概率论与数理统计经典课件 (6)

3
解：F( x ) P{ X x }
x -1 x
23
4
例: 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设 射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离， 试求随机变量X的分布函数。
解:若 则
为不可能事件
X
2
若
由题意
（k为某一常数）
为确定 k ，取 x=2 ，则
17
(4) 标准正态分布
对随机变量
，当
变量 X 服从标准正态分布，记为
其概率密度函数为
时，称此随机
的值可查表, 课本P439 (表)
注：（1） ( 0 ) 1
2
（2） ( 3.9 ) 1
18
f(x)
x
x
(0 ) P( Z 0 ) 1
2
1
e ，
(
x 2 2
)2
2
例：由(x)=0.05怎样查表求x的值? 由于 (x)=0.05, 1- (x)=1-0.05, 所以 (-x)=0.95, 而 (1.645)=0.95, 即: -x=1.645, 故 x=-1.645.
X 2 1 0 1 2 X2 1 1
25
X2 1 5 2 1 2 5
P 0.2 0.3 0.5
s2i5n(2X ) sin4 sin2 0 sin2 sin4
Y sin(2X ) 的分布律.
sin(2X ) sin4 sin2
P 0.2 0.2
P 0.2 0.2 0.2 0.1 0.3 X 2 1 0 1 2 X2 1 5 2 1 2 5
,
x 0, x 0.
例题：设 X 服从参数 1的指数分布，求方程
4x 2 4xX X 2 0 无实根的概率. (关于 x 的二次方程) 解: 方程无实根 (4X )2 4 4 ( X 2) 0
X 2 X 2 0 解得：－1 X 2
X 的密度函数为：f (x)
sin(2X ) sin4 sin2 0 sin2 sin4
0 sin2 sin4
0.2 0.1 0.3
二、连续型随机变量函数的分布
设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f (x), 我们分两 步求 Y g( X ) 的概率密度.
第一步：先求Y 的分布函数FY ( y). 第二步：fY ( y) FY( y).
a 3
20
例:设
证明X落在 ( , )
内的概率只与 有关而与 , 无关。
证：
X落在区间 而与 无关。
内的概率只与 有关
特别当 = 1，2，3时，可查表求得
可见服从正态分布
的随机变量
X 之值基本上落在区间
内，而几乎不落在
之外，
在实际应用中称为 原3则。
22
例: 设 解: 由
, 且已知 求
(1) 定义：如果随机变量X 的概率密度为：
f (x)
1
(x )2
e , 2 2 其中 , ( 0) 为常数，
2
则称 X 服从参数为, 的正态分布，记为 X ~ N(, 2 ).
(2) f (x) 的性质
1)曲线关于x 对称；
fmax
f (x)
2) 当 x 时， 取最大值 f () 1 ; 2
26
例题：设随机变量X 的概率密度为：
求 Y 2X 8 的概率密度
f (x)
解：先求 FY ( y)
x, 8 0,
0 x 4, 其它.
FY ( y) P(Y y) P(2X 8 y)
P(X
y 8) 2
y8 FX ( 2 )
再求导 fY (
y)
fX(
y 8 ) 2
y
8
1 0,
e x /
,
x 0, x 0.
F(x) 和 f (x)图形为：
1
12
注：指数分布具有一个有趣的性质“无记忆性”。
即： P{ X s t | X s } P{ X t }, s,t 0
证：由条件概率公式
P{X s t | X s} P{" X s t"" X s"} P{X s}
§3. 随机变量的分布函数 对非离源自文库型散型随机变量 X(例如:灯泡的寿命T)，
由于其可能取值不能一个一个地列举出来，因而就不 能象离散型随机变量那样可用分布律来描述它。为此， 下面先引进随机变量的分布函数概念。 一、分布函数的概念 定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数 F(x) P( X x) 为随机变量X 的分布函数.
F(3)
F(1)
23 28
2
3
或P{1 X 3}
134x2dx
3 14
(4
x)dx
1
2
思考题：备课本P32
三、三个重要的连续型随机变量的分布
1、均匀分布
若随机变量 X 的概率密度为：f
(x
)
b
1
a
,
axb
0,
其它.
则称 X 在 (a, b) 上服从均匀分布，记为 X ~ U (a, b)
8
f (x)dx 1.
( f ( x )dx F( ) 1)
(3).
P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1 )
x2 f (x)dx.
x1
(4). 若 f (x) 在点 x 处连续，则 F(x) f (x).
x1
x2
注：1) 对连续型随机变量X,它取任一定值的概率为零.
(1) 至少等候 3 分钟; (2) 等待时间在 3 分钟至 6 分钟之间的概率. 解: 以 X 表示你前面这位顾客所用服务时间. F(x) 为 X 的分
布函数. 则所求的概率为:
1 ex / 3 , x 0,
F( x )
0,
x 0.
15
3、正态分布 正态分布是最常见的也是最重要的一种分布。
2
4
Ax2dx
A(4
x)dx
14 3
A
1, A
3 14
0
2
x
(2)F(x) f (x)dx
0
x
2
3 14
x2dx
0
x
3 14
x2dx
3 14
(4
x
)dx
0
2
1
x0 0x2 2x4
x4
0
(2)F(x)
3 28
x3
x3 14
6 7
x
5 7
1
x0 0x2 2x4
x4
(3)P{1
X
3}
即对任一实数x0，有 P( X x0 ) 0.
8
注：1) 对连续型随机变量X,它取任一定值的概率为零.
即对任一实数x0，有 P( X x0 ) 0.
2) 对连续型随机变量X,它落在(a, b)，(a, b]，[a, b), [a, b] 内的概率均相等.
即 P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
P{X s t} 1 P{X s t} P{X s} 1 P{X s}
1 F(s t) 1 F(s)
e (st)/ es/
et /
又 P(X t) 1 P(X t) et/
P{X s t | X s} P{X t}
13
F(x)
x
f (t)dt
1 e x / 0,
fY ( y) 1 [ f X ( y ) f X ( y )] 2y
又
fX (x)
1 ex2 /2
2
所以
fY
(
y)
1 y 1 / 2e y / 2，
定义：设随机变量X 的分布函数为F(x), 如果存在非负函
数 f (x), 使对任意实数x ,都有：F(x) x f (t)dt
则称 X 为连续型随机变量. 称 f (x) 为 X 的概率密度函数， 简称概率密度（也称分布密度）。
二、 概率密度函数的性质
1
(1). f (x) 0,
(2).
2
1 8
y
2
8
1, 2
0 y8 4 2
0 ,
其它
y8 32
,
0 ,
8 y 16 其它
27
例题：设 X ~ N(0,1), 求 Y X 2 的概率密度.
解: FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) 当 y 0 时，FY ( y) 0.
当 y 0时，
FY ( y) P( y X y ) FX ( y ) FX ( y ).
由分布函数的定义知
0,
F(x)
和
x
F(x) f (t)dt
f (x)图形为：
x b
a
a 1,
,
xa axb
xb
11
a
b
1
a
b
2、指数分布
若随机变量X
的概率密度为：f
(
x)
1
e
x
/
,
x0
0,
x 0.
则称 X 服从参数为 ( 0) 的指数分布，
由分布函数的定义知
F(x)
x
f (t)dt
9
例: 设连续型随机变量 X 的分布函数为
(1) 常数 A, B; (2) P( X a / 2); (3) 概率密度 f (x).
解：(1) F(x) 在 (, )上连续，
F(a) lim F(x), F(a) lim F(x),
xa
xa
A B 0, 1 A B
2
2
A 1, B 1.
定理：若 X ~ N (, 2 ), 则有 Z X ~ N (0,1).
证：FZ (
x
)
P(
Z
x
)
P(
X
x
)
P( X
x
)
1
2
e dt x
(t )2 2 2
令v t
1
2
x ev2 / 2dv ( x )
Z X ~ N (0,1)
于是,若 X ~ N(, 2 ), 则有
(2). F(x) 是不减函数，即 x 对任意 x1 x2 , 有 F(x1 ) F(x2 ).
(3). F(x) 是右连续的，即 F(x＋0) F(x).
2
三、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量 X 的分布律为：
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为
例: 设随机变量 X 的分布律为：
2
(2) P( X a / 2) P(a / 2 X a / 2) F(a / 2) F(a / 2)
10
3.设随机变量X的密度函数为
Ax2
f (x) A(4 x)
0
0x2 2x4
其它
（1）求常数A；（2）分布函数，
（3）P{1 X 3}
解 (1) f (x)dx 1
5又
故
若 由题意
是必然事件，
于是：
综上所述，即得 X 分布函数为：
1
0
2
它的图形为一
6
条连续曲线
另外，连续的分布函数 都可写成变上限积分形式。
此例
其它
即 恰是非负函数 在区间
上的积分，
在这种情况下，我们称 X 为连续随机变量。
课堂练习：备课本P30
7
§4. 连续型随机变量的概率密度
一、一维连续型随机变量及概率密度
方程无实根的概率为：
e x
0
x0 x0
2
0
2
P( 1 X 2 ) f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1
1
0
2 e xdx 1 e 2 . 0
14
例: 假定自动取款机对每位顾客的服务时间(单位:分钟)
服从 3 的指数分布. 如果有一顾客恰好在你前头
走到空闲的取款机. 求你
3) 当 x 时，f (x) 0；
x
4 )曲线在 x 处有拐点(曲线凸、凹部分的分界点 ).
( 3 ) 参数 , 的几何意义 当 固定时( 课本P58 图2 -13 ), 越小，图形越高、越瘦；
越大，图形越矮、越胖. 称 为形状参数. 当 固定时( 课本P57 图2 -12 ), 改变 的数值，则图形沿x 轴平移，而不改变形状， 称 为位置参数.
得
查表得：
又由
查表得：
解得:
23
例: 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机
率在0.01以下来设计的，设男子身高
其中
即
问：车门高度应如何确定？
解: 设车门高度为Hcm，按设计要求 即
而 查表得
即
所以设计车门高度应为184cm。
24 标准正态分布的上分位点放在第六章讲解
§5. 随机变量函数的分布
x
1
若已知 X 的分布函数F(x) ，我们就可以求出X 落在任 一区间(x1, x2 ]内的概率：
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F(x2 ) F(x1 ).
x1
x2
二、分布函数的性质 分布函数F(x) 具有以下基本性质：
(1). 0 F(x) 1,且 F() lim F(x) 1, x F() lim F(x) 0.
下面我们讨论如何由X 的概率分布，去求Y g( X ) 的 概率分布.
一、离散型随机变量的分布
例：设随机变量X 的分布律为：
求 (1). Y X 2 1,
X 2 1 0 1 2
(2). Y sin(2X )
P 0.2 0.2 0.2 0.1 0.3
的分布律. P 0.2 0.2
0.2 0.1 0.3 Y X 2 1 的分布律.
FX (
x)
P( X
x)
P(
X
x
)(
x
)
对于任意区间 (x1, x2 ] 有
P{
x1
X
x2
}
FX
(
x2
)
FX
(
x1
)
(
x2
)(
x1
)
19
例题：设 X ~ N (1.5,22 ), (1) 求 P(1 X 2); (2) 求 a 使 P( X a a) 0.2338. 解: (1) P(1 X 2) F(2) F(1)