减函数;当x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=0处,取得最小值为f (0)=0.(Ⅱ)由(Ⅰ),当x∈(﹣1,+∞)时,有f (x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x>﹣1且x≠0,有(1+x)r+1>1+(r+1)x,①在①中,令(这时x>﹣1且x≠0),得.上式两边同乘n r+1,得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1),即,②当n>1时,在①中令(这时x>﹣1且x≠0),类似可得,③且当n=1时,③也成立.综合②,③得,④(Ⅲ)在④中,令,n 分别取值81,82,83, (125)得,,,…,将以上各式相加,并整理得.代入数据计算,可得由[S]的定义,得[S]=211.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值,以及学生的创新精神,是否会观察,会抽象概括,会用类比的方法得出其它结论,难度较大,注意利用上一问的结论.。
2013年高考数学压轴题训练详细及解析
2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题,特别精选了其中有代表性的题目。
非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。
1.(本小题满分14分)已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[-1,1]上是增函数. (Ⅰ)求实数a 的值组成的集合A ; (Ⅱ)设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问:是否存在实数m ,使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立?若存在,求m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解:(Ⅰ)f '(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x , ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f '(x)≥0对x ∈[-1,1]恒成立,即x 2-ax -2≤0对x ∈[-1,1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2-ax -2,方法一:ϕ(1)=1-a -2≤0,① ⇔ ⇔-1≤a ≤1,ϕ(-1)=1+a -2≤0.∵对x ∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f '(-1)=0以及当a=-1时,f '(1)=0 ∴A={a|-1≤a ≤1}. 方法二:2a ≥0, 2a <0, ①⇔ 或ϕ(-1)=1+a -2≤0 ϕ(1)=1-a -2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 -1≤a ≤0⇔ -1≤a ≤1.∵对x ∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f '(-1)=0以及当a=-1时,f '(1)=0 ∴A={a|-1≤a ≤1}.(Ⅱ)由222+-x a x =x1,得x 2-ax -2=0, ∵△=a 2+8>0 ∴x 1,x 2是方程x 2-ax -2=0的两非零实根,x 1+x 2=a ,∴ 从而|x 1-x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=-2,∵-1≤a ≤1,∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[-1,1]恒成立,即m 2+tm -2≥0对任意t ∈[-1,1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm -2=mt+(m 2-2),方法一:g(-1)=m 2-m -2≥0,② ⇔g(1)=m 2+m -2≥0, ⇔m ≥2或m ≤-2.所以,存在实数m ,使不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤-2}.方法二:当m=0时,②显然不成立;当m ≠0时,m>0, m<0,②⇔ 或g(-1)=m 2-m -2≥0 g(1)=m 2+m -2≥0⇔ m ≥2或m ≤-2.所以,存在实数m ,使不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤-2}.2.(本小题满分12分)如图,P 是抛物线C :y=21x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.(Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解:(Ⅰ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由y=21x 2, ① 得y '=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1,∴直线l 的斜率k l =-切k 1=-11x , ∴直线l 的方程为y -21x 12=-11x (x -x 1), 方法一:联立①②消去y ,得x 2+12x x -x 12-2=0. ∵M 是PQ 的中点x 0=221x x +=-11x , ∴y 0=21x 12-11x (x 0-x 1). 消去x 1,得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0). 方法二:由y 1=21x 12,y 2=21x 22,x 0=221x x +, 得y 1-y 2=21x 12-21x 22=21(x 1+x 2)(x 1-x 2)=x 0(x 1-x 2), 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ,∴x 1=-01x , 将上式代入②并整理,得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).(Ⅱ)设直线l:y=kx+b ,依题意k ≠0,b ≠0,则T(0,b).分别过P 、Q 作PP '⊥x 轴,QQ '⊥y 轴,垂足分别为P '、Q ',则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=21x 2 由 消去x ,得y 2-2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b),则y 1y 2=b 2.方法一:∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数,∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,+∞). 方法二:∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +. 当b>0时,||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2; 当b<0时,||||||||SQ ST SP ST +=-b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根,得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0,于是k 2+2b>0,即k 2>-2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时,bk 22可取一切正数, ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,+∞). 方法三:由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP , 即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2-bx 1=x 2y 1-bx 2,即b(x 2-x 1)=(x 2y 1-x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=-21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=1|21|21x x -+1|21|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数, ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,+∞). 3.(本小题满分12分)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少.(总费用...=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力,满分12分.解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为400×0.3=120(万元);②若单独采取措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元),所以总费用为45+40=85(万元)③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元),所以总费用为30+60=90(万元);2 2④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为45+30=75(万元),发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015,损失期望值为400×0.015=6(万元),所以总费用为75+6=81(万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用最少.4.(本小题满分14分)已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 (I )已知数列}{n a 极限存在且大于零,求n n a A ∞→=lim (将A 用a 表示); (II )设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n n n n +-==-=+证明 (III )若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立,求a 的取值范围. 本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分14分.解:(I )由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得 (II ).11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由 都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n (III ).21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n (i )当n=1时结论成立(已验证).(ii )假设当那么即时结论成立,21||,)1(kk b k k n ≤≥=k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据(i )和(ii )可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn 5.(本小题满分14分,第一小问满分4分,第二小问满分10分)已知a R ∈,函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时,求使()f x x =成立的x 的集合;(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12],上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分. 解:(Ⅰ)由题意,2()2f x x x =-.当2x <时,2()(2)f x x x x =-=,解得0x =或1x =;当2x ≥时,2()(2)f x x x x =-=,解得12x =+. 综上,所求解集为{}0112+,,. (Ⅱ)设此最小值为m .①当1a ≤时,在区间[12],上,32()f x x ax =-.因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->,(12)x ∈,, 则()f x 在区间[12],上是增函数,所以(1)1m f a ==-.②当12a <≤时,在区间[12],上,2()()0f x x x a =-≥,由()0f a =知()0m f a ==.③当2a >时,在区间[12],上,23()f x ax x =-.22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥,在区间(12),内()0f x '>,从而()f x 为区间[12],上的增函数,由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<,则2123a <<. 当213x a <<时,()0f x '>,从而()f x 为区间2[1]3a ,上的增函数; 当223a x <<时,()0f x '<,从而()f x 为区间2[2]3a ,上的减函数. 因此,当23a <<时,(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时,4(2)1a a -≤-,故(2)4(2)m f a ==-; 当733a <<时,14(2)a a -<-,故(1)1m f a ==-. 综上所述,所求函数的最小值111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩,当时;0,当时;,当时;,当时. 6.(本小题满分14分,第一小问满分2分,第二、第三小问满分各6分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1231611a a a ===,,,且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ,,,,,其中A B ,为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值;(Ⅱ)证明:数列{}n a 为等差数列;(Ⅲ)证明:不等式51mn m n a a a ->对任何正整数m n ,都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法,考查思维能力、运算能力. 解:(Ⅰ)由已知,得111S a ==,2127S a a =+=,312318S a a a =++=.由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+,知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩,, 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩,, 解得 20A =-,8B =-.(Ⅱ)方法1由(Ⅰ),得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--, ① 所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①,得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-, ③ 所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③,得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-, 所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠,所以 32120n n n a a a +++-+=, 即 3221n n n n a a a a ++++-=-,1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列.方法2由已知,得111S a ==,又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--,且580n -≠, 所以数列{}n S 是唯一确定的,因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-,则数列{}n b 为等差数列,前n 项和(53)2n n n T -=.于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--, 由唯一性得 n n b a =,即数列{}n a 为等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,15(1)54n a n n =+-=-. 要证 51mn m n a a a ->, 只要证 512mn m n m n a a a a a >++. 因为 54mn a mn =-,(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++, 故只要证 5(54)12520()162m n mn mn m n a a ->+-+++, 即只要证 2020372m n m n a a +->. 因为 2558m n m n a a a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-,所以命题得证.。
2013年高考数学压轴题训练及详细的解析
2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题,精选其中有代表性的题目。
非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。
1.(本小题满分14分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点分别是F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),Q 是椭圆外的动点,满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT (Ⅰ)设x 为点P 的横坐标,证明x ac a P F +=||1;(Ⅱ)求点T 的轨迹C 的方程;(Ⅲ)试问:在点T 的轨迹C 上,是否存在点M , 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2的正切值;若不存在,请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. (Ⅰ)证法一:设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上,得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知,所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二:设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三:设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21,即.||||||21x ac a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知,所以.||1x ac a P F +=…………………………3分(Ⅱ)解法一:设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时,由0||||2=⋅TF PT ,得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =,所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中,a Q F OT ==||21||1,所以有.222a yx =+综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二:设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时,由02=⋅TF PT ,得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =,所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为(y x '',),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②,可得.222a y x =+综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分(Ⅲ)解法一:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0,由④得.||20cby ≤ 所以,当cb a 2≥时,存在点M ,使S=2b ;当cba2<时,不存在满足条件的点M.………………………11分 当cba 2≥时,),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=,由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅,212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅,③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=,得.2tan 21=∠MF F解法二:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是,当cba 2≥时,存在点M ,使S=2b ;当cba2<时,不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时,记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,,由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ,所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分2.(本小题满分12分)函数)(x f y =在区间(0,+∞)内可导,导函数)(x f '是减函数,且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点()(,00x f x )得的切线方程,并设函数.)(m kx x g +=(Ⅰ)用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ; (Ⅱ)证明:当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时;(Ⅲ)若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立,其中a 、b 为实数,求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 (Ⅰ)解:).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 (Ⅱ)证明:令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减,所以)(x h '递增,因此,当0)(,0>'>x h x x 时;当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点,且是极小值点,可知)(x h 的最小值为0,因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分(Ⅲ)解法一:10≤≤b ,0>a 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.③ ④0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面,由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件,利用(II )的结果可知,3223x b ax =+的充要条件是:过点(0,b )与曲线3223x y=相切的直线的斜率大于a ,该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上,不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然,存在a 、b 使①式成立的充要条件是:不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此,③式即为b 的取值范围,①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分(Ⅲ)解法二:0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ,于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax x a x 得φ当30-<<ax 时;0)(<'x φ当3->ax 时,0)(>'x φ,所以,当3-=ax 时,)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ,即.)2(21-≥b a ………………10分综上,不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然,存在a 、b 使①式成立的充要条件是:不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此,③式即为b 的取值范围,①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且*15()n n S S n n N +=++∈ (I )证明数列{}1n a +是等比数列;(II )令212()n n f x a x a x a x =+++ ,求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解:由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+,*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列;(II )由(I )知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时,①式=0所以22(1)2313f n n '=-;当2n =时,①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时,10n ->又()011211nnn nn n nn C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4.(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭,且与直线2p x =-相切,其中0p >.(I )求动圆圆心C 的轨迹的方程;(II )设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β,当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时,证明直线A B 恒过定点,并求出该定点的坐标.yA xoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-解:(I )如图,设M 为动圆圆心,,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ,过点M 作直线2p x =-的垂线,垂足为N ,由题意知:M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,2p x =-为准线,所以轨迹方程为22(0)y px P =>;(II )如图,设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得12x x ≠(否则αβπ+=)且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在,设其方程为y kx b =+,显然221212,22y y x x pp==,将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ,得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①(1)当2πθ=时,即2παβ+=时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知:224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y k x P k =+,即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p - (2)当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得:2tan 2p b pkθ=-,所以22tan p b pk θ=+,此时,直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由(1)(2)知,当2πθ=时,直线A B 恒过定点()2,0p -,当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.(本小题满分12分)已知椭圆C 1的方程为1422=+yx,双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线C 2的方程;(Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点,且l 与C 2的两个交点A和B 满足6<⋅OB OA (其中O 为原点),求k 的取值范围.解:(Ⅰ)设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ,则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx(II )将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ,B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----6.(本小题满分12分)数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.(Ⅰ)用数学归纳法证明:)2(2≥≥n a n ;(Ⅱ)已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对,其中无理数e=2.71828…. (Ⅰ)证明:(1)当n=2时,222≥=a ,不等式成立. (2)假设当)2(≥=k k n 时不等式成立,即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说,当1+=k n 时不等式成立.根据(1)、(2)可知:22≥≥n a k 对所有成立. (Ⅱ)证法一:由递推公式及(Ⅰ)的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得 121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故(Ⅱ)证法二:由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立,故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7.(本小题满分12分)已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+(1)证明;,21N n a a n n ∈<<+ (2)求数列}{n a 的通项公式a n . 解:(1)方法一 用数学归纳法证明:1°当n=1时,,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ,命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知,对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二:用数学归纳法证明:1°当n=1时,,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ;2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立, 令)4(21)(x x x f -=,)(x f 在[0,2]上单调递增,所以由假设有:),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立,所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 (2)下面来求数列的通项:],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =-1,所以1212)21(22,)21(---=+=-=n nn n n b a b 即。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题。
每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M={x|(x+1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3}(2)设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ()(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i(3)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1= ()(A)(B)-(C)(D)-(4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m,l ⊥n,l β,则()(A)α∥β且l ∥α(B)α⊥β且l⊥β(C)α与β相交,且交线垂直于l (D)α与β相交,且交线平行于l(5)已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的s=(A)1+ + +…+(B )1++ +…+(C )1+ + +…+(D )1++ +…+(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为搞影面,则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)(8)设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则(A )c >b >a (B )b >c >a(C )a >c >b (D)a >b >c(9)已知a >0,x ,y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1,则a=(A)(B) (C)1 (D)2(10)已知函数f(x)=x2+αx2+bx+,下列结论中错误的是(A )∑x α∈R f(x α)=0(B )函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C )若x α是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x α)单调递减(D )若xn 是f (x )的极值点,则f 1(x α)=0(11)设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF|=5若以MF 为直径的园过点(0,3),则C 的方程为(A )y2=4x 或y2=8x (B )y2=2x 或y2=8x(C )y2=4x 或y2=16x (D )y2=2x 或y2=16x(12)已知点A (-1,0);B (1,0);C (0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {(A)(0,1)(B)(1-,1/2)( C)(1-,1/3)(D)[ 1/3, 1/2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4B.C.4D.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5] 6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C.D.7.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.68.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.810.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()A.B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0] 12.(5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=.14.(5分)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=.15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=.16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B【考点】1D:并集及其运算;73:一元二次不等式及其应用.【专题】59:不等式的解法及应用;5J:集合.【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x<或﹣<x<0},A∪B=R,故选:B.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题.2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4B.C.4D.【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由题意可得z==,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i,由此可得z的虚部.【解答】解:∵复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z====+i,故z的虚部等于,故选:D.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【考点】B3:分层抽样方法.【专题】21:阅读型.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选:C.【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题.4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题.5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;EF:程序框图.【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图.【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选:A.【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准;③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式.6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C.D.【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=(R﹣2)2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===.故选:A.【点评】本题给出球与正方体相切的问题,求球的体积,着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识,属于中档题.7.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d,由前n项和公式及S m=0可求得a1,再由通项公式及a m=2可得m值.【解答】解:a m=S m﹣S m﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m=3,所以公差d=a m﹣a m=1,+1S m==0,m﹣1>0,m>1,因此m不能为0,得a1=﹣2,所以a m=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5,另解:等差数列{a n}的前n项和为S n,即有数列{}成等差数列,则,,成等差数列,可得2•=+,即有0=+,解得m=5.又一解:由等差数列的求和公式可得(m﹣1)(a1+a m﹣1)=﹣2,m(a1+a m)=0,(m+1)(a1+a m+1)=3,可得a1=﹣a m,﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0,解得m=5.故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系,考查学生的计算能力.8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】16:压轴题;27:图表型.【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π;故选:A.【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想象能力9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a=7b求得m的值.【解答】解:∵m为正整数,由(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a=,同理,由(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,可得b==.再由13a=7b,可得13=7,即13×=7×,即13=7×,即13(m+1)=7(2m+1),解得m=6,故选:B.【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用,组合数的计算公式,属于中档题.10.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()A.B.C.D.【考点】K3:椭圆的标准方程.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选:D.【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】16:压轴题;59:不等式的解法及应用.【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]故选:D.【点评】本题考查其它不等式的解法,数形结合是解决问题的关键,属中档题.12.(5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】82:数列的函数特性;8H:数列递推式.【专题】16:压轴题;54:等差数列与等比数列;55:点列、递归数列与数学归纳法.=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n+1﹣c n+1=,得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴,由题意,+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,﹣c n+1=,∴=a1﹣b n,又由题意,b n+1﹣a1=,∴b n﹣a1=,∴b n+1∴,c n=2a1﹣b n=,∴[][]=[﹣]单调递增(可证当n=1时>0)故选:B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,是本年度全国高考试题中的“亮点”之一.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=2.【考点】9H:平面向量的基本定理;9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.【解答】解:∵,,∴=0,∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.故答案为2.【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键.14.(5分)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=(﹣2)n﹣1.【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=()﹣()=,整理可得,即=﹣2,故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,a n=(﹣2)n﹣1,经验证当n=1时,上式也适合,故答案为:(﹣2)n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题.15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=﹣.【考点】GP:两角和与差的三角函数;H4:正弦函数的定义域和值域.【专题】16:压轴题;56:三角函数的求值.【分析】f(x)解析式提取,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x=θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=,与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值.【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣.故答案为:﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键.16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为16.【考点】57:函数与方程的综合运用;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】11:计算题;16:压轴题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由题意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,即可得到f(x)的最大值.【解答】解:∵函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a•(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a•(﹣5)+b]=0,解之得,因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,求导数,得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣,x2=﹣2,x3=﹣2+,当x∈(﹣∞,﹣2﹣)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2﹣,﹣2)时,f′(x)<0;当x∈(﹣2,﹣2+)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2+,+∞)时,f′(x)<0∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数.又∵f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,∴f(x)的最大值为16.故答案为:16.【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称,求函数的最大值.着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】(I)在Rt△PBC,利用边角关系即可得到∠PBC=60°,得到∠PBA=30°.在△PBA中,利用余弦定理即可求得PA.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,可得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化简即可求出.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,=,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==.∴PA=.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【考点】LW:直线与平面垂直;LY:平面与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB ⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得=(,1,﹣1),可求|cos <,>|,即为所求正弦值.【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,),设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==,又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.【点评】本题考查直线与平面所成的角,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属难题.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得;(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)==(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=,P(X=500)=,P(X=400)=1﹣﹣=,故X的分布列如下:X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解,属中档题.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【考点】J3:轨迹方程;J9:直线与圆的位置关系.【专题】5B:直线与圆.【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以R ≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【解答】解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(﹣1,0);圆N:(x﹣1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.设动圆的半径为R,∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.∴曲线C的方程为(x≠﹣2).(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l于M相切可得:,解得.当时,联立,得到7x2+8x﹣8=0.∴,.∴|AB|===由于对称性可知:当时,也有|AB|=.综上可知:|AB|=或.【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识,需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.【考点】3R:函数恒成立问题;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】16:压轴题;53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f (x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1)设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,则F′(x)=2ke x(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(ke x﹣1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,①若1≤k<e2,则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),从而当x∈(﹣2,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2时,F′(x)>2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),而F(﹣2)=﹣2ke﹣2+2<0,所以当x>﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2].【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.【考点】NC:与圆有关的比例线段.【专题】5B:直线与圆.【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(II)由(I)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=.【解答】(I)证明:连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.∴CF⊥BF.∴Rt△BCF的外接圆的半径=.【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)曲线C1的参数方程消去参数t,得到普通方程,再由,能求出C1的极坐标方程.(2)曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程,与C1的普通方程联立,求出C1与C2交点的直角坐标,由此能求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解:(1)将,消去参数t,化为普通方程(x﹣4)2+(y﹣5)2=25,即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16=0,将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0,得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0.∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0.(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0,。
2013年全国高考理科数学试题及答案详解
绝密*启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为( )()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==,4,1,2,3x y ==,3,1,2x y ==,2,1x y ==共10个 (2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种(3)下面是关于复数21z i=-+的四个命题:其中的真命题为( ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1-(4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为( )()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==(5)已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=,56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ,输出,A B ,则( )()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= (8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点,AB =;则C 的实轴长为( )()A ()B()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A-(4,B --得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=(9)已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2013年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•湖北)在复平面内,复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)(2013•湖北)已知全集为R,集合,则A∩∁R B=()A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0<x≤2或x≥4}3.(5分)(2013•湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(¬p)∨(¬q)B.p∨(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∨q4.(5分)(2013•湖北)将函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)(2013•湖北)已知,则双曲线的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6.(5分)(2013•湖北)已知点A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A.B.C.D.7.(5分)(2013•湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5 B.C.4+25ln5 D.4+50ln28+25ln8.(5分)(2013•湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4D.V2<V3<V1<V49.(5分)(2013•湖北)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.B.C.D.10.(5分)(2013•湖北)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)11.(5分)(2013•湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示:(Ⅰ)直方图中x的值为_________;(Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.12.(5分)(2013•湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=_________.13.(5分)(2013•湖北)设x,y,z∈R,且满足:,则x+y+z=_________.14.(5分)(2013•湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数,正方形数N(n,4)=n2,五边形数,六边形数N(n,6)=2n2﹣n,…可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=_________.15.(5分)(2013•湖北)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为_________.16.(2013•湖北)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为_________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•湖北)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积,求sinBsinC的值.18.(12分)(2013•湖北)已知等比数列{a n}满足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.19.(12分)(2013•湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F 分别是PA,PC的中点.(Ⅰ)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E﹣l﹣C的大小为β.求证:sinθ=sinαsinβ.20.(12分)(2013•湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(Ⅰ)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)(Ⅱ)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?21.(13分)(2013•湖北)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(Ⅰ)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.22.(14分)(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.(Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;(Ⅱ)证明:;(Ⅲ)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.(参考数据:.2013年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:将复数z=的分母实数化,求得z=1+i,即可求得,从而可知答案.解答:解:∵z====1+i,∴=1﹣i.∴对应的点(1,﹣1)位于第四象限,故选D.点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数z=的分母实数化是关键,属于基础题.2.(5分)考点:其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的性质可求得集合A,通过解一元二次不等式可求得集合B,从而可求得A∩C R B.解答:解:∵≤1=,∴x≥0,∴A={x|x≥0};又x2﹣6x+8≤0⇔(x﹣2)(x﹣4)≤0,∴2≤x≤4.∴B={x|2≤x≤4},∴∁R B={x|x<2或x>4},∴A∩∁R B={x|0≤x<2或x>4},故选C.点评:本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题.3.(5分)考点:复合命题的真假.专题:阅读型.分析:由命题P和命题q写出对应的¬p和¬q,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.解答:解:命题p是“甲降落在指定范围”,则¬p是“甲没降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则¬q是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)V(¬q).故选A.点评:本题考查了复合命题的真假,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.4.(5分)考点:两角和与差的正弦函数;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于y轴对称,即可求出m的最小值.解答:解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+),∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+),∵所得的图象关于y轴对称,∴m+=kπ+(k∈Z),则m的最小值为.故选B点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键.5.(5分)考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同,即可得出正确答案.解答:解:双曲线的实轴长为2cosθ,虚轴长2sinθ,焦距2,离心率,双曲线的实轴长为2sinθ,虚轴长2sinθtanθ,焦距2tanθ,离心率,故它们的离心率相同.故选D.点评:本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等,属于基础题.6.(5分)考点:平面向量数量积的含义与物理意义.专题:平面向量及应用.分析:先求出向量、,根据投影定义即可求得答案.解答:解:,,则向量方向上的投影为:•cos<>=•===,故选A.点评:本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键.7.(5分)考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:令v(t)=0,解得t=4,则所求的距离S=,解出即可.解答:解:令v(t)=7﹣3t+,化为3t2﹣4t﹣32=0,又t>0,解得t=4.∴由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5.故选C.点评:熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.8.(5分)考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:利用三视图与已知条件判断组合体的形状,分别求出几何体的体积,即可判断出正确选项.解答:解:由题意以及三视图可知,该几何体从上到下由:圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记λ为V1==.V2=12×π×2=2π,V3=2×2×2=8V4==;∵,∴V2<V1<V3<V4故选C.点评:本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法,正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键.9.(5分)考点:离散型随机变量的期望与方差.专题:压轴题;概率与统计.分析:由题意可知:X所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36个小正方体涂有2面,③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面,④由以上可知:还剩下125﹣(8=36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列,利用数学期望的计算公式即可得出.解答:解:由题意可知:X所有可能取值为0,1,2,3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面,∴P(X=3)=;②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36个小正方体涂有2面,∴P(X=2)=;③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面,∴P(X=1)=.④由以上可知:还剩下125﹣(8+36+54)=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,∴P(X=0)=.X 0 1 2 3P故X的分布列为因此E(X)==.故选B.点评:正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.考点:利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:先求出f′(x),令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.解答:解:∵=lnx+1﹣2ax,(x>0)令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1,x2⇔函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0..①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.②当a>0时,令g′(x)=0,解得x=,∵x,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.∴x=是函数g(x)的极大值点,则>0,即>0,∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即.∵,f′(x1)=lnx1+1﹣2ax1=0,f′(x2)=lnx2+1﹣2ax2=0.且f(x1)=x1(lnx1﹣ax1)=x1(2ax1﹣1﹣ax1)=x1(ax1﹣1)=﹣<0,f(x2)=x2(lnx2﹣ax2)=x2(ax2﹣1)>=﹣.().故选D.点评:熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)11.(5分)考点:频率分布直方图.专题:图表型.分析:(I)根据频率分布直方图中,各组的频率之和为1,我们易得到一个关于x的方程,解方程即可得到答案.(II)由已知中的频率分布直方图,利用[100,250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到[100,250)的频率,利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答:解:(Ⅰ)依题意及频率分布直方图知,0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1,解得x=0.0044.(II)样本数据落在[100,150)内的频率为0.0036×50=0.18,样本数据落在[150,200)内的频率为0.006×50=0.3.样本数据落在[200,250)内的频率为0.0044×50=0.22,故在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.18+0.30+0.22)×100=70.故答案为:0.0044;70.点评:根据新高考服务于新教材的原则,作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点.对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图.考点:程序框图.分析:框图首先给变量a和变量i赋值,然后对a是否等于4进行判断,不等于4,继续判断a是否为奇数,是执行路径a=3a+1,否执行路径,再执行i=i+1,依次循环执行,当a等于4时跳出循环,输出i的值.解答:解:框图首先给变量a和变量i赋值,a=4,i=1.判断10=4不成立,判断10是奇数不成立,执行,i=1+1=2;判断5=4不成立,判断5是奇数成立,执行a=3×5+1=16,i=2+1=3;判断16=4不成立,判断16是奇数不成立,执行,i=3+1=4;判断8=4不成立,判断8是奇数不成立,执行,i=4+1=5;判断4=4成立,跳出循环,输出i的值为5.故答案是5.点评:本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满足条件执行循环,直到条件满足跳出循环.是基础题.13.(5分)考点:一般形式的柯西不等式;进行简单的合情推理.专题:计算题;不等式的解法及应用.分析:根据柯西不等式,算出(x+2y+3z)2≤14(x2+y2+z2)=14,从而得到x+2y+3z恰好取到最大值,由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=,由此即可得到x+y+z的值.解答:解:根据柯西不等式,得(x+2y+3z)2≤(12+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)当且仅当时,上式的等号成立∵x2+y2+z2=1,∴(x+2y+3z)2≤14,结合,可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=,可得x=,y=,z=因此,x+y+z=++=故答案为:点评:本题给出x、y、z的平方和等于1,在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.抓住柯西不等式的等号成立的条件,是本题得以解决的关键.14.(5分)考点:归纳推理.专题:计算题.分析:观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得,把n=10,k=24代入可得答案.解答:解:原已知式子可化为:,,,,由归纳推理可得,故=1100﹣100=1000故答案为:1000点评:本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基础题.15.(5分)考点:与圆有关的比例线段;直角三角形的射影定理.专题:压轴题;选作题.分析:设圆O的半径为3x,根据射影定理,可以求出OD2=OE•OC=x2,CD2=CE•OC=8x2,进而得到的值.解答:解:设圆O的半径OA=OB=OC=3x,∵AB=3AD,∴AD=2x,BD=4x,OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D,在△ABC中,由射影定理得:CD2=AD•BD=8x2,在△ODC中,由射影定理得:OD2=OE•OC=x2,CD2=CE•OC=8x2,故==8故答案为:8点评:本题考查的知识点是直角三角形射影定理,射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”.16.(2013•湖北)考点:参数方程化成普通方程;椭圆的简单性质;点的极坐标和直角坐标的互化.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程,再利用直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,从而得到c=b,又b2=a2﹣c2,消去b后得到关于a,c的等式,即可求出椭圆C的离心率.解答:解:直线l的极坐标方程分别为为非零常数)化成直角坐标方程为x+y﹣m=0,它与x轴的交点坐标为(m,0),由题意知,(m,0)为椭圆的焦点,故|m|=c,又直线l与圆O:ρ=b相切,∴,从而c=b,又b2=a2﹣c2,∴c2=2(a2﹣c2),∴3c2=2a2,∴=.则椭圆C的离心率为.故答案为:.点评:本题考查了椭圆的离心率,考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化,考查提高学生分析问题的能力.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)考点:余弦定理;正弦定理.专题:解三角形.分析:(I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;(II)由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出a.又由正弦定理得即可得到即可得出.解答:解:(Ⅰ)由cos2A﹣3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA﹣2=0,即(2cosA﹣1)(cosA+2)=0,解得(舍去).因为0<A<π,所以.(Ⅱ)由S===,得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故.又由正弦定理得.点评:熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.18.(12分)考点:数列的求和;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:(I)设等比数列{a n}的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可求a1,q,进而可求通项公式(Ⅱ)结合(I)可知是等比数列,结合等比数列的求和公式可求,即可判断解答:解:(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得解得故.(Ⅱ)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,从而.若,则是首项为,公比为﹣1的等比数列,从而故.综上,对任何正整数m ,总有.故不存在正整数m ,使得成立.点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力 19.(12分)考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I )直线l ∥平面PAC .连接EF ,利用三角形的中位线定理可得,EF ∥AC ;利用线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面ABC .由线面平行的性质定理可得EF ∥l .再利用线面平行的判定定理即可证明直线l ∥平面PAC .(II )综合法:利用线面垂直的判定定理可证明l ⊥平面PBC .连接BE ,BF ,因为BF ⊂平面PBC ,所以l ⊥BC .故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角,即∠CBF=β.已知PC ⊥平面ABC ,可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影,故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即∠CDF=θ.由BD ⊥平面PBC ,有BD ⊥BF ,知∠BDF=α,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论;向量法:以点C 为原点,向量所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解答: 解:(Ⅰ)直线l ∥平面PAC ,证明如下: 连接EF ,因为E ,F 分别是PA ,PC 的中点,所以EF ∥AC ,又EF ⊄平面ABC ,且AC ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ,且平面BEF ∩平面ABC=l ,所以EF ∥l . 因为l ⊄平面PAC ,EF ⊂平面PAC ,所以直线l ∥平面PAC . (Ⅱ)(综合法)如图1,连接BD ,由(Ⅰ)可知交线l 即为直线BD ,且l ∥AC . 因为AB 是⊙O 的直径,所以AC ⊥BC ,于是l ⊥BC . 已知PC ⊥平面ABC ,而l ⊂平面ABC ,所以PC ⊥l . 而PC ∩BC=C ,所以l ⊥平面PBC .连接BE ,BF ,因为BF ⊂平面PBC ,所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E ﹣l ﹣C 的平面角,即∠CBF=β.由,作DQ ∥CP ,且.连接PQ ,DF ,因为F 是CP 的中点,CP=2PF ,所以DQ=PF , 从而四边形DQPF 是平行四边形,PQ ∥FD .连接CD ,因为PC ⊥平面ABC ,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又BD ⊥平面PBC ,有BD ⊥BF ,知∠BDF=α, 于是在Rt △DCF ,Rt △FBD ,Rt △BCF 中,分别可得,从而. (Ⅱ)(向量法)如图2,由,作DQ ∥CP ,且.连接PQ ,EF ,BE ,BF ,BD ,由(Ⅰ)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点,向量所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a ,CB=b ,CP=2c ,则有. 于是,∴=,从而,又取平面ABC 的一个法向量为,可得,设平面BEF 的一个法向量为,所以由可得.于是,从而.故,即sin θ=sin αsin β.点评: 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力. 20.(12分)考点: 简单线性规划;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 不等式的解法及应用;概率与统计. 分析: (I )变量服从正态分布N (800,502),即服从均值为800,标准差为50的正态分布,适合700<X ≤900范围内取值即在(μ﹣2σ,μ+2σ)内取值,其概率为:95.44%,从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p 0.(II )设每天应派出A 型x 辆、B 型车y 辆,根据条件列出不等式组,即得线性约束条件,列出目标函数,画出可行域求解.解答: 解:(Ⅰ)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502),故有μ=800,σ=50,P (700<X ≤900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p 0=(P (X ≤900)=P (X ≤800)+P (800<X ≤900)=(Ⅱ)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ,y 辆,则相应的营运成本为1600x+2400y .依题意,x ,y 还需满足:x+y ≤21,y ≤x+7,P (X ≤36x+60y )≥p 0.由(Ⅰ)知,p0=P(X≤900),故P(X≤360x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查简单线性规划.本题解题的关键是列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.21.(13分)考点:直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;点到直线的距离公式.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设出两个椭圆的方程,当直线l与y轴重合时,求出△BDM和△ABN的面积S1和S2,直接由面积比=λ列式求λ的值;(Ⅱ)假设存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到,换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围.解答:解:以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为,.其中a>m>n>0,.(Ⅰ)如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则,,所以.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得y A=m,y B=n,y D=﹣m,于是.若,则,化简得λ2﹣2λ﹣1=0,由λ>1,解得.故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则.(Ⅱ)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(﹣a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.又,所以,即|BD|=λ|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|﹣|AB|=(λ﹣1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是.将l的方程分别与C1和C2的方程联立,可求得根据对称性可知x C=﹣x B,x D=﹣x A,于是②从而由①和②可得③令,则由m>n,可得t≠1,于是由③可得.因为k≠0,所以k2>0.于是③关于k有解,当且仅当,等价于,由λ>1,解得,即,由λ>1,解得,所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.点评: 本题考查了三角形的面积公式,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,(Ⅱ)中判断λ的存在性是该题的难题,考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.22.(14分)考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;数列的求和;不等式的证明. 专题:压轴题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数f (x )的导函数f ′(x ),令f'(x )=0,解得x=0,再求出函数的单调区间,进而求出最小值为f (0)=0;(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,即(1+x )r+1≥1+(r+1)x ,令代入并化简得,再令得,,即结论得到证明;(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,令,n 分别取值81,82,83,…,125,分别列出不等式,再将各式相加得,,再由参考数据和条件进行求解.解答: 解;(Ⅰ)由题意得f'(x )=(r+1)(1+x )r ﹣(r+1)=(r+1)[(1+x )r ﹣1], 令f'(x )=0,解得x=0.当﹣1<x <0时,f'(x )<0,∴f (x )在(﹣1,0)内是减函数; 当x >0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)内是增函数. 故函数f (x )在x=0处,取得最小值为f (0)=0. (Ⅱ)由(Ⅰ),当x ∈(﹣1,+∞)时,有f (x )≥f (0)=0, 即(1+x )r+1≥1+(r+1)x ,且等号当且仅当x=0时成立, 故当x >﹣1且x ≠0,有(1+x )r+1>1+(r+1)x ,①在①中,令(这时x >﹣1且x ≠0),得.上式两边同乘n r+1,得(n+1)r+1>n r+1+n r (r+1), 即,②当n >1时,在①中令(这时x >﹣1且x ≠0),类似可得,③且当n=1时,③也成立. 综合②,③得,④(Ⅲ)在④中,令,n 分别取值81,82,83, (125)得,,,…,将以上各式相加,并整理得.代入数据计算,可得由[S ]的定义,得[S ]=211.点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值,以及学生的创新精神,是否会观察,会抽象概括,会用类比的方法得出其它结论,难度较大,注意利用上一问的结论.。
2013年陕西高考理科数学压轴题
圆锥曲线的定点、定值问题
结论一:设 AB 是曲线 E : mx 2 + ny 2 = 1的弦,且 P( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,则 k AB ⋅ k OP = −
b2 ; a2
(3)如图 3,有 k PA ⋅ k PB = −
第 2 页 共 9 页
b2 . a2
结论七:设抛物线 E 的方程为 y 2 = 2 px ( p > 0) ,则有以下结论: (1)若弦 AB 过抛物线 E 的焦点 F ,则
1 1 2 + = ; | AF | | BF | p
2
(2)若弦 AB 过抛物线 E 的焦点 F ,则 y A ⋅ yB = − p , x A ⋅ x B =
x2 y2 a2 + = 1 ( a > b > 0) ,则定点 Q 为 ( , 0) ; a2 b2 m x2 y 2 a2 − = 1 ( a > 0, b > 0) ,则定点 Q 为 ( , 0) . a2 b2 m
��� � ��� �
(3)若圆锥曲线 E 为
结论五: 设 过定点 Q .
AB 是圆锥曲线 E 的弦,且圆锥曲线 E 上异于 A, B 的点 P( x0 , y0 ) 满足 PA ⋅ PB = 0 ,则直线 AB
−1
2.设函数 f ( x ) = ax 2 +
2 . e +1
x
(1)当 a = 0 时,求证:曲线 y = f ( x) 关于点 ( 0,1) 对称; (2)若函数 (3)当 a =
2013年高考全国数学卷一理科试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷一】数 学(理工类】参考公式:如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 343V R p =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第一部分 (选择题 共60分】注意事项:1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是( 】A 、42 B 、35 C 、28 D 、212、复数2(1)2i i-=( 】 A 、1 B 、1- C 、i D 、i -3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是( 】 A 、不存在 B 、等于6 C 、等于3 D 、等于04、如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=( 】ABCD5、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是( 】6、下列命题正确的是( 】A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是( 】 A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y 。
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
为 (ai a j ak ) ( dr ds dt ) 的最小值、最大值,其中
{ i , j , k} {1,2,3, 4,5} ,{ r, s,t} {1,2,3, 4,5} ,则 m, M 满足
平行于平面 D1AC ,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离 .
第 19 题图
【测量目标】直线与平面平行的判定,锥的体积
.
【考查方式】给出长方体及若干条件,根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公
式求出答案 .
【难易程度】容易
【试题解析】因为 ABCD A1B1C1D1 为长方体, AB C1D1 , AB C1D1 ,
【测量目标】奇函数的性质 . 【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式,利用奇函数的性质求出 【难易程度】中等
8 【参考答案】 a ,
7 【试题解析】 f (0) 0,故 0 厔a 1 a 1 (步骤 1);当 x 0 时
a 的范围 .
a2
f (x) 9x
7 …a 1(步骤 2)
x
即 6 | a |… a 8 ,又 a , 1,故 a ,
f (x) [0,1) ,而 y f (x) 的定义域为 [0,3] (步骤 2),故当 x [2,3] 时, f (x) 的取值应在
( ,0) [1,2] (4, ) ,故若 f ( x0 ) x0 ,只有 x0 2.(步骤 3)
二、选择题
15.设常数 a R ,集合 A { x | ( x 1)( x a) 厖0}, B { x | x a 1} ,若 A B R ,则 a
2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=()A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}考点:交、并、补集的混合运算.专题:计算题.分析:根据A与B求出两集合的并集,由全集U,找出不属于并集的元素,即可求出所求的集合.解答:解:∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3},∵全集U={1,2,3,4},∴∁U(A∪B)={4}.故选D点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.(5分)(2013•重庆)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,都有x2<0C.存在x0∈R,使得x02≥0 D.存在x0∈R,使得x02<0考点:命题的否定;全称命题.专题:简易逻辑.分析:直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可.解答:解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.存在x0∈R,使得x02<0.故选D.点评:本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.3.(5分)(2013•重庆)(﹣6≤a≤3)的最大值为()A.9B.C.3D.考点:二次函数在闭区间上的最值.专题:函数的性质及应用.分析:令f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣+,而且﹣6≤a≤3,利用二次函数的性质求得函数f(a)的最大值,即可得到所求式子的最大值.解答:解:令f(a)=(3﹣a)(a+6)=﹣+,而且﹣6≤a≤3,由此可得函数f (a)的最大值为,故(﹣6≤a≤3)的最大值为=,故选B.点评:本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.4.(5分)(2013•重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8考点:茎叶图.专题:概率与统计.分析:求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以5.找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可.解答:解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8;∴y=8;甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15,∴x=5.故选:C.点评:本题考查了中位数和平均数的计算.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.5.(5分)(2013•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.200 D.240考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析:如图所示,该几何体是棱长分别为4,8,10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱,据此即可计算出体积. 解答:解:如图所示,该几何体是棱长分别为4,8,10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱,由图知V==200.故选C .点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 6.(5分)(2013•重庆)若a <b <c ,则函数f (x )=(x ﹣a )(x ﹣b )+(x ﹣b )(x ﹣c )+(x ﹣c )(x ﹣a )的两个零点分别位于区间( ) A . (a ,b )和(b ,c )内 B . (﹣∞,a )和(a ,b )内 C . (b ,c )和(c ,+∞)内 D . (﹣∞,a )和(c ,+∞)内考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a ,b ),(b ,c )内分别存在一个零点;又函数f (x )是二次函数,最多有两个零点,即可判断出. 解答: 解:∵a <b <c ,∴f (a )=(a ﹣b )(a ﹣c )>0,f (b )=(b ﹣c )(b ﹣a )<0,f (c )=(c ﹣a )(c ﹣b )>0,由函数零点存在判定定理可知:在区间(a ,b ),(b ,c )内分别存在一个零点; 又函数f (x )是二次函数,最多有两个零点, 因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ,b ),(b ,c )内. 故选A . 点评: 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键. 7.(5分)(2013•重庆)已知圆C 1:(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=1,圆C 2:(x ﹣3)2+(y ﹣4)2=9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A . 5﹣4 B . 1 C . 6﹣2 D .考点: 圆与圆的位置关系及其判定;两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ,以及半径,然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值.解答:解:如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,﹣3),半径为1,圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即:=5﹣4.故选A.点评:本题考查圆的对称圆的方程的求法,两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与计算能力.8.(5分)(2013•重庆)执行如图所示的程序框图,如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是()A.k≤6 B.k≤7 C.k≤8 D.k≤9考点:程序框图.专题:图表型.分析:根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是S=3,可得判断框内应填入的条件.解答:解:根据程序框图,运行结果如下:S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是k≤7.故选B.点评:本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律.本题属于基础题.9.(5分)(2013•重庆)4cos50°﹣tan40°=()A.B.C.D.2﹣1考点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用;二倍角的正弦.专题:三角函数的求值.分析:原式第一项利用诱导公式化简,第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦,通分后利用同分母分式的减法法则计算,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,约分即可得到结果.解答:解:4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======.故选C点评:此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.10.(5分)(2013•重庆)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是()A.(0,]B.(,]C.(,]D.(,]考点:向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义.专题:压轴题;平面向量及应用.分析:建立坐标系,将向量条件用等式与不等式表示,利用向量模的计算公式,即可得到结论.解答:解:根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设|AB1|=a,|AB2|=b,点O的坐标为(x,y),则点P的坐标为(a,b),由=1,得,则∵||<,∴∴∴∵(x﹣a)2+y2=1,∴y2=1﹣(x﹣a)2≤1,∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知,∵||=,∴<||≤故选D.点评:本题考查向量知识的运用,考查学生转化问题的能力,考查学生的计算能力,属于难题.二、填空题:本大题共3小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)(2013•重庆)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=.考点:复数求模.专题:计算题.分析:通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.解答:解:|z|===.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,考查计算能力.12.(5分)(2013•重庆)已知{a n}是等差数列,a1=1,公差d≠0,S n为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=64.考点:等差数列的前n项和;等比数列的前n项和.专题:计算题;压轴题;等差数列与等比数列.分析:依题意,a1=1,=a1•(a1+4d),可解得d,从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案.解答:解:∵{a n}是等差数列,a1,a2,a5成等比数列,∴=a1•(a1+4d),又a1=1,∴d2﹣2d=0,公差d≠0,∴d=2.∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64.故答案为:64.点评:本题考查等差数列的前n项和,考查方程思想与运算能力,属于基础题.13.(5分)(2013•重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590(用数字作答).考点:排列、组合及简单计数问题.专题:压轴题;概率与统计.分析:不同的组队方案:选5名医生组成一个医疗小组,要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人,方法共有6类,他们分别是:3名骨科、1名脑外科和1名内科医生;1名骨科、3名脑外科和1名内科医生,…,在每一类中都用分步计数原理解答.解答:解:直接法:3名骨科、1名脑外科和1名内科医生,有C33C41C51=20种,1名骨科、3名脑外科和1名内科医生,有C31C43C51=60种,1名骨科、1名脑外科和3名内科医生,有C31C41C53=120种,2名骨科、2名脑外科和1名内科医生,有C32C42C51=90种,1名骨科、2名脑外科和2名内科医生,有C31C42C52=180种,2名骨科、1名脑外科和2名内科医生,有C32C41C52=120种,共计20+60+120+90+180+120=590种故答案为:590.点评:本题主要考查了排列、组合及简单计数问题,解答关键是利用直接法:先分类后分步.14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分:14.(5分)(2013•重庆)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC 的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为5.考点:与圆有关的比例线段.专题:直线与圆.分析:利用直角△ABC的边角关系即可得出BC,利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°.利用直角△BCD的边角关系即可得出CD,BD.再利用切割线定理可得CD2=DE•DB,即可得出DE.解答:解:在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,∴BC=AB•sin60°=.∵CD是此圆的切线,∴∠BCD=∠A=60°.在Rt△BCD中,CD=BC•cos60°=,BD=BC•sin60°=15.由切割线定理可得CD2=DE•DB,∴,解得DE=5.故答案为5.点评:熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键.15.(5分)(2013•重庆)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=16.考点:点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式;参数方程化成普通方程.专题:压轴题;直线与圆.分析:先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程,再代入曲线(t为参数)中得A,B两点的直角坐标,最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|.解答:解:将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4,代入曲线(t为参数)中得A,B两点的直角坐标为(4,8),(4,﹣8),则|AB|=16.故答案为:16.点评:本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化,两点间的距离公式,考查转化、计算能力.16.(2013•重庆)若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是(﹣∞,8].考点:绝对值不等式的解法.专题:压轴题;不等式的解法及应用.分析:利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8,由此可得实数a的取值范围.解答:解:由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和,其最小值为8,再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|<a无解,可得a≤8,故答案为:(﹣∞,8].点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8,是解题的关键,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.考点:利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a的值即可;(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值.解答:解:(1)因f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x﹣5)+,(x>0),令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣16a=(6﹣8a)(x﹣1),由切线与y轴相交于点(0,6).∴6﹣16a=8a﹣6,∴a=.(2)由(I)得f(x)=(x﹣5)2+6lnx,(x>0),f′(x)=(x﹣5)+=,令f′(x)=0,得x=2或x=3,当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数,当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数,故f(x)在x=2时取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln3.点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.属于中档题.18.(13分)(2013•重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E(x).考点:离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;概率与统计.分析:(1)从7个小球中取3的取法为,若取一个红球,则说明第一次取到一红2白,根据组合知识可求取球的种数,然后代入古典概率计算公式可求(2)先判断随机变量X的所有可能取值为200,50,10,0根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值解答:解:(1)设A i表示摸到i个红球,B i表示摸到i个蓝球,则Ai与Bi相互独立(i=0,1,2,3)∴P(A1)==(2)X的所有可能取值为0,10,50,200P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=P(X=50)=P(A3)P(B0)==P(X=10)=P(A2)P(B1)==P(X=0)=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元点评:本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力.19.(13分)(2013•重庆)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.(1)求PA的长;(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法.专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角.分析:(I)连接BD交AC于点O,等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD,因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出A、B、C、D各点的坐标,设P(0,﹣3,z),根据F为PC边的中点且AF⊥PB,算出z=2,从而得到=(0,0,﹣2),可得PA的长为2;(II)由(I)的计算,得=(﹣,3,0),=(,3,0),=(0,2,).利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出=(3,,﹣2)和=(3,﹣,2)分别为平面FAD、平面FAB的法向量,利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦,结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值..解答:解:(I)如图,连接BD交AC于点O∵BC=CD,AC平分角BCD,∴AC⊥BD以O为坐标原点,OB、OC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则OC=CDcos=1,而AC=4,可得AO=AC﹣OC=3.又∵OD=CDsin=,∴可得A(0,﹣3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(﹣,0,0)由于PA⊥底面ABCD,可设P(0,﹣3,z)∵F为PC边的中点,∴F(0,﹣1,),由此可得=(0,2,),∵=(,3,﹣z),且AF⊥PB,∴•=6﹣=0,解之得z=2(舍负)因此,=(0,0,﹣2),可得PA的长为2;(II)由(I)知=(﹣,3,0),=(,3,0),=(0,2,),设平面FAD 的法向量为=(x 1,y 1,z 1),平面FAB 的法向量为=(x 2,y 2,z 2), ∵•=0且•=0,∴,取y 1=得=(3,,﹣2),同理,由•=0且•=0,解出=(3,﹣,2),∴向量、的夹角余弦值为cos <,>===因此,二面角B ﹣AF ﹣D 的正弦值等于=点评:本题在三棱锥中求线段PA 的长度,并求平面与平面所成角的正弦值.着重考查了空间线面垂直的判定与性质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题. 20.(12分)(2013•重庆)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a 2+b 2+ab=c 2. (1)求C ; (2)设cosAcosB=,=,求tan α的值.考点:余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题:解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出cosC ,将已知等式变形后代入求出cosC 的值,由C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数;(2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切,利用多项式乘多项式法则计算,由A+B 的度数求出sin (A+B )的值,进而求出cos (A+B )的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos (A+B ),将cosAcosB 的值代入求出sinAsinB 的值,将各自的值代入得到tan α的方程,求出方程的解即可得到tan α的值.解答:解:(1)∵a 2+b 2+ab=c 2,即a 2+b 2﹣c 2=﹣ab , ∴由余弦定理得:cosC===﹣,又C 为三角形的内角, 则C=;(2)由题意==,∴(cosA ﹣tan αsinA )(cosB ﹣tan αsinB )=,即tan 2αsinAsinB ﹣tan α(sinAcosB+cosAsinB )+cosAcosB=tan 2αsinAsinB ﹣tan αsin (A+B )+cosAcosB=,∵C=,A+B=,cosAcosB=,∴sin (A+B )=,cos (A+B )=cosAcosB ﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=,即sinAsinB=,∴tan 2α﹣tan α+=,即tan 2α﹣5tan α+4=0,解得:tan α=1或tan α=4.点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.21.(12分)(2013•重庆)如图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率,过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点,|AA ′|=4. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′,过P 、P ′作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ ⊥P'Q ,求圆Q 的标准方程.考点:圆锥曲线的综合.专题:压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(Ⅰ)利用点A(﹣c,2)在椭圆上,结合椭圆的离心率,求出几何量,即可求得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设出圆Q的圆心坐标及半径,由PQ⊥P'Q得到P的坐标,写出圆的方程后和椭圆联立,化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程,把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程,联立可求出t与r的值,经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外,结合对称性即可求得圆Q的标准方程.解答:解:(Ⅰ)由题意知点A(﹣c,2)在椭圆上,则,即①∵离心率,∴②联立①②得:,所以b2=8.把b2=8代入②得,a2=16.∴椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设Q(t,0),圆Q的半径为r,则圆Q的方程为(x﹣t)2+y2=r2,不妨取P为第一象限的点,因为PQ⊥P'Q,则P()(t>0).联立,得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0.由△=(﹣4t)2﹣4(2t2+16﹣2r2)=0,得t2+r2=8又P()在椭圆上,所以.整理得,.代入t2+r2=8,得.解得:.所以,.此时.满足椭圆上的其余点均在圆Q外.由对称性可知,当t<0时,t=﹣,.故所求圆Q的标准方程为.点评:本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查方程组的解法,考查学生的计算能力,属于中档题.22.(12分)(2013•重庆)对正整数n,记I n={1,2,3…,n},P n={|m∈I n,k∈I n}.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集.考点:集合中元素个数的最值;子集与交集、并集运算的转换.专题:集合.分析:(1)对于集合P7 ,有n=7.当k=4时,根据P n中有3个数与I n={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得集合P7中元素的个数.(2)先用反证法证明证当n≥15时,P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集,再证P14满足要求,从而求得n的最大值.解答:解:(1)对于集合P7 ,有n=7.当k=1时,m=1,2,3…,7,P n={1,2,3…,7},7个数,当k=2时,m=1,2,3…,7,P n对应有7个数,当k=3时,m=1,2,3…,7,P n对应有7个数,当k=4时,P n={|m∈I n,k∈I n}=P n={,1,,2,,3,}中有3个数(1,2,3)与k=1时P n中的数重复,当k=5时,m=1,2,3…,7,P n对应有7个数,当k=6时,m=1,2,3…,7,P n对应有7个数,当k=7时,m=1,2,3…,7,P n对应有7个数,由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46.(2)先证当n≥15时,P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集.假设当n≥15时,P n可以分成两个不相交的稀疏集的并集,设A和B为两个不相交的稀疏集,使A∪B=P n⊇I n .不妨设1∈A,则由于1+3=22,∴3∉A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,但1+15=42,这与A为稀疏集相矛盾.再证P14满足要求.当k=1时,P14={|m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成2个稀疏集的并集.事实上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则A1和B1都是稀疏集,且A1∪B1=I14.当k=4时,集合{|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{,,,…,},可以分为下列3个稀疏集的并:A2={,,,},B2={,,}.当k=9时,集合{|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{,,,,…,,},可以分为下列3个稀疏集的并:A3={,,,,},B3={,,,,}.最后,集合C═{|m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9 }中的数的分母都是无理数,它与P n中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.综上可得,n的最大值为14.点评:本题主要考查新定义,集合间的包含关系,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.。
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析2013年江西省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•江西)已知集合M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M ∩N={4},则复数z=( ) A . ﹣2i B . 2i C . ﹣4i D . 4i考点:交集及其运算.专题:计算题.分析: 根据两集合的交集中的元素为4,得到zi=4,即可求出z 的值. 解答: 解:根据题意得:zi=4, 解得:z=﹣4i .故选C 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)(2013•江西)函数y=的定义域为( )A . (0,1)B . [0,1)C . (0,1]D . [0,1] 考点:函数的定义域及其求法.专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析:由函数的解析式可直接得到不等式组,解出其解集即为所求的定义域,从而选出正确选项 解答:解:由题意,自变量满足,解得0≤x <1,即函数y=的定义域为[0,1)故选B 点评:本题考查函数定义域的求法,理解相关函数的定义是解题的关键,本题是概念考查题,基础题.3.(5分)(2013•江西)等比数列x ,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A . ﹣24B . 0C . 12D . 24考点:等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析: 由题意可得(3x+3)2=x (6x+6),解x 的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比数列的公比,从而求得第四项. 解答: 解:由于 x ,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x (6x+6),解x=﹣3,故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为2,故第四项为﹣24, 故选A . 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题.4.(5分)(2013•江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A . 08 B . 07 C . 02 D . 01考点:简单随机抽样.专题:图表型.分析:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论. 解答:解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,第三个数为08,符合条件,以下符合条件依次为:08,02,14,07,01, 故第5个数为01. 故选:D . 点评: 本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.5.(5分)(2013•江西)(x 2﹣)5的展开式中的常数项为( ) A . 80 B . ﹣80 C . 40 D . ﹣40考点:二项式定理.专题:计算题;概率与统计. 分析:利用(x )5展开式中的通项公式T r+1=•x 2(5﹣r )•(﹣2)r •x ﹣3r ,令x 的幂指数为0,求得r 的值,即可求得(x )5展开式中的常数项.解答:解:设(x )5展开式中的通项为T r+1,则T r+1=•x 2(5﹣r )•(﹣2)r •x ﹣3r =(﹣2)r ••x 10﹣5r,令10﹣5r=0得r=2, ∴(x)5展开式中的常数项为(﹣2)2×=4×10=40.故选C . 点评: 本题考查二项式定理,着重考查二项展开式的通项公式,考查运算能力,属于中档题. 6.(5分)(2013•江西)若S 1=x 2dx ,S 2=dx ,S 3=e x dx ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A . S 1<S 2<S 3B . S 2<S 1<S 3C . S 2<S 3<S 1D . S 3<S 2<S 1考点:微积分基本定理.专题:导数的概念及应用.分析: 先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可.解答: 解:由于S 1=x 2dx=|=,S 2=dx=lnx|=ln2, S 3=e x dx=e x |=e 2﹣e .且ln2<<e 2﹣e ,则S 2<S 1<S 3. 故选:B .点评: 本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.7.(5分)(2013•江西)阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A . S =2*i ﹣B . S =2*i ﹣C . S =2*iD . S =2*i+42 1考点:程序框图.专题:图表型.分析:题目给出了输出的结果i=5,让我们分析矩形框中应填的语句,根据判断框中内容,即s <10,我们模拟程序执行的过程,从而得到答案. 解答: 解:当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I 时,程序在运行过程中各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否故输出的i 值为:5,符合题意. 故选C . 点本题考查了程序框图中的当型循环,当型循评: 环是当条件满足时进入循环体,不满足条件算法结束,输出结果.8.(5分)(2013•江西)如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB ∥CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,那么m+n=( )A . 8B . 9C . 10D . 11考点:平面的基本性质及推论.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:判断CE 与EF 与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,求出m+n 的值. 解解:由题意可知直线CE 与正方体的上底面答: 平行在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以m=4,直线EF 与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8. 故选A . 点评: 本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力.9.(5分)(2013•江西)过点()引直线l与曲线y=相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△ABO 的面积取得最大值时,直线l 的斜率等于( ) A . B . C .D .考点:直线与圆的位置关系;直线的斜率.专题:压轴题;直线与圆.分析: 由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部分(含与x 轴的交点),由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k 的范围,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离,由勾股定理求出直线被圆所截半弦长,写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值. 解答:解:由y=,得x 2+y 2=1(y ≥0). 所以曲线y=表示单位圆在x 轴上方的部分(含与x 轴的交点),设直线l 的斜率为k ,要保证直线l 与曲线有两个交点,且直线不与x 轴重合, 则﹣1<k <0,直线l 的方程为y ﹣0=,即.则原点O 到l 的距离d=,l 被半圆截得的半弦长为.则===. 令,则,当,即时,S△ABO有最大值为.此时由,解得k=﹣.故答案为B .点评:本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆的关系,考查了学生的运算能力,考查了配方法及二次函数求最值,解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值,是中档题.10.(5分)(2013•江西)如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1,l 2之间,l ∥l 1,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点.设弧的长为x (0<x <π),y=EB+BC+CD ,若l 从l 1平行移动到l 2,则函数y=f (x )的图象大致是( )A .B .C .D .考点:函数的图象.专压轴题;函数的性质及应用.题: 分析: 由题意可知:随着l 从l 1平行移动到l 2,y=EB+BC+CD 越来越大,考察几个特殊的情况,计算出相应的函数值y ,结合考查选项可得答案.解答: 解:当x=0时,y=EB+BC+CD=BC=;当x=π时,此时y=AB+BC+CA=3×=2;当x=时,∠FOG=,三角形OFG 为正三角形,此时AM=OH=, 在正△AED 中,AE=ED=DA=1,∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA ﹣(AE+AD )=3×﹣2×1=2﹣2.如图. 又当x=时,图中y 0=+(2﹣)=>2﹣2.故当x=时,对应的点(x ,y )在图中红色连线段的下方,对照选项,D 正确. 故选D .点评: 本题考查函数的图象,注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键,属中档题.二.第Ⅱ卷填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分11.(5分)(2013•江西)函数y=最小正周期T 为 π . 考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.专题:三角函数的图像与性质.分析: 函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期. 解答:解:y=sin2x+2×=sin2x ﹣cos2x+=2(sin2x ﹣cos2x )+=2sin (2x﹣)+, ∵ω=2,∴T=π. 故答案为:π 点评:此题考查了三角函数的周期性及其求法,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.12.(5分)(2013•江西)设,为单位向量.且、的夹角为,若=+3,=2,则向量在方向上的射影为 . 考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析: 根据题意求得的值,从而求得的值,再根据在上的射影为 ,运算求得结果.解答: 解:∵、为单位向量,且 和 的夹角θ等于,∴=1×1×cos =. ∵=+3,=2,∴=(+3)•(2)=2+6=2+3=5.∴在上的射影为 =,故答案为 . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,一个向量在另一个向量上的射影的定义,属于中档题.13.(5分)(2013•江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f ′(1)= 2 . 考点:导数的运算;函数的值.专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的概念及应用.分析: 由题设知,可先用换元法求出f (x )的解析式,再求出它的导数,从而求出f ′(1). 解答: 解:函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,令e x =t ,则x=lnt ,故有f (t )=lnt+t ,即f (x )=lnx+x ,∴f ′(x )=+1,故f ′(1)=1+1=2.故答案为:2. 点评: 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式,属于基本题型,运算型.14.(5分)(2013•江西)抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,其准线与双曲线=1相交于A ,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则p= 6 . 考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析: 求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标,利用三角形是等边三角形求出p 即可.解答:解:抛物线的焦点坐标为(0,),准线方程为:y=﹣, 准线方程与双曲线联立可得:,解得x=±,因为△ABF 为等边三角形,所以,即p 2=3x 2, 即,解得p=6.故答案为:6. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力.三.第Ⅱ卷选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两道题都做,按第一题评卷计分.本题共5分.15.(5分)(2013•江西)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 ρcos 2θ﹣sin θ=0 . 考点: 抛物线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;压轴题.分析: 先求出曲线C 的普通方程,再利用x=ρcos θ,y=ρsin θ代换求得极坐标方程.解答:解:由(t 为参数),得y=x 2, 令x=ρcos θ,y=ρsin θ,代入并整理得ρcos 2θ﹣sin θ=0. 即曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣sin θ=0.故答案为:ρcos 2θ﹣sin θ=0. 点评: 本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcos θ,y=ρsin θ.16.(2013•江西)(不等式选做题)在实数范围内,不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集为 [0,4] . 考点:绝对值不等式的解法.专题:计算题;压轴题;不等式的解法及应用.分析: 利用绝对值不等式的等价形式,利用绝对值不等式几何意义求解即可.解答: 解:不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集,就是﹣1≤|x ﹣2|﹣1≤1的解集,也就是0≤|x ﹣2|≤2的解集,0≤|x ﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值,所以不等式的解为:0≤x ≤4.所以不等式的解集为[0,4]. 故答案为:[0,4].点评: 本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的几何意义,注意不等式的等价转化是解题的关键.四.第Ⅱ卷解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)(2013•江西)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cosC+(cosA ﹣sinA )cosB=0. (1)求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围.考点:余弦定理;两角和与差的余弦函数.专题:解三角形.分析: (1)已知等式第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整理后根据sinA 不为0求出tanB 的值,由B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数;(2)由余弦定理列出关系式,变形后将a+c及cosB 的值代入表示出b 2,根据a 的范围,利用二次函数的性质求出b 2的范围,即可求出b 的范围. 解答: 解:(1)由已知得:﹣cos (A+B )+cosAcosB ﹣sinAcosB=0,即sinAsinB ﹣sinAcosB=0,∵sinA ≠0,∴sinB ﹣cosB=0,即tanB=, 又B 为三角形的内角, 则B=;(2)∵a+c=1,即c=1﹣a ,cosB=, ∴由余弦定理得:b 2=a 2+c 2﹣2ac •cosB ,即b 2=a 2+c 2﹣ac=(a+c )2﹣3ac=1﹣3a (1﹣a )=3(a ﹣)2+,∵0<a <1,∴≤b 2<1, 则≤b <1. 点评:此题考查了余弦定理,二次函数的性质,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.18.(12分)(2013•江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n 2 (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b,数列{b n }的前n 项和为T n .证明:对于任意n ∈N *,都有T .考点:数列的求和;等差数列的通项公式.专题:计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: (I )由S n 2可求s n ,然后利用a 1=s 1,n ≥2时,a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n(II )由b==,利用裂项求和可求T n ,利用放缩法即可证明解答:解:(I )由S n 2 可得,[](S n +1)=0 ∵正项数列{a n },S n >0 ∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣(n ﹣1)2﹣(n﹣1)=2n ,而n=1时也适合 ∴a n =2n (II )证明:由b ==∴]=点评: 本题主要考查了递推公式a 1=s 1,n ≥2时,a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用.19.(12分)(2013•江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以0为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X 的分布列和数学期望.考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;概率与统计.分析: (1)先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法,而X=0时,即两向量夹角为直角,求出结果数,代入古典概率的求解公式可求(2)先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率,即可求解分布列及期望值 解答:解:(1)从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种 X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形 所以小波参加学校合唱团的概率P (X=0)==(2)两向量数量积的所有可能情形有﹣2,﹣1,0,1X=﹣2时有2种情形 X=1时有8种情形 X=﹣1时,有10种情形 X 的分布列为: X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评:本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解.20.(12分)(2013•江西)如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,E 为BD 的中点,G 为PD 的中点,△DAB ≌△DCB ,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE 并延长交AD 于F (1)求证:AD ⊥平面CFG ;(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.专题:计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用直角三角形的判定得到∠BAD=,且∠ABE=∠AEB=.由△DAB ≌△DCB 得到△EAB ≌△ECB ,从而得到∠FED=∠FEA=,所以EF ⊥AD 且AF=FD ,结合题意得到FG 是△PAD 是的中位线,可得FG ∥PA ,根据PA ⊥平面ABCD 得FG ⊥平面ABCD ,得到FG ⊥AD ,最后根据线面垂直的判定定理证出AD ⊥平面CFG ;(2)以点A 为原点,AB 、AD 、PA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系,得到A 、B 、C 、D 、P 的坐标,从而得到、、的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出=(1,﹣,)和=(1,,2)分别为平面BCP 、平面DCP 的法向量,利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦,即可得到平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值. 解答: 解:(1)∵在△DAB 中,E 为BD 的中点,EA=EB=AB=1,∴AE=BD ,可得∠BAD=,且∠ABE=∠AEB=∵△DAB ≌△DCB ,∴△EAB ≌△ECB ,从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB= ∴∠EDA=∠EAD=,可得EF ⊥AD ,AF=FD又∵△PAD中,PG=GD,∴FG是△PAD 是的中位线,可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD,∴FG⊥平面ABCD,∵AD⊂平面ABCD,∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线,∴AD⊥平面CFG;(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(,,0),D(0,,0),P(0,0,)∴=(,,0),=(﹣,﹣,),=(﹣,,0)设平面BCP的法向量=(1,y 1,z1),则解得y 1=﹣,z1=,可得=(1,﹣,),设平面DCP的法向量=(1,y 2,z2),则解得y 2=,z2=2,可得=(1,,2),∴cos <,>===因此平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值等于|cos <,>|=.点评: 本题在三棱锥中求证线面垂直,并求平面与平面所成角的余弦值.着重考查了空间线面垂直的判定与性质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题.21.(13分)(2013•江西)如图,椭圆C :经过点P (1,),离心率e=,直线l 的方程为x=4. (1)求椭圆C 的方程;(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记PA ,PB ,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3.问:是否存在常数λ,使得k 1+k 2=λk 3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析: (1)由题意将点P (1,)代入椭圆的方程,得到,再由离心率为e=,将a ,b 用c 表示出来代入方程,解得c ,从而解得a ,b ,即可得到椭圆的标准方程; (2)方法一:可先设出直线AB 的方程为y=k (x ﹣1),代入椭圆的方程并整理成关于x 的一元二次方程,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),利用根与系数的关系求得x 1+x 2=,,再求点M 的坐标,分别表示出k 1,k 2,k 3.比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值;方法二:设B (x 0,y 0)(x 0≠1),以之表示出直线FB 的方程为,由此方程求得M 的坐标,再与椭圆方程联立,求得A 的坐标,由此表示出k 1,k 2,k 3.比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值 解答:解:(1)椭圆C :经过点P (1,),可得①由离心率e=得=,即a=2c ,则b 2=3c 2②,代入①解得c=1,a=2,b= 故椭圆的方程为(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y=k (x ﹣1)③ 代入椭圆方程并整理得(4k 2+3)x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), x 1+x 2=,④在方程③中,令x=4得,M 的坐标为(4,3k ),从而,,=k﹣注意到A,F,B共线,则有k=k AF=k BF,即有==k所以k 1+k2=+=+﹣(+)=2k﹣×⑤④代入⑤得k 1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k 3=k﹣,所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB 的方程为令x=4,求得M(4,)从而直线PM的斜率为k3=,联立,得A(,),则直线PA 的斜率k 1=,直线PB 的斜率为k 2=所以k 1+k 2=+=2×=2k 3,故存在常数λ=2符合题意点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查了分析转化的能力与探究的能力,考查了方程的思想,数形结合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严谨运算,严密推理,方能碸解答出.22.(14分)(2013•江西)已知函数f (x )=,a 为常数且a >0. (1)f (x )的图象关于直线x=对称; (2)若x 0满足f (f (x 0))=x 0,但f (x 0)≠x 0,则x 0称为函数f (x )的二阶周期点,如果f (x )有两个二阶周期点x 1,x 2,试确定a 的取值范围;(3)对于(2)中的x 1,x 2,和a ,设x 3为函数f (f (x ))的最大值点,A (x 1,f (f (x 1))),B (x 2,f (f (x 2))),C (x 3,0),记△ABC 的面积为S (a ),讨论S (a )的单调性. 考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶函数图象的对称性;函数的值.专题:压轴题;新定义.分析: (1)只要证明成立即可;(2)对a 分类讨论,利用二阶周期点的定义即可得出;(3)由(2)得出x 3,得出三角形的面积,利用导数即可得出其单调性. 解答: (1)证明:∵==a (1﹣2|x|),=a (1﹣2|x|),∴,∴f (x )的图象关于直线x=对称. (2)解:当时,有f (f (x ))=.∴f (f (x ))=x 只有一个解x=0又f (0)=0,故0不是二阶周期点.当时,有f(f(x))=.∴f(f(x))=x有解集,{x|x},故此集合中的所有点都不是二阶周期点.当时,有f(f(x))=,∴f(f(x))=x有四个解:0,,,.由f(0)=0,,,.故只有,是f(x)的二阶周期点,综上所述,所求a的取值范围为.(3)由(2)得,.∵x 2为函数f(x)的最大值点,∴,或.当时,S (a )=.求导得:S ′(a )=.∴当时,S (a )单调递增,当时,S (a )单调递减. 当时,S (a )=,求导得.∵,从而有.∴当时,S (a )单调递增.点评: 本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识,考查了推理能力和计算能力.。
2013年江苏省高考真题数学试卷及答案(理科)
A BC1A DEF 1B 1C ABCSGFE2013年普通高等学校统一考试数学试题卷Ⅰ 必做题部分一.填空题1.函数)42sin(3p+=x y 的最小正周期为的最小正周期为 。
2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为的模为 。
3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为的两条渐近线的方程为 。
4.集合}1,0,1{-共有共有 个子集。
个子集。
个子集。
5.下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是的值是 。
6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:,结果如下:运动员运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 。
7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7£m ,9£n )可以任意选取,则n m ,都取到奇数的概率为的概率为 。
8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABCC B A -111的体积为2V , 则=21:V V 。
9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三(包含三角形内部与边界)。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范的取值范 围是围是 。
1010..设E D ,分别是ABC D 的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BCBE 32=,若ACAB DE 21l l +=(21l l ,为实数),则21l l +的值为的值为 。
1111.已知.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为表示为 。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•辽宁)复数的模长为()A.B.C.D.2考点:复数求模.专题:计算题.分析:通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.解答:解:复数,所以===.故选B.点评:本题考查复数的模的求法,考查计算能力.2.(5分)(2013•辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=()A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]考点:交集及其运算;其他不等式的解法.专题:不等式的解法及应用.分析:求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,找出A与B的公共部分即可求出交集.解答:解:由A中的不等式变形得:log41<log4x<log44,解得:1<x<4,即A=(1,4),∵B=(﹣∞,2],∴A∩B=(1,2].故选D点评:此题考查了交集及其运算,以及其他不等式的解法,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3.(5分)(2013•辽宁)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.考点:平行向量与共线向量;单位向量.专题:平面向量及应用.分析:由条件求得=(3,﹣4),||=5,再根据与向量同方向的单位向量为求得结果.解答:解:∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,则与向量同方向的单位向量为=,故选A.点评:本题主要考查单位向量的定义和求法,属于基础题.4.(5分)(2013•辽宁)下列关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列;其中真命题是()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4考点:等差数列的性质;命题的真假判断与应用.专题:等差数列与等比数列.分析:对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.解答:解:∵对于公差d>0的等差数列{a n},a n+1﹣a n=d>0,∴命题p1:数列{a n}是递增数列成立,是真命题.对于数列数列{na n},第n+1项与第n项的差等于(n+1)a n+1﹣na n=(n+1)d+a n,不一定是正实数,故p2不正确,是假命题.对于数列,第n+1项与第n项的差等于﹣==,不一定是正实数,故p3不正确,是假命题.对于数列数列{a n+3nd},第n+1项与第n项的差等于a n+1+3(n+1)d﹣a n﹣3nd=4d>0,故命题p4:数列{a n+3nd}是递增数列成立,是真命题.故选D.点评:本题主要考查等差数列的定义,增数列的含义,命题的真假的判断,属于中档题.5.(5分)(2013•辽宁)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.60考点:频率分布直方图.专题:概率与统计.分析:由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.解答:解:∵成绩低于60分有第一、二组数据,在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,每组数据的组距为20,则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,又∵低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是=50.故选:B.点评:本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩形的高×组距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键.6.(5分)(2013•辽宁)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=()A.B.C.D.考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数.专题:解三角形.分析:利用正弦定理化简已知的等式,根据sinB不为0,两边除以sinB,再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值,即可确定出B的度数.解答:解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,则∠B=.故选A点评:此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.7.(5分)(2013•辽宁)使得(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7考点:二项式系数的性质.专题:计算题.分析:利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••,令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n.解答:解:设(n∈N+)的展开式的通项为T r+1,则:T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••,令n﹣r=0得:n=r,又n∈N+,∴当r=2时,n最小,即n min=5.故选B.点评:本题考查二项式系数的性质,求得n﹣r=0是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.8.(5分)(2013•辽宁)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=()A.B.C.D.考点:循环结构.专题:计算题;图表型.分析:框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,在输入n的值为10后,对i的值域n的值大小加以判断,满足i≤n,执行,i=i+2,不满足则跳出循环,输出S.解答:解:输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,判断2≤10成立,执行,i=2+2=4;判断4≤10成立,执行=,i=4+2=6;判断6≤10成立,执行,i=6+2=8;判断8≤10成立,执行,i=8+2=10;判断10≤10成立,执行,i=10+2=12;判断12≤10不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为.故选A.点评:本题考查了循环结构中的当型循环,即先判断后执行,满足条件,执行循环,不满足条件跳出循环,算法结束,是基础题.9.(5分)(2013•辽宁)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.C.D.考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题:平面向量及应用.分析:利用已知可得=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.分以下三种情况:①,②,③,利用垂直与数量积的关系即可得出.解答:解:∵=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.综上可知:△OAB为直角三角形,则必有.故选C.点评:熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键.10.(5分)(2013•辽宁)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.B.C.D.考点:球内接多面体;点、线、面间的距离计算.专题:空间位置关系与距离.分析:通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.解答:解:因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,所以球的半径为:.故选C.点评:本题考查球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查计算能力.11.(5分)(2013•辽宁)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=()A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16考点:函数的值域.专题:压轴题;新定义;函数的性质及应用.分析:先作差得到h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a)2﹣8.分别解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0.画出图形,利用新定义即可得出H1(x),H2(x).进而得出A,B 即可.解答:解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此时f(x)=g(x);②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此时f(x)>g(x);③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此时f(x)<g(x).综上可知:(1)当x≤a﹣2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,(2)当a﹣2≤x≤a+2时,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);(3)当x≥a+2时,则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g (x)}=g(x),故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.故选:B.点评:熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键.12.(5分)(2013•辽宁)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值考点:函数在某点取得极值的条件;导数的运算.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:令F(x)=x2f(x),利用导数的运算法则,确定f′(x)=,再构造新函数,确定函数的单调性,即可求得结论.解答:解:∵函数f(x)满足,∴令F(x)=x2f(x),则F′(x)=,F(2)=4•f(2)=.由,得f′(x)=,令φ(x)=e x﹣2F(x),则φ′(x)=e x﹣2F′(x)=.∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴φ(x)的最小值为φ(2)=e2﹣2F(2)=0.∴φ(x)≥0.又x>0,∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0,+∞)单调递增.∴f(x)既无极大值也无极小值.故选D.点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查学生分析解决问题的能力,难度较大.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)(2013•辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是16π﹣16.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:首先判断该几何体的形状,然后计算其体积即可.解答:解:根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4.故其体积为:22π×4﹣22×4=16π﹣16,故答案为:16π﹣16.点评:本题考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱,然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可.14.(5分)(2013•辽宁)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6=63.考点:等比数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前n项和公式求前6项和.解答:解:解方程x2﹣5x+4=0,得x1=1,x2=4.因为数列{a n}是递增数列,且a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,所以a1=1,a3=4.设等比数列{a n}的公比为q,则,所以q=2.则.故答案为63.点评:本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n项和,是基础的计算题.15.(5分)(2013•辽宁)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=.考点:椭圆的简单性质.专题:计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2,得∠AFB=90°,所以c=|OF|=|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率.解答:解:设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×,解之得|BF|=8由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7∵△ABF中,|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°,可得|OF|=|AB|=5,即c=5因此,椭圆C的离心率e==故答案为:点评:本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.16.(5分)(2013•辽宁)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为10.考点:总体分布的估计;极差、方差与标准差.专题:压轴题;概率与统计.分析:本题可运用平均数公式求出平均数,再运用方差的公式列出方差表达式,再讨论样本数据中的最大值的情况,即可解决问题.解答:解:设样本数据为:x1,x2,x3,x4,x5,平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7;方差s2=[(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2]÷5=4.从而有x1+x2+x3+x4+x5=35,①(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2=20.②若样本数据中的最大值为11,不妨设x5=11,则②式变为:(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;若样本数据为4,6,7,8,10,代入验证知①②式均成立,此时样本数据中的最大值为10.故答案为:10.点评:本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;②计算偏差,即每个数据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个数.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•辽宁)设向量,,.(1)若,求x的值;(2)设函数,求f(x)的最大值.考点:平面向量数量积的运算;向量的模;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.专题:平面向量及应用.分析:(1)由条件求得,的值,再根据以及x的范围,可的sinx的值,从而求得x的值.(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x ﹣)+.结合x的范围,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值.解答:解:(1)由题意可得=+sin2x=4sin2x,=cos2x+sin2x=1,由,可得4sin2x=1,即sin2x=.∵x∈[0,],∴sinx=,即x=.(2)∵函数=(sinx,sinx)•(cosx,sinx)=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin(2x﹣)+.x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],∴当2x﹣=,sin(2x﹣)+取得最大值为1+=.点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.18.(12分)(2013•辽宁)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C﹣PB﹣A的余弦值.考点:二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)要证平面PAC⊥平面PBC,只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可,利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC;(Ⅱ)因为平面PAB和平面ABC垂直,只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线,然后过垂足再作PB的垂线,连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角,然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值.解答:(Ⅰ)证明:如图,由AB是圆的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面APC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)解:过C作CM⊥AB于M,因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N,连接NC.由三垂线定理得CN⊥PB.所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得,,.在Rt△ABP中,由AB=2,AP=1,得.因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以.故MN=.又在Rt△CNM中,.故cos.所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为.点评:本题考查了平面与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角及其求法,“寻找垂面,构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法,此题是中档题.19.(12分)(2013•辽宁)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;概率与统计.分析:(I)从10道试题中取出3个的所有可能结果数有,张同学至少取到1道乙类题的对立事件是:张同学取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解(II)先判断随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值解答:解:(I)设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P(A)=1﹣P()=1﹣=(II)X的所有可能取值为0,1,2,3P (X=0)==P(X=1)==P(X=2)=+=P(X=3)==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评:本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力.20.(12分)(2013•辽宁)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.(Ⅰ)求P的值;(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).考点:直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.专题:综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.(Ⅱ)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程解答:解:(Ⅰ)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为﹣,所以A点的坐标为(﹣1,),故切线MA的方程为y=﹣(x+1)+因为点M(1﹣,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=﹣(2﹣)+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2(Ⅱ)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=③,y==④切线MA,MB的方程为y=(x﹣x1)+,⑤;y=(x﹣x2)+⑥,由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标满足x0=,y0=因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y,x≠0当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本题探索性强,属于能力型题21.(12分)(2013•辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,(I)求证:;(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:(I)①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)e x,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)e x,利用导数得到h(x)的单调性即可证明;②当x∈[0,1)时,⇔e x≥1+x,令u(x)=e x﹣1﹣x,利用导数得出h(x)的单调性即可证明.(II)利用(I)的结论得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥=.再令H(x)=,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.解答:(I)证明:①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)e x,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)e x,则h′(x)=x(e x﹣e﹣x).当x∈[0,1)时,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,1)上是增函数,∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.②当x∈[0,1)时,⇔e x≥1+x,令u(x)=e x﹣1﹣x,则u′(x)=e x﹣1.当x∈[0,1)时,u′(x)≥0,∴u(x)在[0,1)单调递增,∴u(x)≥u(0)=0,∴f(x).综上可知:.(II)解:设G(x)=f(x)﹣g(x)=≥=.令H(x)=,则H′(x)=x﹣2sinx,令K(x)=x﹣2sinx,则K′(x)=1﹣2cosx.当x∈[0,1)时,K′(x)<0,可得H′(x)是[0,1)上的减函数,∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)单调递减,∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.∴当a≤﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上恒成立.下面证明当a>﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.f(x)﹣g(x)≤==﹣x.令v(x)==,则v′(x)=.当x∈[0,1)时,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是减函数,∴v(x)∈(a+1+2cos1,a+3].当a>﹣3时,a+3>0.∴存在x0∈(0,1),使得v(x0)>0,此时,f(x0)<g(x0).即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.综上实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3].点评:本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能,考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力.请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷(理科)参考答案和试题分析一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•江西)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()A.﹣2i B.2i C.﹣4i D.4i考点:交集及其运算.专题:计算题.分析:根据两集合的交集中的元素为4,得到zi=4,即可求出z的值.解答:解:根据题意得:zi=4,解得:z=﹣4i.故选C点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)(2013•江西)函数y=的定义域为()A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]考点:函数的定义域及其求法.专题:计算题;函数的性质及使用.分析:由函数的分析式可直接得到不等式组,解出其解集即为所求的定义域,从而选出正确选项解答:解:由题意,自变量满足,解得0≤x<1,即函数y=的定义域为[0,1)故选B点评:本题考查函数定义域的求法,理解相关函数的定义是解题的关键,本题是概念考查题,基础题.3.(5分)(2013•江西)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.﹣24 B.0C.12 D.24 考点:等比数列的性质.专题:等差数列和等比数列.分析:由题意可得(3x+3)2=x(6x+6),解x的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比数列的公比,从而求得第四项.解答:解:由于x,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,故有(3x+3)2=x(6x+6),解x=﹣3,故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为2,故第四项为﹣24,故选A.本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题.点评:4.(5分)(2013•江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B. 07 C. 02 D.01考点:简单随机抽样.专题:图表型.分析:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.解答:解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,第三个数为08,符合条件,以下符合条件依次为:08,02,14,07,01,故第5个数为01.故选:D.点评:本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.5.(5分)(2013•江西)(x2﹣)5的展开式中的常数项为()A.80 B.﹣80 C.40 D.﹣40 二项式定理.考点:计算题;概率和统计.专题:分利用(x)5展开式中的通项公式T r+1=•x2(5﹣r)•(﹣2)r•x﹣3r,令x的幂析:指数为0,求得r的值,即可求得(x)5展开式中的常数项.解解:设(x)5展开式中的通项为T r+1,答:则T r+1=•x2(5﹣r)•(﹣2)r•x﹣3r=(﹣2)r••x10﹣5r,令10﹣5r=0得r=2,∴(x)5展开式中的常数项为(﹣2)2×=4×10=40.故选C.点本题考查二项式定理,着重考查二项展开式的通项公式,考查运算能力,属于中档题.6.(5分)(2013•江西)若S1=x2dx,S2=dx,S3=e x dx,则S1,S2,S3的大小关系为()A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1考点:微积分基本定理.专题:导数的概念及使用.分析:先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可.解答:解:由于S1=x2dx=|=,S2=dx=lnx|=ln2,S3=e x dx=e x|=e2﹣e.且ln2<<e2﹣e,则S2<S1<S3.故选:B.点评:本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.7.(5分)(2013•江西)阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为()A.S=2*i﹣2 B.S=2*i﹣1 C.S=2*i D.S=2*i+4考程序框图.专题:图表型.分析:题目给出了输出的结果i=5,让我们分析矩形框中应填的语句,根据判断框中内容,即s<10,我们模拟程序执行的过程,从而得到答案.解答:解:当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时,程序在运行过程中各变量的值如下表示:i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为:5,符合题意.故选C.点评:本题考查了程序框图中的当型循环,当型循环是当条件满足时进入循环体,不满足条件算法结束,输出结果.8.(5分)(2013•江西)如果,正方体的底面和正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面和直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=()A.8B.9C.10 D.11考点:平面的基本性质及推论.专题:计算题;空间位置关系和距离.分析:判断CE和EF和正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面和直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,求出m+n的值.解答:解:由题意可知直线CE和正方体的上底面平行在正方体的下底面上,和正方体的四个侧面不平行,所以m=4,直线EF和正方体的左右两个侧面平行,和正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8.故选A.点评:本题考查直线和平面的位置关系,基本知识的使用,考查空间想象能力.9.(5分)(2013•江西)过点()引直线l和曲线y=相交于A,B两点,O 为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于()A.B.C.D.考直线和圆的位置关系;直线的斜率.专题:压轴题;直线和圆.分析:由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分(含和x轴的交点),由此可得到过C点的直线和曲线相交时k的范围,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离,由勾股定理求出直线被圆所截半弦长,写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值.解答:解:由y=,得x2+y2=1(y≥0).所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含和x轴的交点),设直线l的斜率为k,要保证直线l和曲线有两个交点,且直线不和x轴重合,则﹣1<k<0,直线l的方程为y﹣0=,即.则原点O到l的距离d=,l被半圆截得的半弦长为.则===.令,则,当,即时,S△ABO有最大值为.此时由,解得k=﹣.故答案为B.点评:本题考查了直线的斜率,考查了直线和圆的关系,考查了学生的运算能力,考查了配方法及二次函数求最值,解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值,是中档题.10.(5分)(2013•江西)如图,半径为1的半圆O和等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l和半圆相交于F,G两点,和三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是()A.B.C.D.考点:函数的图象.专题:压轴题;函数的性质及使用.分析:由题意可知:随着l从l1平行移动到l2,y=EB+BC+CD越来越大,考察几个特殊的情况,计算出相应的函数值y,结合考查选项可得答案.解答:解:当x=0时,y=EB+BC+CD=BC=;当x=π时,此时y=AB+BC+CA=3×=2;当x=时,∠FOG=,三角形OFG为正三角形,此时AM=OH=,在正△AED中,AE=ED=DA=1,∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣(AE+AD)=3×﹣2×1=2﹣2.如图.又当x=时,图中y0=+(2﹣)=>2﹣2.故当x=时,对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方,对照选项,D正确.故选D.点本题考查函数的图象,注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键,属中档题.评:二.第Ⅱ卷填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分11.(5分)(2013•江西)函数y=最小正周期T为π.考点:三角函数的周期性及其求法;两角和和差的正弦函数;二倍角的余弦.专题:三角函数的图像和性质.分析:函数分析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和和差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期.解答:解:y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2(sin2x﹣cos2x)+=2sin (2x﹣)+,∵ω=2,∴T=π.故答案为:π点评:此题考查了三角函数的周期性及其求法,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,两角和和差的正弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.12.(5分)(2013•江西)设,为单位向量.且、的夹角为,若=+3,=2,则向量在方向上的射影为.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及使用.分析:根据题意求得的值,从而求得的值,再根据在上的射影为,运算求得结果.解答:解:∵、为单位向量,且和的夹角θ等于,∴=1×1×cos=.∵=+3,=2,∴=(+3)•(2)=2+6=2+3=5.∴在上的射影为=,故答案为.点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,一个向量在另一个向量上的射影的定义,属于中档题.13.(5分)(2013•江西)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f′(1)= 2.考点:导数的运算;函数的值.专题:计算题;压轴题;函数的性质及使用;导数的概念及使用.分析:由题设知,可先用换元法求出f(x)的分析式,再求出它的导数,从而求出f′(1).解答:解:函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,令e x=t,则x=lnt,故有f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x,∴f′(x)=+1,故f′(1)=1+1=2.故答案为:2.点评:本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的分析式,属于基本题型,运算型.14.(5分)(2013•江西)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线和双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=6.考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质和方程.分析:求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线和双曲线的交点坐标,利用三角形是等边三角形求出p即可.解答:解:抛物线的焦点坐标为(0,),准线方程为:y=﹣,准线方程和双曲线联立可得:,解得x=±,因为△ABF为等边三角形,所以,即p2=3x2,即,解得p=6.故答案为:6.点评:本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的使用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力.三.第Ⅱ卷选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两道题都做,按第一题评卷计分.本题共5分.15.(5分)(2013•江西)(坐标系和参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣sinθ=0.考点:抛物线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;压轴题.分析:先求出曲线C的普通方程,再利用x=ρcosθ,y=ρsinθ代换求得极坐标方程.解答:解:由(t为参数),得y=x2,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0.即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0.故答案为:ρcos2θ﹣sinθ=0.点评:本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ.16.(2013•江西)(不等式选做题)在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为[0,4].考点:绝对值不等式的解法.专题:计算题;压轴题;不等式的解法及使用.分析:利用绝对值不等式的等价形式,利用绝对值不等式几何意义求解即可.解答:解:不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集,就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集,也就是0≤|x﹣2|≤2的解集,0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值,所以不等式的解为:0≤x≤4.所以不等式的解集为[0,4].故答案为:[0,4].点评:本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的几何意义,注意不等式的等价转化是解题的关键.四.第Ⅱ卷解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•江西)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA﹣sinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.考点:余弦定理;两角和和差的余弦函数.专题:解三角形.分析:(1)已知等式第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整理后根据sinA不为0求出tanB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;(2)由余弦定理列出关系式,变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2,根据a的范围,利用二次函数的性质求出b2的范围,即可求出b的范围.解答:解:(1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣sinAcosB=0,即sinAsinB﹣sinAcosB=0,∵sinA≠0,∴sinB﹣cosB=0,即tanB=,又B为三角形的内角,则B=;(2)∵a+c=1,即c=1﹣a,cosB=,∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2ac•cosB,即b2=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3(a﹣)2+,∵0<a<1,∴≤b2<1,则≤b<1.点评: 此题考查了余弦定理,二次函数的性质,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18.(12分)(2013•江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n 2(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b,数列{b n }的前n 项和为T n .证明:对于任意n ∈N *,都有T .考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题;等差数列和等比数列. 分析: (I )由S n2可求s n ,然后利用a 1=s 1,n ≥2时,a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n (II )由b==,利用裂项求和可求T n ,利用放缩法即可证明 解答: 解:(I )由S n2可得,[](S n +1)=0∵正项数列{a n },S n >0∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣(n ﹣1)2﹣(n ﹣1)=2n ,而n=1时也适合 ∴a n =2n (II )证明:由b==∴]=点评: 本题主要考查了递推公式a 1=s 1,n ≥2时,a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的使用及数列的裂项求和方法的使用. 19.(12分)(2013•江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以0为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望和方差.专题:计算题;概率和统计.分析:(1)先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法,而X=0时,即两向量夹角为直角,求出结果数,代入古典概率的求解公式可求(2)先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率,即可求解分布列及期望值解答:解:(1)从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P(X=0)==(2)两向量数量积的所有可能情形有﹣2,﹣1,0,1X=﹣2时有2种情形X=1时有8种情形X=﹣1时,有10种情形X的分布列为:X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评:本题主要考查了古典概率的求解公式的使用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解.20.(12分)(2013•江西)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F(1)求证:AD⊥平面CFG;(2)求平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线和平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.专题:计算题;空间位置关系和距离;空间角.分析:(1)利用直角三角形的判定得到∠BAD=,且∠ABE=∠AEB=.由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠FEA=,所以EF⊥AD 且AF=FD,结合题意得到FG是△PAD是的中位线,可得FG∥PA,根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD,得到FG⊥AD,最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG;(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,得到A、B、C、D、P的坐标,从而得到、、的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出=(1,﹣,)和=(1,,2)分别为平面BCP、平面DCP的法向量,利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦,即可得到平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值.解答:解:(1)∵在△DAB中,E为BD的中点,EA=EB=AB=1,∴AE=BD,可得∠BAD=,且∠ABE=∠AEB=∵△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=∴∠EDA=∠EAD=,可得EF⊥AD,AF=FD又∵△PAD中,PG=GD,∴FG是△PAD是的中位线,可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD,∴FG⊥平面ABCD,∵AD⊂平面ABCD,∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线,∴AD⊥平面CFG;(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(,,0),D(0,,0),P(0,0,)∴=(,,0),=(﹣,﹣,),=(﹣,,0)设平面BCP的法向量=(1,y1,z1),则解得y1=﹣,z1=,可得=(1,﹣,),设平面DCP的法向量=(1,y2,z2),则解得y2=,z2=2,可得=(1,,2),∴cos<,>===因此平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值等于|cos<,>|=.点评:本题在三棱锥中求证线面垂直,并求平面和平面所成角的余弦值.着重考查了空间线面垂直的判定和性质,考查了利用空间向量研究平面和平面所成角等知识,属于中档题.21.(13分)(2013•江西)如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB和直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.考点:直线和圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质和方程.分析:(1)由题意将点P (1,)代入椭圆的方程,得到,再由离心率为e=,将a,b用c表示出来代入方程,解得c,从而解得a,b,即可得到椭圆的标准方程;(2)方法一:可先设出直线AB的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用根和系数的关系求得x1+x2=,,再求点M的坐标,分别表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值;方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直线FB的方程为,由此方程求得M的坐标,再和椭圆方程联立,求得A的坐标,由此表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答:解:(1)椭圆C:经过点P (1,),可得①由离心率e=得=,即a=2c,则b2=3c2②,代入①解得c=1,a=2,b=故椭圆的方程为(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x﹣1)③代入椭圆方程并整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,④在方程③中,令x=4得,M的坐标为(4,3k),从而,,=k﹣注意到A,F,B共线,则有k=k AF=k BF,即有==k所以k1+k2=+=+﹣(+)=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣,所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为令x=4,求得M(4,)从而直线PM的斜率为k3=,联立,得A(,),则直线PA的斜率k1=,直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3,故存在常数λ=2符合题意点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合问题,考查了分析转化的能力和探究的能力,考查了方程的思想,数形结合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严谨运算,严密推理,方能碸解答出.22.(14分)(2013•江西)已知函数f(x)=,a为常数且a>0.(1)f(x)的图象关于直线x=对称;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则x0称为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1,x2,和a,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.考点:利用导数研究函数的单调性;奇偶函数图象的对称性;函数的值.专题:压轴题;新定义.分析:(1)只要证明成立即可;(2)对a分类讨论,利用二阶周期点的定义即可得出;(3)由(2)得出x3,得出三角形的面积,利用导数即可得出其单调性.解答:(1)证明:∵==a(1﹣2|x|),=a(1﹣2|x|),∴,∴f(x)的图象关于直线x=对称.(2)解:当时,有f(f(x))=.∴f(f(x))=x只有一个解x=0又f(0)=0,故0不是二阶周期点.当时,有f(f(x))=.∴f(f(x))=x有解集,{x|x},故此集合中的所有点都不是二阶周期点.当时,有f(f(x))=,∴f(f(x))=x有四个解:0,,,.由f(0)=0,,,.故只有,是f(x)的二阶周期点,综上所述,所求a的取值范围为.(3)由(2)得,.∵x2为函数f(x)的最大值点,∴,或.当时,S(a)=.求导得:S′(a)=.∴当时,S(a)单调递增,当时,S(a)单调递减.当时,S(a)=,求导得.∵,从而有.∴当时,S(a)单调递增.点评:本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识,考查了推理能力和计算能力.。
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)(2013•上海)计算:=.考点:数列的极限.专题:计算题.分析:由数列极限的意义即可求解.解答:解:==,故答案为:.点评:本题考查数列极限的求法,属基础题.2.(4分)(2013•上海)设m∈R,m2+m﹣2+(m2﹣1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=﹣2.考点:复数的基本概念.专题:计算题.分析:根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0,m2﹣1≠0,由此解得实数m的值.解答:解:∵复数z=(m2+m﹣2)+(m﹣1)i为纯虚数,∴m2+m﹣2=0,m2﹣1≠0,解得m=﹣2,故答案为:﹣2.点评:本题主要考查复数的基本概念,得到m2+m﹣2=0,m2﹣1≠0,是解题的关键,属于基础题.3.(4分)(2013•上海)若=,x+y=0.考点:二阶行列式的定义.专题:常规题型.分析:利用行列式的定义,可得等式,配方即可得到结论.解答:解:∵=,∴x2+y2=﹣2xy∴(x+y)2=0∴x+y=0故答案为0点评:本题考查二阶行列式的定义,考查学生的计算能力,属于基础题.4.(4分)(2013•上海)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0,则角C的大小是.考点:余弦定理.专题:解三角形.分析:把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为,再利用余弦定理即可得出.解答:解:∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0,∴,∴==.∴C=.故答案为.点评:熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键.5.(4分)(2013•上海)设常数a∈R,若的二项展开式中x7项的系数为﹣10,则a=﹣2.考点:二项式系数的性质.专题:计算题.分析:利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项,令x的指数为7求得x7的系数,列出方程求解即可.解答:解:的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r()r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1,∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10,∴aC51=﹣10,解得a=﹣2.故答案为:﹣2.点评:本题主要考查了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(4分)(2013•上海)方程+=3x﹣1的实数解为log34.考点:函数的零点.专题:函数的性质及应用.分析:化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1,即(3x﹣4)(3x+2)=0,解得3x=4,可得x的值.解答:解:方程+=3x﹣1,即=3x﹣1,即8+3x=3x﹣1(3x+1﹣3),化简可得32x﹣2•3x﹣8=0,即(3x﹣4)(3x+2)=0.解得3x=4,或3x=﹣2(舍去),∴x=log34,故答案为log34.点评:本题主要考查指数方程的解法,指数函数的值域,一元二次方程的解法,属于基础题.7.(4分)(2013•上海)在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为.考点:点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式.专题:计算题.分析:联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ,即为答案.解答:解:由ρ=cosθ+1得,cosθ=ρ﹣1,代入ρcosθ=1得ρ(ρ﹣1)=1,解得ρ=或ρ=(舍),所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为,故答案为:.点评:本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化,属基础题.8.(4分)(2013•上海)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:利用组合知识求出从1,2,3,4,5,6,7,8,9九个球中,任意取出两个球的取法种数,再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数,求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率,利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.解答:解:从1,2,3,4,5,6,7,8,9九个球中,任意取出两个球的取法种数为种.取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种.则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为.所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是.故答案为点评:本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了简单的排列组合知识,考查了对立事件的概率,解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数,是基础题.9.(4分)(2013•上海)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为.考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意画出图形,设椭圆的标准方程为,由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标,再根据点C在椭圆上求得b值,最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.解答:解:如图,设椭圆的标准方程为,由题意知,2a=4,a=2.∵∠CBA=,BC=,∴点C的坐标为C(﹣1,1),因点C在椭圆上,∴,∴b2=,∴c2=a2﹣b2=4﹣=,c=,则Γ的两个焦点之间的距离为.故答案为:.点评:本题考查椭圆的定义、解三角形,以及椭圆的简单性质的应用.10.(4分)(2013•上海)设非零常数d是等差数列x1,x2,…,x19的公差,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,…,x19,则方差Dξ=30d2.考点:极差、方差与标准差.专题:概率与统计.分析:利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ,再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出.解答:解:由题意可得Eξ===x1+9d.∴x n﹣Eξ=x1+(n﹣1)d﹣(x1+9d)=(n﹣10)d,∴Dξ=+…+(﹣d)2+0+d2+(2d)2+…+(9d)2]===30d2.故答案为:30d2.点评:熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键.11.(4分)(2013•上海)若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=.考点:三角函数的和差化积公式;两角和与差的余弦函数.专题:三角函数的求值.分析:利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=,可得cos(x﹣y)=,再利用和差化积公式sin2x+sin2y=,得到2sin(x+y)cos(x﹣y)=,即可得出sin(x+y).解答:解:∵cosxcosy+sinxsiny=,∴cos(x﹣y)=.∵sin2x+sin2y=,∴sin[(x+y)+(x﹣y)]+sin[(x+y)﹣(x﹣y)]=,∴2sin(x+y)cos(x﹣y)=,∴,∴sin(x+y)=.故答案为.点评:熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键.12.(4分)(2013•上海)设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f (x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为..考点:函数奇偶性的性质;基本不等式.专题:函数的性质及应用.分析:先利用y=f(x)是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式,将f(x)≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1,利用基本不等式求出f(x)的最小值,解不等式求出a的范围.解答:解:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x=0时,f(x)=0;当x>0时,则﹣x<0,所以f(﹣x)=﹣9x﹣+7因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=9x+﹣7;因为f(x)≥a+1对一切x≥0成立,所以当x=0时,0≥a+1成立,所以a≤﹣1;当x>0时,9x+﹣7≥a+1成立,只需要9x+﹣7的最小值≥a+1,因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7,所以6|a|﹣7≥a+1,解得,所以.故答案为:.点评:本题考查函数解析式的求法;考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值;利用基本不等式求函数的最值.13.(4分)(2013•上海)在xOy平面上,将两个半圆弧(x﹣1)2+y2=1(x≥1)和(x﹣3)2+y2=1(x≥3),两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面积为4π+8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为2π2+16π.考点:进行简单的合情推理.专题:计算题;压轴题;阅读型.分析:由题目给出的Ω的水平截面的面积,可猜想水平放置的圆柱和长方体的量,然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可.解答:解:因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π,该截面的截面积由两部分组成,一部分为定值8π,看作是截一个底面积为8π,高为2的长方体得到的,对于4,看作是把一个半径为1,高为2π的圆柱平放得到的,如图所示,这两个几何体与Ω放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等,即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π.故答案为2π2+16π.点评:本题考查了简单的合情推理,解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量,是中档题.14.(4分)(2013•上海)对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f﹣1(x),且f﹣1([0,1))=[1,2),f﹣1((2,4])=[0,1).若方程f(x)﹣x=0有解x0,则x0=2.考点:反函数;函数的零点.专题:压轴题;函数的性质及应用.分析:根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断:当x∈[0,1)时,x∈[1,2)时f (x)的值域,进而可判断此时f(x)=x无解;由f(x)在定义域[0,3]上存在反函数可知:x∈[2,3]时,f(x)的取值集合,再根据方程f(x)=x有解即可得到x0的值.解答:解:因为g(I)={y|y=g(x),x∈I},f﹣1([0,1))=[1,2),f﹣1(2,4])=[0,1),所以对于函数f(x),当x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4],所以方程f(x)﹣x=0即f(x)=x无解;当x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1),所以方程f(x)﹣x=0即f(x)=x无解;所以当x∈[0,2)时方程f(x)﹣x=0即f(x)=x无解,又因为方程f(x)﹣x=0有解x0,且定义域为[0,3],故当x∈[2,3]时,f(x)的取值应属于集合(﹣∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞),故若f(x0)=x0,只有x0=2,故答案为:2.点评:本题考查函数的零点及反函数,考查学生分析解决问题的能力,属中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.(5分)(2013•上海)设常数a∈R,集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的取值范围为()A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)考点:集合关系中的参数取值问题;并集及其运算;一元二次不等式的解法.专题:不等式的解法及应用;集合.分析:当a>1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a 的范围;当a=1时,易得A=R,符合题意;当a<1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围.解答:解:当a>1时,A=(﹣∞,1]∪[a,+∞),B=[a﹣1,+∞),若A∪B=R,则a﹣1≤1,∴1<a≤2;当a=1时,易得A=R,此时A∪B=R;当a<1时,A=(﹣∞,a]∪[1,+∞),B=[a﹣1,+∞),若A∪B=R,则a﹣1≤a,显然成立,∴a<1;综上,a的取值范围是(﹣∞,2].故选B.点评:此题考查了并集及其运算,二次不等式,以及不等式恒成立的条件,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.16.(5分)(2013•上海)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析:因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.解答:解:“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”,所以“不便宜”是“好货”的必要条件,故选B点评:本题考查互为逆否命题的真假一致;考查据命题的真假判定条件关系,属于基础题.17.(5分)(2013•上海)在数列(a n)中,a n=2n﹣1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j 列的元素c ij=a i•a j+a i+a j(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()A.18 B.28 C.48 D.63考点:数列的函数特性.专题:压轴题.分析:由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=(2i﹣1)(2j﹣1)+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),要使a ij=a mn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12).则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1,得到i+j=m+n,由指数函数的单调性可得:当i+j≠m+n时,a ij≠a mn,因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和,即可得出.解答:解:该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=(2i﹣1)(2j﹣1)+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),当且仅当:i+j=m+n时,a ij=a mn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12),因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和,其和为2,3,…,19,共18个不同数值.故选A.点评:由题意得出:当且仅当i+j=m+n时,a ij=a mn(i,m=1,2,...,7;j,n=1,2, (12)是解题的关键.18.(5分)(2013•上海)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若m、M分别为(++)•(++)的最小值、最大值,其中{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M满足()A.m=0,M>0 B.m<0,M>0 C.m<0,M=0 D.m<0,M<0考点:平面向量数量积的运算;进行简单的合情推理.专题:压轴题;平面向量及应用.分析:利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,从而可结论.解答:解:由题意,以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、,∴利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,∵m、M分别为(++)•(++)的最小值、最大值,∴m<0,M<0故选D.点评:本题考查向量的数量积运算,考查学生分析解决问题的能力,分析出向量数量积的正负是关键.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(12分)(2013•上海)如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.专题:空间位置关系与距离.分析:解法一:证明ABC′D′为平行四边形,可得BC′∥AD′,再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC.所求的距离即点B到平面D′AC的距离,设为h,再利用等体积法求得h的值.解法二:建立空间直角坐标系,求出平面D′AC的一个法向量为=(2,1,﹣2),再根据=﹣0,可得⊥,可得直线BC′平行于平面D′AC.求出点B到平面D′AC的距离d=的值,即为直线BC′到平面D′AC的距离.解答:解:解法一:因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体,故AB∥C′D′,AB=C′D′,故ABC′D′为平行四边形,故BC′∥AD′,显然BC′不在平面D′AC内,于是直线BC′平行于平面D′AC.直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离,设为h,考虑三棱锥D′﹣ABC的体积,以ABC为底面,可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V==,而△AD′C中,AC=D′C=,AD′=,故△CAD′的底边AD′上的高为,故△CAD′的面积S△CAD′=••=,所以,V==⇒h=,即直线BC′到平面D′AC的距离为.解法二:以D′A′所在的直线为x轴,以D′C′所在的直线为y轴,以D′D所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系.则由题意可得,点A(1,0,1 )、B(1,2,1)、C(0,2,1)、C′(0,2,0)、D′(0,0,0).设平面D′AC的一个法向量为=(u,v,w),则由⊥,⊥,可得,.∵=(1,0,1),=(0,2,1),∴,解得.令v=1,可得u=2,w=﹣2,可得=(2,1,﹣2).由于=(﹣1,0,﹣1),∴=﹣0,故有⊥.再由BC′不在平面D′AC内,可得直线BC′平行于平面D′AC.由于=(1,0,0),可得点B到平面D′AC的距离d===,故直线BC′到平面D′AC的距离为.点评:本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,利用向量法证明直线和平面平行,求直线到平面的距离的方法,体现了转化的数学思想,属于中档题.20.(14分)(2013•上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣)元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.考点:函数模型的选择与应用.专题:应用题.分析:(1)求出生产该产品2小时获得的利润,建立不等式,即可求x的取值范围;(2)确定生产900千克该产品获得的利润函数,利用配方法,可求最大利润.解答:解:(1)生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1﹣)×2=200(5x+1﹣)根据题意,200(5x+1﹣)≥3000,即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10,∴3≤x≤10;(2)设利润为y元,则生产900千克该产品获得的利润为y=100(5x+1﹣)×=90000()=9×104[+]∵1≤x≤10,∴x=6时,取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.点评:本题考查函数模型的建立,考查解不等式,考查函数的最值,确定函数的模型是关键.21.(14分)(2013•上海)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0(1)若y=f(x)在[﹣,]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.考点:正弦函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)已知函数y=f(x)在上单调递增,且ω>0,利用正弦函数的单调性可得,且,解出即可;(2)利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到g(x)=2.令g(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若b﹣a最小,则a 和b都是零点,此时在区间[a,mπ+a](m∈N*)恰有2m+1个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即可得到a,b满足的条件.进一步即可得出b﹣a的最小值.解答:解:(1)∵函数y=f(x)在上单调递增,且ω>0,∴,且,解得.(2)f(x)=2sin2x,∴把y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到,∴函数y=g(x)=,令g(x)=0,得,或x=(k∈Z).∴相邻两个零点之间的距离为或.若b﹣a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N*)分别恰有3,5,…,2m+1个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,∴.另一方面,在区间恰有30个零点,因此b﹣a的最小值为.点评:本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.22.(16分)(2013•上海)如图,已知双曲线C1:,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1﹣C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2型点”;(3)求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点:直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质.专题:压轴题;新定义;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为(),当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率;(2)由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|>1,分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点;(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间,进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点,当|k|>1时,过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点,再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围,结果与|k|>1矛盾.从而证明了结论.解答:(1)解:C1的左焦点为(),写出的直线方程可以是以下形式:或,其中.(2)证明:因为直线y=kx与C2有公共点,所以方程组有实数解,因此|kx|=|x|+1,得.若原点是“C1﹣C2型点”,则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).显然直线x=0与C1无公共点.如果直线为y=kx(|k|>1),则由方程组,得,矛盾.所以直线y=kx(|k|>1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1﹣C2型点”.(3)证明:记圆O:,取圆O内的一点Q,设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,显然l不与x轴垂直,故可设l:y=kx+b.若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间,因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|>1.因为l与C1由公共点,所以方程组有实数解,得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0.因为|k|>1,所以1﹣2k2≠0,因此△=(4kb)2﹣4(1﹣2k2)(﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0,即b2≥2k2﹣1.因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离,所以,从而,得k2<1,与|k|>1矛盾.因此,圆内的点不是“C1﹣C2型点”.点评:本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.23.(18分)(2013•上海)给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足a n+1=f(a n),n∈N*.(1)若a1=﹣c﹣2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,a n+1﹣a n≥c;(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,a n,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.考点:数列的函数特性;等差关系的确定;数列与函数的综合.专题:压轴题;等差数列与等比数列.分析:(1)对于分别取n=1,2,a n+1=f(a n),n∈N*.去掉绝对值符合即可得出;(2)由已知可得f(x)=,分三种情况讨论即可证明;(3)由(2)及c>0,得a n+1≥a n,即{a n}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论:当a1<﹣c﹣4时,当﹣c﹣4≤a1<﹣c时,当a1≥﹣c时.即可得出a1的取值范围.解答:解:(1)a2=f(a1)=f(﹣c﹣2)=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2,a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|﹣|2+c|=2(6+c)﹣(c+2)=10+c.(2)由已知可得f(x)=当a n≥﹣c时,a n+1﹣a n=c+8>c;当﹣c﹣4≤a n<﹣c时,a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2(﹣c﹣4)+3c+8=c;当a n<﹣c﹣4时,a n+1﹣a n=﹣2a n﹣c﹣8>﹣2(﹣c﹣4)﹣c﹣8=c.∴对任意n∈N*,a n+1﹣a n≥c;(3)假设存在a1,使得a1,a2,…,a n,…成等差数列.由(2)及c>0,得a n+1≥a n,即{a n}为无穷递增数列.又{a n}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,a n≥﹣c,从而a n+1=f(a n)=a n+c+8,由于{a n}为等差数列,因此公差d=c+8.①当a1<﹣c﹣4时,则a2=f(a1)=﹣a1﹣c﹣8,又a2=a1+d=a1+c+8,故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8,即a1=﹣c﹣8,从而a2=0,当n≥2时,由于{a n}为递增数列,故a n≥a2=0>﹣c,∴a n+1=f(a n)=a n+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=﹣c﹣8时,{a n}为无穷等差数列,符合要求;②若﹣c﹣4≤a1<﹣c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,∴3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=﹣c,应舍去;③若a1≥﹣c,则由a n≥a1得到a n+1=f(a n)=a n+c+8,从而{a n}为无穷等差数列,符合要求.综上可知:a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c,+∞).点评:本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法,考查了推理能力和计算能力.。
2013年山东省高考理科数学试卷解析版
2013年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2013•山东)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()A.2+i B.2﹣i C.5+i D.5﹣i考点:复数的基本概念.专题:计算题.分析:利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.解答:解:∵(z﹣3)(2﹣i)=5,∴z﹣3==2+i∴z=5+i,∴=5﹣i.故选D.点评:本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.2.(5分)(2013•山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9考点:集合中元素个数的最值.专题:计算题.分析:依题意,可求得集合B={﹣2,﹣1,0,1,2},从而可得答案.解答:解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A},∴当x=0,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为0,﹣1,﹣2;当x=1,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为1,0,﹣1;当x=2,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为2,1,0;∴B={﹣2,﹣1,0,1,2},∴集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.故选C.点评:本题考查集合中元素个数的最值,理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题.3.(5分)(2013•山东)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(﹣1)=()A.﹣2 B.0C.1D.2考点: 函数的值.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1),即可求得答案.解答:解:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,故选A.点评:本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题.4.(5分)(2013•山东)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.考点: 直线与平面所成的角.专题:空间角.分析:利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1=即可得出.解答:解:如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵==.∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴==1,在Rt△AA1P中,,∴.故选B.点评:熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.5.(5分)(2013•山东)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为()A.B.C.0D.考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:计算题;三角函数的图像与性质.分析:利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.解答:解:令y=f(x)=sin(2x+φ),则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),∵f(x+)为偶函数,∴+φ=kπ+,∴φ=kπ+,k∈Z,∴当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选B.点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.6.(5分)(2013•山东)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.D.考点: 简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.解答:解:不等式组表示的区域如图,当M取得点A(3,﹣1)时,z直线OM斜率取得最小,最小值为k==﹣.故选C.点评:本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.7.(5分)(2013•山东)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:规律型.分析:根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.解答:解:∵¬p是q的必要而不充分条件,∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,则p是¬q的充分不必要条件.故选A.点评:本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键.8.(5分)(2013•山东)函数y=xcosx+sinx的图象大致为()A.B.C.D.考点:函数的图象.专题: 函数的性质及应用.分析:给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.解答:解:因为函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以排除选项B,由当x=时,,当x=π时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选D.点评:本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.9.(5分)(2013•山东)过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0考点:圆的切线方程;直线的一般式方程.专题:计算题;直线与圆.分析:由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.解答:解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选A.点评:本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.10.(5分)(2013•山东)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题.分析:求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可.解答:解:用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900﹣648=252.故选B.点评:本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.11.(5分)(2013•山东)抛物线C1:的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A.B.C.D.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质.专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.解答:解:由,得x2=2py(p>0),所以抛物线的焦点坐标为F().由,得,.所以双曲线的右焦点为(2,0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即①.设该直线交抛物线于M(),则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知,得,代入M点得M()把M点代入①得:.解得p=.故选D.点评:本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题.12.(5分)(2013•山东)设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为()A.0B.1C.D.3考点:基本不等式.专题:计算题;压轴题;不等式的解法及应用.分析:依题意,当取得最大值时x=2y,代入所求关系式f(y)=+﹣,利用配方法即可求得其最大值.解答:解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“="),∴=1,此时,x=2y.∴z=x2﹣3xy+4y2=(2y)2﹣3×2y×y+4y2=2y2,∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1.∴的最大值为1.故选B.点评:本题考查基本不等式,由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题.二、填空题13.(4分)(2013•山东)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0。
2013年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)
2013年浙江省高考数学试卷(理科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.24.(5分)(2013•浙江)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的5.(5分)(2013•浙江)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则()(5分)(2013•浙江)已知,则tan2α=()B .C.D.7.(5分)(2013•浙江)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则()x k9.(5分)(2013•浙江)如图F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A B.C.D.10.(5分)(2013•浙江)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)(2013•浙江)设二项式的展开式中常数项为A,则A=_________.12.(4分)(2013•浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_________cm3.13.(4分)(2013•浙江)设z=kx+y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k=_________.14.(4分)(2013•浙江)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有_________种(用数字作答)15.(4分)(2013•浙江)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(﹣1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于_________.16.(4分)(2013•浙江)△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC=_________.17.(4分)(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于_________.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)(2013•浙江)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,a n;(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.19.(14分)(2013•浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.,求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a:b:c.20.(15分)(2013•浙江)如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ∥平面BCD;(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.21.(15分)(2013•浙江)如图,点P(0,﹣1)是椭圆的一个顶点,C1的长轴是圆的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D(1)求椭圆C1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.22.(14分)(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.2013年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.24.(5分)(2013•浙江)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的三角函数的图像与性质.φ=⇒f(x)=Acos(ωx+)⇒f(x)=Asin(ωx)(A>0,ω>0,x∈R)是奇函数.f(x)为奇函数⇒f (0)=0⇒φ=kπ+,k∈Z.所以“f(x)是奇函数”是“φ=”必要不充分条件.解:若φ=,则f(x)=Acos(ωx+)⇒f(x)=Asin(ωx)(A>0,ω>0,x∈R)是奇函数;若f(x)是奇函数,⇒f(0)=0,∴f(0)=Acos(ω×0+φ)=Acosφ=0.∴φ=kπ+,k∈Z,不一定有φ=“f(x)是奇函数”是“φ=”必要不充分条件.故选B.本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数性质的灵5.(5分)(2013•浙江)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则()图表型.根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值,利用裂项相消法易得答案.解:由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣.若该程序运行后输出的值是,则 2﹣=.∴a=4,6.(5分)(2013•浙江)已知,则tan2α=()A B.C.D.由题意结合sinα+cosα=1可解得sinα,和cosα,进而可得tanα,再代入二倍角的正切公式可得答案.解:∵,又sin2α+cos2α=1,联立解得,或故tanα==,或tanα=3,代入可得tan2α===﹣,或tan2α===故选C本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,属中档题.7.(5分)(2013•浙江)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则()A∠ABC=90°B∠BAC=90°C AB=AC D AC=BC计算题;平面向量及应用.以AB所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设AB=4,C(a,b),P(x,0),然后由题意可写出,,,,然后由结合向量的数量积的坐标表示可得关于x的二次不等式,结合二次不等式的知识可求a,进而可判断解:以AB所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设AB=4,C(a,b),P(x,0)则BP0=1,A(﹣2,0),B(2,0),P0(1,0)∴=(1,0),=(2﹣x,0),=(a﹣x,b),=(a﹣1,b)∵恒有∴(2﹣x)(a﹣x)≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣(a+2)x+a+1≥0恒成立∴△=(a+2)2﹣4(a+1)≤0即△=a2≤0∴a=0,即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形本题主要考查了平面向量的运算,向量的模及向量的数量积的概念,向量运算的几何意义的应用,还考查x k极小值还是极大值即可得结论.解:当k=2时,函数f(x)=(e x﹣1)(x﹣1)2.求导函数可得f'(x)=e x(x﹣1)2+2(e x﹣1)(x﹣1)=(x﹣1)(xe x+e x﹣2),∴当x=1,f'(x)=0,且当x>1时,f'(x)>0,当<x<1时,f'(x)<0,故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;在(,1)上是减函数,从而函数f(x)在x=1取得极小值.对照选项.故选C.本题考查了函数的极值问题,考查学生的计算能力,正确理解极值是关键.9.(5分)(2013•浙江)如图F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A B.C.D.计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率.解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点A为椭圆C1:+y2=1上的点,∴2a=4,b=1,c=;∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4;①又四边形AF1BF2为矩形,∴+=,即x2+y2=(2c)2==12,②由①②得:,解得x=2﹣,y=2+,设双曲线C2的实轴长为2a,焦距为2c,则2a=,|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2c=2=2,∴双曲线C2的离心率e===.故选D.本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF|与|AF|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.(5分)(2013•浙江)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平同理,若P2=fβ(P),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ(P)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P,恒有PQ1=PQ2,∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直故选:A本题给出新定义,要求我们判定平面α与平面β所成角大小,着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)(2013•浙江)设二项式的展开式中常数项为A,则A=﹣10.先求出二项式展开式的通项公式,再令x的系数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值.解:二项式的展开式的通项公式为 T r+1=••(﹣1)r•=(﹣1)r••.令=0,解得r=3,故展开式的常数项为﹣=﹣10,故答案为﹣10.本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.12.(4分)(2013•浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于24 cm3.先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可.解:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边分别为3,4,棱柱的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图:V=V棱柱﹣V三棱锥=﹣×3=24(cm3)故答案为:24本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算.V椎体=Sh,V柱体=Sh.考查空间想象能力.13.(4分)(2013•浙江)设z=kx+y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k=2.答案.解:可行域如图:由得:A(4,4),同样地,得B(0,2),①当k>﹣时,目标函数z=kx+y在x=4,y=4时取最大值,即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,此时,12=4k+4,故k=2.②当k时,目标函数z=kx+y在x=0,y=2时取最大值,即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,此时,12=0×k+2,故k不存在.综上,k=2.故答案为:2.本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几14.(4分)(2013•浙江)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有480种(用数字作答)最后乘以2即可.解:按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时,有A,当C在左边第2个位置时A A,当C在左边第3个位置时,有A A+A A,共为240种,乘以2,得480.则不同的排法共有 480种.故答案为:480.本题考查排列、组合的应用,关键在于明确事件之间的关系,同时要掌握分类讨论的处理方法.15.(4分)(2013•浙江)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(﹣1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于不存在.圆锥曲线的定义、性质与方程.由题意设直线l的方程为my=x+1,联立得到y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16=16(m2﹣1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).利用根与系数的关系可得y1+y2=4m,利用中点坐标公式可得=2m,x0=my0﹣1=2m2﹣1.Q(2m2﹣1,2m),由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0).再利用两点间的距离公式即可得出m及k,再代入△判断是否成立即可.解:由题意设直线l的方程为my=x+1,联立得到y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16=16(m2﹣1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).∴y1+y2=4m,∴=2m,∴x0=my0﹣1=2m2﹣1.∴Q(2m2﹣1,2m),由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0).∵|QF|=2,∴,化为m2=1,解得m=±1,不满足△>0.故满足条件的直线l不存在.故答案为不存在.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公16.(4分)(2013•浙江)△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC=.压轴题;解三角形.作出图象,设出未知量,在△ABM中,由正弦定理可得sin∠AMB=,进而可得cosβ=,在RT△ACM中,还可得cosβ=,建立等式后可得a=b,再由勾股定理可得c=,而sin∠BAC═=,代入化简可得答案.解:如图设AC=b,AB=c,CM=MB=,∠MAC=β,在△ABM中,由正弦定理可得=,代入数据可得=,解得sin∠AMB=,故cosβ=cos(﹣∠AMC)=sin∠AMC=sin(π﹣∠AMB)=sin∠AMB=,而在RT△ACM中,cosβ==,故可得=,化简可得a4﹣4a2b2+4b4=(a2﹣2b2)=0,解之可得a=b,再由勾股定理可得a2+b2=c2,联立可得c=,故在RT△ABC中,sin∠BAC====,故答案为:本题考查正弦定理的应用,涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用,属中档题.17.(4分)(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于2.压轴题;平面向量及应用.由题意求得=,||==,从而可得===,再利用二次函数的性质求得的最大值.解:∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=.∵非零向量=x+y,∴||===,∴====,故当=﹣时,取得最大值为2,故答案为 2.本题主要考查两个向量的数量积的运算,求向量的模,利用二次函数的性质求函数的最大值,属于中档三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)(2013•浙江)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,a n;(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.d<0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和.解:(Ⅰ)由题意得,即,整理得d2﹣3d﹣4=0.解得d=﹣1或d=4.当d=﹣1时,a n=a1+(n﹣1)d=10﹣(n﹣1)=﹣n+11.当d=4时,a n=a1+(n﹣1)d=10+4(n﹣1)=4n+6.所以a n=﹣n+11或a n=4n+6;(Ⅱ)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(Ⅰ)得d=﹣1,a n=﹣n+11.则当n≤11时,.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=.本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的19.(14分)(2013•浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.,求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a:b:c.(2)先列出η的分布列,再利用η的数学期望和方差公式,即可得到结论.解:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6,P(ξ=2)==;P(ξ=3)==;P(ξ=4)==;P(ξ=5)==;P(ξ=6)==.故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=(1﹣)2+(2﹣)2+(3﹣)2=.得,解得a=3c,b=2c,故a:b:c=3:2:1.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算能力,属20.(15分)(2013•浙江)如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,.M是AD 的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ∥平面BCD;(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.计算题;空间位置关系与距离;空间角.(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ.根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形,从而PQ∥OF,再由线面平行判定定理,证出PQ∥平面BCD;(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH.根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°.设∠BDC=θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式,最后在Rt△CHG中,根据正切的定义得出tan∠CHG==,从而得到tanθ=,由此可得∠BDC.(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM,且OP=DM,结合M为AD中点得:OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF,可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD,∴PQ∥平面BCD;(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH∵AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,∴AD⊥CG又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD,结合BM⊂平面ABD,得CG⊥BM∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH因此,∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°设∠BDC=θ,可得Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2cosθ,CG=CDsinθ=sinθcosθ,BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中,HG==;Rt△CHG中,tan∠CHG==∴tanθ=,可得θ=60°,即∠BDC=60°本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行,并且在已知二面角大21.(15分)(2013•浙江)如图,点P(0,﹣1)是椭圆的一个顶点,C1的长轴是圆的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D(1)求椭圆C1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.解:(1)由题意可得b=1,2a=4,即a=2.∴椭圆C1的方程为;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y=kx﹣1.又圆的圆心O(0,0)到直线l1的距离d=.∴|AB|==.又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0,联立,消去y得到(4+k2)x2+8kx=0,解得,∴.∴三角形ABD的面积.∴=,当且仅当时取等号,故所求直线l1的方程为.本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,同时考查了推理能力和计算能22.(14分)(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.小.解:(1)因为f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3,所以f′(x)=3x2﹣6x+3a,故f′(1)=3a﹣3,又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a﹣3)x﹣3a+4;(2)由于f′(x)=3(x﹣1)2+3(a﹣1),0≤x≤2.故当a≤0时,有f′(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3﹣3a.当a≥1时,有f′(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a﹣1.当0<a<1时,由3(x﹣1)2+3(a﹣1)=0,得,.所以,当x∈(0,x1)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的极大值,极小值.故f(x1)+f(x2)=2>0,.从而f(x1)>|f(x2)|.所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.当0<a<时,f(0)>|f(2)|.又=故.当时,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).又=.所以当时,f(x1)>|f(2)|.故.当时,f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max=|f(2)|=3a﹣1.综上所述|f(x)|max=.本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求闭区间上的最值,考查了分类讨论祝福语祝你考试成功!。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高考理科数学选填压轴题训题型一:集合与新定义 (2013福建理10)设S ,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数y =f (x )满足:(1)T ={f (x )|x ∈S };(2)对任意x 1,x 2∈S ,当x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ).D A .A =N*,B =NB .A ={x|-1≤x≤3},B ={x|x =-8或0<x≤10}C .A ={x|0<x <1},B =RD .A =Z ,B =Q(2013广东理8)设整数n ≥4,集合X ={1,2,3,…,n },令集合S ={(x ,y ,z )|x ,y ,z ∈X ,且三条件x <y <z ,y <z <x ,z <x <y 恰有一个成立}.若(x ,y ,z )和(z ,w ,x )都在S中,则下列选项正确的是( ).BA .(y ,z ,w)∈S ,(x ,y ,w)∉SB .(y ,z ,w)∈S ,(x ,y ,w)∈SC .(y ,z ,w)∉S ,(x ,y ,w)∈SD .(y ,z ,w)∉S ,(x ,y ,w)∉S 提示:特殊值法,令x=1,y=2,z=3,w=4即得。
题型二:平面向量(2013北京理13)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若()c a b λμλμ=+∈R ,,则λμ= .4 (2013湖南理6)已知a ,b 是单位向量,a·b =0,若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的取值范围是( ).AA .11] B .12] C .[11] D .[12]解析:由题意,不妨令a =(0,1),b =(1,0),c =(x ,y ),由|c -a -b |=1得(x -1)2+(y -1)2=1,|c |可看做(x ,y )到原点的距离,而点(x ,y )在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x ,y )在位置P 时到原点的距离最近,在位置P ′时最远,而PO1,P ′O1,故选A .(2013重庆理10)在平面上,1AB ⊥2AB ,|1OB |=|2OB |=1,AP =1AB +2AB .若|OP|<12,则|OA |的取值范围是( ).D A.0,2⎛ ⎝⎦ B.,22⎛ ⎝⎦ C.2⎛ ⎝ D.2⎛ ⎝ 解析:因为1AB ⊥2AB ,所以可以A 为原点,分别以1AB ,2AB 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.设B 1(a,0),B 2(0,b ),O (x ,y ), 则AP =1AB +2AB =(a ,b ),即P (a ,b ).由|1OB |=|2OB |=1,得(x -a )2+y 2=x 2+(y -b )2=1.所以(x -a )2=1-y 2≥0,(y -b )2=1-x 2≥0.由|OP |<12,得(x -a )2+(y -b )2<14, 即0≤1-x 2+1-y 2<14.所以74<x 2+y 2≤2,即2<≤所以|OA |的取值范围是⎝,故选D .(2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且|AB |=3,|AC |=2,若AP =λAB +AC ,且AP ⊥BC ,则实数λ的值为__________.7/12(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2(2013浙江理17)设12,e e 为单位向量,非零向量12,,b xe ye x y R =+∈,若12,e e 的夹角为6π,则||||x b 的最大值等于________。
2 解:由已知得到:22222212||()||22b b xe ye b x y xy ==+⇒=++⨯⇒22222||x x bx x==+,设22min 21(1)4||y x t t x b =∴++=∴的最大值为4,所以答案是2。
(2013安徽理9)在平面直角坐标系中,o 是坐标原点,两定点,A B 满足60BAD ︒∠=2,OA OB OA OB ===则点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是( )D(A )(B )(C ) (D )【解析】考察三点共线向量知识:1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若PC PB PA P C B A .在本题中,32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅OB OA OB OA .建立直角坐标系,设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时,,则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性,所求区域OAB S题型三:线性规划(2013北京理8)设关于x ,y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩,,表示的平面区域内存在点()00P x y ,,满足0022x y -=,求得m 的取值范围是( )C A .43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭, B .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭, C .23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,D .53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭, (2013广东理13)给定区域D :44,4,0.x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ={(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z ,(x 0,y 0)是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定__________条不同的直线.6(2013广西理15)记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点,则的取值范围是 .[1/2,4]题型四:基本不等式(2013山东理12)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0,则当xyz取得最大值时,212x y z+-的最大值为( ).BA .0B .1C .94 D .3(2013天津理14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,取得最小值. -2 题型五:三角函数与三角形(2013广西理12)已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中不正确的是( )C1||2||a a b+(A )()(),0y f x π=的图像关于中心对称 (B )()2y f x x π==的图像关于对称(C )()f x (D )()f x 既是奇函数,又是周期函数 (2013全国一理15)设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cosθ=__ (2013全国Ⅱ理15)设θ为第二象限角,若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin θ+cos θ=__.5- (2013重庆理9)4cos 50°-tan 40°=( ).CAB. CD.1解析:4cos 50°-tan 40°=4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒=2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒ =2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒=12cos402sin40sin4022cos40⨯︒+⨯︒-︒=︒. (2013浙江理7)设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则( )D A. 090=∠ABC B. 090=∠BAC C. AC AB = D.BC AC = 解:利用特殊值法可以解决,如CP AB ⊥或PB PA =即可求出答案。
(2013浙江理16)ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________(2013辽宁理9)已知点O (0,0),A (0,b ),B (a ,a 3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ).CA .b =a3B .31b a a =+C .331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D .3310b a b a a -+--=解析:若B 为直角,则0OB AB ⋅=,即a 2+a 3(a 3-b )=0,又a ≠0,故31b a a=+; 若A 为直角,则0OA AB ⋅=,即b (a 3-b )=0,得b =a 3;若O 为直角,则不可能.故b -a 3=0或b -a 3-1a=0,故选C.(2013湖北理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 211(,3)22N n n n =+, 正方形数 2(,4)N n n =,五边形数 231(,5)22N n n n =-, 六边形数 2(,6)2N n n n =-,……………………… 可以推测(,)N n k 的表达式,由此计算(10,24)N =_____. 1000 题型六:概率统计(2013四川理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a ,b ,共可得到lg a -lg b 的不同值的个数是( )CA .9B .10C .18D .20(2013重庆理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答).590(2013湖北理9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值()E X =( )BA .126125B .65C .168125D .75(2013辽宁理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为__________.11(2013四川理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )C A.14 B.12 C.34 D.78题型七:数列(2013安徽理14)如图,互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。